Teoría de la onda piloto

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Una interpretación de la mecánica cuántica

Experimentos de Couder, "materializando" el *onda piloto* modelo.

En física teórica, la teoría de la onda piloto, también conocida como mecánica de Bohemia, fue el primer ejemplo conocido de una teoría de variables ocultas, presentada por Louis de Broglie en 1927. Su versión más moderna, la teoría de Broglie-Bohm, interpreta la mecánica cuántica como una teoría determinista, evitando nociones problemáticas como la dualidad onda-partícula, el colapso instantáneo de la función de onda y la paradoja del gato de Schrödinger. Para resolver estos problemas, la teoría es inherentemente no local.

La teoría de la onda piloto de De Broglie-Bohm es una de varias interpretaciones de la mecánica cuántica (no relativista).

Desde la década de 1990 se ha desarrollado una extensión del caso relativista con espín.

Historia

Los primeros resultados de Louis de Broglie sobre la teoría de la onda piloto fueron presentados en su tesis (1924) en el contexto de los orbitales atómicos donde las ondas son estacionarias. Los primeros intentos de desarrollar una formulación general de la dinámica de estas ondas guía en términos de una ecuación de onda relativista no tuvieron éxito hasta que en 1926 Schrödinger desarrolló su ecuación de onda no relativista. Sugirió además que, dado que la ecuación describía ondas en el espacio de configuración, debería abandonarse el modelo de partículas. Poco después, Max Born sugirió que la función de onda de la ecuación de onda de Schrödinger representa la densidad de probabilidad de encontrar una partícula. A raíz de estos resultados, de Broglie desarrolló las ecuaciones dinámicas para su teoría de la onda piloto. Inicialmente, de Broglie propuso un enfoque de solución doble, en el que el objeto cuántico consiste en una onda física (u-onda) en el espacio real que tiene una región esférica singular que da aumento de un comportamiento similar al de las partículas; en esta forma inicial de su teoría no tuvo que postular la existencia de una partícula cuántica. Posteriormente la formuló como una teoría en la que una partícula va acompañada de una onda piloto.

De Broglie presentó la teoría de la onda piloto en la Conferencia Solvay de 1927. Sin embargo, Wolfgang Pauli objetó en la conferencia que no abordaba adecuadamente el caso de la dispersión inelástica. De Broglie no pudo encontrar una respuesta a esta objeción y abandonó el enfoque de la onda piloto. A diferencia de David Bohm años después, de Broglie no completó su teoría para abarcar el caso de muchas partículas. El caso de muchas partículas muestra matemáticamente que la disipación de energía en la dispersión inelástica podría distribuirse a la estructura del campo circundante mediante un mecanismo aún desconocido de la teoría de variables ocultas.

En 1932, John von Neumann publicó un libro, parte del cual pretendía demostrar que todas las teorías de variables ocultas eran imposibles. Tres años después, Grete Hermann descubrió que este resultado era erróneo, aunque pasó desapercibido para la comunidad física durante más de cincuenta años.

En 1952, David Bohm, insatisfecho con la ortodoxia predominante, redescubrió la teoría de la onda piloto de De Broglie. Bohm desarrolló la teoría de las ondas piloto hasta convertirla en lo que ahora se llama teoría de De Broglie-Bohm. La propia teoría de De Broglie-Bohm podría haber pasado desapercibida para la mayoría de los físicos si no hubiera sido defendida por John Bell, quien también respondió a las objeciones a ella. En 1987, John Bell redescubrió el trabajo de Grete Hermann y así mostró a la comunidad física que las objeciones de Pauli y von Neumann sólo demostraban que la teoría de la onda piloto no tenía localidad.

Yves Couder y sus compañeros de trabajo informaron en 2010 de un sistema de ondas piloto macroscópicas en forma de gotas andantes. Se decía que este sistema presentaba un comportamiento de onda piloto, hasta ahora considerado reservado a los fenómenos microscópicos. Sin embargo, desde 2015, dos grupos estadounidenses y un equipo danés dirigidos por Tomas Bohr (nieto de Niels Bohr) han llevado a cabo experimentos de dinámica de fluidos más cuidadosos. Estos nuevos experimentos no han replicado los resultados del experimento de 2010 a partir de 2018.

La teoría de la onda piloto

Principios

La teoría de la onda piloto es una teoría de variables ocultas. Como consecuencia:

la teoría tiene realismo (que significa que sus conceptos existen independientemente del observador);
la teoría tiene determinismo.

Las posiciones de las partículas se consideran las variables ocultas. El observador no conoce los valores precisos de estas variables; No pueden conocerlos precisamente porque cualquier medida los perturba. Por otro lado, el observador se define no por la función de onda de sus propios átomos sino por los átomos ' posiciones. Entonces, lo que uno ve a su alrededor son también las posiciones de las cosas cercanas, no sus funciones de olas.

Una colección de partículas tiene una onda de materia asociada que evoluciona de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. Cada partícula sigue una trayectoria determinista, que se guía por la función de onda; Colectivamente, la densidad de las partículas se ajusta a la magnitud de la función de onda. La función de onda no está influenciada por la partícula y puede existir también como una función de onda vacía.

La teoría saca a la luz la no localidad que está implícita en la formulación no relativista de la mecánica cuántica y la utiliza para satisfacer el teorema de Bell. Se puede demostrar que estos efectos no locales son compatibles con el teorema de la no comunicación, que impide su uso para comunicaciones más rápidas que la luz y, por lo tanto, son empíricamente compatibles con la relatividad.

Análogo macroscópico

Couder, Fort, et al. afirmaron que las gotas de aceite macroscópica en un baño de fluido vibratorio pueden usarse como un modelo analógico de ondas piloto; Una gota localizada crea un campo de ondas periódicas a su alrededor. Propusieron que la interacción resonante entre la gotita y su propio campo de onda exhibe un comportamiento análogo a las partículas cuánticas: interferencia en el experimento de doble cola, túnel impredecible (dependiendo de una manera complicada de un estado de campo prácticamente oculto), que una partícula (que una partícula tiene que ' encontrar una resonancia ' con perturbaciones de campo que crea, después de una órbita, su fase interna tiene que volver al estado inicial) y el efecto Zeeman. Los intentos de reproducir estos experimentos han demostrado que las interacciones de la duplicación de pared en lugar de la difracción o la interferencia de la onda piloto pueden ser responsables de los patrones hidrodinámicos observados, que son diferentes de los patrones de interferencia inducidos por SLIT exhibidos por las partículas cuánticas.

fundaciones matemáticas

Para derivar la onda piloto De Broglie-Bohm para un electrón, el lagrangiano cuántico

{displaystyle L(t)={frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),}

Donde ${displaystyle V}$ es la energía potencial, ${displaystyle v}$ es la velocidad y ${displaystyle Q}$ es el potencial asociado con la fuerza cuántica (la partícula que está siendo empujada por la función de onda), se integra a lo largo de precisamente un camino (el que el electrón realmente sigue). Esto conduce a la siguiente fórmula para el propagador Bohm:

{displaystyle K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={frac {1}{J(t)^{frac {1}{2}}}}exp left[{frac {i}{hbar }}int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t),dtright].}

Este propagador permite realizar un seguimiento preciso del electrón con el tiempo bajo la influencia del potencial cuántico ${displaystyle Q}$ .

Derivación

de la ecuación de Schrödinger

La teoría de las ondas piloto se basa en la dinámica Hamilton-Jacobi, en lugar de la dinámica lagrangiana o Hamiltoniana. Usando la ecuación Hamilton-Jacobi

{displaystyle Hleft(,{vec {x}},,;{vec {nabla }}_{!x},S,,;t,right)+{partial S over partial t}left(,{vec {x}},,t,right)=0}

es posible derivar la ecuación de Schrödinger:

Considere una partícula clásica – cuya posición no se conoce con certeza. Debemos tratarlo estadísticamente, así que sólo la densidad de probabilidad ${displaystyle rho ({vec {x}},t)}$ es conocido. Debe conservarse la probabilidad, es decir. ${displaystyle int rho,mathrm {d} ^{3}{vec {x}}=1}$ para cada uno ${displaystyle t}$ . Por lo tanto, debe satisfacer la ecuación de continuidad

{displaystyle {frac {,partial rho,}{partial t}}=-{vec {nabla }}cdot (rho,{vec {v}})qquad qquad (1)}

Donde ${displaystyle,{vec {v}}({vec {x}},t),}$ es la velocidad de la partícula.

En la formulación Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica, la velocidad es dada por ${displaystyle;{vec {v}}({vec {x}},t)={frac {1}{,m,}},{vec {nabla }}_{!x}S({vec {x}},,t);}$ Donde ${displaystyle,S({vec {x}},t),}$ es una solución de la ecuación Hamilton-Jacobi

{displaystyle -{frac {partial S}{partial t}}={frac {;left|,nabla S,right|^{2},}{2m}}+{tilde {V}}qquad qquad (2)}

${displaystyle,(1),}$ y ${displaystyle,(2),}$ se puede combinar en una sola ecuación compleja introduciendo la función compleja ${displaystyle;psi ={sqrt {rho,}},e^{frac {,i,S,}{hbar }};,}$ entonces las dos ecuaciones son equivalentes a

{displaystyle i,hbar,{frac {,partial psi,}{partial t}}=left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+{tilde {V}}-Qright)psi quad }

con

{displaystyle;Q=-{frac {;hbar ^{2},}{,2m,}}{frac {nabla ^{2}{sqrt {rho,}}}{sqrt {rho,}}}~.}

La ecuación Schrödinger dependiente del tiempo se obtiene si empezamos con ${displaystyle;{tilde {V}}=V+Q;,}$ el potencial habitual con un potencial cuántico extra ${displaystyle Q}$ . El potencial cuántico es el potencial de la fuerza cuántica, que es proporcional (en aproximación) a la curvatura de la amplitud de la función de onda.

Tenga en cuenta que este potencial es el mismo que aparece en las ecuaciones de Madelung, un análogo clásico de la ecuación de Schrödinger.

Formulación matemática para una sola partícula

La onda de materia de De Broglie se describe mediante la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

{displaystyle i,hbar,{frac {,partial psi,}{partial t}}=left(-{frac {hbar ^{2}}{,2m,}}nabla ^{2}+Vright)psi quad }

La función de onda compleja se puede representar como:

${displaystyle psi ={sqrt {rho,}};exp left({frac {i,S}{hbar }}right)~}$

Al conectar esto a la ecuación Schrödinger, uno puede derivar dos ecuaciones nuevas para las variables reales. La primera es la ecuación de continuidad para la densidad de probabilidad ${displaystyle,rho,:}$

{displaystyle {frac {,partial rho,}{,partial t,}}+{vec {nabla }}cdot left(rho,{vec {v}}right)=0~,}

donde el campo de velocidad está determinado por la “ecuación de guía”

{displaystyle {vec {v}}left(,{vec {r}},,t,right)={frac {1}{,m,}},{vec {nabla }}Sleft(,{vec {r}},,t,right)~.}

Según la teoría de la onda piloto, la partícula puntual y la onda de materia son entidades físicas reales y distintas (a diferencia de la mecánica cuántica estándar, donde las partículas y las ondas se consideran las mismas entidades, conectadas por la dualidad onda-partícula). La onda piloto guía el movimiento de las partículas puntuales como lo describe la ecuación de guía.

La mecánica cuántica ordinaria y la teoría de ondas piloto se basan en la misma ecuación diferencial parcial. La diferencia principal es que en la mecánica cuántica ordinaria, la ecuación Schrödinger está conectada a la realidad por el postulado del Born, lo que indica que la densidad de probabilidad de la posición de la partícula es dada por ${displaystyle;rho =|psi |^{2}~.}$ La teoría de las ondas piloto considera que la ecuación de orientación es la ley fundamental, y ve la regla del Born como un concepto derivado.

La segunda ecuación es una ecuación de Hamilton-Jacobi modificada para la acción $S$ :

{displaystyle -{frac {partial S}{partial t}}={frac {;left|,{vec {nabla }}S,right|^{2},}{,2m,}}+V+Q~,}

donde $Q$ es el potencial cuántico definido por

{displaystyle Q=-{frac {hbar ^{2}}{,2m,}}{frac {nabla ^{2}{sqrt {rho,}}}{sqrt {rho,}}}~.}

Si decidimos ignorar $Q$ , nuestra ecuación se reduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi de una partícula puntual clásica. Así, el potencial cuántico es responsable de todos los misteriosos efectos de la mecánica cuántica.

También se puede combinar la ecuación de Hamilton-Jacobi modificada con la ecuación de guía para derivar una ecuación de movimiento cuasi-newtoniana.

{displaystyle m,{frac {d}{dt}},{vec {v}}=-{vec {nabla }}(V+Q)~,}

donde la derivada del tiempo hidrodinámico se define como

{displaystyle {frac {d}{dt}}={frac {partial }{,partial t,}}+{vec {v}}cdot {vec {nabla }}~.}

Formulación matemática para múltiples partículas

La ecuación Schrödinger para la función de onda de muchos cuerpos ${displaystyle psi ({vec {r}}_{1},{vec {r}}_{2},cdotst)}$ es dado por

{displaystyle ihbar {frac {partial psi }{partial t}}=left(-{frac {hbar ^{2}}{2}}sum _{i=1}^{N}{frac {nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}+V(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},cdots mathbf {r} _{N})right)psi }

La función de onda compleja se puede representar como:

{displaystyle psi ={sqrt {rho,}};exp left({frac {i,S}{hbar }}right)}

La onda piloto guía el movimiento de las partículas. La ecuación guía para la j-ésima partícula es:

{displaystyle {vec {v}}_{j}={frac {nabla _{j}S}{m_{j}}};.}

La velocidad de la j-ésima partícula depende explícitamente de las posiciones de las otras partículas. Esto significa que la teoría es no local.

Función de onda vacía

Lucien Hardy y John Stewart Bell han enfatizado que en la visión de la mecánica cuántica de De Broglie-Bohm pueden existir ondas vacías, representadas por funciones de onda que se propagan en el espacio y el tiempo pero que no transportan energía ni impulso., y no asociado con una partícula. Albert Einstein denominó el mismo concepto ondas fantasma (o "Gespensterfelder", campos fantasma). La noción de función de onda vacía ha sido discutida de manera controvertida. Por el contrario, la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica no exige funciones de onda vacías.

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