Teoría de la estabilidad

En matemáticas, la teoría de la estabilidad se ocupa de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales y de las trayectorias de sistemas dinámicos bajo pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales. La ecuación del calor, por ejemplo, es una ecuación diferencial parcial estable porque pequeñas perturbaciones de los datos iniciales conducen a pequeñas variaciones de temperatura en un momento posterior como resultado del principio del máximo. En ecuaciones diferenciales parciales se pueden medir las distancias entre funciones utilizando normas Lp o la norma sup, mientras que en geometría diferencial se puede medir la distancia entre espacios utilizando la distancia de Gromov-Hausdorff.
En sistemas dinámicos, una órbita se denomina estable de Lyapunov si la órbita delantera de cualquier punto se encuentra en un entorno lo suficientemente pequeño o permanece en un entorno pequeño (pero quizás más grande). Se han desarrollado varios criterios para demostrar la estabilidad o inestabilidad de una órbita. En circunstancias favorables, la cuestión puede reducirse a un problema bien estudiado que involucra valores propios de matrices. Un método más general involucra funciones de Lyapunov. En la práctica, se aplica cualquiera de varios criterios de estabilidad diferentes.
Visión general en sistemas dinámicos
Muchas partes de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos tratan de las propiedades asintóticas de las soluciones y las trayectorias (qué sucede con el sistema después de un largo período de tiempo). El tipo de comportamiento más simple se exhibe en los puntos de equilibrio, o puntos fijos, y en las órbitas periódicas. Si se entiende bien una órbita particular, es natural preguntarse a continuación si un pequeño cambio en la condición inicial conducirá a un comportamiento similar. La teoría de la estabilidad aborda las siguientes preguntas: ¿una órbita cercana permanecerá indefinidamente cerca de una órbita dada? ¿Convergerá a la órbita dada? En el primer caso, la órbita se llama estable; en el segundo caso, se llama asintóticamente estable y se dice que la órbita dada es atrayente.
Una solución de equilibrio a un sistema autónomo de primeras ecuaciones diferenciales comunes se llama:
- estable si para cada (pequeño) , existe un tal que cada solución tener condiciones iniciales a distancia i.e. del equilibrio permanece a poca distancia i.e. para todos .
- asintóticamente estable si es estable y, además, existe tal como sea entonces como .
La estabilidad significa que las trayectorias no cambian demasiado ante pequeñas perturbaciones. La situación opuesta, en la que una órbita cercana se ve repelida por la órbita dada, también es interesante. En general, perturbar el estado inicial en algunas direcciones da como resultado que la trayectoria se acerque asintóticamente a la dada y que en otras direcciones se aleje de ella. También puede haber direcciones en las que el comportamiento de la órbita perturbada sea más complicado (ni converja ni escape completamente), y entonces la teoría de la estabilidad no brinda suficiente información sobre la dinámica.
Una de las ideas claves de la teoría de la estabilidad es que el comportamiento cualitativo de una órbita bajo perturbaciones puede analizarse utilizando la linealización del sistema cerca de la órbita. En particular, en cada equilibrio de un sistema dinámico suave con un espacio de fases de dimensión n, existe una determinada matriz n×n A cuyos valores propios caracterizan el comportamiento de los puntos cercanos (teorema de Hartman-Grobman). Más precisamente, si todos los valores propios son números reales negativos o números complejos con partes reales negativas, entonces el punto es un punto fijo de atracción estable, y los puntos cercanos convergen hacia él a una tasa exponencial, cf estabilidad de Lyapunov y estabilidad exponencial. Si ninguno de los valores propios es puramente imaginario (o cero), entonces las direcciones de atracción y repulsión están relacionadas con los espacios propios de la matriz A con valores propios cuya parte real es negativa y, respectivamente, positiva. Se conocen afirmaciones análogas para perturbaciones de órbitas más complicadas.
Estabilidad de los puntos fijos en 2D

El caso paradigmático es la estabilidad del origen bajo la ecuación diferencial lineal autónoma Donde y es una matriz de 2 por 2.
A veces realizaríamos cambios de base por para alguna matriz invertible , que da . Dijimos es " en la nueva base". Desde y , podemos clasificar la estabilidad de origen utilizando y , mientras utiliza libremente el cambio de base.
Clasificación de los tipos de estabilidad
Si , entonces el rango de es cero o uno.
- Si el rango es cero, entonces Y no hay flujo.
- Si el rango es uno, entonces y son ambos una dimensión.
- Si , entonces deja lapso , y dejar ser un preimage de , entonces entra base, , y por lo tanto el flujo es un derramamiento a lo largo de dirección. En este caso, .
- Si , entonces deja lapso y dejar lapso , entonces entra base, para un número real no cero .
- Si , entonces es inestable, divergiendo a una tasa de desde traducción paralela de .
- Si , entonces es estable, convergendo a una tasa de a traducción paralela de .
Si , primero encontramos la forma normal de Jordania de la matriz, para obtener una base en que es una de las tres formas posibles:
- Donde .
- Si Entonces . El origen es un fuente, con curvas integrales de forma
- Del mismo modo . El origen es un fregadero.
- Si o Entonces , y el origen es punto de entristecimiento. con curvas integrales de forma .
- Donde . Esto puede ser simplificado por un cambio de base con , después de que . Podemos resolver explícitamente para con . La solución es con . Este caso se llama "degenerado nodo". Las curvas integrales en esta base son dilaciones centrales de , más el eje x.
- Si , entonces el origen es un fuente degenerada. De lo contrario es un disipador degenerado.
- En ambos casos,
- Donde . En este caso, .
- Si , entonces esto es un Fregadero espiral. En este caso, . Las líneas integrales son espirales logarítmicas.
- Si , entonces esto es un fuente espiral. En este caso, . Las líneas integrales son espirales logarítmicas.
- Si , entonces esto es un rotación (""estabilidad neutral") a un ritmo , moviéndose ni hacia ni lejos de origen. En este caso, . Las líneas integrales son círculos.
El resumen se muestra en el diagrama de estabilidad de la derecha. En cada caso, excepto el caso , los valores permite una clasificación única del tipo de flujo.
Para el caso especial , hay dos casos que no pueden distinguirse . En ambos casos, tiene sólo un eigenvalue, con multiplicidad algebraica 2.
- Si el eigenvalue tiene un eigenespacio bidimensional ( Multiplicidad geométrica 2), entonces el sistema es un nodo central (A veces se llama un "estrella", o "ganglios críticos") que es una fuente (cuando ) o un fregadero (cuando ).
- Si tiene un eigenespacio unidimensional ( Multiplicidad geométrica 1), entonces el sistema es un degenerado nodo (si ) o un flujo de carga (si ).
Flujo de conservación de zonas
Cuando , tenemos , por lo que el flujo es la conservación del área. En este caso, el tipo de flujo se clasifica por .
- Si , entonces es una rotación ("estabilidad neutra") alrededor del origen.
- Si , entonces es un flujo estancado.
- Si , entonces el origen es un punto de silla.
Estabilidad de los puntos fijos
El tipo más simple de una órbita es un punto fijo o un equilibrio. Si un sistema mecánico está en un estado de equilibrio estable, un pequeño impulso dará como resultado un movimiento localizado, por ejemplo, pequeñas oscilaciones como en el caso de un péndulo. En un sistema con amortiguación, un estado de equilibrio estable es además asintóticamente estable. Por otro lado, para un equilibrio inestable, como una bola que descansa en una parte superior de una colina, ciertos empujes pequeños darán como resultado un movimiento con una gran amplitud que puede o no converger al estado original.
Hay pruebas útiles de estabilidad para el caso de un sistema lineal. La estabilidad de un sistema no lineal a menudo se puede inferir a partir de la estabilidad de su linealización.
Mapas
LET f : r → r ser una función continuamente diferenciable con una fija punto a , f ( a ) = < i> a . Considere el sistema dinámico obtenido iterando la función f ::
El punto fijo a es estable si el valor absoluto de la derivada de f en a es estrictamente menor que 1, e inestable si es estrictamente mayor que 1. Esto se debe a que cerca del punto a, la función f tiene una aproximación lineal con pendiente f'(a):
así
lo que significa que la derivada mide la velocidad a la que las iteraciones sucesivas se acercan al punto fijo a o divergen de él. Si la derivada en a es exactamente 1 o −1, entonces se necesita más información para decidir la estabilidad.
Existe un criterio análogo para una función continuamente diferenciable f: Rn → Rn con un punto fijo a, expresado en términos de su matriz jacobiana en a, Ja(f). Si todos los valores propios de J son números reales o complejos con valor absoluto estrictamente menor que 1, entonces a es un punto fijo estable; Si al menos uno de ellos tiene un valor absoluto estrictamente mayor que 1, entonces a es inestable. Al igual que para n=1, el caso en el que el valor absoluto más grande sea 1 debe investigarse más a fondo: la prueba de la matriz jacobiana no es concluyente. El mismo criterio se aplica de manera más general a los difeomorfismos de una variedad suave.
Sistemas autónomos lineales
La estabilidad de los puntos fijos de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes se puede analizar utilizando los valores propios de la matriz correspondiente.
Un sistema autónomo
donde x(t) ∈ Rn y A es una matriz n×n con entradas reales, tiene una solución constante
(En un idioma diferente, el origen 0 ∈ Rn es un punto de equilibrio del sistema dinámico correspondiente.) Esta solución es asintóticamente estable como t → ∞ ("en el futuro") si y solo si para todos los valores propios λ de A, Re(λ) < 0. De manera similar, es asintóticamente estable como t → −∞ ("en el pasado") si y solo si para todos los valores propios λ de A, Re(λ) > 0. Si existe un valor propio λ de A con Re(λ) > 0 entonces la solución es inestable para t → ∞.
La aplicación práctica de este resultado, para decidir la estabilidad del origen de un sistema lineal, se ve facilitada por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Los valores propios de una matriz son las raíces de su polinomio característico. Un polinomio de una variable con coeficientes reales se denomina polinomio de Hurwitz si las partes reales de todas las raíces son estrictamente negativas. El teorema de Routh-Hurwitz implica una caracterización de los polinomios de Hurwitz mediante un algoritmo que evita el cálculo de las raíces.
Sistemas autónomos no lineales
La estabilidad asintótica de puntos fijos de un sistema no lineal se puede establecer a menudo utilizando el teorema de Hartman-Grobman.
Supongamos que v es un campo vectorial C1 en Rn que se anula en un punto p, v(p) = 0. Entonces el sistema autónomo correspondiente
tiene una solución constante
Sea Jp(v) la matriz jacobiana n×n del campo vectorial v en el punto p. Si todos los valores propios de J tienen una parte real estrictamente negativa, entonces la solución es asintóticamente estable. Esta condición se puede comprobar utilizando el criterio de Routh-Hurwitz.
Función de Lyapunov para sistemas dinámicos generales
Una forma general de establecer la estabilidad de Lyapunov o la estabilidad asintótica de un sistema dinámico es mediante las funciones de Lyapunov.
Véase también
- Teoría de caos
- La estabilidad de Lyapunov
- Hiperstabilidad
- Estabilidad lineal
- Estabilidad orbital
- criterio de estabilidad
- Radio de estabilidad
- Estabilidad estructural
- Análisis de la estabilidad de von Neumann
Referencias
- ^ Matemáticas de Egwald - Álgebra lineal: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales: Análisis de Estabilidad Lineal Accedido 10 octubre 2019.
- ^ "Nodo - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org. Retrieved 2023-03-30.
- Philip Holmes y Eric T. Shea-Brown (ed.). "Estabilidad". Scholarpedia.
Enlaces externos
- Estable Equilibria de Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project.