Teoría de la dinamo

Ilustración del mecanismo de dinamo que genera el campo magnético de la Tierra: corrientes de convección de metal líquido en el núcleo exterior de la Tierra, impulsadas por el flujo de calor desde el núcleo interno, organizadas en rollos por la fuerza Coriolis, generando corrientes eléctricas circulantes, que soportan el campo magnético.

En física, la teoría de la dinamo propone un mecanismo por el cual un cuerpo celeste como la Tierra o una estrella genera un campo magnético. La teoría de la dínamo describe el proceso a través del cual un fluido que gira, convección y conductor eléctrico puede mantener un campo magnético en escalas de tiempo astronómicas. Se cree que una dínamo es la fuente del campo magnético de la Tierra y los campos magnéticos de Mercurio y los planetas jovianos.

Historia de la teoría

Cuando William Gilbert publicó de Magnete en 1600, concluyó que la Tierra es magnética y propuso la primera hipótesis sobre el origen de este magnetismo: magnetismo permanente como el que se encuentra en la piedra imán. En 1919, Joseph Larmor propuso que una dínamo podría estar generando el campo. Sin embargo, incluso después de que presentó su hipótesis, algunos científicos destacados propusieron explicaciones alternativas. El ganador del Premio Nobel Patrick Blackett hizo una serie de experimentos buscando una relación fundamental entre el momento angular y el momento magnético, pero no encontró ninguna.

Walter M. Elsasser, considerado un "padre" de la teoría de la dínamo actualmente aceptada como una explicación del magnetismo de la Tierra, propuso que este campo magnético era el resultado de corrientes eléctricas inducidas en el núcleo exterior fluido de la Tierra. Reveló la historia del campo magnético de la Tierra siendo pionero en el estudio de la orientación magnética de los minerales en las rocas.

Para mantener el campo magnético contra el decaimiento óhmico (que ocurriría para el campo dipolar en 20 000 años), el núcleo externo debe estar en convección. La convección es probablemente una combinación de convección térmica y composicional. El manto controla la velocidad a la que se extrae el calor del núcleo. Las fuentes de calor incluyen energía gravitatoria liberada por la compresión del núcleo, energía gravitacional liberada por el rechazo de elementos ligeros (probablemente azufre, oxígeno o silicio) en el límite interno del núcleo a medida que crece, calor latente de cristalización en el límite interno del núcleo, y radiactividad de potasio, uranio y torio.

En los albores del siglo XXI, el modelado numérico del campo magnético de la Tierra no se ha demostrado con éxito. Los modelos iniciales se centran en la generación de campos por convección en el núcleo externo fluido del planeta. Fue posible mostrar la generación de un fuerte campo similar al de la Tierra cuando el modelo asumió una temperatura uniforme en la superficie del núcleo y viscosidades excepcionalmente altas para el fluido del núcleo. Los cálculos que incorporaron valores de parámetros más realistas produjeron campos magnéticos que eran menos parecidos a los de la Tierra, pero indicaron que los refinamientos del modelo en última instancia pueden conducir a un modelo analítico preciso. Ligeras variaciones en la temperatura de la superficie del núcleo, en el rango de unos pocos milikelvins, dan como resultado aumentos significativos en el flujo convectivo y producen campos magnéticos más realistas.

Definición formal

La teoría de la dínamo describe el proceso a través del cual un fluido giratorio, convectivo y conductor de electricidad actúa para mantener un campo magnético. Esta teoría se utiliza para explicar la presencia de campos magnéticos anómalos de larga duración en los cuerpos astrofísicos. El fluido conductor en la geodinamo es hierro líquido en el núcleo exterior, y en la dínamo solar es gas ionizado en la tacoclina. La teoría dínamo de los cuerpos astrofísicos utiliza ecuaciones magnetohidrodinámicas para investigar cómo el fluido puede regenerar continuamente el campo magnético.

Alguna vez se creyó que el dipolo, que comprende gran parte del campo magnético de la Tierra y está desalineado a lo largo del eje de rotación en 11,3 grados, era causado por la magnetización permanente de los materiales de la Tierra. Esto significa que la teoría de la dínamo se utilizó originalmente para explicar el campo magnético del Sol en su relación con el de la Tierra. Sin embargo, esta hipótesis, que fue inicialmente propuesta por Joseph Larmor en 1919, ha sido modificada debido a extensos estudios de variación secular magnética, paleomagnetismo (incluidas las inversiones de polaridad), sismología y la abundancia de elementos del sistema solar. Además, la aplicación de las teorías de Carl Friedrich Gauss a las observaciones magnéticas mostró que el campo magnético de la Tierra tenía un origen interno, más que externo.

Hay tres requisitos para que una dinamo funcione:

• Un líquido conductor eléctrico medio
• Energía cinética proporcionada por rotación planetaria
• Una fuente de energía interna para conducir movimientos convectivos dentro del fluido.

En el caso de la Tierra, el campo magnético es inducido y mantenido constantemente por la convección de hierro líquido en el núcleo externo. Un requisito para la inducción de campo es un fluido giratorio. La rotación en el núcleo exterior es proporcionada por el efecto Coriolis causado por la rotación de la Tierra. La fuerza de Coriolis tiende a organizar movimientos de fluidos y corrientes eléctricas en columnas (ver también columnas de Taylor) alineadas con el eje de rotación. La inducción o generación de campo magnético se describe mediante la ecuación de inducción:

∂ ∂ B∂ ∂ t=.. Silencio Silencio 2B+Silencio Silencio × × ()u× × B){displaystyle {frac {partial mathbf {B}{partial t}=eta nabla ^{2}mathbf {B} +nabla times (mathbf {u} times mathbf {B}}}}

Donde u es velocidad, B es el campo magnético, t es tiempo, y .. =1/()σ σ μ μ ){displaystyle eta =1/(sigma mu)} es la difusión magnética con σ σ {displaystyle sigma } conductividad eléctrica y μ μ {displaystyle mu } permeabilidad. La relación del segundo término en el lado derecho al primer término da el número magnético Reynolds, una relación sin dimensiones de la advección del campo magnético a la difusión.

Calefacción de marea apoyada en una dinamo

Las fuerzas de marea entre los cuerpos celestes en órbita provocan fricción que calienta sus interiores. Esto se conoce como calentamiento por mareas y ayuda a mantener el interior en estado líquido. Se requiere un interior líquido que pueda conducir electricidad para producir una dínamo. Encelado de Saturno e Io de Júpiter tienen suficiente calentamiento por marea para licuar sus núcleos internos, pero es posible que no creen una dínamo porque no pueden conducir la electricidad. Mercurio, a pesar de su pequeño tamaño, tiene un campo magnético, porque tiene un núcleo líquido conductor creado por su composición de hierro y la fricción resultante de su órbita altamente elíptica. Se teoriza que la Luna alguna vez tuvo un campo magnético, basado en evidencia de rocas lunares magnetizadas, debido a su breve distancia más cercana a la Tierra creando un calentamiento por marea. Una órbita y rotación de un planeta ayuda a proporcionar un núcleo líquido y complementa la energía cinética que respalda una acción de dínamo.

Teoría cinemática de la dínamo

En la teoría de la dínamo cinemática, el campo de velocidad está prescrito, en lugar de ser una variable dinámica: el modelo no contempla la distorsión del flujo en respuesta al campo magnético. Este método no puede proporcionar el comportamiento variable en el tiempo de una dínamo caótica totalmente no lineal, pero se puede utilizar para estudiar cómo varía la intensidad del campo magnético con la estructura del flujo y la velocidad.

Usando las ecuaciones de Maxwell simultáneamente con el rotacional de la ley de Ohm, se puede derivar lo que es básicamente una ecuación lineal de valores propios para campos magnéticos (B), lo cual se puede hacer suponiendo que el campo magnético es independiente del campo de velocidad. Se llega a un número de Reynolds magnético crítico, por encima del cual la fuerza del flujo es suficiente para amplificar el campo magnético impuesto, y por debajo del cual el campo magnético se disipa.

Medida práctica de posibles dínamos

La característica más funcional de la teoría cinemática de la dinamo es que se puede usar para probar si un campo de velocidad es o no capaz de acción de dinamo. Al aplicar experimentalmente un cierto campo de velocidad a un pequeño campo magnético, se puede observar si el campo magnético tiende a crecer (o no) en respuesta al flujo aplicado. Si el campo magnético crece, entonces el sistema es capaz de acción de dínamo o es una dínamo, pero si el campo magnético no crece, simplemente se lo denomina "no es una dínamo".

Un método análogo llamado paradigma de membrana es una forma de observar los agujeros negros que permite que el material cerca de sus superficies se exprese en el lenguaje de la teoría de la dinamo.

Ruptura espontánea de una supersimetría topológica

La dínamo cinemática también puede verse como el fenómeno de la ruptura espontánea de la supersimetría topológica de la ecuación diferencial estocástica asociada relacionada con el flujo de la materia de fondo. Dentro de la teoría supersimétrica estocástica, esta supersimetría es una propiedad intrínseca de todas las ecuaciones diferenciales estocásticas, su interpretación es que el espacio de fase del modelo preserva la continuidad a través de flujos de tiempo continuos. Cuando la continuidad de ese flujo se rompe espontáneamente, el sistema se encuentra en el estado estocástico de caos determinista. En otras palabras, la dínamo cinemática surge debido al flujo caótico en la materia de fondo subyacente.

Teoría de la dínamo no lineal

La aproximación cinemática se vuelve inválida cuando el campo magnético se vuelve lo suficientemente fuerte como para afectar los movimientos del fluido. En ese caso, el campo de velocidad se ve afectado por la fuerza de Lorentz, por lo que la ecuación de inducción ya no es lineal en el campo magnético. En la mayoría de los casos, esto conduce a una extinción de la amplitud de la dínamo. Estas dínamos a veces también se denominan dínamos hidromagnéticos. Prácticamente todas las dínamos en astrofísica y geofísica son dínamos hidromagnéticos.

La idea principal de la teoría es que cualquier pequeño campo magnético existente en el núcleo exterior crea corrientes en el fluido móvil allí debido a la fuerza de Lorentz. Estas corrientes crean más campo magnético debido a la ley de Ampere. Con el movimiento fluido, las corrientes se llevan de una manera que el campo magnético se fortalece (siempre y cuando u⋅ ⋅ ()J× × B){displaystyle ;mathbf {u} cdot (mathbf {J} times mathbf {B});} es negativo). Así un campo magnético "semilla" puede ser más fuerte y más fuerte hasta que alcance algún valor relacionado con las fuerzas no magnéticas existentes.

Los modelos numéricos se utilizan para simular dínamos completamente no lineales. Se utilizan las siguientes ecuaciones:

• La ecuación de inducción, presentada arriba.
• Ecuaciones de Maxwell para el campo eléctrico insignificante:

Silencio Silencio ⋅ ⋅ B=0{displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0}

Silencio Silencio × × B=μ μ 0J{displaystyle nabla times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J}

• La ecuación de continuidad para la conservación de masa, para la cual se utiliza la aproximación Bousinesq a menudo:

Silencio Silencio ⋅ ⋅ u=0,{displaystyle nabla cdot mathbf {u} =0,}

• La ecuación Navier-Stokes para la conservación del impulso, de nuevo en la misma aproximación, con la fuerza magnética y la fuerza de gravitación como las fuerzas externas:

DuDt=− − 1*** *** 0Silencio Silencio p+.. Silencio Silencio 2u+*** *** .g+2Ω Ω × × u+Ω Ω × × Ω Ω × × R+1*** *** 0J× × B,{displaystyle {frac {fnMitbf} {fnMicroc} {fnMicroc}{rho ¿Qué? "Mathbf" +2mathbf {Omega } times mathbf {u} +mathbf {Omega } times mathbf {Omega } times mathbf {R} +{frac {1}{rho ♪♪♪♪Mathbf {J} times mathbf {B} ~,}

Donde .. {displaystyle ,nu ,} es la viscosidad cinemática, *** *** 0{displaystyle ,rho _{0},}es la densidad media y *** *** .{displaystyle rho} es la perturbación de densidad relativa que proporciona buoyancy (para la convección térmica *** *** .=α α Δ Δ T{displaystyle ;rho '=alpha Delta T;} Donde α α {displaystyle ,alpha ,} es coeficiente de expansión térmica), Ω Ω {displaystyle ,Omega ,} es la tasa de rotación de la Tierra, y J{displaystyle ,mathbf {J} ,} es la densidad de corriente eléctrica.

• Una ecuación de transporte, generalmente de calor (a veces de concentración de elementos de luz):

∂ ∂ T∂ ∂ t=κ κ Silencio Silencio 2T+ε ε {displaystyle {frac {fnMicrosoft Sans Serif} T,}{partial t}=kappa nabla ^{2}T+epsilon }

Donde T es temperatura, κ κ =k/*** *** cp{displaystyle ;kappa =k/rho C_{p};} es la difusividad térmica con k conductividad térmica, cp{displaystyle ¿Qué? capacidad de calor y *** *** {displaystyle rho } densidad y ε ε {displaystyle ,epsilon ,} es una fuente de calor opcional. A menudo la presión es la presión dinámica, con la presión hidrostática y el potencial centrípeto eliminado.

Estas ecuaciones luego se adimensionalizan, introduciendo los parámetros adimensionales,

Ra=gα α TD3.. κ κ ,E=.. Ω Ω D2,Pr=.. κ κ ,Pm=.. .. {displaystyle Oh, Dios mío. }{,Omega D^{2},};,quad P_{mathsf {}={frac {,nu ,nu, } {kappa };,quad P_{mathsf {m}={frac {,nu}{eta }

Donde R_a es el número Rayleigh, E el número Ekman, P_r y P_m el Prandtl y el número de Prandtl magnético. Escalada de campo magnético es a menudo en unidades número Elsasser B=()*** *** Ω Ω /σ σ )12.{displaystyle B=(rho Omega /sigma)^{frac {1}{2};.}

Conversión de energía entre energía magnética y cinemática

El producto escalar de la forma anterior de la ecuación Navier-Stokes con *** *** 0u{displaystyle ;rho _{0}mathbf {u};} da la tasa de aumento de la densidad de energía cinética, 12*** *** 0u2c{displaystyle ;{tfrac {2}rho _{0}u^{2}c;}En el lado izquierdo. El último término en el lado derecho es entonces u⋅ ⋅ ()J× × B){displaystyle ;mathbf {u} cdot (mathbf {J} times mathbf {B});}, la contribución local a la energía cinética debido a la fuerza Lorentz.

El producto escalar de la ecuación de inducción con ()1/μ μ 0)B{displaystyle (1/mu _{0})mathbf {B} da la tasa de aumento de la densidad de energía magnética, 12μ μ 0B2{displaystyle ;{tfrac {1}{2}mu _{0}B^{2};}En el lado izquierdo. El último término en el lado derecho es entonces ()1/μ μ 0)B⋅ ⋅ ()Silencio Silencio × × ()u× × B)).{displaystyle (1/mu _{0})mathbf {B} cdot left(nabla times left(mathbf {u} times mathbf {B}right)right);.} Puesto que la ecuación está integrada por volumen, este término equivale a un término límite (y con el doble uso de la identidad de producto triple escalar) a − − u⋅ ⋅ ()1μ μ 0()Silencio Silencio × × B)× × B)=− − u⋅ ⋅ ()J× × B){displaystyle ;-mathbf {u} cdot left({frac {1}{mu _{0}}left(nabla times mathbf {B} right)times mathbf {B} right)=-mathbf {u} cdot left(mathbf {J} times mathbf {B} right)~} (donde se utilizó una de las ecuaciones de Maxwell). Esta es la contribución local a la energía magnética debido al movimiento del fluido.

Así el término − − u⋅ ⋅ ()J× × B){displaystyle ;-mathbf {u} cdot (mathbf {J} times mathbf {B});} es la tasa de transformación de la energía cinética a la energía magnética. Esto tiene que ser no negativo al menos en parte del volumen, para que el dinamo produzca campo magnético.

A partir del diagrama anterior, no queda claro por qué este término debería ser positivo. Un argumento simple puede basarse en la consideración de los efectos netos. Para crear el campo magnético, la corriente eléctrica neta debe envolver el eje de rotación del planeta. En ese caso, para que el término sea positivo, el flujo neto de materia conductora debe ser hacia el eje de rotación. El diagrama solo muestra un flujo neto desde los polos hasta el ecuador. Sin embargo, la conservación de la masa requiere un flujo adicional desde el ecuador hacia los polos. Si ese flujo fuera a lo largo del eje de rotación, eso implica que la circulación se completaría con un flujo de los que se muestran hacia el eje de rotación, produciendo el efecto deseado.

Orden de magnitud del campo magnético creado por la dínamo de la Tierra

La fórmula anterior para la conversión de energía cinética a energía magnética, equivale a una tasa de trabajo realizada por una fuerza J× × B{displaystyle ;mathbf {J} times mathbf {B};} sobre el núcleo externo, cuya velocidad es u{displaystyle mathbf {u}. Este trabajo es el resultado de fuerzas no magnéticas que actúan en el fluido.

De ellas, la fuerza gravitacional y la fuerza centrífuga son conservativas y, por lo tanto, no tienen una contribución general al movimiento del fluido en circuitos cerrados. El número de Ekman (definido anteriormente), que es la relación entre las dos fuerzas restantes, a saber, la viscosidad y la fuerza de Coriolis, es muy bajo dentro del núcleo externo de la Tierra, porque su viscosidad es baja (1,2–1,5 × 10 ⁻² pascal-segundo) debido a su liquidez.

Así, la principal contribución temporal a la obra es de la fuerza Coriolis, cuyo tamaño es − − 2*** *** Ω Ω × × u,{displaystyle ;-2rho ,mathbf {Omega } times mathbf {u} ;,} aunque esta cantidad y J× × B{displaystyle mathbf {J} times mathbf {B} se relacionan sólo indirectamente y no son en general iguales localmente (porque se afectan unos a otros pero no en el mismo lugar y tiempo).

La densidad de corriente J es en sí misma el resultado del campo magnético según la ley de Ohm. Nuevamente, debido al movimiento de la materia y al flujo de corriente, este no es necesariamente el campo en el mismo lugar y momento. Sin embargo, estas relaciones aún pueden usarse para deducir órdenes de magnitud de las cantidades en cuestión.

En términos de orden de magnitud, JB♪ ♪ *** *** Ω Ω u{displaystyle ;J,Bsim rho ,Omega ,u;} y J♪ ♪ σ σ uB{displaystyle ;Jsim sigma uB;}, dar σ σ uB2♪ ♪ *** *** Ω Ω u,{displaystyle ;sigma ,u,B^{2}sim rho ,Omega ,u;,} o:

B♪ ♪ *** *** Ω Ω σ σ {displaystyle Bsim {sqrt {frac,rho ,Omega,}{sigma };}}

La razón exacta entre ambos lados es la raíz cuadrada del número de Elsasser.

Tenga en cuenta que la dirección de campo magnético no se puede inferir de esta aproximación (por lo menos no su signo) como aparece cuadrada, y es, de hecho, a veces invertida, aunque en general se encuentra en un eje similar al de Ω Ω {displaystyle mathbf {Omega }.

Para el núcleo exterior de la tierra, ρ es aproximadamente 10⁴ kg/m³ , Ω = 2π/día = 7,3 × 10 ⁻⁵/segundo y σ es aproximadamente 10⁷Ω⁻¹m⁻¹. Esto da 2,7 × 10⁻⁴ Tesla.

El campo magnético de un dipolo magnético tiene una dependencia cúbica inversa en la distancia, por lo que su orden de magnitud en la superficie terrestre se puede aproximar multiplicando el resultado anterior por {{{1}} } dando 2,5×10⁻⁵ Tesla, no muy lejos del valor medido de 3×10⁻⁵ Tesla en el ecuador.

Modelos numéricos

Una representación visual del modelo Glatzmaier antes de la inversión de dipole

En términos generales, los modelos de la geodinamo intentan producir campos magnéticos consistentes con los datos observados dadas ciertas condiciones y ecuaciones, como se menciona en las secciones anteriores. La implementación exitosa de las ecuaciones magnetohidrodinámicas fue de particular importancia porque impulsaron los modelos de dínamo a la autoconsistencia. Aunque los modelos de geodinamo son especialmente frecuentes, los modelos de dinamo no están necesariamente restringidos a la geodinamo; Los modelos de dínamo solar y general también son de interés. Estudiar modelos de dínamo tiene utilidad en el campo de la geofísica, ya que puede identificar cómo varios mecanismos forman campos magnéticos como los producidos por cuerpos astrofísicos como la Tierra y cómo hacen que los campos magnéticos muestren ciertas características, como inversiones de polos.

Las ecuaciones utilizadas en los modelos numéricos de dínamo son muy complejas. Durante décadas, los teóricos se limitaron a los modelos bidimensionales de dínamo cinemático descritos anteriormente, en los que se elige de antemano el movimiento del fluido y se calcula el efecto sobre el campo magnético. La progresión de modelos tridimensionales lineales a no lineales de dínamo se vio obstaculizada en gran medida por la búsqueda de soluciones a las ecuaciones magnetohidrodinámicas, que eliminan la necesidad de muchas de las suposiciones hechas en los modelos cinemáticos y permiten la autoconsistencia.

Representación visual del modelo Glatzmaier durante la inversión de dipole

Los primeros modelos de dínamo autoconsistentes, que determinan tanto los movimientos de fluidos como el campo magnético, fueron desarrollados por dos grupos en 1995, uno en Japón y otro en los Estados Unidos. Este último se hizo como modelo con respecto a la geodinamo y recibió mucha atención porque reprodujo con éxito algunas de las características del campo terrestre. Después de este avance, hubo un gran aumento en el desarrollo de modelos de dínamo tridimensionales razonables.

Aunque ahora existen muchos modelos autoconsistentes, existen diferencias significativas entre los modelos, tanto en los resultados que producen como en la forma en que se desarrollaron. Dada la complejidad de desarrollar un modelo de geodinamo, hay muchos lugares donde pueden ocurrir discrepancias, como cuando se hacen suposiciones que involucran los mecanismos que proporcionan energía para la dinamo, cuando se eligen valores para los parámetros usados en ecuaciones o cuando se normalizan ecuaciones. A pesar de las muchas diferencias que pueden ocurrir, la mayoría de los modelos tienen características compartidas como dipolos axiales claros. En muchos de estos modelos, también se han recreado con éxito fenómenos como la variación secular y las inversiones de polaridad geomagnética.

Observaciones

Una representación visual del modelo Glatzmaier después de la inversión de dipole

Se pueden hacer muchas observaciones a partir de modelos de dínamo. Los modelos se pueden usar para estimar cómo los campos magnéticos varían con el tiempo y se pueden comparar con los datos paleomagnéticos observados para encontrar similitudes entre el modelo y la Tierra. Sin embargo, debido a la incertidumbre de las observaciones paleomagnéticas, las comparaciones pueden no ser del todo válidas o útiles. Los modelos de geodínamo simplificados han mostrado relaciones entre el número de dínamo (determinado por la variación en las tasas de rotación en el núcleo exterior y la convección asimétrica especular (por ejemplo, cuando la convección favorece una dirección en el norte y la otra en el sur)) y también las inversiones de los polos magnéticos. como se encontraron similitudes entre la geodinamo y la dinamo del Sol. En muchos modelos, parece que los campos magnéticos tienen magnitudes algo aleatorias que siguen una tendencia normal cuyo promedio es cero. Además de estas observaciones, se pueden hacer observaciones generales sobre los mecanismos que alimentan la geodinamo en función de la precisión con la que el modelo refleja los datos reales recopilados de la Tierra.

Modelado moderno

La complejidad del modelado de dínamo es tan grande que los modelos de geodínamo están limitados por la potencia actual de las supercomputadoras, particularmente porque calcular el número de Ekman y Rayleigh del núcleo externo es extremadamente difícil y requiere una gran cantidad de cálculos.

Se han propuesto muchas mejoras en el modelado de dínamo desde el avance autoconsistente de 1995. Una sugerencia para estudiar los complejos cambios del campo magnético es aplicar métodos espectrales para simplificar los cálculos. En última instancia, hasta que se realicen mejoras considerables en el poder de la computadora, los métodos para calcular modelos de dínamo realistas deberán hacerse más eficientes, por lo que mejorar los métodos para calcular el modelo es de gran importancia para el avance del modelado numérico de dínamo.

Personas notables

• Stanislav I. Braginsky, geofísico de investigación