Teoría de la bifurcación

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La teoría de la bifurcación es el estudio matemático de los cambios en la estructura cualitativa o topológica de una familia de curvas dada, como las curvas integrales de una familia de campos vectoriales y las soluciones de una familia de ecuaciones diferenciales. Más comúnmente aplicada al estudio matemático de sistemas dinámicos, una bifurcación ocurre cuando un pequeño cambio suave realizado en los valores de los parámetros (los parámetros de bifurcación) de un sistema provoca un cambio 'cualitativo' o topológico repentino en su comportamiento. Las bifurcaciones ocurren tanto en sistemas continuos (descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias, de retardo o diferenciales parciales) como en sistemas discretos (descritos por mapas).

El nombre "bifurcación" fue introducido por primera vez por Henri Poincaré en 1885 en el primer artículo matemático que mostraba tal comportamiento. Henri Poincaré también nombró más tarde varios tipos de puntos estacionarios y los clasificó con motivo.

Tipos de bifurcación

Es útil dividir las bifurcaciones en dos clases principales:

Bifurcaciones locales, que pueden analizarse completamente a través de cambios en las propiedades de estabilidad local de equilibrios, órbitas periódicas u otros conjuntos invariantes a medida que los parámetros cruzan umbrales críticos; y
Bifurcaciones globales, que a menudo ocurren cuando conjuntos invariantes más grandes del sistema 'chocan' entre sí o con equilibrios del sistema. No pueden detectarse simplemente mediante un análisis de estabilidad de los equilibrios (puntos fijos).

Bifurcaciones locales

Una bifurcación local ocurre cuando un cambio de parámetro hace que cambie la estabilidad de un equilibrio (o punto fijo). En sistemas continuos, esto corresponde a la parte real de un valor propio de un equilibrio que pasa por cero. En sistemas discretos (descritos por mapas), esto corresponde a un punto fijo que tiene un multiplicador de Floquet con módulo igual a uno. En ambos casos, el equilibrio es no hiperbólico en el punto de bifurcación. Los cambios topológicos en el retrato de fase del sistema se pueden limitar a vecindades arbitrariamente pequeñas de los puntos fijos que se bifurcan moviendo el parámetro de bifurcación cerca del punto de bifurcación (por lo tanto, 'local').

Más técnicamente, considere el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria (ODE) ${dot x}=f(x,lambda)quad fcolon {mathbb {R}}^{n}times {mathbb {R}}rightarrow {mathbb {R}}^{n }.$

Se produce una bifurcación local $(x_{0},lambda_{0})$ si la matriz jacobiana ${textrm {d}}f_{{x_{0},lambda _{0}}}$ tiene un valor propio con parte real cero. Si el valor propio es igual a cero, la bifurcación es una bifurcación de estado estacionario, pero si el valor propio es distinto de cero pero puramente imaginario, esta es una bifurcación de Hopf.

Para sistemas dinámicos discretos, considere el sistema $x_{{n+1}}=f(x_{n},lambda),.$

Entonces ocurre una bifurcación local $(x_{0},lambda_{0})$ si la matriz ${textrm {d}}f_{{x_{0},lambda _{0}}}$ tiene un valor propio con módulo igual a uno. Si el valor propio es igual a uno, la bifurcación es un nodo de silla de montar (a menudo llamado bifurcación de pliegue en los mapas), una bifurcación transcrítica o de horca. Si el valor propio es igual a −1, es una bifurcación de duplicación de período (o flip), y de lo contrario, es una bifurcación de Hopf.

Ejemplos de bifurcaciones locales incluyen:

Bifurcación de nódulo en silla de montar (pliegue)
Bifurcación transcrítica
Bifurcación de horca
Bifurcación de duplicación de período (flip)
Bifurcación de Hopf
Bifurcación Neimark-Sacker (Hopf secundaria)

Bifurcaciones globales

Las bifurcaciones globales ocurren cuando los conjuntos invariantes 'más grandes', como las órbitas periódicas, chocan con los equilibrios. Esto provoca cambios en la topología de las trayectorias en el espacio de fases que no pueden limitarse a un pequeño vecindario, como es el caso de las bifurcaciones locales. De hecho, los cambios en la topología se extienden a una distancia arbitrariamente grande (de ahí 'global').

Ejemplos de bifurcaciones globales incluyen:

Bifurcación homoclínica en la que un ciclo límite choca con un punto de silla. Las bifurcaciones homoclínicas pueden ocurrir de forma supercrítica o subcrítica. La variante anterior es la bifurcación homoclínica "pequeña" o "tipo I". En 2D también existe la bifurcación homoclínica "grande" o "tipo II" en la que la órbita homoclínica "atrapa" los otros extremos de las variedades inestables y estables de la silla de montar. En tres o más dimensiones, pueden ocurrir bifurcaciones de mayor codimensión, produciendo dinámicas complicadas, posiblemente caóticas.
Bifurcación heteroclínica en la que un ciclo límite choca con dos o más puntos de silla; implican un ciclo heteroclínico. Las bifurcaciones heteroclínicas son de dos tipos: bifurcaciones de resonancia y bifurcaciones transversales. Ambos tipos de bifurcación darán como resultado el cambio de estabilidad del ciclo heteroclínico. En una bifurcación de resonancia, la estabilidad del ciclo cambia cuando se cumple una condición algebraica sobre los valores propios de los equilibrios en el ciclo. Esto suele ir acompañado del nacimiento o la muerte de una órbita periódica. Una bifurcación transversal de un ciclo heteroclínico se produce cuando la parte real de un valor propio transversal de uno de los equilibrios del ciclo pasa por cero. Esto también provocará un cambio en la estabilidad del ciclo heteroclínico.
Bifurcación de período infinito en la que un nodo estable y un punto de silla ocurren simultáneamente en un ciclo límite. A medida que el límite de un parámetro se acerca a cierto valor crítico, la velocidad de la oscilación se ralentiza y el período se acerca al infinito. La bifurcación de período infinito ocurre en este valor crítico. Más allá del valor crítico, los dos puntos fijos emergen continuamente uno del otro en el ciclo límite para interrumpir la oscilación y formar dos puntos de silla.
Catástrofe de cielo azul en la que un ciclo límite choca con un ciclo no hiperbólico.

Las bifurcaciones globales también pueden implicar conjuntos más complicados, como atractores caóticos (p. ej., crisis).

Codimensión de una bifurcación

La codimensión de una bifurcación es el número de parámetros que deben variarse para que se produzca la bifurcación. Esto corresponde a la codimensión del conjunto de parámetros para el que se produce la bifurcación dentro del espacio completo de parámetros. Las bifurcaciones del nodo de silla de montar y las bifurcaciones de Hopf son las únicas bifurcaciones locales genéricas que son realmente de codimensión uno (las demás tienen una codimensión más alta). Sin embargo, las bifurcaciones transcríticas y de horca también se consideran a menudo como codimensión uno, porque las formas normales se pueden escribir con un solo parámetro.

Un ejemplo de una bifurcación de codimensión dos bien estudiada es la bifurcación de Bogdanov-Takens.

Aplicaciones en física semiclásica y cuántica

La teoría de la bifurcación se ha aplicado para conectar sistemas cuánticos con la dinámica de sus análogos clásicos en sistemas atómicos, sistemas moleculares y diodos de efecto túnel resonantes. La teoría de la bifurcación también se ha aplicado al estudio de la dinámica del láser y una serie de ejemplos teóricos a los que es difícil acceder experimentalmente, como los pozos cuánticos acoplados y superiores. La razón dominante del vínculo entre los sistemas cuánticos y las bifurcaciones en las ecuaciones clásicas de movimiento es que en las bifurcaciones, la firma de las órbitas clásicas se vuelve grande, como señala Martin Gutzwiller en su obra clásica sobre el caos cuántico.Se han estudiado muchos tipos de bifurcaciones con respecto a los vínculos entre la dinámica clásica y la cuántica, incluidas las bifurcaciones del nodo de silla de montar, las bifurcaciones de Hopf, las bifurcaciones umbilicales, las bifurcaciones de duplicación de períodos, las bifurcaciones de reconexión, las bifurcaciones de tangente y las bifurcaciones de cúspide.

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