Teoría de Kaluza-Klein

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Teoría de campo unificada

En física, la teoría de Kaluza-Klein (teoría KK) es una teoría clásica del campo unificado de la gravitación y el electromagnetismo construida en torno a la idea de una quinta dimensión más allá de la 4D común. del espacio y el tiempo y considerado un importante precursor de la teoría de cuerdas. Gunnar Nordström tuvo una idea anterior similar. Pero en ese caso, se agregó un quinto componente al vector potencial electromagnético, que representa el potencial gravitatorio newtoniano y escribe las ecuaciones de Maxwell en cinco dimensiones.

La teoría de las cinco dimensiones (5D) se desarrolló en tres pasos. La hipótesis original provino de Theodor Kaluza, quien envió sus resultados a Einstein en 1919 y los publicó en 1921. Kaluza presentó una extensión puramente clásica de la relatividad general a 5D, con un tensor métrico de 15 componentes. Diez componentes se identifican con la métrica del espacio-tiempo 4D, cuatro componentes con el potencial del vector electromagnético y un componente con un campo escalar no identificado, a veces llamado "radión" o el "dilaton". En consecuencia, las ecuaciones de Einstein 5D producen las ecuaciones de campo de Einstein 4D, las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético y una ecuación para el campo escalar. Kaluza también introdujo la "condición del cilindro" hipótesis, que ningún componente de la métrica de cinco dimensiones depende de la quinta dimensión. Sin esta restricción, se introducen términos que implican derivadas de los campos con respecto a la quinta coordenada, y este grado adicional de libertad hace que las matemáticas de la relatividad 5D totalmente variable sean enormemente complejas. La física 4D estándar parece manifestar esta "condición del cilindro" y, junto con ello, matemáticas más simples.

En 1926, Oskar Klein dio a la teoría clásica de cinco dimensiones de Kaluza una interpretación cuántica, de acuerdo con los entonces recientes descubrimientos de Heisenberg y Schrödinger. Klein introdujo la hipótesis de que la quinta dimensión estaba enrollada y era microscópica para explicar la condición del cilindro. Klein sugirió que la geometría de la quinta dimensión extra podría tomar la forma de un círculo, con un radio de 10⁻³⁰ cm. Más precisamente, el radio de la dimensión circular es 23 veces la longitud de Planck, que a su vez es del orden de 10 ⁻³³ cm. Klein también hizo una contribución a la teoría clásica al proporcionar una métrica 5D correctamente normalizada. El trabajo continuó en la teoría del campo de Kaluza durante la década de 1930 por parte de Einstein y sus colegas en Princeton.

En la década de 1940, se completó la teoría clásica y tres grupos de investigación independientes obtuvieron las ecuaciones de campo completas, incluido el campo escalar: Thiry, que trabajaba en Francia en su disertación con Lichnerowicz; Jordan, Ludwig y Müller en Alemania, con aportes críticos de Pauli y Fierz; y Scherrer trabajando solo en Suiza. El trabajo de Jordan condujo a la teoría escalar-tensor de Brans-Dicke; Brans y Dicke aparentemente desconocían a Thiry o Scherrer. Las ecuaciones completas de Kaluza bajo la condición del cilindro son bastante complejas y la mayoría de las revisiones en inglés, así como las traducciones al inglés de Thiry, contienen algunos errores. Los tensores de curvatura para las ecuaciones completas de Kaluza se evaluaron utilizando un software de álgebra tensorial en 2015, verificando los resultados de Ferrari y Coquereaux & Esposito-Farese. Williams trata la forma covariante 5D de los términos fuente de energía-momento.

Hipótesis de Kaluza

En su artículo de 1921, Kaluza estableció todos los elementos de la teoría clásica de cinco dimensiones: la métrica, las ecuaciones de campo, las ecuaciones de movimiento, el tensor de energía estresante y la condición de cilindro. Sin parámetros libres, simplemente extiende la relatividad general a cinco dimensiones. Uno comienza por la hipótesis de una forma de la métrica de cinco dimensiones ${widetilde {g}}_{ab}$ , donde los índices latinos abarcan cinco dimensiones. Permita que también se introduzca la métrica espacial cuatridimensional ${g}_{mu nu }$ , donde los índices griegos abarcan las cuatro dimensiones usuales del espacio y del tiempo; un 4-vector $A^{mu }$ identificado con el potencial vectorial electromagnético; y un campo de escalar $phi$ . Luego descompone la métrica 5D para que la métrica 4D esté enmarcada por el potencial vectorial electromagnético, con el campo de escalar en la quinta diagonal. Esto se puede visualizar como

{displaystyle {widetilde {g}}_{ab}equiv {begin{bmatrix}g_{mu nu }+phi ^{2}A_{mu }A_{nu }&phi ^{2}A_{mu }\phi ^{2}A_{nu }&phi ^{2}end{bmatrix}}.}

Se puede escribir con más precisión

{displaystyle {widetilde {g}}_{mu nu }equiv g_{mu nu }+phi ^{2}A_{mu }A_{nu },qquad {widetilde {g}}_{5nu }equiv {widetilde {g}}_{nu 5}equiv phi ^{2}A_{nu },qquad {widetilde {g}}_{55}equiv phi ^{2},}

donde el índice $5$ indica la quinta coordinación por convención, aunque las primeras cuatro coordenadas están indexadas con 0, 1, 2, y 3. La métrica inversa asociada es

{displaystyle {widetilde {g}}^{ab}equiv {begin{bmatrix}g^{mu nu }&-A^{mu }\-A^{nu }&g_{alpha beta }A^{alpha }A^{beta }+{frac {1}{phi ^{2}}}end{bmatrix}}.}

Esta descomposición es bastante general y todos los términos son adimensionales. Kaluza luego aplica la maquinaria de la relatividad general estándar a esta métrica. Las ecuaciones de campo se obtienen de las ecuaciones de Einstein de cinco dimensiones y las ecuaciones de movimiento de la hipótesis geodésica de cinco dimensiones. Las ecuaciones de campo resultantes proporcionan tanto las ecuaciones de la relatividad general como las de la electrodinámica; las ecuaciones de movimiento proporcionan la ecuación geodésica de cuatro dimensiones y la ley de fuerza de Lorentz, y uno encuentra que la carga eléctrica se identifica con el movimiento en la quinta dimensión.

La hipótesis para la métrica implica un elemento de longitud invariante de cinco dimensiones $ds$ :

{displaystyle ds^{2}equiv {widetilde {g}}_{ab},dx^{a},dx^{b}=g_{mu nu },dx^{mu },dx^{nu }+phi ^{2}(A_{nu },dx^{nu }+dx^{5})^{2}.}

Ecuaciones de campo de la hipótesis de Kaluza

Kaluza o Klein nunca proporcionaron adecuadamente las ecuaciones de campo de la teoría de 5 dimensiones porque ignoraron el campo escalar. Las ecuaciones de campo completas de Kaluza generalmente se atribuyen a Thiry, quien obtuvo ecuaciones de campo de vacío, aunque Kaluza originalmente proporcionó un tensor de energía de tensión para su teoría, y Thiry incluyó un tensor de energía de tensión en su tesis. Pero como lo describe Gonner, varios grupos independientes trabajaron en las ecuaciones de campo en la década de 1940 y antes. Thiry es quizás más conocido solo porque Applequist, Chodos, & Freund en su libro de reseñas. Applequist et al. también proporcionó una traducción al inglés del artículo de Kaluza. Las traducciones de los tres artículos de Jordan (1946, 1947, 1948) se pueden encontrar en los archivos de ResearchGate y Academia.edu. Williams proporcionó las primeras ecuaciones de campo de Kaluza correctas en inglés, incluido el campo escalar.

Para obtener las ecuaciones de campo 5D, las conexiones 5D ${displaystyle {widetilde {Gamma }}_{bc}^{a}}$ se calculan a partir de la métrica 5D ${displaystyle {widetilde {g}}_{ab}}$ , y el tensor 5D Ricci ${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}}$ se calcula a partir de las conexiones 5D.

Los resultados clásicos de Thiry y otros autores suponen la condición del cilindro:

{displaystyle {frac {partial {widetilde {g}}_{ab}}{partial x^{5}}}=0.}

Sin esta suposición, las ecuaciones de campo se vuelven mucho más complejas y proporcionan muchos más grados de libertad que se pueden identificar con varios campos nuevos. Paul Wesson y sus colegas han buscado la relajación de la condición del cilindro para obtener términos adicionales que puedan identificarse con los campos de materia, para los cuales Kaluza insertó un tensor de tensión-energía a mano.

Ha sido una objeción a la hipótesis original de Kaluza invocar la quinta dimensión solo para negar su dinámica. Pero Thiry argumentó que la interpretación de la ley de fuerza de Lorentz en términos de una geodésica de 5 dimensiones aboga fuertemente por una quinta dimensión independientemente de la condición del cilindro. Por lo tanto, la mayoría de los autores han empleado la condición del cilindro para derivar las ecuaciones de campo. Además, normalmente se asumen ecuaciones de vacío para las cuales

{displaystyle {widetilde {R}}_{ab}=0,}

dónde

{displaystyle {widetilde {R}}_{ab}equiv partial _{c}{widetilde {Gamma }}_{ab}^{c}-partial _{b}{widetilde {Gamma }}_{ca}^{c}+{widetilde {Gamma }}_{cd}^{c}{widetilde {Gamma }}_{ab}^{d}-{widetilde {Gamma }}_{bd}^{c}{widetilde {Gamma }}_{ac}^{d}}

{displaystyle {widetilde {Gamma }}_{bc}^{a}equiv {frac {1}{2}}{widetilde {g}}^{ad}(partial _{b}{widetilde {g}}_{dc}+partial _{c}{widetilde {g}}_{db}-partial _{d}{widetilde {g}}_{bc}).}

Las ecuaciones de campo de vacío obtenidas de esta manera por el grupo de Thiry y Jordan son las siguientes.

La ecuación de campo para $phi$ se obtiene de

{displaystyle {widetilde {R}}_{55}=0Rightarrow Box phi ={frac {1}{4}}phi ^{3}F^{alpha beta }F_{alpha beta },}

Donde ${displaystyle F_{alpha beta }equiv partial _{alpha }A_{beta }-partial _{beta }A_{alpha },}$ ${displaystyle Box equiv g^{mu nu }nabla _{mu }nabla _{nu },}$ y $nabla _{mu }$ es un derivado covariante 4D estándar. Muestra que el campo electromagnético es una fuente para el campo de escalar. Tenga en cuenta que el campo de escalar no se puede establecer a una constante sin limitar el campo electromagnético. Los tratamientos anteriores de Kaluza y Klein no tenían una descripción adecuada del campo de escalar y no se dieron cuenta de la limitación implícita en el campo electromagnético asumiendo que el campo de escalar fuera constante.

La ecuación de campo para $A^{nu }$ se obtiene de

{displaystyle {widetilde {R}}_{5alpha }=0={frac {1}{2}}g^{beta mu }nabla _{mu }(phi ^{3}F_{alpha beta }).}

Tiene la forma de las ecuaciones de Maxwell del vacío si el campo escalar es constante.

La ecuación de campo para el tensor 4D Ricci $R_{mu nu }$ se obtiene de

{displaystyle {begin{aligned}{widetilde {R}}_{mu nu }-{frac {1}{2}}{widetilde {g}}_{mu nu }{widetilde {R}}&=0Rightarrow \R_{mu nu }-{frac {1}{2}}g_{mu nu }R&={frac {1}{2}}phi ^{2}left(g^{alpha beta }F_{mu alpha }F_{nu beta }-{frac {1}{4}}g_{mu nu }F_{alpha beta }F^{alpha beta }right)+{frac {1}{phi }}(nabla _{mu }nabla _{nu }phi -g_{mu nu }Box phi),end{aligned}}}

Donde $R$ es el escalar estándar 4D Ricci.

Esta ecuación muestra el resultado notable, llamado el "milagro kaluza", que la forma precisa para el estrés electromagnético – tensor energético emerge de las ecuaciones de vacío 5D como fuente en las ecuaciones 4D: campo del vacío. Esta relación permite la identificación definitiva de $A^{mu }$ con el potencial vectorial electromagnético. Por lo tanto, el campo debe ser reescalzado con una constante de conversión $k$ tales que ${displaystyle A^{mu }to kA^{mu }}$ .

La relación anterior muestra que debemos tener

{displaystyle {frac {k^{2}}{2}}={frac {8pi G}{c^{4}}}{frac {1}{mu _{0}}}={frac {2G}{c^{2}}}4pi epsilon _{0},}

Donde $G$ es la constante gravitacional, y $mu _{0}$ es la permeabilidad del espacio libre. En la teoría de Kaluza, la constante gravitacional se puede entender como una constante de acoplamiento electromagnético en la métrica. También hay un tensor de estrés-energía para el campo de escalar. El campo de escalar se comporta como una constante gravitacional variable, en términos de modulación del acoplamiento del estrés electromagnético-energía a la curvatura espacial. El signo de $phi ^{2}$ en la métrica se fija por correspondencia con la teoría 4D para que las densidades de energía electromagnética sean positivas. A menudo se supone que la quinta coordinación es espacial en su firma en la métrica.

En presencia de materia, no se puede asumir la condición de vacío 5D. Efectivamente, Kaluza no lo asumió. Las ecuaciones de campo completas requieren la evaluación del tensor de Einstein 5D

{displaystyle {widetilde {G}}_{ab}equiv {widetilde {R}}_{ab}-{frac {1}{2}}{widetilde {g}}_{ab}{widetilde {R}},}

como se ve en la recuperación del estrés electromagnético – tensor de energía arriba. Los tensores de curvatura 5D son complejos, y la mayoría de las reseñas en inglés contienen errores en cualquiera ${displaystyle {widetilde {G}}_{ab}}$ o ${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}}$ , al igual que la traducción al inglés de Thiry. Vea Williams para un conjunto completo de tensores de curvatura 5D bajo la condición del cilindro, evaluado utilizando el software tensor-algebra.

Ecuaciones de movimiento a partir de la hipótesis de Kaluza

Las ecuaciones de movimiento se obtienen de la hipótesis geodésica de cinco dimensiones en términos de una 5-velocidad $widetilde {U}^{a}equiv dx^{a}/ds$ :

{displaystyle {widetilde {U}}^{b}{widetilde {nabla }}_{b}{widetilde {U}}^{a}={frac {d{widetilde {U}}^{a}}{ds}}+{widetilde {Gamma }}_{bc}^{a}{widetilde {U}}^{b}{widetilde {U}}^{c}=0.}

Esta ecuación se puede retransmitir de varias maneras, y ha sido estudiado en varias formas por autores como Kaluza, Pauli, Gross " Perry, Gegenberg " Kunstatter, y Wesson " Ponce de Leon, pero es instructivo convertirla de nuevo al elemento de longitud 4-dimensional habitual ${displaystyle c^{2},dtau ^{2}equiv g_{mu nu },dx^{mu },dx^{nu }}$ , que está relacionado con el elemento de longitud 5-dimensional $ds$ como se ha indicado anteriormente:

{displaystyle ds^{2}=c^{2},dtau ^{2}+phi ^{2}(kA_{nu },dx^{nu }+dx^{5})^{2}.}

Entonces la ecuación geodésica 5D se puede escribir para los componentes del espacio-tiempo de la 4-velocidad:

{displaystyle U^{nu }equiv {frac {dx^{nu }}{dtau }},}

{displaystyle {frac {dU^{nu }}{dtau }}+{widetilde {Gamma }}_{alpha beta }^{mu }U^{alpha }U^{beta }+2{widetilde {Gamma }}_{5alpha }^{mu }U^{alpha }U^{5}+{widetilde {Gamma }}_{55}^{mu }(U^{5})^{2}+U^{mu }{frac {d}{dtau }}ln {frac {c,dtau }{ds}}=0.}

El término cuadrático en $U^{nu }$ proporciona la ecuación geodésica 4D más algunos términos electromagnéticos:

{displaystyle {widetilde {Gamma }}_{alpha beta }^{mu }=Gamma _{alpha beta }^{mu }+{frac {1}{2}}g^{mu nu }k^{2}phi ^{2}(A_{alpha }F_{beta nu }+A_{beta }F_{alpha nu }-A_{alpha }A_{beta }partial _{nu }ln phi ^{2}).}

El término lineal en $U^{nu }$ proporciona la ley de la fuerza Lorentz:

{displaystyle {widetilde {Gamma }}_{5alpha }^{mu }={frac {1}{2}}g^{mu nu }kphi ^{2}(F_{alpha nu }-A_{alpha }partial _{nu }ln phi ^{2}).}

Esta es otra expresión del "milagro Kaluza". La misma hipótesis para la métrica 5D que proporciona tensión-energía electromagnética en las ecuaciones de Einstein, también proporciona la ley de fuerza de Lorentz en la ecuación de movimientos junto con la ecuación geodésica 4D. Sin embargo, la correspondencia con la ley de fuerza de Lorentz requiere que identifiquemos el componente de 5 velocidades a lo largo de la quinta dimensión con carga eléctrica:

{displaystyle kU^{5}=k{frac {dx^{5}}{dtau }}to {frac {q}{mc}},}

Donde $m$ es masa de partículas, y $q$ es carga eléctrica de partículas. Así, la carga eléctrica se entiende como movimiento a lo largo de la quinta dimensión. El hecho de que la ley de fuerza Lorentz pudiera entenderse como geodésica en 5 dimensiones era para Kaluza una motivación primaria para considerar la hipótesis 5-dimensional, incluso en presencia de la condición de cilindro estéticamente desagradable.

Sin embargo hay un problema: el término cuadrático en $U^{5}$ ,

{displaystyle {widetilde {Gamma }}_{55}^{mu }=-{frac {1}{2}}g^{mu alpha }partial _{alpha }phi ^{2}.}

Si no hay gradiente en el campo del escalar, el término cuadrático en $U^{5}$ desaparece. Pero de lo contrario la expresión anterior implica

{displaystyle U^{5}sim c{frac {q/m}{G^{1/2}}}.}

Para las partículas elementales, $10^{20}c}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">U5■1020c{displaystyle ¿Qué?10^{20}c}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55028d334268cb06b01acb608b7eeb4cccf02363" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.202ex; height:2.676ex;"/>$ . El término cuadrático en $U^{5}$ debe dominar la ecuación, quizás en contradicción con la experiencia. Este fue el principal déficit de la teoría de 5 dimensiones como lo vio Kaluza, y le da alguna discusión en su artículo original.

La ecuación del movimiento para $U^{5}$ es particularmente simple bajo la condición del cilindro. Comience con la forma alternativa de la ecuación geodésica, escrita para la covariante 5-velocidad:

{displaystyle {frac {d{widetilde {U}}_{a}}{ds}}={frac {1}{2}}{widetilde {U}}^{b}{widetilde {U}}^{c}{frac {partial {widetilde {g}}_{bc}}{partial x^{a}}}.}

Esto significa que bajo la condición del cilindro, $widetilde {U}_{5}$ es una constante del movimiento 5-dimensional:

{displaystyle {widetilde {U}}_{5}={widetilde {g}}_{5a}{widetilde {U}}^{a}=phi ^{2}{frac {c,dtau }{ds}}(kA_{nu }U^{nu }+U^{5})={text{constant}}.}

La hipótesis de Kaluza para el tensor tensión-energía de la materia

Kaluza propuso un tensor de estrés en 5D $widetilde {T}_{M}^{{ab}}$ de la forma

{displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{ab}=rho {frac {dx^{a}}{ds}}{frac {dx^{b}}{ds}},}

Donde $rho$ es una densidad, y el elemento de longitud $ds$ se define arriba.

Entonces el componente de espacio-tiempo da un típico "polvo" tensor tensión-energía:

{displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{mu nu }=rho {frac {dx^{mu }}{ds}}{frac {dx^{nu }}{ds}}.}

El componente mixto proporciona una fuente de 4 corrientes para las ecuaciones de Maxwell:

{displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{5mu }=rho {frac {dx^{mu }}{ds}}{frac {dx^{5}}{ds}}=rho U^{mu }{frac {q}{kmc}}.}

Así como la métrica de cinco dimensiones comprende la métrica de 4-D enmarcada por el vector potencial electromagnético, el tensor de tensión-energía de 5 dimensiones comprende el tensor de tensión-energía de 4-D enmarcado por el vector de 4-corriente.

Interpretación cuántica de Klein

La hipótesis original de Kaluza fue descubrimientos puramente clásicos y extensos de relatividad general. En el momento de la contribución de Klein, los descubrimientos de Heisenberg, Schrödinger y de Broglie estaban recibiendo mucha atención. Klein's Naturaleza artículo sugirió que la quinta dimensión está cerrada y periódica, y que la identificación de carga eléctrica con movimiento en la quinta dimensión puede interpretarse como ondas permanentes de longitud de onda $lambda ^{5}$ , como los electrones alrededor de un núcleo en el modelo Bohr del átomo. La cuantificación de la carga eléctrica podría entonces ser bien comprendida en términos de múltiplos enteros de impulso quinto. Combinando el resultado anterior de Kaluza para $U^{5}$ en términos de carga eléctrica, y una relación de Broglie para el impulso $p^{5}=h/lambda ^{5}$ , Klein obtuvo una expresión para el modo 0 de tales ondas:

{displaystyle mU^{5}={frac {cq}{G^{1/2}}}={frac {h}{lambda ^{5}}}quad Rightarrow quad lambda ^{5}sim {frac {hG^{1/2}}{cq}},}

Donde $h$ es la constante Planck. Klein encontró que ${displaystyle lambda ^{5}sim 10^{-30}}$ cm, y por lo tanto una explicación para la condición del cilindro en este pequeño valor.

El artículo Zeitschrift für Physik de Klein del mismo año, dio un tratamiento más detallado de que invocó explícitamente las técnicas de Schroedinger y de Broglie. Recapituló gran parte de la teoría clásica de Kaluza descrita anteriormente y luego partió hacia la interpretación cuántica de Klein. Klein resolvió una ecuación de onda similar a la de Schroedinger usando una expansión en términos de ondas de quinta dimensión que resuenan en la quinta dimensión cerrada y compacta.

Interpretación de la teoría cuántica de campos

Interpretación de la teoría de grupos

El espacio M × C se compacta sobre el conjunto compacto C, y después de la descomposición Kaluza-Klein uno tiene una teoría de campo eficaz sobre M.

En 1926, Oskar Klein propuso que la cuarta dimensión espacial se enrolla en un círculo de un radio muy pequeño, de modo que una partícula que se mueva una distancia corta a lo largo de ese eje regrese a donde comenzó. Se dice que la distancia que puede viajar una partícula antes de alcanzar su posición inicial es el tamaño de la dimensión. Esta dimensión adicional es un conjunto compacto, y la construcción de esta dimensión compacta se denomina compactación.

En la geometría moderna, la quinta dimensión adicional se puede entender como el grupo circular U(1), ya que el electromagnetismo se puede formular esencialmente como una teoría de calibre en un haz de fibras, el haz circular, con el grupo de calibre U(1). En la teoría de Kaluza-Klein, este grupo sugiere que la simetría de calibre es la simetría de las dimensiones compactas circulares. Una vez que se comprende esta interpretación geométrica, es relativamente sencillo reemplazar U(1) por un grupo de Lie general. Tales generalizaciones a menudo se denominan teorías de Yang-Mills. Si se hace una distinción, entonces es que las teorías de Yang-Mills ocurren en un espacio-tiempo plano, mientras que Kaluza-Klein trata el caso más general de un espacio-tiempo curvo. El espacio base de la teoría de Kaluza-Klein no necesita ser un espacio-tiempo de cuatro dimensiones; puede ser cualquier (pseudo) variedad de Riemann, o incluso una variedad supersimétrica u orbifold o incluso un espacio no conmutativo.

La construcción se puede resumir, aproximadamente, de la siguiente manera. Se comienza considerando un haz de fibras principal P con grupo de calibre G sobre una variedad M. Dada una conexión en el haz, y una métrica en la variedad base, y un calibre métrica invariable en la tangente de cada fibra, se puede construir una métrica de paquete definida en todo el paquete. Al calcular la curvatura escalar de esta métrica de haz, se encuentra que es constante en cada fibra: este es el "milagro de Kaluza". No era necesario imponer explícitamente una condición de cilindro o compactar: por suposición, el grupo de calibre ya es compacto. A continuación, se toma esta curvatura escalar como la densidad lagrangiana y, a partir de esto, se construye la acción de Einstein-Hilbert para el paquete, como un todo. Las ecuaciones de movimiento, las ecuaciones de Euler-Lagrange, se pueden obtener considerando dónde la acción es estacionaria con respecto a las variaciones de la métrica en la variedad base o de la conexión de calibre. Las variaciones con respecto a la métrica base dan las ecuaciones de campo de Einstein en la variedad base, con el tensor de energía-momento dado por la curvatura (intensidad de campo) de la conexión de calibre. Por otro lado, la acción es estacionaria frente a las variaciones de la conexión de calibre precisamente cuando la conexión de calibre resuelve las ecuaciones de Yang-Mills. Por lo tanto, al aplicar una sola idea: el principio de mínima acción, a una sola cantidad: la curvatura escalar en el paquete (en su conjunto), se obtienen simultáneamente todas las ecuaciones de campo necesarias, tanto para el espacio-tiempo como para el campo gauge.

Como enfoque para la unificación de las fuerzas, es sencillo aplicar la teoría de Kaluza-Klein en un intento de unificar la gravedad con las fuerzas fuertes y electrodébiles mediante el uso del grupo de simetría del modelo estándar, SU(3) × SU(2) × U(1). Sin embargo, un intento de convertir esta interesante construcción geométrica en un modelo de buena fe de la realidad fracasa en una serie de cuestiones, incluido el hecho de que los fermiones deben introducirse de forma artificial (en modelos no supersimétricos). No obstante, KK sigue siendo una piedra de toque importante en la física teórica y, a menudo, está integrado en teorías más sofisticadas. Se estudia por derecho propio como un objeto de interés geométrico en la teoría K.

Incluso en ausencia de un marco de física teórica completamente satisfactorio, la idea de explorar dimensiones adicionales compactadas es de considerable interés en las comunidades de física experimental y astrofísica. Se puede hacer una variedad de predicciones, con consecuencias experimentales reales (en el caso de grandes dimensiones adicionales y modelos deformados). Por ejemplo, en el más simple de los principios, uno podría esperar tener ondas estacionarias en la(s) dimensión(es) extracompactada(s). Si una dimensión extra espacial es de radio R, la masa invariable de tales ondas estacionarias sería M_n = nh/Rc con n un número entero, h siendo la constante de Planck y c la velocidad de la luz. Este conjunto de posibles valores de masa a menudo se denomina torre Kaluza-Klein. De manera similar, en la teoría del campo cuántico térmico, una compactación de la dimensión temporal euclidiana conduce a las frecuencias de Matsubara y, por lo tanto, a un espectro de energía térmica discretizado.

Sin embargo, el enfoque de Klein de la teoría cuántica es defectuoso y, por ejemplo, conduce a una masa de electrones calculada en el orden de magnitud de la masa de Planck.

Ejemplos de actividades experimentales incluyen el trabajo de la colaboración CDF, que ha vuelto a analizar los datos del colisionador de partículas en busca de la firma de efectos asociados con grandes dimensiones extra/modelos deformados.

Brandenberger y Vafa han especulado que en el universo primitivo, la inflación cósmica hace que tres de las dimensiones del espacio se expandan al tamaño cosmológico mientras que las dimensiones restantes del espacio permanecieron microscópicas.

Teoría del espacio-tiempo-materia

Una variante particular de la teoría de Kaluza-Klein es la teoría del espacio-tiempo-materia o teoría de la materia inducida, promulgada principalmente por Paul Wesson y otros miembros de la teoría del espacio-tiempo. –Consorcio de la Materia. En esta versión de la teoría, se observa que las soluciones a la ecuación

widetilde {R}_{{ab}}=0

puede reexpresarse de modo que en cuatro dimensiones, estas soluciones satisfagan las ecuaciones de Einstein

G_{{mu nu }}=8pi T_{{mu nu }},

con la forma precisa de la T_μν derivada de la condición plana de Ricci en el espacio de cinco dimensiones. En otras palabras, se elimina la condición de cilindro del desarrollo anterior y ahora la energía-tensión proviene de las derivadas de la métrica 5D con respecto a la quinta coordenada. Debido a que normalmente se entiende que el tensor de energía-momento se debe a concentraciones de materia en un espacio de cuatro dimensiones, el resultado anterior se interpreta como que la materia de cuatro dimensiones se induce a partir de la geometría en un espacio de cinco dimensiones.

En particular, las soluciones solitonas $widetilde {R}_{{ab}}=0$ se puede demostrar que contiene las formas Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker métricas en ambas formas dominadas por radiación (principal universo) y dominadas por la materia (el universo más lejano). Las ecuaciones generales pueden demostrar ser suficientemente consistentes con pruebas clásicas de relatividad general para ser aceptables en principios físicos, al tiempo que deja una considerable libertad para proporcionar también modelos cosmológicos interesantes.

Interpretación geométrica

La teoría de Kaluza-Klein tiene una presentación particularmente elegante en términos de geometría. En cierto sentido, se parece a la gravedad ordinaria en el espacio libre, excepto que está expresada en cinco dimensiones en lugar de cuatro.

Ecuaciones de Einstein

Las ecuaciones que gobiernan la gravedad ordinaria en el espacio libre se pueden obtener a partir de una acción, aplicando el principio de variación a una determinada acción. Sea M una variedad (pseudo-)riemanniana, que puede tomarse como el espacio-tiempo de la relatividad general. Si g es la métrica de esta variedad, se define la acción S(g) como

{displaystyle S(g)=int _{M}R(g)operatorname {vol} (g),}

donde R(g) es la curvatura escalar y vol(g) es el elemento de volumen. Aplicando el principio variacional a la acción

{displaystyle {frac {delta S(g)}{delta g}}=0,}

se obtienen precisamente las ecuaciones de Einstein para el espacio libre:

{displaystyle R_{ij}-{frac {1}{2}}g_{ij}R=0,}

donde R_ij es el tensor de Ricci.

Ecuaciones de Maxwell

Por el contrario, las ecuaciones de Maxwell que describen el electromagnetismo se pueden entender como las ecuaciones Hodge de un principal U(1)-bundle o círculo paquete $pi:Pto M$ con fibra U(1). Es decir, el campo electromagnético $F$ es un armónico 2-forma en el espacio ${displaystyle Omega ^{2}(M)}$ de dos formas diferentes en el múltiple $M$ . En ausencia de cargos y corrientes, las ecuaciones Maxwell de campo libre son

{displaystyle mathrm {d} F=0quad {text{and}}quad mathrm {d} {star }F=0.}

Donde $star$ es el operador estrella Hodge.

Geometría de Kaluza–Klein

Para construir la teoría Kaluza-Klein, uno elige una métrica invariante en el círculo $S^{1}$ que es la fibra del U(1)-bundle de electromagnetismo. En esta discusión, una métrica invariable es simplemente uno que es invariable bajo rotaciones del círculo. Supongamos que esta métrica da al círculo una longitud total $Lambda$ . Uno considera métricas $widehat {g}$ en el paquete $P$ que son consistentes tanto con la métrica de fibra, como con la métrica en el manifold subyacente $M$ . Las condiciones de consistencia son:

La proyección de $widehat {g}$ al subespacial vertical ${displaystyle operatorname {Vert} _{p}Psubset T_{p}P}$ necesita estar de acuerdo con la métrica en la fibra sobre un punto en el múltiple $M$ .
La proyección de $widehat {g}$ al subespacio horizontal ${displaystyle operatorname {Hor} _{p}Psubset T_{p}P}$ del espacio tangente en el punto $pin P$ debe ser isomorfo para la métrica $g$ on $M$ a ${displaystyle pi (P)}$ .

La acción de Kaluza-Klein para tal métrica viene dada por

{displaystyle S({widehat {g}})=int _{P}R({widehat {g}})operatorname {vol} ({widehat {g}}).}

La curvatura escalar, escrita en componentes, luego se expande a

{displaystyle R({widehat {g}})=pi ^{*}left(R(g)-{frac {Lambda ^{2}}{2}}|F|^{2}right),}

Donde $pi^*$ es la retirada de la proyección del paquete de fibra $pi:Pto M$ . La conexión $A$ en el paquete de fibra está relacionado con la fuerza de campo electromagnético como

{displaystyle pi ^{*}F=dA.}

Que siempre exista tal conexión, incluso para haces de fibra de topología arbitrariamente compleja, es el resultado de la homología y, específicamente, de la teoría K. Aplicando el teorema de Fubini e integrando sobre la fibra, se obtiene

{displaystyle S({widehat {g}})=Lambda int _{M}left(R(g)-{frac {1}{Lambda ^{2}}}|F|^{2}right)operatorname {vol} (g).}

Varying the action with respect to the component $A$ Uno recupera las ecuaciones de Maxwell. Aplicar el principio de variación a la métrica base $g$ , uno consigue las ecuaciones de Einstein

{displaystyle R_{ij}-{frac {1}{2}}g_{ij}R={frac {1}{Lambda ^{2}}}T_{ij}}

con el tensor tensión-energía dado por

{displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{frac {1}{4}}g^{ij}|F|^{2},}

a veces llamado tensor de tensión de Maxwell.

La teoría original identifica $Lambda$ con la fibra métrica $g_{55}$ y permite $Lambda$ variar de fibra a fibra. En este caso, el acoplamiento entre la gravedad y el campo electromagnético no es constante, pero tiene su propio campo dinámico, la radio.

Generalizaciones

En lo anterior, el tamaño del bucle $Lambda$ actúa como una constante de acoplamiento entre el campo gravitacional y el campo electromagnético. Si el manifold base es de cuatro dimensiones, el manifold Kaluza-Klein P es de cinco dimensiones. La quinta dimensión es un espacio compacto y se llama dimensión compacta. La técnica de introducir dimensiones compactas para obtener un colector superior se denomina compactificación. La compactación no produce acciones de grupo en fermions chiral excepto en casos muy específicos: la dimensión del espacio total debe ser 2 mod 8, y el índice G del operador Dirac del espacio compacto debe ser no cero.

El desarrollo anterior se generaliza de una manera más o menos directa a paquetes de G principales generales para algún grupo de Lie arbitrario G que toma el lugar de U(1). En tal caso, la teoría a menudo se denomina teoría de Yang-Mills y, a veces, se toma como sinónimo. Si la variedad subyacente es supersimétrica, la teoría resultante es una teoría de Yang-Mills supersimétrica.

Pruebas empíricas

No se han informado oficialmente signos experimentales u observacionales de dimensiones adicionales. Se han propuesto muchas técnicas de búsqueda teóricas para detectar resonancias de Kaluza-Klein utilizando los acoplamientos de masa de tales resonancias con el quark top. Un análisis de los resultados del LHC en diciembre de 2010 restringe severamente las teorías con grandes dimensiones adicionales.

La observación de un bosón similar al de Higgs en el LHC establece una nueva prueba empírica que se puede aplicar a la búsqueda de resonancias de Kaluza-Klein y partículas supersimétricas. Los diagramas de bucle de Feynman que existen en las interacciones de Higgs permiten que cualquier partícula con carga eléctrica y masa corra en dicho bucle. Las partículas del modelo estándar además del quark top y el bosón W no hacen grandes contribuciones a la sección transversal observada en la desintegración H → γγ, pero si hay nuevas partículas más allá del modelo estándar, podrían cambiar potencialmente la proporción de la sección transversal predicha H → γγ del modelo estándar a la sección transversal observada experimentalmente. Por lo tanto, una medición de cualquier cambio dramático en la sección transversal H → γγ predicha por el modelo estándar es crucial para probar la física más allá.

Un artículo de julio de 2018 da cierta esperanza a esta teoría; en el artículo discuten que la gravedad se esté filtrando a dimensiones más altas como en la teoría de las branas. Sin embargo, el artículo demuestra que el electromagnetismo y la gravedad comparten el mismo número de dimensiones, y este hecho respalda la teoría de Kaluza-Klein; si el número de dimensiones es realmente 3 + 1 o de hecho 4 + 1 es tema de debate adicional.

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