Teoría de grupos

En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. El concepto de grupo es fundamental para el álgebra abstracta: otras estructuras algebraicas bien conocidas, como anillos, campos y espacios vectoriales, pueden verse como grupos dotados de operaciones y axiomas adicionales. Los grupos se repiten en las matemáticas y los métodos de la teoría de grupos han influido en muchas partes del álgebra. Los grupos algebraicos lineales y los grupos de Lie son dos ramas de la teoría de grupos que han experimentado avances y se han convertido en áreas temáticas por derecho propio.

Varios sistemas físicos, como los cristales y el átomo de hidrógeno, y tres de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas en el universo, pueden modelarse mediante grupos de simetría. Por tanto, la teoría de grupos y la teoría de la representación estrechamente relacionada tienen muchas aplicaciones importantes en la física, la química y la ciencia de los materiales. La teoría de grupos también es fundamental para la criptografía de clave pública.

La historia temprana de la teoría de grupos data del siglo XIX. Uno de los logros matemáticos más importantes del siglo XX fue el esfuerzo de colaboración, ocupando más de 10.000 páginas de revistas y publicado en su mayoría entre 1960 y 2004, que culminó en una clasificación completa de grupos finitos simples.

Clases principales de grupos

La gama de grupos que se están considerando se ha ampliado gradualmente desde grupos de permutación finitos y ejemplos especiales de grupos de matrices hasta grupos abstractos que pueden especificarse mediante una presentación mediante generadores y relaciones.

Grupos de permutación

La primera clase de grupos que se sometió a un estudio sistemático fueron los grupos de permutación. Dado cualquier conjunto X y una colección G de biyecciones de X en sí mismo (conocidas como permutaciones) que se cierra bajo composiciones e inversas, G es un grupo que actúa sobre X. Si X consta de n elementos y G consta de todas las permutaciones, G es el grupo simétrico S _n; en general, cualquier grupo de permutaciones G es un subgrupo del grupo simétrico de X. Una construcción temprana debida a Cayley exhibió cualquier grupo como un grupo de permutación, actuando sobre sí mismo (X = G) por medio de la representación regular izquierda.

En muchos casos, la estructura de un grupo de permutaciones se puede estudiar utilizando las propiedades de su acción sobre el conjunto correspondiente. Por ejemplo, de esta manera se prueba que para n ≥ 5, el grupo alternante A _n es simple, es decir, no admite ningún subgrupo normal propio. Este hecho juega un papel clave en la imposibilidad de resolver una ecuación algebraica general de grado n ≥ 5 en radicales.

Grupos de matrices

La siguiente clase importante de grupos está dada por grupos de matrices o grupos lineales. Aquí G es un conjunto formado por matrices invertibles de orden dado n sobre un campo K cerrado bajo los productos y las inversas. Tal grupo actúa sobre el espacio vectorial K de n dimensiones mediante transformaciones lineales. Esta acción hace que los grupos de matrices sean conceptualmente similares a los grupos de permutación, y la geometría de la acción puede aprovecharse para establecer las propiedades del grupo G.

Grupos de transformación

Los grupos de permutación y los grupos de matrices son casos especiales de grupos de transformación: grupos que actúan sobre un cierto espacio X conservando su estructura inherente. En el caso de grupos de permutaciones, X es un conjunto; para grupos de matrices, X es un espacio vectorial. El concepto de grupo de transformación está íntimamente relacionado con el concepto de grupo de simetría: los grupos de transformación consisten frecuentemente en todas las transformaciones que conservan una determinada estructura.

La teoría de los grupos de transformación forma un puente que conecta la teoría de grupos con la geometría diferencial. Una larga línea de investigación, que se originó con Lie y Klein, considera acciones grupales en variedades por homeomorfismos o difeomorfismos. Los grupos mismos pueden ser discretos o continuos.

Grupos abstractos

La mayoría de los grupos considerados en la primera etapa del desarrollo de la teoría de grupos eran "concretos", habiéndose realizado a través de números, permutaciones o matrices. No fue hasta finales del siglo XIX que comenzó a afianzarse la idea de un grupo abstracto como un conjunto con operaciones que satisfacen un cierto sistema de axiomas. Una forma típica de especificar un grupo abstracto es a través de una presentación por generadores y relaciones,

Una fuente significativa de grupos abstractos viene dada por la construcción de un grupo de factores, o grupo de cocientes, G / H, de un grupo G por un subgrupo normal H. Los grupos de clase de campos numéricos algebraicos se encontraban entre los primeros ejemplos de grupos de factores, de gran interés en la teoría de números. Si un grupo G es un grupo de permutación sobre un conjunto X, el grupo de factores G / H ya no actúa sobre X; pero la idea de un grupo abstracto permite no preocuparse por esta discrepancia.

El cambio de perspectiva de grupos concretos a abstractos hace natural considerar propiedades de grupos que son independientes de una realización particular, o en lenguaje moderno, invariantes bajo isomorfismo, así como las clases de grupo con tal propiedad dada: grupos finitos, grupos periódicos, grupos simples, grupos solubles, etc. En lugar de explorar las propiedades de un grupo individual, se busca establecer resultados que se apliquen a toda una clase de grupos. El nuevo paradigma fue de suma importancia para el desarrollo de las matemáticas: presagió la creación del álgebra abstracta en las obras de Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether y los matemáticos de su escuela.

Grupos con estructura adicional

Se produce una elaboración importante del concepto de grupo si se dota a G de una estructura adicional, en particular, de un espacio topológico, una variedad diferenciable o una variedad algebraica. Si las operaciones de grupo m (multiplicación) e i (inversión),

son compatibles con esta estructura, es decir, son aplicaciones continuas, suaves o regulares (en el sentido de la geometría algebraica), entonces G es un grupo topológico, un grupo de Lie o un grupo algebraico.

La presencia de extra estructura relaciona este tipo de grupos con otras disciplinas matemáticas y hace que se disponga de más herramientas en su estudio. Los grupos topológicos forman un dominio natural para el análisis armónico abstracto, mientras que los grupos de Lie (frecuentemente realizados como grupos de transformación) son los pilares de la geometría diferencial y la teoría de la representación unitaria. Ciertas cuestiones de clasificación que no pueden resolverse en general pueden abordarse y resolverse para subclases especiales de grupos. Por lo tanto, los grupos de Lie conectados compactos se han clasificado completamente. Existe una relación fructífera entre grupos abstractos infinitos y grupos topológicos: siempre que un grupo Γ se pueda realizar como una red en un grupo topológico G, la geometría y el análisis pertenecientes a Gdan resultados importantes sobre Γ. Una tendencia comparativamente reciente en la teoría de grupos finitos explota sus conexiones con grupos topológicos compactos (grupos profinitos): por ejemplo, un solo grupo analítico p -ádico G tiene una familia de cocientes que son grupos p finitos de varios órdenes y propiedades de G se traducen en las propiedades de sus cocientes finitos.

Ramas de la teoría de grupos

Teoría de grupos finitos

Durante el siglo XX, los matemáticos investigaron en profundidad algunos aspectos de la teoría de los grupos finitos, especialmente la teoría local de los grupos finitos y la teoría de los grupos solubles y nilpotentes. Como consecuencia, se logró la clasificación completa de los grupos finitos simples, es decir, ahora se conocen todos aquellos grupos simples a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos finitos.

Durante la segunda mitad del siglo XX, matemáticos como Chevalley y Steinberg también aumentaron nuestra comprensión de los análogos finitos de los grupos clásicos y otros grupos relacionados. Una de esas familias de grupos es la familia de grupos lineales generales sobre campos finitos. Los grupos finitos a menudo ocurren cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten solo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de los grupos de Lie, que puede verse como una "simetría continua", está fuertemente influenciada por los grupos de Weyl asociados. Estos son grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclidiano de dimensión finita. Las propiedades de los grupos finitos pueden desempeñar un papel en temas como la física teórica y la química.

Representación de grupos

Decir que un grupo G actúa sobre un conjunto X significa que todo elemento de G define una función biyectiva sobre el conjunto X de forma compatible con la estructura del grupo. Cuando X tiene más estructura, es útil restringir aún más esta noción: una representación de G en un espacio vectorial V es un homomorfismo de grupo:

donde GL(V) consiste en las transformaciones lineales invertibles de V. En otras palabras, a cada elemento del grupo g se le asigna un automorfismo ρ (g) tal que ρ (g) ∘ ρ (h) = ρ (gh) para cualquier h en G.

Esta definición se puede entender en dos direcciones, las cuales dan lugar a nuevos dominios de las matemáticas. Por un lado, puede arrojar nueva información sobre el grupo G: a menudo, la operación de grupo en G se da de forma abstracta, pero a través de ρ, corresponde a la multiplicación de matrices, que es muy explícita. Por otro lado, dado un grupo bien entendido que actúa sobre un objeto complicado, esto simplifica el estudio del objeto en cuestión. Por ejemplo, si G es finito, se sabe que V anterior se descompone en partes irreducibles (ver el teorema de Maschke). Estas partes, a su vez, son mucho más manejables que la V completa (a través del lema de Schur).

Dado un grupo G, la teoría de la representación pregunta qué representaciones de G existen. Hay varios escenarios, y los métodos empleados y los resultados obtenidos son bastante diferentes en cada caso: la teoría de la representación de grupos finitos y las representaciones de grupos de Lie son dos subdominios principales de la teoría. La totalidad de las representaciones está regida por los personajes del grupo. Por ejemplo, los polinomios de Fourier pueden interpretarse como los caracteres de U(1), el grupo de números complejos de valor absoluto 1, que actúa sobre el espacio L de las funciones periódicas.

Teoría de la mentira

Un grupo de Lie es un grupo que también es una variedad diferenciable, con la propiedad de que las operaciones del grupo son compatibles con la estructura suave. Los grupos de mentira llevan el nombre de Sophus Lie, quien sentó las bases de la teoría de los grupos de transformación continua. El término groupes de Lie apareció por primera vez en francés en 1893 en la tesis del alumno de Lie Arthur Tresse, página 3.

Los grupos de mentira representan la teoría mejor desarrollada de simetría continua de objetos y estructuras matemáticas, lo que los convierte en herramientas indispensables para muchas partes de las matemáticas contemporáneas, así como para la física teórica moderna. Proporcionan un marco natural para analizar las simetrías continuas de las ecuaciones diferenciales (teoría diferencial de Galois), de la misma manera que los grupos de permutación se utilizan en la teoría de Galois para analizar las simetrías discretas de las ecuaciones algebraicas. Una extensión de la teoría de Galois al caso de los grupos de simetría continua fue una de las principales motivaciones de Lie.

Teoría de grupos geométrica y combinatoria

Los grupos se pueden describir de diferentes maneras. Los grupos finitos se pueden describir escribiendo la tabla de grupos que consta de todas las posibles multiplicaciones g • h. Una forma más compacta de definir un grupo es por generadores y relaciones, también llamada presentación de un grupo. Dado cualquier conjunto F de generadores, el grupo libre generado por F sobreyecta al grupo G. El núcleo de este mapa se denomina subgrupo de relaciones, generado por algún subconjunto D. La presentación generalmente se denota por Por ejemplo, la presentación grupal describe un grupo que es isomorfo aUna cadena que consta de símbolos generadores y sus inversos se denomina palabra.

La teoría de grupos combinatoria estudia los grupos desde la perspectiva de los generadores y las relaciones. Es particularmente útil cuando se satisfacen los supuestos de finitud, por ejemplo, grupos generados finitamente o grupos presentados finitamente (es decir, además, las relaciones son finitas). El área hace uso de la conexión de grafos a través de sus grupos fundamentales. Por ejemplo, se puede mostrar que todo subgrupo de un grupo libre es libre.

Hay varias preguntas naturales que surgen de dar un grupo por su presentación. El problema verbal pregunta si dos palabras son efectivamente el mismo elemento del grupo. Al relacionar el problema con las máquinas de Turing, se puede mostrar que, en general, no existe un algoritmo que resuelva esta tarea. Otro problema algorítmicamente insoluble, generalmente más difícil, es el problema del isomorfismo de grupos, que pregunta si dos grupos dados por diferentes presentaciones son realmente isomorfos. Por ejemplo, el grupo con presentación es isomorfo al grupo aditivo Z de números enteros, aunque esto puede no ser evidente de inmediato. (Escribiendo , uno tiene )

La teoría de grupos geométricos ataca estos problemas desde un punto de vista geométrico, ya sea viendo a los grupos como objetos geométricos o encontrando objetos geométricos adecuados sobre los que actúa un grupo. La primera idea se concreta mediante el gráfico de Cayley, cuyos vértices corresponden a elementos del grupo y aristas a la multiplicación por la derecha en el grupo. Dados dos elementos, uno construye la palabra métrica dada por la longitud del camino mínimo entre los elementos. Un teorema de Milnor y Svarc dice que dado un grupo G que actúa de manera razonable en un espacio métrico X, por ejemplo, una variedad compacta, entonces G es cuasi-isométrico (es decir, parece similar desde la distancia) al espacio X.

Conexión de grupos y simetría.

Dado un objeto estructurado X de cualquier tipo, una simetría es un mapeo del objeto sobre sí mismo que preserva la estructura. Esto ocurre en muchos casos, por ejemplo

• Si X es un conjunto sin estructura adicional, una simetría es un mapa biyectivo del conjunto a sí mismo, dando lugar a grupos de permutación.
• Si el objeto X es un conjunto de puntos en el plano con su estructura métrica o cualquier otro espacio métrico, una simetría es una biyección del conjunto consigo mismo que conserva la distancia entre cada par de puntos (una isometría). El grupo correspondiente se llama grupo de isometría de X.
• Si en cambio se conservan los ángulos, se habla de mapas conformes. Los mapas conformes dan lugar a grupos kleinianos, por ejemplo.
• Las simetrías no están restringidas a objetos geométricos, sino que también incluyen objetos algebraicos. Por ejemplo, la ecuación tiene las dos soluciones y . En este caso, el grupo que intercambia las dos raíces es el grupo de Galois perteneciente a la ecuación. Cada ecuación polinomial en una variable tiene un grupo de Galois, que es un cierto grupo de permutación en sus raíces.

Los axiomas de un grupo formalizan los aspectos esenciales de la simetría. Las simetrías forman un grupo: están cerrados porque si tomas una simetría de un objeto y luego aplicas otra simetría, el resultado seguirá siendo una simetría. La identidad que mantiene fijo al objeto es siempre una simetría de un objeto. La existencia de inversas se garantiza al deshacer la simetría y la asociatividad proviene del hecho de que las simetrías son funciones en un espacio, y la composición de funciones es asociativa.

El teorema de Frucht dice que todo grupo es el grupo de simetría de algún gráfico. Entonces, cada grupo abstracto es en realidad las simetrías de algún objeto explícito.

El dicho de "preservar la estructura" de un objeto puede precisarse trabajando en una categoría. Los mapas que conservan la estructura son entonces los morfismos, y el grupo de simetría es el grupo de automorfismos del objeto en cuestión.

Aplicaciones de la teoría de grupos

Abundan las aplicaciones de la teoría de grupos. Casi todas las estructuras en álgebra abstracta son casos especiales de grupos. Los anillos, por ejemplo, pueden verse como grupos abelianos (correspondientes a la suma) junto con una segunda operación (correspondiente a la multiplicación). Por lo tanto, los argumentos de la teoría de grupos subyacen en gran parte de la teoría de esas entidades.

Teoría de Galois

La teoría de Galois usa grupos para describir las simetrías de las raíces de un polinomio (o más precisamente los automorfismos de las álgebras generadas por estas raíces). El teorema fundamental de la teoría de Galois proporciona un vínculo entre las extensiones de campos algebraicos y la teoría de grupos. Proporciona un criterio efectivo para la resolución de ecuaciones polinómicas en términos de la resolución del grupo de Galois correspondiente. Por ejemplo, S ₅, el grupo simétrico de 5 elementos, no tiene solución, lo que implica que la ecuación quíntica general no puede resolverse mediante radicales como lo hacen las ecuaciones de menor grado. La teoría, siendo una de las raíces históricas de la teoría de grupos, todavía se aplica de manera fructífera para producir nuevos resultados en áreas como la teoría del campo de clases.

Topología algebraica

La topología algebraica es otro dominio que asocia prominentemente grupos a los objetos en los que está interesada la teoría. Allí, los grupos se usan para describir ciertas invariantes de espacios topológicos. Se llaman "invariantes" porque se definen de tal manera que no cambian si el espacio se somete a alguna deformación. Por ejemplo, el grupo fundamental "cuenta" cuántos caminos en el espacio son esencialmente diferentes. La conjetura de Poincaré, probada en 2002/2003 por Grigori Perelman, es una aplicación destacada de esta idea. Sin embargo, la influencia no es unidireccional. Por ejemplo, la topología algebraica utiliza espacios de Eilenberg-MacLane, que son espacios con grupos de homotopía prescritos. De manera similar, la teoría K algebraica se basa en cierto modo en la clasificación de espacios de grupos. Por fin,

Geometría algebraica

La geometría algebraica también utiliza la teoría de grupos de muchas maneras. Las variedades abelianas se han introducido anteriormente. La presencia de la operación del grupo arroja información adicional que hace que estas variedades sean particularmente accesibles. También suelen servir como prueba para nuevas conjeturas. (Por ejemplo, la conjetura de Hodge (en ciertos casos).) El caso unidimensional, es decir, las curvas elípticas, se estudia con particular detalle. Son tanto teórica como prácticamente intrigantes. En otra dirección, las variedades tóricas son variedades algebraicas sobre las que actúa un toro. Las incrustaciones toroidales han llevado recientemente a avances en geometría algebraica, en particular, en la resolución de singularidades.

Teoría de números algebraicos

La teoría algebraica de números hace uso de grupos para algunas aplicaciones importantes. Por ejemplo, la fórmula del producto de Euler,

captura el hecho de que cualquier número entero se descompone de una manera única en números primos. El fracaso de esta declaración para anillos más generales da lugar a grupos de clases y números primos regulares, que aparecen en el tratamiento de Kummer del último teorema de Fermat.

Análisis armónico

El análisis de los grupos de Lie y algunos otros grupos se denomina análisis armónico. Las medidas de Haar, es decir, integrales invariantes bajo la traducción en un grupo de Lie, se utilizan para el reconocimiento de patrones y otras técnicas de procesamiento de imágenes.

Combinatoria

En combinatoria, la noción de grupo de permutación y el concepto de acción de grupo se utilizan a menudo para simplificar el conteo de un conjunto de objetos; ver en particular el lema de Burnside.

Música

La presencia de la periodicidad de 12 en el círculo de quintas produce aplicaciones de la teoría de grupos elemental en la teoría de conjuntos musicales. La teoría transformacional modela las transformaciones musicales como elementos de un grupo matemático.

Física

En física, los grupos son importantes porque describen las simetrías a las que parecen obedecer las leyes de la física. Según el teorema de Noether, toda simetría continua de un sistema físico corresponde a una ley de conservación del sistema. Los físicos están muy interesados ​​en las representaciones de grupos, especialmente de los grupos de Lie, ya que estas representaciones a menudo señalan el camino hacia las "posibles" teorías físicas. Los ejemplos del uso de grupos en física incluyen el modelo estándar, la teoría de calibre, el grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré.

La teoría de grupos se puede utilizar para resolver el carácter incompleto de las interpretaciones estadísticas de la mecánica desarrollada por Willard Gibbs, en relación con la suma de un número infinito de probabilidades para producir una solución significativa.

Química y ciencia de los materiales.

En química y ciencia de los materiales, los grupos puntuales se utilizan para clasificar los poliedros regulares y las simetrías de las moléculas y los grupos espaciales para clasificar las estructuras cristalinas. Los grupos asignados se pueden usar para determinar las propiedades físicas (como la polaridad química y la quiralidad), las propiedades espectroscópicas (particularmente útiles para la espectroscopia Raman, la espectroscopia infrarroja, la espectroscopia de dicroísmo circular, la espectroscopia de dicroísmo circular magnético, la espectroscopia UV/Vis y la espectroscopia de fluorescencia) y construir orbitales moleculares.

La simetría molecular es responsable de muchas propiedades físicas y espectroscópicas de los compuestos y proporciona información relevante sobre cómo ocurren las reacciones químicas. Para asignar un grupo puntual a cualquier molécula dada, es necesario encontrar el conjunto de operaciones de simetría presentes en ella. La operación de simetría es una acción, como una rotación alrededor de un eje o un reflejo a través de un plano de espejo. En otras palabras, es una operación que mueve la molécula de tal manera que es indistinguible de la configuración original. En la teoría de grupos, los ejes de rotación y los planos de los espejos se denominan "elementos de simetría". Estos elementos pueden ser un punto, una línea o un plano respecto del cual se realiza la operación de simetría. Las operaciones de simetría de una molécula determinan el grupo puntual específico para esta molécula.

En química, hay cinco operaciones de simetría importantes. Son operación identidad (E), operación rotación o rotación propia (Cn ₎, operación reflexión (σ), inversión (i) y operación reflexión rotación o rotación impropia (_Sn). La operación identidad (E) consiste en dejar la molécula tal como está. Esto es equivalente a cualquier número de rotaciones completas alrededor de cualquier eje. Esta es una simetría de todas las moléculas, mientras que el grupo de simetría de una molécula quiral consiste solo en la operación de identidad. Una operación de identidad es una característica de cada molécula, incluso si no tiene simetría. Rotación alrededor de un eje (C _n) consiste en hacer girar la molécula alrededor de un eje específico en un ángulo específico. Es la rotación a través del ángulo de 360°/ n, donde n es un número entero, alrededor de un eje de rotación. Por ejemplo, si una molécula de agua gira 180° alrededor del eje que pasa a través del átomo de oxígeno y entre los átomos de hidrógeno, está en la misma configuración que tenía al principio. En este caso, n = 2, ya que al aplicarlo dos veces se produce la operación identidad. En moléculas con más de un eje de rotación, el eje _Cn que tiene el mayor valor de n es el eje de rotación de mayor orden o eje principal. Por ejemplo, en trifluoruro de boro (BF ₃), el orden más alto del eje de rotación es C ₃, por lo que el eje principal de rotación es C ₃.

En la operación de reflexión (σ) muchas moléculas tienen planos especulares, aunque pueden no ser obvios. La operación de reflexión intercambia izquierda y derecha, como si cada punto se hubiera movido perpendicularmente a través del plano a una posición exactamente tan alejada del plano como cuando comenzó. Cuando el plano es perpendicular al eje principal de rotación, se llama σ _h (horizontal). Otros planos, que contienen el eje principal de rotación, se denominan verticales (σ _v) o diedros (σ _d).

La inversión (i) es una operación más compleja. Cada punto se mueve a través del centro de la molécula a una posición opuesta a la posición original y tan lejos del punto central como donde comenzó. Muchas moléculas que a primera vista parecen tener un centro de inversión no lo tienen; por ejemplo, el metano y otras moléculas tetraédricas carecen de simetría de inversión. Para ver esto, sostenga un modelo de metano con dos átomos de hidrógeno en el plano vertical a la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal a la izquierda. La inversión da como resultado dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal a la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano vertical a la izquierda. Por lo tanto, la inversión no es una operación de simetría del metano, porque la orientación de la molécula que sigue a la operación de inversión difiere de la orientación original.S _n) requiere una rotación de 360°/ n, seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación.

Criptografía

Los grupos muy grandes de orden principal construidos en criptografía de curva elíptica sirven para la criptografía de clave pública. Los métodos criptográficos de este tipo se benefician de la flexibilidad de los objetos geométricos, de ahí sus estructuras de grupo, junto con la complicada estructura de estos grupos, que hacen que el logaritmo discreto sea muy difícil de calcular. Uno de los primeros protocolos de cifrado, el cifrado de César, también puede interpretarse como una operación de grupo (muy fácil). La mayoría de los esquemas criptográficos usan grupos de alguna manera. En particular, el intercambio de claves Diffie-Hellman utiliza grupos cíclicos finitos. Entonces, el término criptografía basada en grupos se refiere principalmente a protocolos criptográficos que usan infinitos grupos no abelianos, como un grupo trenzado.

Historia

La teoría de grupos tiene tres fuentes históricas principales: la teoría de los números, la teoría de las ecuaciones algebraicas y la geometría. La rama de la teoría de números fue iniciada por Leonhard Euler y desarrollada por el trabajo de Gauss sobre aritmética modular y grupos aditivos y multiplicativos relacionados con campos cuadráticos. Los primeros resultados sobre los grupos de permutación fueron obtenidos por Lagrange, Ruffini y Abel en su búsqueda de soluciones generales de ecuaciones polinómicas de alto grado. Évariste Galois acuñó el término "grupo" y estableció una conexión, ahora conocida como teoría de Galois, entre la naciente teoría de grupos y la teoría de campos. En geometría, los grupos primero se volvieron importantes en la geometría proyectiva y, más tarde, en la geometría no euclidiana. El programa de Erlangen de Felix Klein proclamaba que la teoría de grupos era el principio organizador de la geometría.

Galois, en la década de 1830, fue el primero en emplear grupos para determinar la resolución de ecuaciones polinómicas. Arthur Cayley y Augustin Louis Cauchy impulsaron estas investigaciones más allá al crear la teoría de los grupos de permutación. La segunda fuente histórica para los grupos proviene de situaciones geométricas. En un intento de abordar las posibles geometrías (como la geometría euclidiana, hiperbólica o proyectiva) utilizando la teoría de grupos, Felix Klein inició el programa Erlangen. Sophus Lie, en 1884, comenzó a usar grupos (ahora llamados grupos de Lie) adjuntos a problemas analíticos. En tercer lugar, los grupos se utilizaron, al principio de forma implícita y después de forma explícita, en la teoría algebraica de números.

El diferente alcance de estas fuentes tempranas resultó en diferentes nociones de grupos. La teoría de grupos se unificó a partir de 1880. Desde entonces, el impacto de la teoría de grupos ha ido en aumento, dando lugar al nacimiento del álgebra abstracta a principios del siglo XX, la teoría de la representación y muchos más dominios derivados influyentes. La clasificación de grupos finitos simples es un vasto cuerpo de trabajo de mediados del siglo XX, que clasifica todos los grupos finitos simples.