Teoría de Galois

Diagrama de celosía Q Adjuntar las raíces cuadradas positivas de 2 y 3, sus subcampos, y los grupos Galois.

En matemáticas, la teoría de Galois, introducida originalmente por Évariste Galois, proporciona una conexión entre la teoría de campos y la teoría de grupos. Esta conexión, el teorema fundamental de la teoría de Galois, permite reducir ciertos problemas de la teoría de campos a la teoría de grupos, lo que los hace más sencillos y comprensibles.

Galois introdujo el tema del estudio de raíces de polinomios. Esto le permitió caracterizar las ecuaciones polinómicas que son solubles mediante radicales en términos de propiedades del grupo de permutación de sus raíces: una ecuación es soluble mediante radicales si sus raíces pueden ser expresado por una fórmula que involucra solo números enteros, raíces enésimas y las cuatro operaciones aritméticas básicas. Esto generaliza ampliamente el teorema de Abel-Ruffini, que afirma que un polinomio general de grado al menos cinco no puede resolverse mediante radicales.

La teoría de Galois se ha utilizado para resolver problemas clásicos, incluida la demostración de que dos problemas de la antigüedad no se pueden resolver como se plantearon (doblar el cubo y trisecar el ángulo), y caracterizar los polígonos regulares que son construibles (esta caracterización se dio anteriormente por Gauss, pero todas las pruebas conocidas de que esta caracterización es completa requieren la teoría de Galois).

Galois' El trabajo fue publicado por Joseph Liouville catorce años después de su muerte. La teoría tardó más en volverse popular entre los matemáticos y en ser bien entendida.

La teoría de Galois se ha generalizado a las conexiones de Galois y la teoría de Galois de Grothendieck.

Aplicación a problemas clásicos

El nacimiento y desarrollo de la teoría de Galois fue causado por la siguiente pregunta, que fue una de las principales cuestiones matemáticas abiertas hasta principios del siglo XIX:

¿Existe una fórmula para las raíces de una ecuación polinomial de quinto (o superior) grado en términos de los coeficientes del polinomio, utilizando sólo las operaciones algebraicas habituales (addición, resta, multiplicación, división) y aplicación de radicales (raíz cuadrada, raíces cubo, etc)?

El teorema de Abel-Ruffini proporciona un contraejemplo que demuestra que hay ecuaciones polinómicas para las que no puede existir tal fórmula. Galois' La teoría proporciona una respuesta mucho más completa a esta pregunta, al explicar por qué es posible resolver algunas ecuaciones, incluidas todas las de grado cuatro o inferior, de la manera anterior, y por qué no es posible para la mayoría de las ecuaciones de grado cinco o superior. Además, proporciona un medio para determinar si se puede resolver una ecuación en particular que es conceptualmente clara y fácil de expresar como un algoritmo.

Galois' La teoría también da una idea clara de las cuestiones relativas a los problemas en la construcción de compás y regla. Da una caracterización elegante de las proporciones de longitudes que se pueden construir con este método. Usando esto, se vuelve relativamente fácil responder a problemas clásicos de geometría como

1. ¿Qué polígonos regulares son constructibles?
2. ¿Por qué no es posible trisectar cada ángulo usando una brújula y una trama?
3. ¿Por qué duplicar el cubo no es posible con el mismo método?

Historia

Prehistoria

Galois' La teoría se originó en el estudio de funciones simétricas: los coeficientes de un polinomio mónico son (hasta el signo) los polinomios simétricos elementales en las raíces. Por ejemplo, (x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab< /i>, donde 1, a + b y < i>ab son los polinomios elementales de grado 0, 1 y 2 en dos variables.

Esto fue formalizado por primera vez por el matemático francés del siglo XVI François Viète, en las fórmulas de Viète, para el caso de raíces reales positivas. En opinión del matemático británico del siglo XVIII Charles Hutton, la expresión de los coeficientes de un polinomio en términos de raíces (no solo para raíces positivas) fue entendida por primera vez por el matemático francés del siglo XVII Albert Girard; Hutton escribe:

...[Girard era] la primera persona que entendía la doctrina general de la formación de los coeficientes de los poderes de la suma de las raíces y sus productos. Fue el primero que descubrió las reglas para sumar los poderes de las raíces de cualquier ecuación.

En este sentido, el discriminante es una función simétrica en las raíces que refleja las propiedades de las raíces: es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple, y para polinomios cuadráticos y cúbicos es positivo si y solo si todas las raíces son reales y distintas, y negativas si y sólo si hay un par de raíces conjugadas complejas distintas. Ver Discriminante: Naturaleza de las raíces para más detalles.

La cúbica fue parcialmente resuelta por primera vez por el matemático italiano de los siglos XV y XVI Scipione del Ferro, quien, sin embargo, no publicó sus resultados; este método, sin embargo, solo resolvió un tipo de ecuación cúbica. Esta solución fue redescubierta de forma independiente en 1535 por Niccolò Fontana Tartaglia, quien la compartió con Gerolamo Cardano y le pidió que no la publicara. Cardano luego extendió esto a muchos otros casos, usando argumentos similares; ver más detalles en el método de Cardano. Después del descubrimiento de la obra de del Ferro, sintió que el método de Tartaglia ya no era un secreto, y por eso publicó su solución en su Ars Magna de 1545. Su alumno Lodovico Ferrari resolvió el polinomio cuartico; su solución también se incluyó en Ars Magna. En este libro, sin embargo, Cardano no proporcionó una "fórmula general" para la solución de una ecuación cúbica, ya que no disponía de números complejos ni de la notación algebraica para poder describir una ecuación cúbica general. Con el beneficio de la notación moderna y los números complejos, las fórmulas de este libro funcionan en el caso general, pero Cardano no lo sabía. Fue Rafael Bombelli quien logró comprender cómo trabajar con números complejos para resolver todas las formas de ecuaciones cúbicas.

Un paso más fue el artículo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations del matemático franco-italiano Joseph Louis Lagrange, en su método de los resolventes de Lagrange, donde analizó los de Cardano y La solución de Ferrari de cúbicas y cuarticas al considerarlas en términos de permutaciones de las raíces, lo que arrojó un polinomio auxiliar de menor grado, proporcionando una comprensión unificada de las soluciones y sentando las bases para el grupo teoría y Galois' teoría. De manera crucial, sin embargo, no consideró la composición de las permutaciones. El método de Lagrange no se extendía a ecuaciones quínticas o superiores, porque el resolvente tenía mayor grado.

Los radicales de Paolo Ruffini en 1799 casi demostraron que la quíntica no tiene soluciones generales, cuya idea clave fue usar grupos de permutación, no solo una permutación. Su solución contenía una brecha, que Cauchy consideró menor, aunque no fue reparada hasta el trabajo del matemático noruego Niels Henrik Abel, quien publicó una prueba en 1824, estableciendo así el teorema de Abel-Ruffini.

Si bien Ruffini y Abel establecieron que la quíntica general no podía resolverse, algunas quínticas particulares sí pueden resolverse, como x⁵ - 1 = 0, y el criterio preciso por el cual un dado quíntico o polinomio superior podría determinarse como solucionable o no fue dado por Évariste Galois, quien demostró que si un polinomio era resoluble o no era equivalente a si el grupo de permutación de sus raíces -en términos modernos, su grupo de Galois- tenía o no cierta estructura -en términos modernos, si era o no era un grupo soluble. Este grupo siempre fue resoluble para polinomios de grado cuatro o menos, pero no siempre lo fue para polinomios de grado cinco o mayor, lo que explica por qué no existe una solución general en grados más altos.

Galois' escritos

Un retrato de Évariste Galois de 15 años

En 1830, Galois (a la edad de 18 años) presentó a la Academia de Ciencias de París una memoria sobre su teoría de la solubilidad por radicales; Galois' el papel fue finalmente rechazado en 1831 por ser demasiado incompleto y por dar una condición en términos de las raíces de la ecuación en lugar de sus coeficientes. Galois luego murió en un duelo en 1832, y su artículo, "Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux", permaneció inédito hasta 1846 cuando fue publicado por Joseph Liouville. acompañado de algunas de sus propias explicaciones. Antes de esta publicación, Liouville anunció que Galois' resultado a la Academia en un discurso que pronunció el 4 de julio de 1843. Según Allan Clark, la caracterización de Galois "reemplaza dramáticamente el trabajo de Abel y Ruffini".

Consecuencias

Galois' La teoría era notoriamente difícil de entender para sus contemporáneos, especialmente al nivel en el que podían expandirla. Por ejemplo, en su comentario de 1846, Liouville se perdió por completo el núcleo de la teoría de grupos de Galois' método. Joseph Alfred Serret que asistió a algunas de las charlas de Liouville, incluido Galois' teoría en su 1866 (tercera edición) de su libro de texto Cours d'algèbre supérieure. El alumno de Serret, Camille Jordan, tenía una comprensión aún mejor reflejada en su libro de 1870 Traité des substitutions et des équations algébriques. Fuera de Francia, Galois' la teoría permaneció más oscura durante un período más largo. En Gran Bretaña, Cayley no logró captar su profundidad y los libros de texto de álgebra británicos populares ni siquiera mencionaron a Galois' teoría hasta mucho después del cambio de siglo. En Alemania, los escritos de Kronecker se centraron más en el resultado de Abel. Dedekind escribió poco sobre Galois' teoría, pero dio una conferencia sobre ella en Göttingen en 1858, mostrando una muy buena comprensión. Los libros de Eugen Netto de la década de 1880, basados en el Traité de Jordan, hicieron que la teoría de Galois fuera accesible a una audiencia alemana y estadounidense más amplia, al igual que el libro de texto de álgebra de 1895 de Heinrich Martin Weber..

Enfoque de grupo de permutación

Dado un polinomio, puede ser que algunas de las raíces estén conectadas por varias ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, puede ser que para dos de las raíces digamos A y B, que A² + 5B³ = 7. La idea central de Galois' La teoría es considerar permutaciones (o reordenamientos) de las raíces tales que cualquier ecuación algebraica satisfecha por las raíces todavía se cumple después de que las raíces han sido permutadas. Originalmente, la teoría se había desarrollado para ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son números racionales. Se extiende naturalmente a ecuaciones con coeficientes en cualquier campo, pero esto no se considerará en los ejemplos simples a continuación.

Estas permutaciones juntas forman un grupo de permutaciones, también llamado grupo de Galois del polinomio, que se describe explícitamente en los siguientes ejemplos.

Ecuación cuadrática

Considere la ecuación cuadrática

${displaystyle x^{2}-4x+1=0.}$

Usando la fórmula cuadrática, encontramos que las dos raíces son

${displaystyle {begin{aligned}A paciente=2+{sqrt {3},B demandante=2-{sqrt {3}}}end{aligned}}}$

Ejemplos de ecuaciones algebraicas satisfechas por A y B incluir

${displaystyle A+B=4,}$

y

${displaystyle AB=1.}$

Si intercambiamos A y B en cualquiera de las dos últimas ecuaciones obtenemos otro enunciado verdadero. Por ejemplo, la ecuación A + B = 4 se convierte en B< /i> + A = 4. En general, es cierto que esto es válido para todas relaciones algebraicas posibles entre A y B tales que todos los coeficientes son racionales; es decir, en cualquier relación de este tipo, intercambiar A y B produce otra relación verdadera. Esto resulta de la teoría de polinomios simétricos, que, en este caso, puede ser reemplazada por manipulaciones de fórmulas que involucran el teorema del binomio.

Se podría objetar que A y B están relacionados por la ecuación algebraica A − B − 2√3 = 0, que no sigue siendo cierto cuando A y B se intercambian. Sin embargo, esta relación no se considera aquí, porque tiene el coeficiente −2√3 que no es racional.

Concluimos que el grupo de Galois del polinomio x² − 4x + 1 consta de dos permutaciones: la permutación de identidad que deja A y B< /span> intacto, y la permutación de transposición que intercambia A y B. Como todos los grupos con dos elementos son isomorfos, este grupo de Galois es isomorfo al grupo multiplicativo {1, −1}.

Una discusión similar se aplica a cualquier polinomio cuadrático ax² + bx + c< /i>, donde a, b y c son números racionales.

• Si el polinomio tiene raíces racionales, por ejemplo x² − 4x + 4 =x − 2)², o x² 3 - 3x + 2 =x − 2)x −1), entonces el grupo Galois es trivial; es decir, contiene sólo la permutación de identidad. En este ejemplo, si A = 2 y B = 1 entonces A − B = 1 ya no es verdad cuando A y B son intercambiados.
• Si tiene dos raíces irracionales, por ejemplo x² − 2, entonces el grupo Galois contiene dos permutaciones, como en el ejemplo anterior.

Ecuación cuártica

Considere el polinomio

${displaystyle x^{4}-10x^{2}+1,}$

que también se puede escribir como

${displaystyle left(x^{2}-5right)^{2}-24.}$

Deseamos describir el grupo de Galois de este polinomio, nuevamente sobre el campo de los números racionales. El polinomio tiene cuatro raíces:

${displaystyle {begin{aligned}A limit={sqrt {2}+{sqrt {3}},B doble={sqrt {2}-{sqrt {3},cH00cH00cH00} {2}+{sqrt {3}},\cH00=-{sqrt {2}-{sqrt {3}}}end{aligned}}}}$

Hay 24 formas posibles de permutar estas cuatro raíces, pero no todas estas permutaciones son miembros del grupo de Galois. Los miembros del grupo de Galois deben preservar cualquier ecuación algebraica con coeficientes racionales que involucren A, B, C y D.

Entre estas ecuaciones, tenemos:

${displaystyle {begin{aligned}AB excl=-1AC recur=1\A+D viviendo=0end{aligned}}$

Se sigue que, si φ es una permutación que pertenece al grupo de Galois, debemos tener:

${displaystyle {begin{aligned}varphi (B) limit={frac {-1}{varphi (A)}},\varphi (C) limit={frac {1}{varphi (A)}},\varphi (D) sensible=-varphi (A).end{aligned}}}}$

Esto implica que la permutación está bien definida por la imagen de A, y que el grupo de Galois tiene 4 elementos, que son:

()A, B, C, D) →A, B, C, D)

()A, B, C, D) →B, A, D, C)

()A, B, C, D) →C, D, A, B)

()A, B, C, D) →D, C, B, A)

Esto implica que el grupo de Galois es isomorfo al grupo de cuatro de Klein.

Enfoque moderno por teoría de campos

En el enfoque moderno, uno comienza con una extensión de campo L/K (léase "< span class="texhtml">L sobre K"), y examina el grupo de automorfismos de L que fijan K. Consulte el artículo sobre los grupos de Galois para obtener más explicaciones y ejemplos.

La conexión entre los dos enfoques es la siguiente. Los coeficientes del polinomio en cuestión deben elegirse del campo base K. El campo superior L debe ser el campo obtenido al unir las raíces del polinomio en cuestión al campo base. Cualquier permutación de las raíces que respete las ecuaciones algebraicas descritas anteriormente da lugar a un automorfismo de L/K, y viceversa viceversa

En el primer ejemplo anterior, estábamos estudiando la extensión Q(√3)/Q, donde Q es el campo de los números racionales, y Q(√3) es el campo obtenido de Q al unir √3. En el segundo ejemplo, estábamos estudiando la extensión Q(A,B,C< /i>,D)/Q.

Hay varias ventajas en el enfoque moderno sobre el enfoque de grupo de permutación.

• Permite una afirmación mucho más simple del teorema fundamental de la teoría de Galois.
• Uso de campos de base distintos Q es crucial en muchas áreas de matemáticas. Por ejemplo, en la teoría de números algebraicos, uno a menudo hace la teoría de Galois utilizando campos número, campos finitos o campos locales como el campo base.
• Permite estudiar fácilmente extensiones infinitas. De nuevo esto es importante en la teoría de números algebraicos, donde por ejemplo uno suele discutir el grupo absoluto Galois de Q, definido para ser el grupo Galois de K/Q Donde K es un cierre algebraico Q.
• Permite la consideración de extensiones inseparables. Este tema no surge en el marco clásico, ya que siempre fue asumido implícitamente que la aritmética tuvo lugar en la característica cero, pero la característica no cero surge con frecuencia en la teoría de números y en la geometría algebraica.
• Elimina la dependencia bastante artificial sobre las raíces de perseguir polinomios. Es decir, diferentes polinomios pueden producir los mismos campos de extensión, y el enfoque moderno reconoce la conexión entre estos polinomios.

Grupos solubles y solución por radicales

La noción de grupo soluble en la teoría de grupos permite determinar si un polinomio es soluble en radicales, dependiendo de si su grupo de Galois tiene la propiedad de solución. En esencia, cada extensión de campo L/K corresponde a un grupo de factores en una serie de composición del grupo de Galois. Si un grupo de factores en la serie de composición es cíclico de orden n, y si en la extensión de campo correspondiente L/K el campo K ya contiene una raíz n-ésima primitiva de la unidad, entonces es una extensión radical y los elementos de L se pueden expresar usando nraíz enésima de algún elemento de K.

Si todos los grupos de factores en su serie de composición son cíclicos, el grupo de Galois se llama soluble, y todos los elementos del campo correspondiente se pueden encontrar tomando repetidamente raíces, productos y sumas de elementos del campo base (generalmente Q).

Uno de los grandes triunfos de la teoría de Galois fue la prueba de que para cada n > 4, existen polinomios de grado n que no se pueden resolver con radicales (esto fue demostrado de forma independiente, usando un método similar, por Niels Henrik Abel unos años antes, y es el teorema de Abel-Ruffini), y una forma sistemática de probar si un polinomio específico se puede resolver mediante radicales. El teorema de Abel-Ruffini resulta del hecho de que para n > 4 el grupo simétrico S_n contiene un simple, no cíclico, normal subgrupo, a saber, el grupo alterno A_n.

Un ejemplo quíntico sin solución

Para el polinomio f()x) x⁵ − x − 1, la única raíz real x = 1.1673... es algebraico, pero no expresible en términos de radicales. Las otras cuatro raíces son números complejos.

Van der Waerden cita el polinomio f(x) = x^{5 − x − 1}. Por el teorema de la raíz racional, esto no tiene ceros racionales. Tampoco tiene factores lineales módulo 2 o 3.

El grupo de Galois de f(x) módulo 2 es cíclico de orden 6, porque f(x) módulo 2 factores en polinomios de órdenes 2 y 3, (x ² + x + 1)(x³ + x ² + 1).

f(x) módulo 3 no tiene factor lineal o cuadrático, y por lo tanto es irreducible. Por lo tanto, su grupo de módulo 3 Galois contiene un elemento de orden 5.

Se sabe que un grupo de Galois módulo a primo es isomorfo a un subgrupo del grupo de Galois sobre los racionales. Un grupo de permutaciones sobre 5 objetos con elementos de orden 6 y 5 debe ser el grupo simétrico S₅, que por lo tanto es el grupo Galois de f(x). Este es uno de los ejemplos más simples de un polinomio quíntico no solucionable. Según Serge Lang, a Emil Artin le gustaba este ejemplo.

Problema inverso de Galois

El problema inverso de Galois es encontrar una extensión de campo con un grupo de Galois dado.

Mientras no se especifique también el campo de tierra, el problema no es muy difícil y todos los grupos finitos ocurren como grupos de Galois. Para mostrar esto, se puede proceder como sigue. Elija un campo K y un grupo finito G. El teorema de Cayley dice que G es (salvo isomorfismo) un subgrupo del grupo simétrico S en los elementos de G. Elija indeterminados {x_α}, uno para cada elemento α de G, y unirlos a K para obtener el campo F = K({x< sub>α}). Dentro de F está el campo L de funciones racionales simétricas en el {x_α}. El grupo de Galois de F/L es S , por un resultado básico de Emil Artin. G actúa sobre F por restricción de acción de S. Si el campo fijo de esta acción es M, entonces, por el teorema fundamental de la teoría de Galois, el grupo de Galois de F/M es G.

Por otro lado, es un problema abierto si todo grupo finito es el grupo de Galois de una extensión de campo del campo Q del numeros racionales. Igor Shafarevich demostró que todo grupo finito soluble es el grupo de Galois de alguna extensión de Q. Varias personas han resuelto el problema inverso de Galois para grupos simples no abelianos seleccionados. Se ha demostrado la existencia de soluciones para todos excepto posiblemente uno (grupo Mathieu M₂₃) de los 26 grupos simples esporádicos. Incluso existe un polinomio con coeficientes enteros cuyo grupo de Galois es el grupo de Monster.

Extensiones inseparables

En la forma mencionada anteriormente, incluyendo en particular el teorema fundamental de la teoría de Galois, la teoría sólo considera las extensiones de Galois, que son en particular separables. Las extensiones generales de campo pueden dividirse en un separable, seguido de una extensión de campo puramente inseparable. Para una extensión puramente inseparable F / K, hay una teoría Galois donde el grupo Galois es reemplazado por el espacio vectorial de derivaciones, ${displaystyle Der_{K}(F,F)}$, es decir, K-Endomorfismos lineales de F satisfaciendo la regla de Leibniz. En esta correspondencia, un campo intermedio E se asigna ${displaystyle Der_{E}(F,F)subset Der_{K}(F,F)}$. Por el contrario, un subespacio ${displaystyle Vsubset Der_{K}(F,F)}$ satisfacer las condiciones apropiadas se mapea para ${displaystyle {xin F,f(x)=0forall fin V}$. Con arreglo a la hipótesis ${displaystyle F^{p}subset K}$, Jacobson (1944) mostró que esto establece una correspondencia de uno a uno. La condición impuesta por Jacobson ha sido removida por Brantner & Waldron (2020), dando una correspondencia usando nociones de geometría algebraica derivada.