Teoría de Dempster -Shafer

Arthur P. Dempster en el Taller sobre Teoría de Funciones de la Creencia (Brest, 1 de abril de 2010).

La teoría de las funciones de creencias , también conocida como teoría de evidencia o Dempster -Shafer Theory ( dst ), es un marco general para el razonamiento con incertidumbre, con conexiones entendidas a otros marcos, como la probabilidad, la posibilidad y las teorías de probabilidad imprecisa. Introducido por primera vez por Arthur P. Dempster en el contexto de la inferencia estadística, la teoría fue desarrollada posteriormente por Glenn Shafer en un marco general para modelar la incertidumbre epistémica, una teoría matemática de la evidencia. La teoría le permite a uno combinar evidencia de diferentes fuentes y llegar a un grado de creencia (representado por un objeto matemático llamado Función de creencia ) que tiene en cuenta toda la evidencia disponible.

En un sentido estrecho, el término teoría Dempster -Shafer se refiere a la concepción original de la teoría de Dempster y Shafer. Sin embargo, es más común usar el término en el sentido más amplio del mismo enfoque general, ya que se adapta a tipos específicos de situaciones. En particular, muchos autores han propuesto diferentes reglas para combinar evidencia, a menudo con el fin de manejar mejor los conflictos en evidencia. Las primeras contribuciones también han sido los puntos de partida de muchos desarrollos importantes, incluido el modelo de creencia transferible y la teoría de las sugerencias.

Descripción general

Dempster -Shafer es una generalización de la teoría bayesiana de la probabilidad subjetiva. Las funciones de creencia basan grados de creencia (o confianza, o confianza) para una pregunta sobre las probabilidades subjetivas para una pregunta relacionada. Los grados de creencia en sí mismos pueden o no tener las propiedades matemáticas de las probabilidades; Cuánto difieren depende de cuán estrechamente se relacionen las dos preguntas. Dicho de otra manera, es una forma de representar las plausibilidad epistémica, pero puede generar respuestas que contradicen las que llegaron a usar la teoría de la probabilidad.

A menudo utilizado como método de fusión de sensores, la teoría de Dempster -Shafer se basa en dos ideas: obtener grados de creencia para una pregunta de las probabilidades subjetivas para una pregunta relacionada, y la regla de Dempster para combinar tales grados de creencia cuando se basan en elementos de evidencia independientes. En esencia, el grado de creencia en una proposición depende principalmente del número de respuestas (a las preguntas relacionadas) que contienen la proposición y la probabilidad subjetiva de cada respuesta. También contribuyen las reglas de combinación que reflejan suposiciones generales sobre los datos.

En este formalismo, un grado de creencia (también conocido como masa ) se representa como una función de creencia en lugar de una probabilidad bayesiana distribución. Los valores de probabilidad se asignan a conjuntos de posibilidades en lugar de eventos únicos: su atractivo se basa en el hecho de que naturalmente codifican evidencia a favor de las proposiciones.

Dempster-Shafer Theory asigna sus masas a todos los subconjuntos del conjunto de estados de un sistema, en términos teóricos del conjunto, el conjunto de potencia de los estados. Por ejemplo, suponga una situación en la que hay dos estados posibles de un sistema. Para este sistema, cualquier función de creencia asigna masa al primer estado, el segundo, a ambos y a ninguno de los dos.

Creencia y plausibilidad

El formalismo de Shafer comienza a partir de un conjunto de posibilidades bajo consideración, por ejemplo, valores numéricos de una variable, o pares de variables lingüísticas como la fecha y el lugar de origen de un reliquia " (Preguntando si es antiguo o una falsa reciente). Una hipótesis está representada por un subconjunto de este marco de discernimiento , como " (Ming Dynasty, China) ", o " (siglo XIX, Alemania) ".

Shafer permite que la creencia sobre tales proposiciones se represente como intervalos, limitados por dos valores, creencia (o soporte ) y plausibilidad :

creencia ≤ plausibilidad.

En un primer paso, las probabilidades subjetivas ( masas ) se asignan a todos los subconjuntos del marco; Por lo general, solo un número restringido de conjuntos tendrá una masa distinta de cero ( elementos focales ). creencia en una hipótesis está constituida por la suma de las masas de todos los subconjuntos del conjunto de hipótesis. Es la cantidad de creencias que apoya directamente la hipótesis dada o una más específica, formando así un límite inferior en su probabilidad. La creencia (generalmente denotada bel ) mide la fuerza de la evidencia a favor de una proposición p . Varía de 0 (que no indica evidencia) a 1 (denota certeza). plausibilidad es 1 menos la suma de las masas de todos los conjuntos cuya intersección con la hipótesis está vacía. O bien, se puede obtener como la suma de las masas de todos los conjuntos cuya intersección con la hipótesis no está vacía. Es un límite superior sobre la posibilidad de que la hipótesis pueda ser verdadera, porque hay tanta evidencia que contradice esa hipótesis. La plausibilidad (denotada por PL) está relacionada con BEL por PL ( p ) = 1 - bel (~ p ). También varía de 0 a 1 y mide la medida en que la evidencia a favor de ~ p deja espacio para la creencia en p .

Por ejemplo, supongamos que creemos de 0.5 para una proposición, digamos " el gato en la caja está muerto. " Esto significa que tenemos evidencia que nos permite establecer fuertemente que la proposición es cierta con una confianza de 0.5. Sin embargo, la evidencia contraria a esa hipótesis (es decir, " el gato está vivo ") solo tiene una confianza de 0.2. La masa restante de 0.3 (la brecha entre la evidencia de apoyo 0.5 por un lado, y la evidencia contraria 0.2 por el otro) es " indeterminado, " lo que significa que el gato podría estar muerto o vivo. Este intervalo representa el nivel de incertidumbre basado en la evidencia en el sistema.

el " ni " La hipótesis se establece en cero por definición (corresponde a " sin solución "). Las hipótesis ortogonales " Alive " y " Dead " tener probabilidades de 0.2 y 0.5, respectivamente. Esto podría corresponder a " Detector de gatos Live/Dead " Señales, que tienen confiabilidades respectivas de 0.2 y 0.5. Finalmente, el todo lo que lo abarca " ya sea " La hipótesis (que simplemente reconoce que hay un gato en la caja) recoge la holgura para que la suma de las masas sea 1. La creencia para el " Alive " y " Dead " Las hipótesis coinciden con sus masas correspondientes porque no tienen subconjuntos; creencia para " ya sea " consiste en la suma de las tres masas (ya sea, vivas y muertas) porque " Alive " y " Dead " son cada subconjuntos de " ya sea ". El " Alive " La plausibilidad es 1 - m (muerta): 0.5 y el " Dead " La plausibilidad es 1 - m (viva): 0.8. De otra manera, el " Alive " La plausibilidad es m (vivo) + m (ya sea) y el " Dead " La plausibilidad es m (muerta) + m (cualquiera). Finalmente, el " ya sea " La plausibilidad suma m (vivo)+ m (muerta)+ m (cualquiera). La hipótesis universal (" ya sea ") siempre tendrá 100% de creencia y plausibilidad: actúa como una especie de suma de verificación.

Aquí hay un ejemplo algo más elaborado en el que comienza a surgir el comportamiento de la creencia y la plausibilidad. Estamos mirando a través de una variedad de sistemas de detectores en una sola luz de señal lejana, que solo se puede colorear en uno de tres colores (rojo, amarillo o verde):

Los eventos de este tipo no serían modelados como entidades distintas en el espacio de probabilidad, ya que están aquí en el espacio de asignación de masas. Más bien el evento " rojo o amarillo " sería considerado como la unión de los eventos " rojo " y " amarillo ", y (ver axioms de probabilidad) p (rojo o amarillo) ≥ p (amarillo) y p (Cualquiera) = 1, donde any se refiere a rojo o amarillo o verde . En DST, la masa asignada a cualquier se refiere a la proporción de evidencia que no se puede asignar a ninguno de los otros estados, lo que aquí significa evidencia que dice que hay una luz pero no dice nada sobre qué color es. En este ejemplo, la proporción de evidencia que muestra la luz es roja o verde tiene una masa de 0.05. Dicha evidencia podría, por ejemplo, obtenerse de una persona ciega de color R/G. DST nos permite extraer el valor de la evidencia de este sensor. Además, en DST, se considera que el conjunto vacío tiene cero masa, lo que significa que existe el sistema de luz de señal y estamos examinando sus posibles estados, sin especular sobre si existe en absoluto.

Combinando creencias

Las creencias de diferentes fuentes se pueden combinar con varios operadores de fusión para modelar situaciones específicas de fusión de creencias, p. con la regla de combinación de Dempster, que combina limitaciones de creencias que están dictadas por fuentes de creencias independientes, como en el caso de combinar pistas o combinar preferencias. Tenga en cuenta que las masas de probabilidad de las proposiciones que se contradicen entre sí pueden usarse para obtener una medida de conflicto entre las fuentes de creencias independientes. Otras situaciones pueden modelarse con diferentes operadores de fusión, como la fusión acumulada de creencias de fuentes independientes, que pueden modelarse con el operador de fusión acumulativo.

La regla de combinación de Dempster a veces se interpreta como una generalización aproximada de Bayes ' regla. En esta interpretación, no se necesitan especificar los antecedentes y condicionales, a diferencia de los métodos bayesianos tradicionales, que a menudo usan un argumento de simetría (error Minimax) para asignar probabilidades previas a variables aleatorias ( por ejemplo, asignando 0.5 a valores binarios para los cuales No hay información disponible sobre cuál es más probable). Sin embargo, cualquier información contenida en los antecedentes y condicionales faltantes no se usa en la regla de combinación de Dempster a menos que pueda obtenerse indirectamente, y posiblemente esté disponible para el cálculo utilizando las ecuaciones de Bayes.

Dempster -Shafer permite especificar un grado de ignorancia en esta situación en lugar de verse obligado a proporcionar probabilidades previas que se suman a la unidad. Este tipo de situación, y si existe una distinción real entre el riesgo y ignorancia , ha sido ampliamente discutida por estadísticos y economistas. Vea, por ejemplo, las opiniones contrastantes de Daniel Ellsberg, Howard Raiffa, Kenneth Arrow y Frank Knight.

Definición formal

Sea x el universo : el conjunto que representa todos los estados posibles de un sistema bajo consideración. El conjunto de potencia

2X{displaystyle 2^{X},!

es el conjunto de todos los subconjuntos de X, incluyendo el set vacío∅ ∅ {displaystyle emptyset }. Por ejemplo, si:

X={}a,b}{displaystyle X=left{a,bright},!

Entonces

2X={}∅ ∅ ,{}a},{}b},X}.{displaystyle 2^{X}=left{emptysetleft{aright},left{bright},Xright}.

Los elementos del conjunto potencia pueden tomarse para representar proposiciones relativas al estado real del sistema, al contener todos y solo los estados en los que la proposición es verdadera.

La teoría de la evidencia asigna una masa de creencias a cada elemento del conjunto de poder. Formalmente, una función

m:2X→ → [0,1]{displaystyle m:2^{X}rightarrow [0,1],!

se denomina asignación de creencias básicas (BBA), cuando tiene dos propiedades. Primero, la masa del conjunto vacío es cero:

m()∅ ∅ )=0.{displaystyle m(emptyset)=0.,!}

En segundo lugar, las masas de todos los miembros del conjunto de potencia suman un total de 1:

.. A▪ ▪ 2Xm()A)=1.{displaystyle sum _{Ain 2^{X}m(A)=1.}

La masa m(A) de A, un miembro dado del conjunto de potencia, expresa la proporción de toda la evidencia relevante y disponible que apoya la afirmación de que el estado real pertenece a A pero a ningún subconjunto particular de A. El valor de m(A) pertenece solo al conjunto A y no hace afirmaciones adicionales sobre ningún subconjunto de A, cada uno de los cuales tiene, por definición, su propia masa.

A partir de las asignaciones de masa, se pueden definir los límites superior e inferior de un intervalo de probabilidad. Este intervalo contiene la probabilidad precisa de un conjunto de interés (en el sentido clásico), y está delimitado por dos medidas continuas no aditivas denominadas creencia (o apoyo) y plausibilidad:

bel⁡ ⁡ ()A)≤ ≤ P()A)≤ ≤ pl⁡ ⁡ ()A).{displaystyle operatorname {bel} (A)leq P(A)leq operatorname {pl} (A). }

La creencia bel(A) para un conjunto A se define como la suma de todas las masas de subconjuntos del conjunto de interés:

bel⁡ ⁡ ()A)=.. B▪ ▪ B⊆ ⊆ Am()B).{displaystyle operatorname {bel} (A)=sum _{Bmid Bsubseteq A}m(B).,}

La plausibilidad pl(A) es la suma de todas las masas de los conjuntos B que intersecan al conjunto de interés A:

pl⁡ ⁡ ()A)=.. B▪ ▪ B∩ ∩ Aل ل ∅ ∅ m()B).{displaystyle operatorname {pl} (A)=sum _{ Bmid Bcap Aneq emptyset }m(B).,}

Las dos medidas están relacionadas entre sí de la siguiente manera:

pl⁡ ⁡ ()A)=1− − bel⁡ ⁡ ()Ā ̄ ).{displaystyle operatorname {pl} (A)=1-operatorname {bel} ({overline {A}).,}

Y a la inversa, para A finito, dada la medida de creencia bel(B) para todos los subconjuntos B de A, podemos encontrar las masas m(A) con la siguiente función inversa:

m()A)=.. B▪ ▪ B⊆ ⊆ A()− − 1)SilencioA− − BSilenciobel⁡ ⁡ ()B){displaystyle m(A)=sum _{Bmid Bsubseteq A}(-1)^{ habitA-B habit}operatorname {bel}(B),}

donde |A − B| es la diferencia de las cardinalidades de los dos conjuntos.

De las dos últimas ecuaciones se deduce que, para un conjunto finito X, se necesita conocer solo una de las tres (masa, creencia o plausibilidad) para deducir las otras dos; aunque uno puede necesitar conocer los valores de muchos conjuntos para calcular uno de los otros valores para un conjunto en particular. En el caso de un X infinito, puede haber funciones de creencia y plausibilidad bien definidas, pero no una función de masa bien definida.

Regla de combinación de Dempster

El problema al que nos enfrentamos ahora es cómo combinar dos conjuntos independientes de asignaciones de masa de probabilidad en situaciones específicas. En caso de que diferentes fuentes expresen sus creencias sobre el marco en términos de restricciones de creencias, como en el caso de dar pistas o en el caso de expresar preferencias, entonces la regla de combinación de Dempster es el operador de fusión apropiado. Esta regla deriva una creencia común compartida entre múltiples fuentes e ignora todas las creencias conflictivas (no compartidas) a través de un factor de normalización. El uso de esa regla en situaciones distintas a la de combinar restricciones de creencias ha sido objeto de serias críticas, como en el caso de fusionar estimaciones de creencias separadas de múltiples fuentes que deben integrarse de manera acumulativa, y no como restricciones. La fusión acumulativa significa que todas las masas de probabilidad de las diferentes fuentes se reflejan en la creencia derivada, por lo que no se ignora ninguna masa de probabilidad.

Específicamente, la combinación (llamada masa conjunta) se calcula a partir de los dos conjuntos de masas m₁ y m₂ de la siguiente manera:

m1,2()∅ ∅ )=0{displaystyle m_{1,2}(emptyset)=0,}

m1,2()A)=()m1⊕ ⊕ m2)()A)=11− − K.. B∩ ∩ C=Aل ل ∅ ∅ m1()B)m2()C){displaystyle m_{1,2}(A)=(m_{1}oplus m_{2}(A)={frac {1}{1-K}sum} _{Bcap C=Aneq emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C),!}

dónde

K=.. B∩ ∩ C=∅ ∅ m1()B)m2()C).{displaystyle K=sum _{Bcap C=emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C),}

K es una medida de la cantidad de conflicto entre los dos conjuntos de masas.

Efectos del conflicto

El factor de normalización anterior, 1 − K, tiene el efecto de ignorar por completo el conflicto y atribuir cualquier masa asociada con el conflicto al conjunto vacío. Esta regla de combinación para evidencia puede, por lo tanto, producir resultados contrarios a la intuición, como mostramos a continuación.

Ejemplo de producción de resultados correctos en caso de alto conflicto

El siguiente ejemplo muestra cómo la regla de Dempster produce resultados intuitivos cuando se aplica en una situación de fusión de preferencias, incluso cuando hay un gran conflicto.

Supongamos que dos amigos, Alice y Bob, quieren ver una película en el cine una noche, y que sólo hay tres películas que muestran: X, Y y Z. Alice expresa su preferencia por la película X con probabilidad 0.99, y su preferencia por la película Y con una probabilidad de sólo 0.01. Bob expresa su preferencia por la película Z con probabilidad 0.99, y su preferencia por la película Y con una probabilidad de sólo 0.01. Al combinar las preferencias con la regla de combinación de Dempster resulta que su preferencia combinada resulta en probabilidad 1.0 para la película Y, porque es la única película que ambos están de acuerdo en ver.

La regla de combinación de Dempster produce resultados intuitivos incluso en caso de creencias totalmente conflictivas cuando se interpreta de esta manera. Supongamos que Alice prefiere la película X con probabilidad 1.0, y que Bob prefiere la película Z con probabilidad 1.0. Al tratar de combinar sus preferencias con la regla de Dempster resulta que no está definida en este caso, lo que significa que no hay solución. Esto significaría que no pueden estar de acuerdo en ver una película juntos, así que no van al cine juntos esa noche. Sin embargo, la semántica de interpretar la preferencia como probabilidad es vaga: si se refiere a la probabilidad de ver la película X esta noche, entonces nos enfrentamos a la falacia del medio excluido: el evento que realmente ocurre, viendo ninguna de las películas esta noche, tiene una masa de probabilidad de 0.

Ejemplo de producción de resultados contrarios a la intuición en caso de alto conflicto

Lotfi Zadeh presentó un ejemplo con exactamente los mismos valores numéricos en 1979, señalar resultados contra-intuitivos generados por la regla de Dempster cuando existe un alto grado de conflicto. El ejemplo es el siguiente:

Supongamos que uno tiene dos médicos confiables y un médico cree que un paciente tiene un tumor cerebral, con una probabilidad (es decir, una asignación básica de creencias, o una masa de creencia) de 0.99; o meningitis, con una probabilidad de sólo 0.01. Un segundo médico cree que el paciente tiene una conmoción, con una probabilidad de 0.99, y cree que el paciente sufre de meningitis, con una probabilidad de sólo 0.01. Aplicando la regla de Dempster para combinar estos dos conjuntos de masas de creencias, uno consigue finalmente m(meningitis)=1 (la meningitis se diagnostica con 100% de confianza).

Tal resultado va en contra del sentido común ya que ambos médicos coinciden en que existe una pequeña posibilidad de que el paciente tenga una meningitis. Este ejemplo ha sido el punto de partida de muchos trabajos de investigación para tratar de encontrar una justificación sólida para la regla de Dempster y para los fundamentos de la teoría de Dempster-Shafer o para mostrar las inconsistencias de esta teoría.

Ejemplo de producción de resultados contrarios a la intuición en caso de conflicto bajo

El siguiente ejemplo muestra dónde la regla de Dempster produce un resultado contrario a la intuición, incluso cuando el conflicto es bajo.

Supongamos que un médico cree que un paciente tiene un tumor cerebral, con una probabilidad de 0.99, o meningitis, con una probabilidad de sólo 0.01. Un segundo médico también cree que el paciente tiene un tumor cerebral, con una probabilidad de 0.99, y cree que el paciente sufre de conmoción, con una probabilidad de sólo 0.01. Si calculamos m (tumor cerebral) con la regla de Dempster, obtenemos

m()tumor cerebral)=Bel⁡ ⁡ ()tumor cerebral)=1.{displaystyle m({text{}}}=operatorname - Sí.

Este resultado implica soporte total para el diagnóstico de un tumor cerebral, que ambos médicos creían muy probable. El acuerdo surge del bajo grado de conflicto entre los dos conjuntos de pruebas que componen los dos doctores' opiniones

En cualquier caso, sería razonable esperar que:

<math alttext="{displaystyle m({text{brain tumor}})<1{text{ and }}operatorname {Bel} ({text{brain tumor}})m()tumor cerebral).1yBel⁡ ⁡ ()tumor cerebral).1,{displaystyle m({text{francipe tumor}}) Segnunció1{text{ y }operatorname {Bel} ({text{ neuro tumor de cerebro}}) Seccionó1,,}<img alt="m({text{brain tumor}})<1{text{ and }}operatorname {Bel}({text{brain tumor}})

dado que la existencia de probabilidades de creencia distintas de cero para otros diagnósticos implica apoyo menos que completo para el diagnóstico de tumor cerebral.

Dempster-Shafer como generalización de la teoría bayesiana

Como en la teoría de Dempster-Shafer, una función de creencia bayesiana bel:2X→ → [0,1]{displaystyle operatorname {bel}:2^{X}rightarrow [0,1],! tiene las propiedades bel⁡ ⁡ ()∅ ∅ )=0{displaystyle operatorname {bel} (emptyset)=0} y bel⁡ ⁡ ()X)=1{displaystyle operatorname {bel} (X)=1}. La tercera condición, sin embargo, es subsumida por, pero relajada en la teoría de DS:

SiA∩ ∩ B=∅ ∅ ,entoncesbel⁡ ⁡ ()A∪ ∪ B)=bel⁡ ⁡ ()A)+bel⁡ ⁡ ()B).{displaystyle {text{ If }}Acap B=emptyset{text{ then}operatorname {bel}(Acup B)=operatorname {bel} (A)+operatorname {bel} (B).}

Cualquiera de las siguientes condiciones implica el caso especial bayesiano de la teoría DS:

• bel⁡ ⁡ ()A)+bel⁡ ⁡ ()Ā ̄ )=1para todosA⊆ ⊆ X.{displaystyle operatorname {bel} (A)+operatorname {bel} ({bar {A})=1{text{ for all }Asubseteq X.}
• Para finito X, todos los elementos focales de la función de creencia son singletons.

Como ejemplo de cómo difieren los dos enfoques, un bayesiano podría modelar el color de un automóvil como una distribución de probabilidad sobre (rojo, verde, azul), asignando un número a cada color. Dempster-Shafer asignaría números a cada uno de (rojo, verde, azul, (rojo o verde), (rojo o azul), (verde o azul), (rojo o verde o azul)). Estos números no tienen que ser coherentes; por ejemplo, Bel(rojo)+Bel(verde) no tiene por qué ser igual a Bel(rojo o verde).

Por lo tanto, Bayes' La probabilidad condicional se puede considerar como un caso especial de la regla de combinación de Dempster. Sin embargo, carece de muchas (si no la mayoría) de las propiedades que hacen que Bayes' regla intuitivamente deseable, lo que lleva a algunos a argumentar que no puede considerarse una generalización en ningún sentido significativo. Por ejemplo, la teoría DS viola los requisitos del teorema de Cox, lo que implica que no puede considerarse una generalización coherente (libre de contradicciones) de la lógica clásica; específicamente, la teoría DS viola el requisito de que una afirmación sea verdadera o falsa. (pero no ambos). Como resultado, la teoría DS está sujeta al argumento del Libro holandés, lo que implica que cualquier agente que use la teoría DS aceptaría una serie de apuestas que resultarían en una pérdida garantizada.

Aproximación bayesiana

La aproximación bayesiana reduce un bpa dado m{displaystyle m} a una distribución de probabilidad (descreto), es decir, sólo los subconjuntos de un soloton del marco de discernimiento se permiten ser elementos focales de la versión aproximada m¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {m}} de m{displaystyle m}:

m¿Qué? ¿Qué? ()A)={}.. BSilencioA⊆ ⊆ Bm()B).. Cm()C)⋅ ⋅ SilencioCSilencio,SilencioASilencio=10,de otra manera{displaystyle {compline {m}(A)=left{begin{aligned} {sum limits - ¿Por qué?

Es útil para quienes solo están interesados en la hipótesis de estado único.

Podemos realizarlo en la 'luz' ejemplo.

Hipótesis	m1{displaystyle m_{1}	m2{displaystyle m_{2}	m1,2{displaystyle m_{1,2}}	m¿Qué? ¿Qué? 1{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}}} {fnK}}}}}}}} {cH}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}	m¿Qué? ¿Qué? 2{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {m}_{2}	m¿Qué? ¿Qué? 1,2{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {m}_{1,2}
Ninguno	0	0	0	0	0	0
Rojo	0,355	0.11	0.32	0.41	0.30	0.37
Amarillo	0,25	0.21	0.33	0.33	0,38	0,38
Verde	0.15	0.33	0,244	0,25	0.32	0,25
Rojo o Amarillo	0,06	0.21	0,07	0	0	0
Rojo o Verde	0,05	0,01	0,01	0	0	0
Amarillo o verde	0,04	0,03	0,01	0	0	0
Cualquier	0.1	0.1	0,02	0	0	0

Crítica

Judea Pearl (1988a, capítulo 9; 1988b y 1990) ha argumentado que es engañoso interpretar que las funciones de creencias representan "probabilidades de un evento" o "la confianza que uno tiene en las probabilidades asignadas a varios resultados" o "grados de creencia (o confianza) en una proposición" o "grado de ignorancia en una situación". En cambio, la creencia Las funciones representan la probabilidad de que una proposición dada sea probable a partir de un conjunto de otras proposiciones, a las que se les asignan probabilidades. Confundir las probabilidades de verdad con las probabilidades de probabilidad puede conducir a resultados contrarios a la intuición en tareas de razonamiento como (1) representar conocimiento incompleto, (2) actualización de creencias y (3) evidencia puesta en común Demostró además que, si el conocimiento parcial se codifica y actualiza mediante métodos de función de creencias, las creencias resultantes no pueden servir como base para decisiones racionales.

Kłopotek y Wierzchoń propusieron interpretar la teoría de Dempster-Shafer en términos de estadísticas de tablas de decisión (de la teoría del conjunto aproximado), por lo que el operador de combinación de evidencia debe verse como una unión relacional de tablas de decisión. En otra interpretación, M. A. Kłopotek y S. T. Wierzchoń proponen ver esta teoría como una descripción del procesamiento material destructivo (bajo pérdida de propiedades), p. como en algunos procesos de producción de semiconductores. Bajo ambas interpretaciones, el razonamiento en DST da resultados correctos, contrario a las interpretaciones probabilísticas anteriores, criticadas por Pearl en los artículos citados y por otros investigadores.

Jøsang demostró que la regla de combinación de Dempster en realidad es un método para fusionar restricciones de creencias. Solo representa un operador de fusión aproximado en otras situaciones, como la fusión acumulativa de creencias, pero generalmente produce resultados incorrectos en tales situaciones. La confusión en torno a la validez de la regla de Dempster, por tanto, se origina en la falta de interpretación correcta de la naturaleza de las situaciones a modelar. La regla de combinación de Dempster siempre produce resultados correctos e intuitivos en situaciones de fusión de restricciones de creencias de diferentes fuentes.

Medidas relacionales

Al considerar las preferencias, se podría usar el orden parcial de una red en lugar del orden total de la línea real como se encuentra en la teoría de Dempster-Schafer. De hecho, Gunther Schmidt propuso esta modificación y describió el método.

Dado un conjunto de criterios C y una celosa L con el orden ≤, Schmidt define a misión relacional ser una función μ del conjunto de poder C en L que respeta la orden P{displaystyle mathbb {P}()C):

A⊆ ⊆ B⟹ ⟹ μ μ ()A)≤ ≤ μ μ ()B){displaystyle Asubseteq Bimplies mu (A)leq mu (B)}

y tal que μ toma el subconjunto vacío P{displaystyle mathbb {P}()C) al elemento menos L, y toma C al mayor elemento L.

Schmidt compara μ con la función de creencia de Schafer, y también considera un método de combinación de medidas que generaliza el enfoque de Dempster (cuando se combina nueva evidencia con evidencia previamente existente). También introduce una integral relacional y la compara con la integral de Choquet y la integral de Sugeno. Cualquier relación m entre C y L puede introducirse como una "valoración directa" y luego procesarse con el cálculo de relaciones para obtener una medida de posibilidad μ.