Teoría de conjuntos de Zermelo

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Sistema de la teoría del conjunto matemático

Teoría de conjuntos de Zermelo (a veces denotada por Z^-), como se establece en un artículo seminal en 1908 por Ernst Zermelo, es el antepasado de la moderna teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y sus extensiones, como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Tiene ciertas diferencias con sus descendientes, que no siempre se entienden y con frecuencia se citan erróneamente. Este artículo establece los axiomas originales, con el texto original (traducido al inglés) y la numeración original.

Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo

Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo se establecen para objetos, algunos de los cuales (pero no necesariamente todos) son conjuntos, y los objetos restantes son urelements y no conjuntos. El lenguaje de Zermelo incluye implícitamente una relación de pertenencia ∈, una relación de igualdad = (si no está incluida en la lógica subyacente) y un predicado unario que dice si un objeto es un conjunto. Las versiones posteriores de la teoría de conjuntos a menudo asumen que todos los objetos son conjuntos, por lo que no hay elementos ur y no hay necesidad del predicado unario.

AXIOM I. Axiom of extensionality (Axiom der Bestimtheit) "Si cada elemento de un conjunto M es también un elemento N y viceversa... entonces... M $equiv$ N. En resumen, cada conjunto está determinado por sus elementos."
AXIOM II. Axioma de conjuntos elementales (Axiom der Elementarmengen) "Existe un conjunto, el conjunto nulo, ∅, que no contiene ningún elemento en absoluto. Si a es cualquier objeto del dominio, existe un conjunto {a} que contiene a y sólo a como elemento. Si a y b son dos objetos del dominio, siempre existe un conjunto {a, b} que contiene como elementos a y b pero sin objeto x distintos de ambos." Ver Axioma de pares.
AXIOM III. Axioma de separación (Axiom der Aussonderung) "Siempre que la función proposición –(x) se define para todos los elementos de un conjunto M, M posee un subconjunto M ' conteniendo como elementos precisamente esos elementos x de M para lo cual –(x) es verdad."
AXIOM IV. Axioma del conjunto de energía (Axiom der Potenzmenge"A cada set T allí corresponde un conjunto T ', el conjunto de poder T, que contiene como elementos precisamente todos los subconjuntos de T."
AXIOM V. Axioma del sindicatoAxiom der Vereinigung"A cada set T allí corresponde un conjunto ∪T, la unión de T, que contiene como elementos precisamente todos los elementos de los elementos T."
AXIOM VI. Axioma de elección (Axiom der AuswahlSi T es un conjunto cuyos elementos todos son conjuntos que son diferentes de ∅ y mutuamente descomunados, su unión ∪T incluye al menos un subconjunto S₁ tener un único elemento en común con cada elemento T."
AXIOM VII. Axioma del infinitoAxiom des Unendlichen) "Existe en el dominio al menos un conjunto Z que contiene el conjunto nulo como elemento y es tan constituido que a cada uno de sus elementos a allí corresponde a otro elemento de la forma {a}, en otras palabras, que con cada uno de sus elementos a también contiene el conjunto correspondiente {aComo elemento."

Conexión con la teoría de conjuntos estándar

La teoría de conjuntos más utilizada y aceptada se conoce como ZFC, que consiste en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluido el axioma de elección (AC). Los enlaces muestran dónde corresponden los axiomas de la teoría de Zermelo. No existe una coincidencia exacta para "conjuntos elementales". (Más tarde se demostró que el conjunto singleton podría derivarse de lo que ahora se llama el "Axioma de pares". Si a existe, a y a existe, entonces {a,a} existe, y por extensión {a,a} = {a}). El axioma del conjunto vacío ya está asumido por el axioma del infinito y ahora se incluye como parte de él.

La teoría de conjuntos de Zermelo no incluye los axiomas de reemplazo y regularidad. El axioma de reemplazo fue publicado por primera vez en 1922 por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem, quienes descubrieron de forma independiente que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto {Z₀, Z₁, Z₂,...} donde Z₀ es el conjunto de los números naturales y Z_n+1 es el conjunto potencia de Z_n. Ambos se dieron cuenta de que se necesita el axioma de reemplazo para probar esto. Al año siguiente, John von Neumann señaló que el axioma de regularidad es necesario para construir su teoría de los ordinales. El axioma de regularidad fue enunciado por von Neumann en 1925.

En el sistema ZFC moderno, la "función proposicional" a la que se hace referencia en el axioma de separación se interpreta como "cualquier propiedad definible mediante una fórmula de primer orden con parámetros", por lo que el axioma de separación se reemplaza por un esquema de axioma. La noción de "fórmula de primer orden" no se conocía en 1908 cuando Zermelo publicó su sistema de axiomas, y luego rechazó esta interpretación por ser demasiado restrictiva. La teoría de conjuntos de Zermelo generalmente se considera una teoría de primer orden con el axioma de separación reemplazado por un esquema de axioma con un axioma para cada fórmula de primer orden. También se puede considerar como una teoría en lógica de segundo orden, donde ahora el axioma de separación es solo un axioma único. La interpretación de segundo orden de la teoría de conjuntos de Zermelo es probablemente más cercana a la propia concepción de Zermelo, y es más fuerte que la interpretación de primer orden.

En la jerarquía acumulativa habitual V_α de la teoría de conjunto ZFC (para ordinals α), cualquiera de los conjuntos V_α para α un ordinal límite mayor que el primer ordinal infinito ω (como V_ω·2) forma un modelo de la teoría de conjunto Zermelo. Así que la consistencia de la teoría del conjunto de Zermelo es un teorema de la teoría del conjunto ZFC. As ${displaystyle V_{omega cdot 2}}$ modelos Axiomas de Zermelo mientras no contiene $aleph _{omega }$ y más grandes cardenales infinitos, por el teorema de integridad de Gödel los axiomas de Zermelo no prueban la existencia de estos cardenales. (Cardinals tiene que definirse de manera diferente en la teoría de conjuntos de Zermelo, ya que la definición habitual de cardenales y ordinals no funciona muy bien: con la definición habitual ni siquiera es posible probar la existencia de la ordinal ω2.)

El axioma del infinito es generalmente ahora modificado para afirmar la existencia del primer ordinal infinito von Neumann $omega$ ; los axiomas Zermelo originales no pueden probar la existencia de este conjunto, ni los axiomas Zermelo modificados pueden demostrar el axioma de la infinidad de Zermelo. Los axiomas de Zermelo (original o modificado) no pueden probar la existencia de $V_{{omega }}$ como conjunto ni de cualquier rango de la jerarquía acumulativa de conjuntos con índice infinito.

Zermelo permitía la existencia de urelementos que no son conjuntos y no contienen elementos; estos ahora generalmente se omiten de las teorías de conjuntos.

Teoría de conjuntos de Mac Lane

La teoría de conjuntos de Mac Lane, presentada por Mac Lane (1986), es la teoría de conjuntos de Zermelo con el axioma de separación restringido a fórmulas de primer orden en las que cada cuantificador está acotado. La teoría de conjuntos de Mac Lane es similar en fuerza a la teoría de topos con un objeto de número natural, o al sistema en Principia mathematica. Es lo suficientemente fuerte como para llevar a cabo casi todas las matemáticas ordinarias que no están directamente relacionadas con la teoría o la lógica de conjuntos.

Did you mean:

The aim of Zermelo 's paper

La introducción afirma que la existencia misma de la disciplina de la teoría de conjuntos "parece estar amenazada por ciertas contradicciones o "antinomias", que pueden derivarse de sus principios, principios que rigen necesariamente nuestro pensamiento., al parecer, y para el que aún no se ha encontrado una solución totalmente satisfactoria". Zermelo, por supuesto, se refiere a la "antinomia de Russell".

Dice que quiere mostrar cómo la teoría original de Georg Cantor y Richard Dedekind se puede reducir a unas pocas definiciones y siete principios o axiomas. Dice que no ha podido demostrar que los axiomas son consistentes.

Un argumento no constructivista a favor de su consistencia es el siguiente. Defina V_α para α uno de los ordinales 0, 1, 2,...,ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 como sigue:

V₀ es el set vacío.
Para α un sucesor de la forma β+1, V_α se define como la colección de todos los subconjuntos de V_β.
Para α un límite (por ejemplo, ω, ω·2) entonces V_α se define como la unión de V_β para la β obtenidaα.

Entonces los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo son consistentes porque son verdaderos en el modelo V_ω·2. Mientras que un no constructivista podría considerar esto como un argumento válido, un constructivista probablemente no lo consideraría: si bien no hay problemas con la construcción de los conjuntos hasta V_ω, el la construcción de V_ω+1 es menos clara porque no se puede definir constructivamente cada subconjunto de V_ω. Este argumento se puede convertir en una prueba válida con la adición de un solo nuevo axioma de infinito a la teoría de conjuntos de Zermelo, simplemente que V_ω·2 existe. Presumiblemente, esto no es convincente para un constructivista, pero muestra que la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo puede probarse con una teoría que no es muy diferente de la propia teoría de Zermelo, solo un poco más poderosa.

El axioma de separación

Zermelo comenta que el Axioma III de su sistema es el encargado de eliminar las antinomias. Difiere de la definición original de Cantor en lo siguiente.

Los conjuntos no se pueden definir de forma independiente mediante ninguna noción lógicamente definible arbitraria. Deben construirse de alguna manera a partir de conjuntos previamente construidos. Por ejemplo, se pueden construir tomando conjuntos de potencia, o se pueden separar como subconjuntos de conjuntos ya "dados". Esto, dice, elimina ideas contradictorias como "el conjunto de todos los conjuntos" o "el conjunto de todos los números ordinales".

Él dispone de la paradoja Russell por medio de este Teorema: "Cada conjunto $M$ posee por lo menos un subconjunto $M_{0}$ que no es un elemento $M$ " $M_{0}$ ser el subconjunto de $M$ para el cual, por AXIOM III, está separado por la noción " $xnotin x$ ". Entonces... $M_{0}$ no puede estar $M$ . Para

Si $M_{0}$ está dentro $M_{0}$ , entonces $M_{0}$ contiene un elemento x para la cual x está dentro x (i.e. $M_{0}$ en sí mismo), que contradice la definición de $M_{0}$ .
Si $M_{0}$ no está $M_{0}$ , y suponiendo $M_{0}$ es un elemento M, entonces $M_{0}$ es un elemento M que satisface la definición " $xnotin x$ ", y así está en $M_{0}$ que es una contradicción.

Por consiguiente, la hipótesis de que $M_{0}$ está dentro $M$ está mal, demostrando el teorema. Por lo tanto no todos los objetos del dominio universal B puede ser elementos de uno y el mismo conjunto. "Esto dispone de la antinomía de Russell en lo que respecta".

Esto dejó el problema de "el dominio B" que parece referirse a algo. Esto condujo a la idea de una clase adecuada.

Did you mean:

Cantor 's theorem

El artículo de Zermelo puede ser el primero en mencionar el nombre 'teorema de Cantor'. Teorema de Cantor: "Si M es un conjunto arbitrario, entonces siempre M < P(M) [el conjunto potencia de M]. Todo conjunto tiene menor cardinalidad que el conjunto de sus subconjuntos.

Zermelo prueba esto considerando una función φ: M → P(M). Por el Axioma III esto define el siguiente conjunto M' :

M ' =m: m ∉ φ(m)}.

Did you mean:

But no element m ' of M could correspond to M ' , i.e. such that φ(m' ) = M' . Otherwise we can construct a contradiction:

1) m ' está dentro M ' entonces por definición m ' ∉ φ(m ') M ', que es la primera parte de la contradicción

2) Si m ' no está M ' pero en M entonces por definición m ' ∉ M ' = φ(m ') que por definición implica que m ' está dentro M ', que es la segunda parte de la contradicción.

Showing translation for

so by contradiction m ' does not exist. Note the close resemblance of this proof to the way Zermelo disposes of Russell 's paradox.

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