Teoría de categorías superiores

En matemáticas, la teoría de categorías superiores es la parte de la teoría de categorías de orden superior, lo que significa que algunas igualdades se reemplazan por flechas explícitas para poder estudiar explícitamente la estructura detrás de esas igualdades. La teoría de categorías superiores se aplica a menudo en topología algebraica (especialmente en teoría de homotopía), donde se estudian invariantes algebraicos de espacios, como el ∞-grupoide débil fundamental.

En la teoría de categorías superiores, el concepto de estructuras categóricas superiores, como las (∞-categorías), permite un tratamiento más sólido de la teoría de la homotopía, lo que permite captar distinciones homotópicas más sutiles, como la diferenciación de dos espacios topológicos que tienen el mismo grupo fundamental pero difieren en sus grupos de homotopía superiores. Este enfoque es particularmente valioso cuando se trabaja con espacios con características topológicas intrincadas, como el espacio de Eilenberg-MacLane.

Una categoría ordinaria tiene objetos y morfismos, que se denominan 1-morfismos en el contexto de la teoría de categorías superiores. Una 2-categoría generaliza esto al incluir también 2-morfismos entre los 1-morfismos. Continuando esto hasta n-morfismos entre (n − 1)-morfismos se obtiene una n-categoría.

Así como la categoría conocida como Gato, que es la categoría de las categorías y funtores pequeños, es en realidad una 2-categoría con transformaciones naturales como sus 2-morfismos, la categoría n-Gato de (pequeñas) n-categorías es en realidad una (n + 1)-categoría.

Una n-categoría se define por inducción en n por:

• A 0-categoría es un juego,
• Ann + 1)-categoría es una categoría enriquecida sobre la categoría n-Gato.

Por lo tanto, una categoría 1 es simplemente una categoría (localmente pequeña).

La estructura monoidal de Set es la que da el producto cartesiano como tensor y un singleton como unidad. De hecho, a cualquier categoría con productos finitos se le puede dar una estructura monoidal. La construcción recursiva de n-Cat funciona bien porque si una categoría C tiene productos finitos, la categoría de categorías enriquecidas con C también tiene productos finitos.

Si bien este concepto es demasiado estricto para algunos propósitos, por ejemplo, en la teoría de la homotopía, donde las estructuras "débiles" surgen en forma de categorías superiores, también han surgido grupoides de homotopía superior cúbicos estrictos que brindan una nueva base para la topología algebraica en la frontera entre la homología y la teoría de la homotopía; consulte el artículo Topología algebraica no abeliana, al que se hace referencia en el libro a continuación.

En las n-categorías débiles, las condiciones de asociatividad e identidad ya no son estrictas (es decir, no están dadas por igualdades), sino que se satisfacen hasta un isomorfismo del nivel siguiente. Un ejemplo en topología es la composición de caminos, donde las condiciones de identidad y asociación se cumplen solo hasta la reparametrización y, por lo tanto, hasta la homotopía, que es el 2-isomorfismo para esta 2-categoría. Estos n-isomorfismos deben comportarse bien entre hom-conjuntos y expresar esto es la dificultad en la definición de n-categorías débiles. Las 2-categorías débiles, también llamadas bicategorías, fueron las primeras en definirse explícitamente. Una particularidad de estas es que una bicategoría con un objeto es exactamente una categoría monoidal, de modo que se puede decir que las bicategorías son "categorías monoidales con muchos objetos". Las 3-categorías débiles, también llamadas tricategorías, y las generalizaciones de nivel superior son cada vez más difíciles de definir explícitamente. Se han dado varias definiciones, y determinar cuándo son equivalentes y en qué sentido se ha convertido en un nuevo objeto de estudio en la teoría de categorías.

Los complejos Kan débiles, o cuasicategorías, son conjuntos simpliciales que satisfacen una versión débil de la condición Kan. André Joyal demostró que son una buena base para la teoría de categorías superiores. Recientemente, en 2009, la teoría ha sido sistematizada aún más por Jacob Lurie, quien simplemente las llama categorías infinitas, aunque este último término también es un término genérico para todos los modelos de categorías (infinitas, k) para cualquier k.

Las categorías enriquecidas de manera simple, o categorías simpliciales, son categorías enriquecidas sobre conjuntos simpliciales. Sin embargo, cuando las consideramos como un modelo para categorías (infinitas, 1), muchas nociones categóricas (por ejemplo, límites) no concuerdan con las nociones correspondientes en el sentido de categorías enriquecidas. Lo mismo ocurre con otros modelos enriquecidos, como las categorías topológicamente enriquecidas.

Las categorías topológicamente enriquecidas (a veces llamadas simplemente categorías topológicas) son categorías enriquecidas con respecto a alguna categoría conveniente de espacios topológicos, por ejemplo, la categoría de espacios de Hausdorff generados de forma compacta.

Se trata de modelos de categorías superiores introducidos por Hirschowitz y Simpson en 1998, inspirados en parte por los resultados de Graeme Segal en 1974.

• Álgebra de dimensiones superiores
• Tonterías abstractas generales
• Categorificación
• Coherencia (teoría de la homoterapia)

• Baez, John C.; Dolan, James (1998). "Categorificación". arXiv:math/9802029.
• Leinster, Tom (2004). Operaciones superiores, categorías superiores. Cambridge University Press. arXiv:matemáticas.CT/0305049. ISBN 0-521-53215-9.
• Simpson, Carlos (2010). "Teoría Homotopy de categorías superiores". arXiv:1001.4071 [Math.CT]. Es un libro. PDF alternativo con hipervínculos)

• Lurie, Jacob (2009). Teoría de Topos Superior. Princeton University Press. arXiv:matemáticas.CT/0608040. ISBN 978-0-691-14048-3. Como PDF.
• nLab, el proyecto colectivo y abierto wiki notebook sobre la teoría y aplicaciones de categoría superior en física, matemáticas y filosofía
• Joyal's Catlab, una wiki dedicada a exposiciones pulidas de matemáticas categóricas y categorías superiores con pruebas
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011). topología algebraica nonabeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupos de homotopia cúbica. Tractos en Matemáticas. Vol. 15. Sociedad Matemática Europea. ISBN 978-3-03719-083-8.

• Baez, John (24 de febrero de 1996). "Week 73: Tale of n-Categories".
• El n-Category Cafe — un blog de grupo dedicado a la teoría de categoría superior.
• Leinster, Tom (8 de marzo de 2010). "Una perspectiva sobre la teoría de la categoría superior".