Teoría de campos escalares

En física teórica, la teoría de campos escalares puede referirse a una teoría clásica o cuántica relativista invariante de campos escalares. Un campo escalar es invariante bajo cualquier transformación de Lorentz.

El único campo cuántico escalar fundamental que se ha observado en la naturaleza es el campo de Higgs. Sin embargo, los campos cuánticos escalares aparecen en las descripciones de la teoría de campos efectiva de muchos fenómenos físicos. Un ejemplo es el pión, que en realidad es un pseudoescalar.

Dado que no implican complicaciones de polarización, los campos escalares suelen ser los más fáciles de apreciar en la segunda cuantificación. Por este motivo, las teorías de campos escalares se utilizan a menudo con el fin de introducir conceptos y técnicas novedosos.

La firma de la métrica empleada a continuación es (+ − − −).

Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Segunda edición). EE. UU.: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3, cap. 1.

La teoría de campos escalares más básica es la teoría lineal. Mediante la descomposición de Fourier de los campos, representa los modos normales de una infinidad de osciladores acoplados donde el límite continuo del índice del oscilador i ahora se denota por x. La acción para la teoría de campos escalares relativista libre es entonces

${\fnK} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\\fn}}\m} {\cH0}\m} t {}\m}\ mthcal {}\\\\m}\\m} {\fn}\m} {\cH0} {\f}\cH00}}}\cH}} {\f}}\c}}}}}}}} {\f}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}\\\c}}}}}\\\c\c}\\\c}}}}}}\c}}}}}}}}\\\c}}\\\\c}}}\c}}\\\c}}}\\\c\c}\\\c\c\c\c\c\c\c}\c\c\cH}\c\c\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c ################################################################################################################################################################################################################################################################ ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1} {2}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}$

Donde ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ se conoce como densidad lagrangiana; d^{4 a 1}x ↑ dx ⋅ dy ⋅ dz ↑ dx¹ ⋅ dx² ⋅ dx³ para las tres coordenadas espaciales; δ^ij es la función Kronecker delta; y ∂_*** = ∂/∂x^*** para el ***- la coordenadas x^***.

Este es un ejemplo de una acción cuadrática, ya que cada uno de los términos es cuadrático en el campo, φ. El término proporcional a m² se conoce a veces como término de masa, debido a su interpretación posterior, en la versión cuantizada de esta teoría, en términos de masa de la partícula.

La ecuación de movimiento para esta teoría se obtiene al extremar la acción anterior. Tiene la siguiente forma, lineal en φ,

${\displaystyle \eta ^{\mu\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial ¿Qué? - ¿Qué?$

donde ∇² es el operador de Laplace. Se trata de la ecuación de Klein-Gordon, cuya interpretación es una ecuación de campo clásica, en lugar de una ecuación de onda de la mecánica cuántica.

La generalización más común de la teoría lineal anterior es añadir un potencial escalar ${\displaystyle V(\phi)}$ al lagrangiano, donde típicamente, además de un término de masa ${\displaystyle m^{2}\phi ^{2}/2}$, el potencial ${\displaystyle V}$ tiene términos polinomios de orden superior en ${\displaystyle \phi }$. Tal teoría a veces se dice que está interactuando, porque la ecuación Euler-Lagrange ahora no es lineal, lo que implica una autointeracción. La acción para la teoría más general es

${\fnMicrosoft Sans Serif} ^{ij}\partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1} {2}m^{2}\phi ^{2}-\sum {\fn}g_{n}\fn} {\fn}\fn}\fn}\fn}\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn\fn\fn\fn} {\fn\fn\fn\fn\fn\fnK\fnK\fn\fn}}}\fn\fn\fnK\fnK\fnK\fn9}}}}}}}\fnK\fn\fnK\fnK\fnK\fn9\fnK\fn\fnK\fnK\fn\fnK\fnK\fnK\fnK\fnnnnnnnnnnn}}}}\cH00\fnK\fnK\fn\fn}}}\fn}\fnK\fnK\fnK\fnK\fn}}\fnK\$

El ${\displaystyle n!}$ factores en la expansión se introducen porque son útiles en la expansión del diagrama Feynman de la teoría cuántica, como se describe a continuación.

La ecuación de movimiento de Euler-Lagrange correspondiente es ahora

${\displaystyle \eta ^{\mu\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi)=\partial ¿Qué? - ¿Qué?$

Las magnitudes físicas en estas teorías de campos escalares pueden tener dimensiones de longitud, tiempo o masa, o alguna combinación de las tres.

Sin embargo, en una teoría relativista, cualquier cantidad t, con dimensiones de tiempo, se puede convertir fácilmente en una longitud, l =ct, utilizando la velocidad de la luz, c. De manera similar, cualquier longitud l es equivalente a una masa inversa, ħ=lmc, utilizando la constante de Planck, ħ. En unidades naturales, se piensa en el tiempo como una longitud, o bien en el tiempo o la longitud como una masa inversa.

En resumen, se puede pensar en las dimensiones de cualquier cantidad física como definidas en términos de una sola dimensión independiente, en lugar de en términos de las tres. Esto se suele denominar la dimensión de masa de la cantidad. Conocer las dimensiones de cada cantidad permite restaurar de forma única las dimensiones convencionales a partir de una expresión de unidades naturales en términos de esta dimensión de masa, simplemente reinsertando las potencias requeridas de ħ y c necesarias para la consistencia dimensional.

Una posible objeción es que esta teoría es clásica y, por lo tanto, no resulta obvio cómo la constante de Planck debería ser parte de la teoría. Si se desea, se podría reformular la teoría sin dimensiones de masa en absoluto; sin embargo, esto se haría a costa de oscurecer ligeramente la conexión con el campo escalar cuántico. Dado que se tienen dimensiones de masa, la constante de Planck se considera aquí como una cantidad de referencia fija de acción esencialmente arbitraria (no necesariamente relacionada con la cuantización), por lo tanto con dimensiones apropiadas para convertir entre masa y longitud inversa.

La dimensión de escala clásica, o dimensión de masa, Δ, de φ describe la transformación del campo bajo un reescalado de coordenadas:

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x}$

${\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~}$

Las unidades de acción son las mismas que las unidades de ħ, por lo que la acción en sí tiene una dimensión de masa cero. Esto fija la dimensión de escala del campo φ en

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}$

Hay un sentido específico en el que algunas teorías de campos escalares son invariantes en cuanto a la escala. Si bien las acciones anteriores están todas construidas para tener una dimensión de masa cero, no todas las acciones son invariantes bajo la transformación de escala.

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x}$

${\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~}$

La razón por la que no todas las acciones son invariantes es que normalmente se piensa en los parámetros m y g_n como cantidades fijas, que no se reescalan con la transformación anterior. La condición para que una teoría de campos escalares sea invariante en la escala es entonces bastante obvia: todos los parámetros que aparecen en la acción deben ser cantidades adimensionales. En otras palabras, una teoría invariante en la escala es una teoría sin ninguna escala de longitud fija (o equivalentemente, escala de masa) en la teoría.

Para una teoría de campos escalares con dimensiones de espacio-tiempo D, el único parámetro adimensional g_n satisface n = 2D⁄(D − 2) . Por ejemplo, en D = 4, solo g₄ es clásicamente adimensional, y por lo tanto la única teoría de campo escalar clásicamente invariante en escala en D = 4 es la teoría sin masa φ4.

Sin embargo, la invariancia de escala clásica normalmente no implica invariancia de escala cuántica, debido al grupo de renormalización involucrado; consulte la discusión de la función beta a continuación.

Una transformación

${\displaystyle x\rightarrow {\tilde {x}(x)}$

Se dice que es conforme si la transformación satisface

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\cHFF} {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\c\cHFF} {\c\c\fnMicrosoft {\c\cHFF}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c {}}} {\partial x^{\rho {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\f} {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\f}\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fn\fnMicrosoft {\\\\fn\fn\\\\\fn\\\\fn\fn\\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\fn\fn\\\\\\\\\fn\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fn\\\\fnMicrosoft {\cH\\\\\\cH\\\cH\\\\\c\cH\ }} {\partial x^{\sigma }}\eta _{\mu\nu }=\lambda ^{2}(x)\eta _{\rho \sigma }$

para alguna función λ(x).

El grupo conformal contiene como subgrupos las isometrías de la métrica ${\displaystyle \eta _{\mu\nu }$ (el grupo Poincaré) y también las transformaciones de escala (o dilataciones) consideradas anteriormente. De hecho, las teorías invariantes de escala en la sección anterior también son consistentemente invariantes.

La teoría masiva φ⁴ ilustra una serie de fenómenos interesantes en la teoría de campos escalares.

La densidad lagrangiana es

${\displaystyle {\mathcal {}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi)^{2}-{\frac {1}{2}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1} {2}m^{2}\phi ^{2}-{4}\phi ^{4}}$

Este Lagrangiano tiene un ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}$ simetría bajo la transformación φ→ −φ. Este es un ejemplo de simetría interna, en contraste con una simetría espacial.

Si m² es positivo, el potencial

${\displaystyle V(\phi)={\frac {1} {2}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {4}\phi ^{4}}}$

tiene un único mínimo, en el origen. La solución φ=0 es claramente invariante bajo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}$ simetría.

Por el contrario, si m² es negativo, entonces se puede ver fácilmente que el potencial

${\displaystyle V(\phi)={\frac {1} {2}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {4}\phi ^{4}}}$

tiene dos minima. Esto es conocido como doble potencial, y los estados de energía más bajos (conocidos como el vacua, en el campo cuántico teórica) en tal teoría son no invariable bajo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}$ simetría de la acción (de hecho mapea cada uno de los dos vacua hacia el otro). En este caso, el ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}$ la simetría se dice que espontáneamente roto.

La teoría φ⁴ con un m² negativo también tiene una solución de kink, que es un ejemplo canónico de un solitón. Tal solución es de la forma

${\displaystyle \phi ({\vec {x},t)=\pm {\frac {m}{2{\sqrt {\frac} {g}{4}}}} {\fnK}} {\fnMic {m(x-x_{0}}{\sqrt {2}}}}}\right]$

donde x es una de las variables espaciales (se considera que φ es independiente de t y las variables espaciales restantes). La solución interpola entre los dos vacíos diferentes del potencial de pozo doble. No es posible deformar el punto de inflexión en una solución constante sin pasar por una solución de energía infinita y, por esta razón, se dice que el punto de inflexión es estable. Para D>2 (es decir, teorías con más de una dimensión espacial), esta solución se denomina pared de dominio.

Otro ejemplo bien conocido de una teoría de campos escalares con soluciones de kink es la teoría de seno-Gordon.

En una teoría de campos escalares complejos, el campo escalar toma valores en números complejos, en lugar de números reales. El campo escalar complejo representa partículas y antipartículas de espín 0 con carga. La acción considerada normalmente toma la forma

${\displaystyle {\mathcal {S}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu\nu }\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial _{\nu }\phi -V(Sobrevivir\phi Silencio^{2})\right]$

Esto tiene una simetría U(1), equivalentemente O(2), cuya acción en el espacio de los campos gira ${\displaystyle \phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi }$, para algún ángulo de fase real α.

En cuanto al campo real del cuero cabelludo, la ruptura espontánea de la simetría se encuentra si m² es negativo. Esto da lugar al potencial de sombrero mexicano de Goldstone, que es una rotación del potencial doble de un campo de escalar real a través de 2π radians sobre el V${\displaystyle (\phi)}$ Axis. La ruptura de la simetría tiene lugar en una dimensión superior, es decir, la elección del vacío rompe un continuo U(1) simetría en lugar de discreta. Los dos componentes del campo de escalar se reconfiguran como un modo masivo y un bosón sin masa de Goldstone.

La teoría de campos escalares complejos se puede expresar en términos de dos campos reales, φ¹ = Re φ y φ² = Im φ, que se transforman en la representación vectorial de la simetría interna U(1) = O(2). Aunque dichos campos se transforman como un vector bajo la simetría interna, siguen siendo escalares de Lorentz.

Esto se puede generalizar a una teoría de campos escalares N que se transforman en la representación vectorial de la simetría O(N). El lagrangiano para una teoría de campos escalares O(N)-invariante es típicamente de la forma

${\displaystyle {\mathcal {}={\frac {1}{2}\eta ^{\mu\nu}\partial _{\mu} }\phi \cdot \partial _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi)}$

utilizando un O()N)- producto interno invariante. La teoría también se puede expresar para campos vectoriales complejos, es decir, para ${\displaystyle \phi \in \mathbb {C}$, en cuyo caso el grupo de simetría es el grupo Lie SU(N).

Cuando la teoría de campos escalares se acopla de manera invariante a la acción de Yang-Mills, se obtiene la teoría de superconductores de Ginzburg-Landau. Los solitones topológicos de esa teoría corresponden a los vórtices de un superconductor; el mínimo del potencial de sombrero mexicano corresponde al parámetro de orden del superconductor.

Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Segunda edición). EE. UU.: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3, cap. 4

En la teoría cuántica de campos, los campos y todos los observables construidos a partir de ellos se reemplazan por operadores cuánticos en un espacio de Hilbert. Este espacio de Hilbert se construye en un estado de vacío y la dinámica está gobernada por un hamiltoniano cuántico, un operador positivo definido que aniquila el vacío. En el artículo sobre cuantificación canónica se detalla una construcción de una teoría cuántica de campos escalares, que se basa en relaciones de conmutación canónicas entre los campos. Esencialmente, la infinidad de osciladores clásicos reempaquetados en el campo escalar como sus modos normales (desacoplados), arriba, ahora se cuantifican de la manera estándar, por lo que el respectivo campo de operadores cuánticos describe una infinidad de osciladores armónicos cuánticos que actúan en un respectivo espacio de Fock.

En resumen, las variables básicas son el campo cuántico φ y su momento canónico π. Ambos campos con valores de operador son hermíticos. En los puntos espaciales x→, y→ y en tiempos iguales, sus relaciones de conmutación canónicas están dadas por

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft ] {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft ] {\fnMicrosoft ]\f} {\f}\fnMicrosoft ]\f}\f}\f}\fnMicrosoft ]}\fnMientras,\fnMientras,\fnMinMinMientras, {\fnMinMientras,\fnMientras,\f}\fnMinMientras,\fnMinMientras,\ssssoy] {x}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}$

mientras que el hamiltoniano libre es, de manera similar al anterior,

${\displaystyle H=\int d^{3}x\left[{1\over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi)^{2}+{m^{2}\over 2}\phi ^{2}\right].}$

Una transformada de Fourier espacial conduce a campos espaciales de momento

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\fnh} {\fnh} {\fnh}}\cdot {\c}}\f}\fi ({\vec {x}})\fi ({\vec {x}),\\\\{\d\fn} {\c} {\c} {\c} {\c}}} {\c\c\c\c} {\c}\c} {\c} {\c}}\c}\c\c}}\c}\c\c}\c}\c}\c}\c} {\c} {\c\c\c}\c\c}\c}\c\c\c\c\c\c}\c}\c}\c\c}\c\c\c}\c\c\c}\c\c\c}\c\c\c\c\c}\c}\c\c}\c}\c}\c\c}\c}\c\c\c}\c\c\c}\c}\c}$

que se resuelven en operadores de aniquilación y creación

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\f}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\f}}}}}}\f} {\f}}\f}}\f}\f}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\f}\fnun}\fnun}\f}\fnun}\fnK\fnK\fnMinun\fnun}\fnun}\f}\fnK\f}\fnun}\fnun}\fn$

Donde ${\displaystyle E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$.

Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\c} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnK} {\c} {\c} {\fnMicrosoft ]} {\fnMicrosoft} {\f} {\f} {\f} {\f}\fnMicrox}\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\f}\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\f}\f}\fn {k}_{1}-{\vec} {k}_{2}).$

El estado ${\displaystyle Silencioso$ aniquilados por todos los operadores a se identifica como vacío desnudo, y una partícula con impulso k→ se crea mediante la aplicación ${\displaystyle a^{\dagger }({\vec {}}}}$ al vacío.

Aplicando todas las combinaciones posibles de operadores de creación al vacío se construye el espacio de Hilbert correspondiente: Esta construcción se llama espacio de Fock. El vacío es aniquilado por el hamiltoniano

${\displaystyle H=\int {d^{3}k \over (2\pi)^{3}{\frac {1}{2}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec { k}}}}}$

donde la energía del punto cero ha sido eliminada por ordenamiento de Wick. (Ver cuantificación canónica.)

Las interacciones se pueden incluir agregando una interacción Hamiltonian. Para un φ⁴ teoría, esto corresponde a añadir un término pedido Wick g:φ⁴:/4! al Hamiltonian, e integración x. Las amplitudes cambiantes pueden calcularse de este Hamiltoniano en la imagen de interacción. Estas se construyen en la teoría de la perturbación por medio de la serie Dyson, que da los productos ordenados por tiempo, o n-partícula Funciones de Green ${\displaystyle \langle 0 resist{\mathcal {T}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}\}$ como se describe en el artículo de la serie Dyson. Las funciones de Green también se pueden obtener a partir de una función generadora que se construye como solución a la ecuación Schwinger-Dyson.

La expansión del diagrama de Feynman también se puede obtener a partir de la formulación de la integral de trayectorias de Feynman. Los valores esperados de vacío ordenados en el tiempo de los polinomios en φ, conocidos como funciones de Green de n-partículas, se construyen mediante la integración sobre todos los campos posibles, normalizados por el valor esperado de vacío sin campos externos.

${\fn\fn}\\fn}\\\fn}\cdots \phi (x_{n}\cdots \phi (x_{n})\}\cdots\nangle ={\frac {\int {\mthcal {}\f}\fn}\cdots\fn\fn} {\i\i\i\i\i\i\i\i\i\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\cH009\c\c\cH009\cH009\c\cH009\cH009\c\c\c\c\cH009\cH009\c\cH009\c\cH009\c\cH009\cH009\cH009\c\cH009\c\cH004}\c\cH009\c\cH009\c\c\c\c }\phi -{m^{2}\over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1\over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}}}}$

Todas estas funciones de Green se pueden obtener expandiendo la exponencial en J(x)φ(x) en la función generadora

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1\over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu} }\phi - {m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum ¿Qué? {i^{n} {n}}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0 Todd{\mathcal {T}\\{\fi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}\)\}Principal.$

Se puede aplicar una rotación de Wick para hacer que el tiempo sea imaginario. Si se cambia la signatura a (++++), la integral de Feynman se convierte en una función de partición de mecánica estadística en el espacio euclidiano.

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1\over 2}(\nabla \phi)^{2}+{m^{2}\over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right}}}}}}}}}}}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\$

Normalmente, esto se aplica a la dispersión de partículas con momentos fijos, en cuyo caso es útil una transformada de Fourier, que da en su lugar

${\displaystyle {\tilde {Z}[{\tilde {}]=\int {\mathcal} {} {\fn} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fn}} {\fnMicrosoft}}} {\fn}} {\fnMicrosoft}} {\fn}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}} {\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}}}}}}}}\f}\f} {\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\fn\f}}\fn\f}\fn\fn\fn\f}\fn\fn\fn\fn}}\fn\f}\fn\f}}}\f}\f}}}}}}}} {\fnK}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi)^{4}\left({1\over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi] }{2}-{\tilde {J} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\f}}}} {\fn}}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}}} {\f}}}} {\f}}} {\fnMicrosoft}}} {\f}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}\f}}}\f}\f}}}}\f}\f}\f} {\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}}\f}}\fn\f}\fn\fn\f}\f}\fn\f}}\fnMicrono}\fn\f}}\fn\f}}\fn\f}}}}}}}} {\fnMicrosoft} {4}{4} {4} {4}p_{4}{4}{4}{4}p_{4} {4}{d^{4}p_{2} \over (2\pi)}{4}{4}p_{3}\over (2\pi)^{4}} {4}}}}\delta (p-p_{1}-p_{2}){\tilde {\phi }(p){\tilde {\phi }} {\p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }} {\f} {\p_{3}}}}}}}\right)}}}}}}}} {\right)}$

Donde ${\displaystyle \delta (x)}$ es la función Dirac delta.

El truco estándar para evaluar esta integral funcional es escribirla como un producto de factores exponenciales, esquemáticamente,

${\displaystyle {\tilde {Z}[{\tilde {}]=\int {\mathcal} {} {\fn} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fn}} {\fnMicrosoft}}} {\fn}} {\fnMicrosoft}} {\fn}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}} {\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}}}}}}}}\f}\f} {\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\fn\f}}\fn\f}\fn\fn\fn\f}\fn\fn\fn\fn}}\fn\f}\fn\f}}}\f}\f}}}}}}}} {\fnK}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}{\c}{\c} {\fnMide {\f} ### {2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi)^{4}{4}{4}p_{2} \over (2\pi)^{4}{4}p_{3} \over (2\pi)^{4}\delta (p-p_{1}-p_{2}){\tilde {\phi }(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\f} {\f} {\f} {\f} {\c} {\c\c})})}e} {{{\c\c\c} {\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c Bien.$

Los dos segundos factores exponenciales pueden desarrollarse como series de potencias, y la combinatoria de esta expansión puede representarse gráficamente a través de diagramas de Feynman de la interacción cuártica.

La integral con g = 0 puede tratarse como un producto de infinitas integrales gaussianas elementales: el resultado puede expresarse como una suma de diagramas de Feynman, calculados utilizando las siguientes reglas de Feynman:

• Cada campo ~φ()p) en el n-punto Euclidean La función de Green está representada por una línea externa (half-edge) en el gráfico, y asociada con el impulso p.
• Cada vértice está representado por un factor −g.
• En una orden dada g^k, todos los diagramas con n líneas externas y k vertices se construyen tal que el momenta fluyendo en cada vértice es cero. Cada línea interna está representada por un propagador 1/(q² + m²), donde q es el impulso que fluye a través de esa línea.
• Cualquier momenta sin restricciones se integra sobre todos los valores.
• El resultado se divide por un factor de simetría, que es el número de formas en que las líneas y los vértices del gráfico pueden reorganizarse sin cambiar su conectividad.
• No incluya gráficos que contengan "burbujas de vacío", subgrafos conectados sin líneas externas.

La última regla tiene en cuenta el efecto de dividir por ~Z[0]. Las reglas de Feynman del espacio de Minkowski son similares, excepto que cada vértice está representado por −ig, mientras que cada línea interna está representada por un propagador i/(q²−m²+iε), donde el término ε representa la pequeña rotación de Wick necesaria para hacer que la integral gaussiana del espacio de Minkowski converja.

Las integrales sobre momentos no restringidos, llamadas "integrales de bucle", en los gráficos de Feynman suelen divergir. Esto normalmente se soluciona mediante renormalización, que es un procedimiento que consiste en añadir contratérminos divergentes al lagrangiano de tal manera que los diagramas construidos a partir del lagrangiano original y los contratérminos sean finitos. En el proceso se debe introducir una escala de renormalización, y la constante de acoplamiento y la masa pasan a depender de ella.

La dependencia de una constante de acoplamiento g en la escala λ está codificada por una función beta, β(g), definida por

${\displaystyle \beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }~$

Esta dependencia de la escala de energía se conoce como "el funcionamiento del parámetro de acoplamiento", y la teoría de esta dependencia sistemática de la escala en la teoría cuántica de campos está descrita por el grupo de renormalización.

Las funciones beta se calculan generalmente en un esquema de aproximación, más comúnmente la teoría de perturbaciones, donde se supone que la constante de acoplamiento es pequeña. Luego se puede hacer una expansión en potencias de los parámetros de acoplamiento y truncar los términos de orden superior (también conocidos como contribuciones de bucles superiores, debido a la cantidad de bucles en los gráficos de Feynman correspondientes).

La función β en un bucle (la primera contribución perturbativa) para la teoría φ⁴ es

${\displaystyle \beta (g)={16\pi ^{2}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.}$

El hecho de que el signo delante del término de orden más bajo sea positivo sugiere que la constante de acoplamiento aumenta con la energía. Si este comportamiento persistiera en acoplamientos grandes, esto indicaría la presencia de un polo de Landau en energía finita, que surge de la trivialidad cuántica. Sin embargo, la pregunta solo puede responderse de manera no perturbativa, ya que implica un acoplamiento fuerte.

Se dice que una teoría cuántica de campos es trivial cuando el acoplamiento renormalizado, calculado a través de su función beta, tiende a cero cuando se elimina el límite ultravioleta. En consecuencia, el propagador se convierte en el de una partícula libre y el campo ya no interactúa.

Para una interacción φ⁴, Michael Aizenman demostró que la teoría es, en efecto, trivial, para una dimensión espacio-temporal D ≥ 5.

Para D = 4, la trivialidad aún debe demostrarse rigurosamente, pero los cálculos en red han proporcionado evidencia sólida de esto. Este hecho es importante ya que la trivialidad cuántica se puede utilizar para limitar o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs. Esto también puede conducir a una masa de Higgs predecible en escenarios de seguridad asintótica.

• Renormalización
• trivialidad cuántica
• Landau pole
• Invariancia de escala (descripción CFT)
• Electrodinámica de escalar

• Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría de campo cuántica. Westview Press. ISBN 978-0201503975.
• Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields. Vol. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.
• Weinberg, S. (1998). The Quantum Theory of Fields. Vol. II. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55002-5.
• Srednicki, M. (2007). Campo cuántico Teoría. Cambridge University Press. ISBN 9780521864497.
• Zinn-Justin, J (2002). Teoría de campo cuántica y Fenomena crítica. Oxford University Press. ISBN 978-0198509233.

• La base conceptual de la teoría del campo cuántico Haga clic en el enlace para Chap. 3 para encontrar una introducción amplia y simplificada a los escalares en mecánica cuántica relativista y teoría de campo cuántico.