Teoría de autómatas

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La teoría de los autómatas es el estudio de las máquinas abstractas y los autómatas, así como los problemas computacionales que se pueden resolver usándolos. Es una teoría en informática teórica. La palabra autómataproviene de la palabra griega αὐτόματος, que significa "autoactuación, voluntad propia, movimiento propio". Un autómata (autómata en plural) es un dispositivo informático abstracto autopropulsado que sigue una secuencia predeterminada de operaciones automáticamente. Un autómata con un número finito de estados se denomina autómata finito (FA) o máquina de estado finito (FSM). La figura de la derecha ilustra una máquina de estados finitos, que es un tipo de autómata bien conocido. Este autómata consta de estados (representados en la figura por círculos) y transiciones (representadas por flechas). Cuando el autómata ve un símbolo de entrada, hace una transición (o salto) a otro estado, de acuerdo con su función de transición, que toma como argumentos el estado anterior y el símbolo de entrada actual.

La teoría de los autómatas está estrechamente relacionada con la teoría del lenguaje formal. En este contexto, los autómatas se utilizan como representaciones finitas de lenguajes formales que pueden ser infinitos. Los autómatas a menudo se clasifican por la clase de lenguajes formales que pueden reconocer, como en la jerarquía de Chomsky, que describe una relación de anidamiento entre las principales clases de autómatas. Los autómatas juegan un papel importante en la teoría de la computación, la construcción de compiladores, la inteligencia artificial, el análisis y la verificación formal.

Historia

La teoría de los autómatas abstractos se desarrolló a mediados del siglo XX en relación con los autómatas finitos. La teoría de autómatas se consideró inicialmente como una rama de la teoría de sistemas matemáticos, que estudiaba el comportamiento de los sistemas de parámetros discretos. Los primeros trabajos en la teoría de los autómatas diferían de los trabajos anteriores sobre sistemas en el uso del álgebra abstracta para describir los sistemas de información en lugar del cálculo diferencial para describir los sistemas materiales. La teoría del transductor de estado finito fue desarrollada bajo diferentes nombres por diferentes comunidades de investigación. El concepto anterior de máquina de Turing también se incluyó en la disciplina junto con nuevas formas de autómatas de estado infinito, como los autómatas pushdown.

1956 vio la publicación de Automata Studies, que recopiló el trabajo de científicos como Claude Shannon, W. Ross Ashby, John von Neumann, Marvin Minsky, Edward F. Moore y Stephen Cole Kleene. Con la publicación de este volumen, "la teoría de los autómatas surgió como una disciplina relativamente autónoma". El libro incluía la descripción de Kleene del conjunto de eventos regulares, o lenguajes regulares, y una medida relativamente estable de complejidad en los programas de la máquina de Turing de Shannon. En el mismo año, Noam Chomsky describió la jerarquía de Chomsky, una correspondencia entre autómatas y gramáticas formales, y Ross Ashby publicó Introducción a la cibernética, un libro de texto accesible que explica los autómatas y la información utilizando la teoría básica de conjuntos.

El estudio de los autómatas acotados lineales condujo al teorema de Myhill-Nerode, que proporciona una condición necesaria y suficiente para que un lenguaje formal sea regular y un recuento exacto del número de estados en una máquina mínima para el lenguaje. El lema de bombeo para lenguajes regulares, también útil en pruebas de regularidad, fue probado en este período por Michael O. Rabin y Dana Scott, junto con la equivalencia computacional de autómatas finitos deterministas y no deterministas.

En la década de 1960, surgió un cuerpo de resultados algebraicos conocido como "teoría de la estructura" o "teoría de la descomposición algebraica", que se ocupaba de la realización de máquinas secuenciales a partir de máquinas más pequeñas por interconexión. Si bien cualquier autómata finito se puede simular utilizando un conjunto de puertas universales, esto requiere que el circuito de simulación contenga bucles de complejidad arbitraria. La teoría de la estructura se ocupa de la realizabilidad "sin bucles" de las máquinas. La teoría de la complejidad computacional también tomó forma en la década de 1960. A finales de la década, la teoría de los autómatas pasó a ser vista como "las matemáticas puras de la informática".

Autómatas

Lo que sigue es una definición general de un autómata, que restringe una definición más amplia de un sistema a uno que actúa en pasos de tiempo discretos, con su comportamiento de estado y salidas definidas en cada paso por funciones inmutables de solo su estado y entrada.

Descripción informal

Un autómata se ejecuta cuando se le da una secuencia de entradas en pasos de tiempo discretos (individuales) (o solo pasos). Un autómata procesa una entrada seleccionada de un conjunto de símbolos o letras, que se denomina alfabeto de entrada. Los símbolos recibidos por el autómata como entrada en cualquier paso son una secuencia de símbolos llamados palabras. Un autómata tiene un conjunto de estados. En cada momento durante la ejecución del autómata, el autómata se encuentra en uno de sus estados. Cuando el autómata recibe una nueva entrada, se mueve a otro estado (o transiciones) en función de unfunción de transición que toma el estado anterior y el símbolo de entrada actual como parámetros. Al mismo tiempo, otra función llamada función de salida produce símbolos del alfabeto de salida, también de acuerdo con el estado anterior y el símbolo de entrada actual. El autómata lee los símbolos de la palabra de entrada y cambia de estado hasta que la palabra se lee por completo, si tiene una longitud finita, momento en el que el autómata se detiene. Un estado en el que el autómata se detiene se denomina estado final.

Para investigar las posibles secuencias de estado/entrada/salida en un autómata utilizando la teoría del lenguaje formal, se puede asignar a una máquina un estado de inicio y un conjunto de estados de aceptación. Luego, dependiendo de si una ejecución que comienza desde el estado inicial termina en un estado de aceptación, se puede decir que el autómata acepta o rechaza una secuencia de entrada. El conjunto de todas las palabras aceptadas por un autómata se denomina lenguaje reconocido por el autómata. Un ejemplo familiar de una máquina que reconoce un idioma es una cerradura electrónica, que acepta o rechaza los intentos de ingresar el código correcto.

Definicion formal

AutómataUn autómata se puede representar formalmente mediante una tupla de 5 ${displaystyle M=langle Sigma,Gamma,Q,delta,lambda rangle }$ , donde:

$Sigma$ es un conjunto finito de símbolos, llamado alfabeto de entrada del autómata,
$Gama$ es otro conjunto finito de símbolos, llamado el alfabeto de salida del autómata,
$q$ es un conjunto de estados,
$delta$ es la función de siguiente estado o función de transición que ${ estilo de visualización delta: Q tiempos Sigma a Q}$ asigna pares de entrada de estado a estados sucesores,
$lambda$ es la siguiente función de salida que ${ estilo de visualización lambda: Q tiempos Sigma a gamma}$ asigna pares de entrada de estado a salidas.

Si $q$ es finito, entonces $METRO$ es un autómata finito.Palabra de entradaUn autómata lee una cadena finita de símbolos ${displaystyle a_{1}a_{2}...a_{n}}$ , donde ${ Displaystyle a_ {i} en Sigma}$ , que se denomina palabra de entrada. El conjunto de todas las palabras se denota por $Sigma^{*}$ .CorrerUna secuencia de estados ${displaystyle q_{0},q_{1},...,q_{n}}$ , donde ${displaystyle q_{i}en Q}$ tal que ${displaystyle q_{i}=delta (q_{i-1},a_{i})}$ for ${displaystyle 0<ileq n}$ , es una ejecución del autómata en una entrada ${displaystyle a_{1}a_{2}...a_{n}en Sigma ^{*}}$ a partir del estado $q_0$ . En otras palabras, al principio el autómata está en el estado inicial $q_0$ y recibe la entrada $un_{1}$ . Para $un_{1}$ cada uno de los siguientes $ai}$ en la cadena de entrada, el autómata elige el siguiente estado $q_{yo}$ de acuerdo con la función de transición, hasta que se haya leído ${ estilo de visualización delta (q_ {i-1}, a_ {i})}$ el último símbolo, dejando la máquina en el estado final de la ejecución,. De manera similar, en cada paso, el autómata emite un símbolo de salida de acuerdo con la función de salida. $un}$ $q_{n}$ ${ estilo de visualización lambda (q_ {i-1}, a_ {i})}$ La función de transición $delta$ se extiende inductivamente ${displaystyle {overline {delta }}:Qveces Sigma ^{*}a Q}$ para describir el comportamiento de la máquina cuando se alimenta con palabras de entrada completas. Para la cadena vacía $varepsilon$ , ${displaystyle {overline {delta }}(q,varepsilon)=q}$ para todos los estados $q$ y para cadenas ${ estilo de visualización wa}$ donde $a$ es el último símbolo y $w$ es el resto (posiblemente vacío) de la cadena, ${displaystyle {overline {delta }}(q,wa)=delta ({overline {delta }}(q,w),a)}$ . La función de salida $lambda$ puede extenderse de manera similar a ${displaystyle {overline {lambda}}(q,w)}$ , lo que da la salida completa de la máquina cuando se ejecuta en word $w$ from state $q$ .AceptadorPara estudiar un autómata con la teoría de los lenguajes formales, se puede considerar un autómata como aceptor, reemplazando el alfabeto y la función de salida $Gama$ y $lambda$ con

$q_{0}en Q$ , un estado de inicio designado, y
$F$ , un conjunto de estados de $q$ (ie $Fsubconjunto Q$ ) llamados estados de aceptación.

Esto permite definir lo siguiente:Aceptando palabraUna palabra ${displaystyle w=a_{1}a_{2}...a_{n}inSigma ^{*}}$ es una palabra de aceptación para el autómata si ${displaystyle {overline {delta }}(q_{0},w)in F}$ , es decir, si después de consumir toda la cadena $w$ la máquina se encuentra en estado de aceptación.Idioma reconocidoEl lenguaje reconocido por un autómata es el conjunto de todas las palabras que son aceptadas por el autómata,. ${displaystyle Lsubseteq Sigma ^{*}}$ ${displaystyle L={win Sigma ^{*} | {overline {delta }}(q_{0},w)in F}}$ Idiomas reconociblesLos lenguajes reconocibles son el conjunto de lenguajes que son reconocidos por algún autómata. Para autómatas finitos, los lenguajes reconocibles son lenguajes regulares. Para diferentes tipos de autómatas, los lenguajes reconocibles son diferentes.

Definiciones variantes de autómatas

Los autómatas se definen para estudiar máquinas útiles bajo el formalismo matemático. Entonces, la definición de un autómata está abierta a variaciones de acuerdo con la "máquina del mundo real" que queremos modelar usando el autómata. La gente ha estudiado muchas variaciones de autómatas. Las siguientes son algunas variaciones populares en la definición de diferentes componentes de autómatas.Aporte

Entrada finita: un autómata que acepta solo secuencias finitas de símbolos. La definición introductoria anterior solo abarca palabras finitas.
Entrada infinita: un autómata que acepta infinitas palabras (ω-palabras). Estos autómatas se denominan ω-autómatas.
Entrada de árbol: la entrada puede ser un árbol de símbolos en lugar de una secuencia de símbolos. En este caso, después de leer cada símbolo, el autómata lee todos los símbolos sucesores en el árbol de entrada. Se dice que el autómata hace una copia de sí mismo para cada sucesor y cada una de esas copias comienza a ejecutarse en uno de los símbolos sucesores del estado según la relación de transición del autómata. Tal autómata se llama autómata de árbol.
Entrada de árbol infinito: las dos extensiones anteriores se pueden combinar, por lo que el autómata lee una estructura de árbol con ramas (in) finitas. Tal autómata se llama autómata de árbol infinito.

estados

Estado único: un autómata con un estado, también llamado circuito combinacional, realiza una transformación que puede implementar una lógica combinacional.
Estados finitos: un autómata que contiene solo un número finito de estados.
Estados infinitos: un autómata que puede no tener un número finito de estados, o incluso un número contable de estados. Se pueden usar diferentes tipos de memoria abstracta para dar descripciones finitas a tales máquinas.
Memoria de pila: un autómata también puede contener algo de memoria adicional en forma de pila en la que se pueden empujar y sacar símbolos. Este tipo de autómata se llama autómata pushdown.
Memoria de cola: un autómata puede tener memoria en forma de cola. Tal máquina se llama máquina de cola y es Turing-completa.
Memoria de cinta: Las entradas y salidas de los autómatas a menudo se describen como cintas de entrada y salida. Algunas máquinas tienen cintas de trabajo adicionales, incluida la máquina de Turing, el autómata acotado lineal y el transductor de espacio logarítmico.

Función de transición

Determinista: para un estado actual dado y un símbolo de entrada, si un autómata solo puede saltar a uno y solo un estado, entonces es un autómata determinista.
No determinista: un autómata que, después de leer un símbolo de entrada, puede saltar a cualquiera de una serie de estados, según lo autorice su relación de transición. Observe que el término función de transición se reemplaza por relación de transición: el autómata decide saltar de manera no determinista a una de las opciones permitidas. Estos autómatas se denominan autómatas no deterministas.
Alternancia: esta idea es bastante similar a la de los árboles autómatas pero ortogonal. El autómata puede ejecutar sus múltiples copias en el mismo símbolo de lectura siguiente. Estos autómatas se denominan autómatas alternos. La condición de aceptación debe cumplirse en todas las tiradas de tales copias para aceptar la entrada.

Condición de aceptación

Aceptación de palabras finitas: Igual que se describe en la definición informal anterior.
Aceptación de infinitas palabras: un ω-autómata no puede tener estados finales, ya que infinitas palabras nunca terminan. Más bien, la aceptación de la palabra se decide observando la secuencia infinita de estados visitados durante la ejecución.
Aceptación probabilística: un autómata no necesita aceptar o rechazar estrictamente una entrada. Puede aceptar la entrada con alguna probabilidad entre cero y uno. Por ejemplo, los autómatas cuánticos finitos, los autómatas geométricos y los autómatas métricos tienen aceptación probabilística.

Diferentes combinaciones de las variaciones anteriores producen muchas clases de autómatas.

La teoría de autómatas es un tema que estudia las propiedades de varios tipos de autómatas. Por ejemplo, se estudian las siguientes preguntas sobre un tipo dado de autómatas.

¿Qué clase de lenguajes formales es reconocible por algún tipo de autómata? (Idiomas reconocibles)
¿Se cierran ciertos autómatas bajo unión, intersección o complementación de lenguajes formales? (Propiedades de cierre)
¿Qué tan expresivo es un tipo de autómata en términos de reconocer una clase de lenguajes formales? ¿Y su relativo poder expresivo? (Jerarquía de idiomas)

La teoría de autómatas también estudia la existencia o inexistencia de algoritmos efectivos para resolver problemas similares a la siguiente lista:

¿Un autómata acepta al menos una palabra de entrada? (Comprobación de vacío)
¿Es posible transformar un autómata no determinista dado en un autómata determinista sin cambiar el lenguaje reconocido? (Determinación)
Para un lenguaje formal dado, ¿cuál es el autómata más pequeño que lo reconoce? (Minimización)

Tipos de autómatas

La siguiente es una lista incompleta de tipos de autómatas.

Autómata	Idiomas reconocibles
Máquina de estado finito no determinista/determinista (FSM)	idiomas regulares
Autómata pushdown determinista (DPDA)	lenguajes deterministas libres de contexto
Autómata pushdown (PDA)	lenguajes libres de contexto
Autómata lineal acotado (LBA)	lenguajes sensibles al contexto
máquina de Turing	lenguajes recursivamente enumerables
Autómata determinista de Büchi	ω-límite de idiomas
Autómata no determinista de Büchi	ω-lenguajes regulares
Autómata Rabin, autómata Streett, autómata Parity, autómata Muller
autómata ponderado

Autómatas discretos, continuos e híbridos

Normalmente, la teoría de los autómatas describe los estados de las máquinas abstractas, pero existen autómatas discretos, autómatas analógicos o autómatas continuos, o autómatas híbridos discretos-continuos, que utilizan datos digitales, datos analógicos o tiempo continuo, o datos digitales y analógicos, respectivamente.

Jerarquía en términos de poderes

La siguiente es una jerarquía incompleta en términos de poderes de diferentes tipos de máquinas virtuales. La jerarquía refleja las categorías anidadas de lenguajes que las máquinas pueden aceptar.

Autómata
Autómata finito determinista (DFA) -- Potencia mínima(misma potencia) $\|\|$ (misma potencia)Autómata finito no determinista (NFA)(arriba es más débil) $gorra$ (abajo es más fuerte)Autómata de empuje hacia abajo determinista (DPDA-I)con 1 almacén de empuje hacia abajo Autómata de empuje hacia abajo no determinista (NPDA-I) con 1 almacén de empuje hacia abajo Autómata lineal delimitado (LBA) Autómata de empuje hacia abajo determinista (DPDA-II) con 2 almacenes de empuje hacia abajo Autómata de empuje hacia abajo no determinista (NPDA-II) con 2 almacenes de empuje hacia abajo Máquina de Turing determinista (DTM) Máquina de Turing no determinista (NTM) Máquina de Turing probabilística (PTM) Máquina de Turing multicinta (MTM) Máquina de Turing multidimensional $gorra$ $gorra$ $gorra$ $\|\|$ $\|\|$ $\|\|$ $\|\|$ $\|\|$ $\|\|$

Aplicaciones

Cada modelo en la teoría de autómatas juega un papel importante en varias áreas aplicadas. Los autómatas finitos se utilizan en el procesamiento de texto, compiladores y diseño de hardware. La gramática libre de contexto (CFG) se utiliza en lenguajes de programación e inteligencia artificial. Originalmente, los CFG se utilizaron en el estudio de los lenguajes humanos. Los autómatas celulares se utilizan en el campo de la vida artificial, siendo el ejemplo más famoso el Juego de la vida de John Conway. Algunos otros ejemplos que podrían explicarse utilizando la teoría de autómatas en biología incluyen patrones de pigmentación y crecimiento de moluscos y piñas. Yendo más allá, algunos científicos defienden una teoría que sugiere que todo el universo es computado por algún tipo de autómata discreto. La idea se originó en el trabajo de Konrad Zuse y fue popularizada en Estados Unidos por Edward Fredkin. Otro problema para el que se pueden utilizar los autómatas es la inducción de lenguajes regulares.

Simuladores de autómatas

Los simuladores de autómatas son herramientas pedagógicas que se utilizan para enseñar, aprender e investigar la teoría de los autómatas. Un simulador de autómatas toma como entrada la descripción de un autómata y luego simula su funcionamiento para una cadena de entrada arbitraria. La descripción del autómata se puede introducir de varias formas. Un autómata se puede definir en un lenguaje simbólico o se puede ingresar su especificación en un formulario prediseñado o se puede dibujar su diagrama de transición haciendo clic y arrastrando el mouse. Los simuladores de autómatas más conocidos incluyen Turing's World, JFLAP, VAS, TAGS y SimStudio.

Conexión con la teoría de categorías

Se pueden definir varias categorías distintas de autómatas siguiendo la clasificación de autómatas en diferentes tipos descritos en la sección anterior. La categoría matemática de autómatas deterministas, máquinas secuenciales o autómatas secuenciales y máquinas de Turing con homomorfismos de autómatas que definen las flechas entre autómatas es una categoría cerrada cartesiana, tiene tanto límites categóricos como colímites. Un homomorfismo de autómatas mapea un quíntuple de un autómata A _i en el quíntuple de otro autómata A _j. Los homomorfismos de autómatas también se pueden considerar como transformaciones de autómatas o como homomorfismos de semigrupos, cuando el espacio de estado,S, del autómata se define como un semigrupo S _g. Los monoides también se consideran una configuración adecuada para autómatas en categorías monoidales.Categorías de autómatas variables

También se podría definir un autómata variable, en el sentido de Norbert Wiener en su libro El uso humano de los seres humanos a través de los endomorfismos $A_{i}a A_{i}$ . Entonces se puede demostrar que tales homomorfismos de autómatas variables forman un grupo matemático. En el caso de autómatas no deterministas u otros tipos complejos, el último conjunto de endomorfismos puede convertirse, sin embargo, en un grupoide de autómatas variable. Por lo tanto, en el caso más general, las categorías de autómatas variables de cualquier tipo son categorías de grupoides o categorías de grupoides. Además, la categoría de autómatas reversibles es entonces una categoría 2, y también una subcategoría de la categoría 2 de groupoides, o la categoría groupoid.

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