Teoría analítica de números

Función Riemann zeta Especificaciones()s) en el plano complejo. El color de un punto s codifica el valor de Especificaciones()s): colores cercanos a los valores de denota negro cerca de cero, mientras que el hue codifica el argumento del valor.

En matemáticas, la teoría analítica de números es una rama de la teoría de números que utiliza métodos del análisis matemático para resolver problemas relacionados con los números enteros. A menudo se dice que comenzó con la introducción de Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1837 de las funciones L de Dirichlet para dar la primera prueba del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas. Es bien conocido por sus resultados sobre números primos (que involucran el teorema de los números primos y la función zeta de Riemann) y la teoría de números aditivos (como la conjetura de Goldbach y el problema de Waring).

Ramas de la teoría analítica de números

La teoría analítica de números se puede dividir en dos partes principales, divididas más por el tipo de problemas que intentan resolver que por diferencias fundamentales en la técnica.

• La teoría multiplicativa del número trata de la distribución de los números primos, como la estimación del número de primos en un intervalo, e incluye el teorema de números primos y el teorema de Dirichlet en primos en progresiones aritméticas.
• La teoría de números aditivos se refiere a la estructura aditiva de los enteros, como la conjetura de Goldbach que cada número mayor de 2 es la suma de dos primos. Uno de los principales resultados en la teoría de números aditivos es la solución al problema de Waring.

Historia

Precursores

Gran parte de la teoría analítica de números se inspiró en el teorema de los números primos. Sea π(x) la función de conteo de primos que da el número de primos menores o iguales a x, para cualquier número real x. Por ejemplo, π(10) = 4 porque hay cuatro números primos (2, 3, 5 y 7) menores o iguales que 10. El teorema de los números primos establece que x / ln(x) es una buena aproximación a π(x), en el sentido de que el límite del cociente de las dos funciones π( x) y x / ln(x) cuando x tiende a infinito es 1:

limx→ → JUEGO JUEGO π π ()x)x/In⁡ ⁡ ()x)=1,{displaystyle lim _{xto infty}{frac {pi (x)}{x/ln(x)}}=1,}

conocida como la ley asintótica de la distribución de los números primos.

Adrien-Marie Legendre conjeturado en 1797 o 1798 que π(a) se aproxima por la función a/(A In...a) +B), donde A y B son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro sobre la teoría de números (1808) hizo entonces una conjetura más precisa, con A= 1 y B♥ −1.08366. Carl Friedrich Gauss consideró la misma pregunta: "Im Jahr 1792 oder 1793" ('en el año 1792 o 1793'), según su propio recuerdo casi sesenta años después en una carta a Encke (1849), escribió en su mesa de logaritmo (que era entonces 15 o 16) la nota corta "Primzahlen unter a()=JUEGO JUEGO )aIn⁡ ⁡ a{displaystyle a(=infty){frac {ln a}}" a()=JUEGO JUEGO )aIn⁡ ⁡ a{displaystyle a(=infty){frac {ln a}}'). Pero Gauss nunca publicó esta conjetura. En 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet surgió con su propia función aproximada, la logarítmica integral li(x) (bajo la forma ligeramente diferente de una serie, que se comunicó a Gauss). Las fórmulas de Legendre y Dirichlet implican la misma equivalencia asintotica conjeturada de π(x) y x/ ln(x) dicho anteriormente, aunque resultó que la aproximación de Dirichlet es considerablemente mejor si se consideran las diferencias en lugar de los cocientes.

Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet es acreditado con la creación de la teoría de números analíticos, un campo en el que encontró varios resultados profundos y en probarlos introdujo algunas herramientas fundamentales, muchas de las cuales fueron nombradas después por él. En 1837 publicó el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, utilizando conceptos de análisis matemáticos para abordar un problema algebraico y así crear la rama de la teoría de números analíticos. Al probar el teorema, introdujo los caracteres Dirichlet y las funciones L. En 1841 generalizó sus progresiones aritméticas teorema de los enteros al anillo de los enteros gausianos Z[i]{displaystyle mathbb {Z} [i].

Chebyshev

En dos artículos de 1848 y 1850, el matemático ruso Pafnuty L'vovich Chebyshev intentó demostrar la ley asintótica de la distribución de los números primos. Su trabajo se destaca por el uso de la función zeta ζ(s) (para valores reales del argumento "s", como son los trabajos de Leonhard Euler, ya en 1737) anterior a las célebres memorias de Riemann de 1859, y logró demostrar una forma ligeramente más débil de la ley asintótica, a saber, que si el límite de π(x)/(x/ln(x)) como x tiende a infinito existe en absoluto, entonces es necesariamente igual a uno. Pudo demostrar incondicionalmente que esta relación está limitada por arriba y por abajo por dos constantes dadas explícitamente cercanas a 1 para todo x. Aunque el artículo de Chebyshev no probó el teorema de los números primos, sus estimaciones para π(x) fueron lo suficientemente sólidas como para demostrar el postulado de Bertrand de que existe un número primo entre n y 2n para cualquier número entero n ≥ 2.

Riemann

Bernhard Riemann hizo algunas contribuciones famosas a la teoría analítica de números moderna. En un solo artículo breve (el único que publicó sobre el tema de la teoría de números), investigó la función zeta de Riemann y estableció su importancia para comprender la distribución de los números primos. Hizo una serie de conjeturas sobre las propiedades de la función zeta, una de las cuales es la conocida hipótesis de Riemann.

Hadamard y de la Vallée-Poussin

Extendiendo las ideas de Riemann, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin obtuvieron dos demostraciones del teorema de los números primos de forma independiente y aparecieron en el mismo año (1896). Ambas demostraciones utilizaron métodos de análisis complejo, estableciendo como paso principal de la demostración que la función zeta de Riemann ζ(s) es distinta de cero para todos los valores complejos de la variable s que tienen la forma s = 1 + it con t > 0.

Tiempos modernos

El cambio técnico más grande después de 1950 ha sido el desarrollo de métodos de tamiz, particularmente en problemas multiplicativos. Estos son de naturaleza combinatoria, y bastante variados. A cambio, la rama extrema de la teoría combinatoria se ha visto muy influida por el valor otorgado en la teoría analítica de números a los límites superior e inferior cuantitativos. Otro desarrollo reciente es la teoría de números probabilísticos, que utiliza métodos de la teoría de probabilidades para estimar la distribución de funciones teóricas de números, como cuántos divisores primos tiene un número.

Específicamente, los avances de Yitang Zhang, James Maynard, Terence Tao y Ben Green en el campo han utilizado el método Goldston-Pintz-Yıldırım. Que originalmente usaron para probar que

pn+1− − pn≥ ≥ o()log⁡ ⁡ pn).{displaystyle p_{n+1}-p_{n}geq o(log p_{n}

Los desarrollos dentro de la teoría analítica de números a menudo son refinamientos de técnicas anteriores, que reducen los términos de error y amplían su aplicabilidad. Por ejemplo, el método del círculo de Hardy y Littlewood se concibió como aplicable a series de potencias cerca del círculo unitario en el plano complejo; ahora se piensa en términos de sumas exponenciales finitas (es decir, en el círculo unitario, pero con la serie de potencias truncada). Las necesidades de la aproximación diofántica son para funciones auxiliares que no son funciones generadoras (sus coeficientes se construyen mediante el uso de un principio de casillero) e involucran varias variables complejas. Los campos de la aproximación diofántica y la teoría de la trascendencia se han ampliado, hasta el punto de que las técnicas se han aplicado a la conjetura de Mordell.

Problemas y resultados

Los teoremas y resultados dentro de la teoría analítica de números tienden a no ser resultados estructurales exactos sobre los números enteros, para los cuales las herramientas algebraicas y geométricas son más apropiadas. En cambio, dan límites aproximados y estimaciones para varias funciones teóricas numéricas, como ilustran los siguientes ejemplos.

Teoría de números multiplicativos

Euclides demostró que hay infinitos números primos. Una cuestión importante es determinar la distribución asintótica de los números primos; es decir, una descripción aproximada de cuántos primos son más pequeños que un número dado. Gauss, entre otros, después de calcular una gran lista de primos, conjeturó que el número de primos menores o iguales a un número grande N está cerca del valor de la integral

∫ ∫ 2N1log⁡ ⁡ tdt.{displaystyle int _{2}{N}{frac {1}{log t},dt.}

En 1859, Bernhard Riemann utilizó un análisis complejo y una función meromórfica especial ahora conocida como la función zeta de Riemann para derivar una expresión analítica para el número de números primos menores o iguales que un número real x. Sorprendentemente, el término principal en la fórmula de Riemann era exactamente la integral anterior, lo que otorgaba un peso sustancial a la conjetura de Gauss. Riemann descubrió que los términos de error en esta expresión y, por lo tanto, la forma en que se distribuyen los números primos, están estrechamente relacionados con los ceros complejos de la función zeta. Usando las ideas de Riemann y obteniendo más información sobre los ceros de la función zeta, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin lograron completar la demostración de la conjetura de Gauss. En particular, probaron que si

π π ()x)=()Número de primos≤ ≤ x),{displaystyle pi (x)=({text{number of primes }leq x),}

entonces

limx→ → JUEGO JUEGO π π ()x)x/log⁡ ⁡ x=1.{displaystyle lim _{xto infty }{frac {pi (x)}{x/log x}=1.}

Este notable resultado es lo que ahora se conoce como el teorema de los números primos. Es un resultado central en la teoría analítica de números. En términos generales, establece que dado un gran número N, el número de primos menores o iguales a N es aproximadamente N/log(N).

De manera más general, se puede hacer la misma pregunta sobre el número de números primos en cualquier progresión aritmética a+nq para cualquier número entero n. En una de las primeras aplicaciones de técnicas analíticas a la teoría de números, Dirichlet demostró que cualquier progresión aritmética con a y q coprimos contiene infinitos números primos. El teorema de los números primos se puede generalizar a este problema; dejar

π π ()x,a,q)=()Número de primos≤ ≤ xtales quepestá en la progresión aritméticaa+nq,n▪ ▪ Z),{displaystyle pi (x,a,q)=({text{number of primes }leq x{text{ such that }}p{text{ is in the arithmetic progression }a+nq,nin mathbf {Z}}}

entonces si a y q son coprimos,

limx→ → JUEGO JUEGO π π ()x,a,q)φ φ ()q)x/log⁡ ⁡ x=1.{displaystyle lim _{xto infty }{frac {pi (x,a,q)phi (q)}{x/log x}=1.}

También hay muchas conjeturas profundas y de amplio alcance en la teoría de números cuyas pruebas parecen demasiado difíciles para las técnicas actuales, como la conjetura de los primos gemelos que pregunta si hay infinitos números primos p tales que p + 2 es primo. Sobre la suposición de la conjetura de Elliott-Halberstam, se ha demostrado recientemente que hay infinitos números primos p tales que p + k es primo para algunos positivos incluso k como máximo 12. Además, se ha demostrado incondicionalmente (es decir, sin depender de conjeturas no probadas) que hay infinitos números primos p tales que p + k es principal para algunos positivos incluso k como máximo 246.

Teoría de números aditivos

Uno de los problemas más importantes en la teoría de números aditivos es el problema de Waring, que pregunta si es posible, para cualquier k ≥ 2, escribir cualquier número entero positivo como la suma de un número acotado de késimas potencias,

n=x1k+⋯ ⋯ +xl l k.{displaystyle n=x_{1} {k}+cdots - Sí.

El caso de los cuadrados, k = 2, fue respondido por Lagrange en 1770, quien demostró que todo número entero positivo es la suma de, como máximo, cuatro cuadrados. El caso general fue probado por Hilbert en 1909, usando técnicas algebraicas que no daban límites explícitos. Un avance importante fue la aplicación de herramientas analíticas al problema por parte de Hardy y Littlewood. Estas técnicas se conocen como el método del círculo y proporcionan límites superiores explícitos para la función G(k), el número más pequeño de késimas potencias necesario, como el límite de Vinogradov

G()k)≤ ≤ k()3log⁡ ⁡ k+11).{displaystyle G(k)leq k(3log k+11).}

Problemas diofánticos

Los problemas diofánticos tienen que ver con soluciones enteras de ecuaciones polinómicas: uno puede estudiar la distribución de soluciones, es decir, contar soluciones de acuerdo con alguna medida de "tamaño" o altura.

Un ejemplo importante es el problema del círculo de Gauss, que pide puntos enteros (x y) que satisfagan

x2+Sí.2≤ ≤ r2.{displaystyle x^{2}+y^{2}leq r^{2}

En términos geométricos, dado un círculo centrado en el origen en el plano con radio r, el problema pregunta cuántos puntos de tracción enteros se encuentran en o dentro del círculo. No es difícil probar que la respuesta es π π r2+E()r){displaystyle pi r^{2}+E(r)}, donde E()r)/r2→ → 0{displaystyle E(r)/r^{2}to 0} como r→ → JUEGO JUEGO {displaystyle rto infty}. De nuevo, la parte difícil y un gran logro de la teoría de números analíticos está obteniendo límites superiores específicos en el término de errorE()r).

Fue demostrado por Gauss que E()r)=O()r){displaystyle E(r)=O(r)}. En general, un O()r) término de error sería posible con el círculo de unidad (o, más adecuadamente, el disco de unidad cerrado) reemplazado por los dilatos de cualquier región de planar enmarcada con bordes lisos. Además, la sustitución del círculo unitario por el cuadrado unitario, el término de error para el problema general puede ser tan grande como una función linealr. Por lo tanto, obtener un error ligado a la forma O()rδ δ ){displaystyle O(r^{delta)}para algunos <math alttext="{displaystyle delta δ δ .1{displaystyle delta.<img alt="delta en el caso del círculo es una mejora significativa. El primero en alcanzar esto fue Sierpiński en 1906, quien mostró E()r)=O()r2/3){displaystyle E(r)=O(r^{2/3}. En 1915, Hardy y Landau mostraron que uno lo hace no han tenido E()r)=O()r1/2){displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}. Desde entonces el objetivo ha sido demostrar que para cada fijo 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/> existe un número real C()ε ε ){displaystyle C(epsilon)} tales que E()r)≤ ≤ C()ε ε )r1/2+ε ε {displaystyle E(r)leq C(epsilon)r^{1/2+epsilon }.

En 2000 Huxley mostró que E()r)=O()r131/208){displaystyle E(r)=O(r^{131/208}, que es el mejor resultado publicado.

Métodos de la teoría analítica de números

Serie de Dirichlet

Una de las herramientas más útiles en la teoría de los números multiplicativos son las series de Dirichlet, que son funciones de una variable compleja definida por una serie infinita de la forma

f()s)=.. n=1JUEGO JUEGO ann− − s.{displaystyle f(s)=sum _{n=1}{infty - Sí.

Dependiendo de la elección de coeficientes an{displaystyle a_{n}, esta serie puede converger en todas partes, en ninguna parte, o en algún medio plano. En muchos casos, incluso cuando la serie no converge en todas partes, la función holomorfa que define puede continuar analíticamente con una función meromorfa en todo el plano complejo. La utilidad de funciones como esta en problemas multiplicativos se puede ver en la identidad formal

().. n=1JUEGO JUEGO ann− − s)().. n=1JUEGO JUEGO bnn− − s)=.. n=1JUEGO JUEGO ().. kl l =nakbl l )n− − s;{displaystyle left(sum ¿Qué? }a_{n}n^{-s}right)left(sum) ¿Qué? - Sí. ¿Por qué? ¿Qué?

por lo tanto, los coeficientes del producto de dos series de Dirichlet son las convoluciones multiplicativas de los coeficientes originales. Además, se pueden utilizar técnicas como la suma parcial y los teoremas de Tauber para obtener información sobre los coeficientes a partir de información analítica sobre la serie de Dirichlet. Por lo tanto, un método común para estimar una función multiplicativa es expresarla como una serie de Dirichlet (o un producto de una serie de Dirichlet más simple usando identidades de convolución), examinar esta serie como una función compleja y luego convertir esta información analítica nuevamente en información sobre la función original..

Función zeta de Riemann

Euler demostró que el teorema fundamental de la aritmética implica (al menos formalmente) el producto de Euler

1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. n=1JUEGO JUEGO 1ns=∏ ∏ pJUEGO JUEGO 11− − p− − sparas■1{displaystyle sum _{n=1}{infty }{frac {1} {fn} {fn}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn} {fn}}}}}}}}} {fn}}} {fn}}}}}}}} {p}}}}}} {p} {f}}}}}}}} {p}}}}}}}}}} {p}}}} {p}} {p}} {p} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {p}}}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} ¿Qué? {1} {1-p^{-s}} {text{ for }s Conf1}}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0922afe27eb1d3435e22bd4b5eaf75cc5ca33535" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.02ex; height:7.009ex;"/>

donde el producto se toma sobre todos los números primos p.

La demostración de Euler de la infinidad de los números primos hace uso de la divergencia del término del lado izquierdo para s = 1 (la llamada serie armónica), un término puramente resultado analítico. Euler también fue el primero en utilizar argumentos analíticos con el fin de estudiar las propiedades de los números enteros, específicamente mediante la construcción de series de potencias generadoras. Este fue el comienzo de la teoría analítica de números.

Más tarde, Riemann consideró esta función para valores complejos de s y demostró que esta función se puede extender a una función meromórfica en todo el plano con un polo simple en s = 1. Esta función ahora se conoce como la función Riemann Zeta y se denota por ζ(s). Hay una plétora de literatura sobre esta función y la función es un caso especial de las funciones L de Dirichlet más generales.

Los teóricos del número analítico a menudo están interesados en el error de aproximaciones como el número principal teorema. En este caso, el error es más pequeño que x/logx. fórmula de Riemann para π(x) muestra que el término de error en esta aproximación se puede expresar en términos de los ceros de la función zeta. En su periódico de 1859, Riemann conjetura que todos los ceros "no-triviales" de los ímpetu en la línea R R ()s)=1/2{displaystyle Re (s)=1/2} pero nunca proporcionó una prueba de esta declaración. Esta famosa y larga conjetura es conocida como Hipotesis Riemann y tiene muchas implicaciones profundas en la teoría de números; de hecho, muchos teoremas importantes han sido probados bajo la suposición de que la hipótesis es verdadera. Por ejemplo, bajo el supuesto de la Hipotesis Riemann, el término de error en el número principal teorema es O()x1/2+ε ε ){displaystyle O(x^{1/2+varepsilon }}.

A principios del siglo XX, G. H. Hardy y Littlewood demostraron muchos resultados sobre la función zeta en un intento de demostrar la hipótesis de Riemann. De hecho, en 1914, Hardy demostró que había infinitos ceros de la función zeta en la línea crítica

R R ()z)=1/2.{displaystyle Re (z)=1/2.}

Esto condujo a varios teoremas que describen la densidad de los ceros en la línea crítica.