Teoremas de Sylow

En matemáticas, específicamente en el campo de la teoría de grupos finitos, los teoremas de Sylow son una colección de teoremas llamados así por el matemático noruego Peter Ludwig Sylow que dan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo que contiene un grupo finito dado. Los teoremas de Sylow forman parte fundamental de la teoría de grupos finitos y tienen aplicaciones muy importantes en la clasificación de grupos finitos simples.

Para un número primo ${displaystyle p}$, a Sylow p- Subgrupo (a veces p- Subgrupo lento) de un grupo ${displaystyle G.$ es un maximal ${displaystyle p}$- Subgrupo ${displaystyle G.$, es decir, un subgrupo de ${displaystyle G.$ que es un p-grupo (que significa su cardenalidad es un poder ${displaystyle p,}$ o equivalentemente, el orden de cada elemento de grupo es un poder de ${displaystyle p}$) que no es un subgrupo adecuado de cualquier otro ${displaystyle p}$- Subgrupo ${displaystyle G.$. El conjunto de todo Sylow ${displaystyle p}$- Subgrupos para un primo dado ${displaystyle p}$ a veces escrito ${displaystyle {text{Syl}_{p}(G)}$.

Los teoremas Sylow afirman un revés parcial al teorema de Lagrange. El teorema de Lagrange dice que para cualquier grupo finito ${displaystyle G.$ el orden (número de elementos) de cada subgrupo ${displaystyle G.$ divide el orden de ${displaystyle G.$. Los teoremas de Sylow declaran que por cada factor principal ${displaystyle p}$ del orden de un grupo finito ${displaystyle G.$, existe un Sylow ${displaystyle p}$- Subgrupo ${displaystyle G.$ de orden ${displaystyle p^{n}$, el poder más alto de ${displaystyle p}$ que divide el orden ${displaystyle G.$. Además, cada subgrupo de orden ${displaystyle p^{n}$ es un Sylow ${displaystyle p}$- Subgrupo ${displaystyle G.$, y el Sylow ${displaystyle p}$- subgrupos de un grupo (para un determinado primer ${displaystyle p}$) son conjugados entre sí. Además, el número de Sylow ${displaystyle p}$- Subgrupos de un grupo para un determinado grupo ${displaystyle p}$ es congruente con 1 (mod ${displaystyle p}$).

Teoremas

Motivación

Los teoremas Sylow son una declaración poderosa sobre la estructura de grupos en general, pero también son poderosos en aplicaciones de la teoría de grupos finitos. Esto se debe a que dan un método para utilizar la descomposición principal de la cardinalidad de un grupo finito ${displaystyle G.$ para dar declaraciones sobre la estructura de sus subgrupos: esencialmente, da una técnica para transportar información básica de números teóricos acerca de un grupo a su estructura de grupo. Desde esta observación, clasificar grupos finitos se convierte en un juego de encontrar que combinaciones/construcción de grupos de orden más pequeño se pueden aplicar para construir un grupo. Por ejemplo, una aplicación típica de estos teoremas está en la clasificación de grupos finitos de cierta cardinalidad fija, por ejemplo. ${displaystyle SilencioG vidas=60}$.

Declaración

Las colecciones de subgrupos que son cada máximo en un sentido u otro son comunes en la teoría de grupos. El resultado sorprendente aquí es que en el caso de ${displaystyle operatorname {Syl} _{p}(G)}$, todos los miembros son en realidad isomorfos entre sí y tienen el orden más grande posible: si ${displaystyle Новывывые }m}$ con ${displaystyle n confiado0}$ Donde p no divide m, entonces cada Sylow p- Subgrupo P tiene orden ${displaystyle SilencioP habit=p^{n}$. Eso es, P es un p- grupo y ${displaystyle {text{gcd} {fnMicrosoft Sans Serif}=1}$. Estas propiedades se pueden explotar para analizar más a fondo la estructura G.

Los siguientes teoremas fueron propuestos y probados por primera vez por Ludwig Sylow en 1872 y publicados en Mathematische Annalen.

La siguiente versión más débil del teorema 1 fue demostrada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy y se conoce como el teorema de Cauchy.

Consecuencias

Los teoremas de Sylow implican que para un número primo ${displaystyle p}$ cada Sylow ${displaystyle p}$- El subgrupo es del mismo orden, ${displaystyle p^{n}$. Por el contrario, si un subgrupo tiene orden ${displaystyle p^{n}$, entonces es un Sylow ${displaystyle p}$- Subgrupo, y también es isomorfo para cada otro Sylow ${displaystyle p}$- Subgrupo. Debido a la condición de maximalidad, si ${displaystyle H.$ es cualquier ${displaystyle p}$- Subgrupo ${displaystyle G.$, entonces ${displaystyle H.$ es un subgrupo de un ${displaystyle p}$- Subgrupo de orden ${displaystyle p^{n}$.

Una consecuencia muy importante de Teorema 2 es que la condición ${displaystyle No.$ es equivalente a decir que el Sylow ${displaystyle p}$- Subgrupo ${displaystyle G.$ es un subgrupo normal. Sin embargo, hay grupos que tienen subgrupos normales pero no subgrupos normales de Sylow, como ${displaystyle S_{4}$.

Teoremas de Sylow para grupos infinitos

Hay una analogía de los teoremas Sylow para grupos infinitos. Uno define un Sylow p- Subgrupo en un grupo infinito para ser un p- subgrupo (es decir, cada elemento tiene p- orden de potencia) que es maximal para la inclusión entre todos p- Subgrupos en el grupo. Vamos ${displaystyle operatorname {Cl} (K)}$ denota el conjunto de conjugados de un subgrupo ${displaystyle Ksubset G}$

Ejemplos

In D₆ todas las reflexiones son conjugadas, ya que las reflexiones corresponden a Sylow 2-subgrupos.

Una ilustración simple de los subgrupos de Sylow y los teoremas de Sylow son el grupo diédrico del n-gon, D_2n . Para n impar, 2 = 2¹ es la potencia más alta de 2 que divide el orden y, por lo tanto, los subgrupos de orden 2 son subgrupos de Sylow. Estos son los grupos generados por una reflexión, de los cuales hay n, y son todos conjugados bajo rotaciones; geométricamente los ejes de simetría pasan por un vértice y un lado.

In D₁₂ Las reflexiones ya no corresponden a Sylow 2-subgrupos, y caen en dos clases de conjugación.

Por el contrario, si n es par, entonces 4 divide el orden del grupo, y los subgrupos de orden 2 ya no son subgrupos de Sylow, y de hecho se dividen en dos clases de conjugación, geométricamente según pasen por dos vértices o por dos caras. Estos están relacionados por un automorfismo externo, que se puede representar mediante una rotación a través de π/n, la mitad de la rotación mínima en el grupo diédrico.

Otro ejemplo son los subgrupos p de Sylow de GL₂(F_{q), donde p y q son primos ≥ 3 y p ≡ 1 (mod q) que son todos abelianos. El orden de GL2(Fq) es (q² − 1)(q² − q) = (q)(q + 1)(q − 1)². Desde q = pⁿm + 1, el orden de GL2(Fq< /i>) = p²ⁿ m′. Así, por el Teorema 1, el orden de los subgrupos p de Sylow es p²ⁿ.}

Uno de esos subgrupos P, es el conjunto de matrices diagonales ${$