Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking

Los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking (después de Roger Penrose y Stephen Hawking) son un conjunto de resultados de la relatividad general que intentan responder a la pregunta de cuándo la gravitación produce singularidades. El teorema de singularidad de Penrose es un teorema de la geometría semirriemanniana y su interpretación relativista general predice una singularidad gravitacional en la formación de agujeros negros. El teorema de singularidad de Hawking se basa en el teorema de Penrose y se interpreta como una singularidad gravitatoria en la situación del Big Bang. Penrose recibió el Premio Nobel de Física en 2020 'por el descubrimiento de que la formación de agujeros negros es una predicción sólida de la teoría general de la relatividad', que compartió con Reinhard Genzel y Andrea Ghez.

Singularidad

Una singularidad en las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein es una de dos cosas:

1. a situation where matter is forced to be comprimido to a point (a space-like singularity)
2. una situación donde ciertos rayos de luz vienen de una región con curvatura infinita (una singularidad de tiempo)

Las singularidades de tipo espacial son una característica de los agujeros negros sin carga que no giran, como se describe en la métrica de Schwarzschild, mientras que las singularidades de tipo temporal son aquellas que ocurren en soluciones exactas de agujeros negros con carga o rotación. Ambos tienen la propiedad de la incompletud geodésica, en la que una trayectoria de luz o una trayectoria de partículas no pueden extenderse más allá de un determinado tiempo propio o parámetro afín (siendo el parámetro afín el análogo nulo del tiempo propio).

El teorema de Penrose garantiza que se produce algún tipo de incompletitud geodésica dentro de cualquier agujero negro siempre que la materia satisfaga las condiciones de energía razonables. La condición de energía requerida por el teorema de singularidad del agujero negro es débil: dice que los rayos de luz siempre se concentran juntos por la gravedad, nunca se separan, y esto se cumple siempre que la energía de la materia no sea negativa.

El teorema de singularidad de Hawking es para todo el universo y funciona hacia atrás en el tiempo: garantiza que el Big Bang (clásico) tiene una densidad infinita. Este teorema es más restringido y solo se cumple cuando la materia obedece a una condición de energía más fuerte, llamada condición de energía dominante, en la que la energía es mayor que la presión. Toda la materia ordinaria, con la excepción de un valor esperado de vacío de un campo escalar, obedece a esta condición. Durante la inflación, el universo viola la condición de energía dominante, e inicialmente se argumentó (por ejemplo, por Starobinsky) que las cosmologías inflacionarias podrían evitar la singularidad inicial del big-bang. Sin embargo, desde entonces se ha demostrado que las cosmologías inflacionarias todavía son incompletas en el pasado y, por lo tanto, requieren física distinta de la inflación para describir el límite pasado de la región inflacionaria del espacio-tiempo.

Todavía es una pregunta abierta si la relatividad general (clásica) predice singularidades de tipo temporal en el interior de agujeros negros realistas cargados o giratorios, o si estos son artefactos de soluciones de alta simetría y se convierten en singularidades de tipo espacial cuando se agregan perturbaciones..

Interpretación y significado

En relatividad general, una singularidad es un lugar que los objetos o los rayos de luz pueden alcanzar en un tiempo finito donde la curvatura se vuelve infinita, o el espacio-tiempo deja de ser una variedad. Las singularidades se pueden encontrar en todos los espaciotiempos de agujeros negros, la métrica de Schwarzschild, la métrica de Reissner-Nordström, la métrica de Kerr y la métrica de Kerr-Newman, y en todas las soluciones cosmológicas que no tienen un campo de energía escalar o una constante cosmológica.

Uno no puede predecir lo que podría salir "afuera" de una singularidad big-bang en nuestro pasado, o lo que le sucede a un observador que cae "en" a una singularidad de agujero negro en el futuro, por lo que requieren una modificación de la ley física. Antes de Penrose, era concebible que las singularidades solo se formaran en situaciones artificiales. Por ejemplo, en el colapso de una estrella para formar un agujero negro, si la estrella está girando y, por lo tanto, posee cierto momento angular, tal vez la fuerza centrífuga contrarreste en parte la gravedad y evite que se forme una singularidad. Los teoremas de singularidad prueban que esto no puede suceder, y que una singularidad siempre se formará una vez que se forme un horizonte de eventos.

En el ejemplo de la estrella que se derrumba, dado que toda la materia y la energía son una fuente de atracción gravitatoria en la relatividad general, el momento angular adicional solo atrae a la estrella con más fuerza a medida que se contrae: la parte fuera del horizonte de sucesos eventualmente se asienta en una Agujero negro de Kerr (ver Teorema sin pelo). La parte dentro del horizonte de sucesos necesariamente tiene una singularidad en alguna parte. La prueba es algo constructiva: muestra que la singularidad se puede encontrar siguiendo los rayos de luz desde una superficie justo dentro del horizonte. Pero la prueba no dice qué tipo de singularidad ocurre, espacial, temporal, orbifold, discontinuidad de salto en la métrica. Solo garantiza que si uno sigue las geodésicas temporales hacia el futuro, es imposible que el límite de la región que forman sea generado por las geodésicas nulas de la superficie. Esto significa que el límite debe venir de la nada o todo el futuro termina en alguna extensión finita.

Un interesante "filosófico" característica de la relatividad general es revelada por los teoremas de singularidad. Debido a que la relatividad general predice la ocurrencia inevitable de singularidades, la teoría no está completa sin una especificación de lo que sucede con la materia que golpea la singularidad. Se puede extender la relatividad general a una teoría del campo unificado, como el sistema Einstein-Maxwell-Dirac, donde no ocurren tales singularidades.

Elementos de los teoremas

En la historia, existe una profunda conexión entre la curvatura de una variedad y su topología. El teorema de Bonnet-Myers establece que una variedad de Riemann completa que tiene una curvatura de Ricci en todas partes mayor que cierta constante positiva debe ser compacta. La condición de curvatura de Ricci positiva se establece más convenientemente de la siguiente manera: para cada geodésica hay una geodésica inicialmente paralela cercana que se doblará hacia ella cuando se extienda, y las dos se intersecarán en una longitud finita.

Cuando dos geodésicas paralelas cercanas se cruzan, la extensión de cualquiera de ellas ya no es el camino más corto entre los puntos finales. La razón es que dos caminos geodésicos paralelos necesariamente chocan después de una extensión de igual longitud, y si se sigue un camino hasta la intersección y luego el otro, está conectando los puntos finales por un camino no geodésico de igual longitud. Esto significa que para que una geodésica sea la ruta de longitud más corta, nunca debe intersectar geodésicas paralelas vecinas.

Comenzando con una pequeña esfera y enviando geodésicas paralelas desde el límite, asumiendo que la variedad tiene una curvatura de Ricci limitada por debajo por una constante positiva, ninguna de las geodésicas son los caminos más cortos después de un tiempo, ya que todas chocan con un vecino. Esto significa que después de una cierta cantidad de extensión, se han alcanzado todos los puntos potencialmente nuevos. Si todos los puntos en una variedad conectada están a una distancia geodésica finita de una esfera pequeña, la variedad debe ser compacta.

Roger Penrose argumentó de manera análoga en relatividad. Si se siguen geodésicas nulas, las trayectorias de los rayos de luz, hacia el futuro, se generan puntos en el futuro de la región. Si un punto está en el límite del futuro de la región, solo se puede alcanzar yendo a la velocidad de la luz, no más lento, por lo que las geodésicas nulas incluyen todo el límite del futuro propio de una región. Cuando las geodésicas nulas se cruzan, ya no están en el límite del futuro, están en el interior del futuro. Entonces, si todas las geodésicas nulas chocan, no hay límite para el futuro.

En relatividad, la curvatura de Ricci, que determina las propiedades de colisión de las geodésicas, está determinada por el tensor de energía, y su proyección sobre los rayos de luz es igual a la proyección nula del tensor de energía-momento y siempre es no negativa. Esto implica que el volumen de una congruencia de geodésicas nulas paralelas una vez que comienza a disminuir, llegará a cero en un tiempo finito. Una vez que el volumen es cero, hay un colapso en alguna dirección, por lo que cada geodésica se cruza con algún vecino.

Penrose concluyó que siempre que haya una esfera donde todos los rayos de luz salientes (y entrantes) convergen inicialmente, el límite del futuro de esa región terminará después de una extensión finita, porque todas las geodésicas nulas convergerán. Esto es significativo, porque los rayos de luz salientes de cualquier esfera dentro del horizonte de una solución de agujero negro convergen, por lo que el límite del futuro de esta región es compacto o surge de la nada. El futuro del interior termina después de una extensión finita o tiene un límite que finalmente se genera por nuevos rayos de luz que no se pueden rastrear hasta la esfera original.

Naturaleza de una singularidad

Los teoremas de singularidad utilizan la noción de incompletitud geodésica como sustituto de la presencia de curvaturas infinitas. La incompletitud geodésica es la noción de que hay geodésicas, caminos de observadores a través del espacio-tiempo, que solo pueden extenderse por un tiempo finito medido por un observador que viaja a lo largo de uno. Presumiblemente, al final de la geodésica el observador ha caído en una singularidad o se ha encontrado con alguna otra patología en la que se rompen las leyes de la relatividad general.

Supuestos de los teoremas

Normalmente, un teorema de singularidad tiene tres ingredientes:

1. Una condición energética en el asunto,
2. Una condición para la estructura global de tiempo espacial,
3. La gravedad es lo suficientemente fuerte (en algún lugar) para atrapar una región.

Hay varias posibilidades para cada ingrediente, y cada una conduce a diferentes teoremas de singularidad.

Herramientas empleadas

Una herramienta clave utilizada en la formulación y prueba de los teoremas de singularidad es la ecuación Raychaudhuri, que describe la divergencia Silencio Silencio {displaystyle theta } de una congruencia (familia) de geodesia. La divergencia de una congruencia se define como el derivado del tronco del determinante del volumen de congruencia. El Raychaudhuri ecuación

Silencio Silencio Í Í =− − σ σ abσ σ ab− − 13Silencio Silencio 2− − E[X→ → ]aa{displaystyle { dot {theta }=-sigma _{ab}sigma {1}{3}theta ^{2}-{E[{vec {X}} {fn} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}} {f}}}}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Donde σ σ ab{displaystyle sigma _{ab} es el tensor de la congruencia y E[X→ → ]aa=RmnXmXn{displaystyle {E[{vec ¿Qué? es también conocido como el escalar de Raychaudhuri (ver la página de congruencia para detalles). El punto clave es que E[X→ → ]aa{displaystyle {E[{vec {X}} {fn} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} será no negativo siempre que las ecuaciones de campo de Einstein mantengan y

• la condición de energía nula sostiene y la congruencia geodésica es nula, o
• la fuerte condición de energía sostiene y la congruencia geodésica es temporal.

Cuando estos se mantienen, la divergencia se vuelve infinita en algún valor finito del parámetro afín. Por lo tanto, todas las geodésicas que salen de un punto eventualmente volverán a converger después de un tiempo finito, siempre que se mantenga la condición de energía apropiada, un resultado también conocido como el teorema de enfoque.

Esto es relevante para las singularidades gracias al siguiente argumento:

1. Supongamos que tenemos una hora espacial que es globalmente hiperbólica, y dos puntos p{displaystyle p} y q{displaystyle q} que puede conectarse por una curva de tiempo o nula. Entonces existe una geodésica de longitud máxima que conecta p{displaystyle p} y q{displaystyle q}. Llama a esta geodésica γ γ {displaystyle gamma }.
2. La geodésica γ γ {displaystyle gamma } puede ser variado a una curva más larga si otra geodésica de p{displaystyle p} intersects γ γ {displaystyle gamma } en otro punto, llamado punto conyugal.
3. Desde el teorema de enfoque, sabemos que toda la geodesia de p{displaystyle p} tienen puntos conjugados en valores finitos del parámetro affine. En particular, esto es cierto para la geodésica de longitud máxima. Pero esto es una contradicción – se puede concluir que el tiempo espacial es geodésicamente incompleto.

En relatividad general, existen varias versiones del teorema de singularidad de Penrose-Hawking. La mayoría de las versiones afirman, aproximadamente, que si hay una superficie nula atrapada y la densidad de energía no es negativa, entonces existen geodésicas de longitud finita que no se pueden extender.

Estos teoremas, estrictamente hablando, prueban que hay al menos una geodésica no espacial que solo es finitamente extensible en el pasado, pero hay casos en los que las condiciones de estos teoremas se obtienen de tal manera que todo el espacio-tiempo dirigido al pasado caminos terminan en una singularidad.

Versiones

Hay muchas versiones; a continuación se muestra la versión nula:

Assume

1. La condición de energía nula tiene.
2. Tenemos una superficie de Cauchy no realizada.
3. Tenemos una superficie nula cerrada T{displaystyle {fnMithcal}}.

Entonces, o tenemos incompleta geodésica nula, o curvas de tiempo cerradas.

Sketch of proof: Prueba por contradicción. El límite del futuro T{displaystyle {fnMithcal}}, JÍ Í ()T){displaystyle {dot {} {fnMitcal {}}} {fnMitcal}}} {f}} {f}} {f}}} {fnMitcal {f}}}}}}} se genera por segmentos geodésicos nulos originarios de T{displaystyle {fnMithcal}} con vectores tangentes ortogonal a ella. Siendo una superficie nula atrapada, por la ecuación nula Raychaudhuri, ambas familias de rayos nulos emanando de T{displaystyle {fnMithcal}} encontrará caustics. (Un caustic por sí mismo es inproblemático. Por ejemplo, el límite del futuro de dos puntos separados es la unión de dos futuros conos de luz con las partes interiores de la intersección eliminadas. Caustics ocurre donde los conos de luz se intersectan, pero no hay singularidad allí.) La geodésica nula generando JÍ Í ()T){displaystyle {dot {} {fnMitcal {}}} {fnMitcal}}} {f}} {f}} {f}}} {fnMitcal {f}}}}}}} tienen que terminar, sin embargo, es decir, alcanzar sus puntos finales futuros en o antes de los caustics. De lo contrario, podemos tomar dos segmentos geodésicos nulos – cambiando en el caustico – y luego deformarlos ligeramente para conseguir una curva temporal que conecta un punto en el límite a un punto en T{displaystyle {fnMithcal}}Una contradicción. Pero como T{displaystyle {fnMithcal}} es compacto, dada una parametrización continua de los generadores geodésicos, existe un límite inferior al valor absoluto del parámetro de expansión. Así que sabemos que los caustics se desarrollarán para cada generador antes de que un uniforme ligado en el parámetro affine haya pasado. Como resultado, JÍ Í ()T){displaystyle {dot {} {fnMitcal {}}} {fnMitcal}}} {f}} {f}} {f}}} {fnMitcal {f}}}}}}} tiene que ser compacto. O hemos cerrado curvas de tiempo, o podemos construir una congruencia por curvas de tiempo, y cada uno de ellos tiene que intersectar la superficie Cauchy no realizada exactamente una vez. Considere todas esas curvas de tiempo que pasan por JÍ Í ()T){displaystyle {dot {} {fnMitcal {}}} {fnMitcal}}} {f}} {f}} {f}}} {fnMitcal {f}}}}}}} y mira su imagen en la superficie de Cauchy. Al ser un mapa continuo, la imagen también tiene que ser compacta. Siendo una congruencia temporal, las curvas del tiempo no pueden intersegir, y por lo tanto, el mapa es injetivo. Si la superficie de Cauchy no fuera completa, entonces la imagen tiene un límite. Asumimos que la hora espacial viene en una pieza conectada. Pero... JÍ Í ()T){displaystyle {dot {} {fnMitcal {}}} {fnMitcal}}} {f}} {f}} {f}}} {fnMitcal {f}}}}}}} es compacto y sin límites porque el límite de un límite está vacío. Un mapa inyector continuo no puede crear un límite, dándonos nuestra contradicción.

Pergaminos: Si existen curvas de tiempo cerrado, entonces las curvas de tiempo no tienen que interseccionar parcial Superficie Cauchy. Si la superficie Cauchy fuera compacta, es decir, el espacio es compacto, los generadores geodésicos nulos del límite pueden interseccionar en todas partes porque pueden interseccionar en el otro lado del espacio.

También existen otras versiones del teorema que involucran la condición de energía débil o fuerte.

Gravedad modificada

En gravedad modificada, las ecuaciones de campo de Einstein no sostienen y por lo tanto estas singularidades no necesariamente surgen. Por ejemplo, en la Gravidad Derivativa Infinita, es posible para E[X→ → ]aa{displaystyle {E[{vec {X}} {fn} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ser negativo incluso si la condición Null Energy sostiene.