Teorema virial

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Teorema de la mecánica estadística

En mecánica, el teorema del virial proporciona una ecuación general que relaciona el promedio en el tiempo de la energía cinética total de un sistema estable de partículas discretas, unidas por fuerzas potenciales (fuerzas caracterizadas exclusivamente por diferencia de potencial), con la de la energía potencial total del sistema. Matemáticamente, el teorema establece

{displaystyle leftlangle Trightrangle =-{frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}{bigl langle }mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}{bigr rangle }}

T

N

F k

k

r k

virialvis

La importancia del teorema virial es que permite calcular la energía cinética total promedio incluso para sistemas muy complicados que desafían una solución exacta, como los considerados en mecánica estadística; esta energía cinética total promedio está relacionada con la temperatura del sistema por el teorema de equipartición. Sin embargo, el teorema del virial no depende de la noción de temperatura y se cumple incluso para sistemas que no están en equilibrio térmico. El teorema virial se ha generalizado de varias maneras, sobre todo a una forma tensorial.

Si la fuerza entre dos partículas cualquiera del sistema resulta de una energía potencial $V (r) = αr n$ que es proporcional a alguna potencia $n$ de la distancia entre partículas $r$ , el teorema virial toma la forma simple

{displaystyle 2langle Trangle =nlangle V_{text{TOT}}rangle.}

Por lo tanto, el doble de la energía cinética total promedio $⟨ T ⟩$ es igual a $n$ veces la energía potencial total promedio $⟨ V TOT ⟩$ . Mientras que $V (r)$ representa la energía potencial entre dos partículas de distancia $r$ , $V TOT$ representa la energía potencial total del sistema, es decir, la suma de la energía potencial $V (r)$ sobre todos los pares de partículas en el sistema. Un ejemplo común de un sistema de este tipo es una estrella que se mantiene unida por su propia gravedad, donde $n$ es igual a −1.

Historia

En 1870, Rudolf Clausius pronunció la conferencia "Sobre un teorema mecánico aplicable al calor" a la Asociación de Ciencias Naturales y Médicas del Bajo Rin, luego de un estudio de termodinámica de 20 años. La conferencia indicó que la vis viva media del sistema es igual a su virial, o que la energía cinética promedio es igual a 1/2 la energía potencial promedio. El teorema virial se puede obtener directamente de la identidad de Lagrange tal como se aplica en la dinámica gravitacional clásica, cuya forma original se incluyó en el 'Ensayo sobre el problema de los tres cuerpos' de Lagrange. publicado en 1772. La generalización de Karl Jacobi de la identidad a N cuerpos y a la forma actual de la identidad de Laplace se parece mucho al teorema clásico del virial. Sin embargo, las interpretaciones que condujeron al desarrollo de las ecuaciones fueron muy diferentes, ya que en el momento del desarrollo, la dinámica estadística aún no había unificado los estudios separados de la termodinámica y la dinámica clásica. El teorema fue posteriormente utilizado, popularizado, generalizado y desarrollado por James Clerk Maxwell, Lord Rayleigh, Henri Poincaré, Subrahmanyan Chandrasekhar, Enrico Fermi, Paul Ledoux, Richard Bader y Eugene Parker. Fritz Zwicky fue el primero en utilizar el teorema virial para deducir la existencia de la materia invisible, que ahora se llama materia oscura. Richard Bader demostró que la distribución de carga de un sistema total se puede dividir en sus energías cinética y potencial que obedecen al teorema del virial. Como otro ejemplo de sus muchas aplicaciones, el teorema virial se ha utilizado para derivar el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas.

Caso especial ilustrativo

Considere $N = 2$ partículas con igual masa $m$ , sobre la que actúan fuerzas mutuamente atractivas. Supongamos que las partículas están en puntos diametralmente opuestos de una órbita circular con radio $r$ . Las velocidades son $v 1 (t)$ y $v 2 (t) = - v 1 (t)$ , que son normales para forzar $F 1 (t)$ y $F 2 (t) = - F 1 (t)$ . Las magnitudes respectivas se fijan en $v$ y $F$ . La energía cinética promedio del sistema es

{displaystyle langle Trangle =sum _{k=1}^{N}{frac {1}{2}}m_{k}left|mathbf {v} _{k}right|^{2}={frac {1}{2}}m|mathbf {v} _{1}|^{2}+{frac {1}{2}}m|mathbf {v} _{2}|^{2}=mv^{2}.}

r 1 () t)

r 2 () t) = - r 1 () t)

r

F 1 () t) \cdot r 1 () t) F 2 () t) \cdot r 2 () t) = - Fr.

F = mv 2 / r

{displaystyle -{frac {1}{2}}sum _{k=1}^{N}{bigl langle }mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}{bigr rangle }=-{frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={frac {mv^{2}}{r}}cdot r=mv^{2}=langle Trangle}

F 1 () t)

F 2 () t)

Declaración y derivación

Aunque el teorema del virial depende del promedio de las energías cinética y potencial totales, la presentación aquí pospone el promedio hasta el último paso.

Para una colección de $N$ partículas puntuales, el momento escalar de inercia $I$ sobre el origen está definido por la ecuación

{displaystyle I=sum _{k=1}^{N}m_{k}left|mathbf {r} _{k}right|^{2}=sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}}

m k

r k

k

r k = Silencio r k Silencio

G

{displaystyle G=sum _{k=1}^{N}mathbf {p} _{k}cdot mathbf {r} _{k}}

p k

k

G

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{2}}{frac {dI}{dt}}&={frac {1}{2}}{frac {d}{dt}}sum _{k=1}^{N}m_{k}mathbf {r} _{k}cdot mathbf {r} _{k}\&=sum _{k=1}^{N}m_{k},{frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}cdot mathbf {r} _{k}\&=sum _{k=1}^{N}mathbf {p} _{k}cdot mathbf {r} _{k}=G,.end{aligned}}}

G

{displaystyle {begin{aligned}{frac {dG}{dt}}&=sum _{k=1}^{N}mathbf {p} _{k}cdot {frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}+sum _{k=1}^{N}{frac {dmathbf {p} _{k}}{dt}}cdot mathbf {r} _{k}\&=sum _{k=1}^{N}m_{k}{frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}cdot {frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}+sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}\&=2T+sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}end{aligned}}}

m k

k

F k = d p k / ♪

T

v k = d r k / ♪

{displaystyle T={frac {1}{2}}sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={frac {1}{2}}sum _{k=1}^{N}m_{k}{frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}cdot {frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}.}

Conexión con la energía potencial entre partículas

La fuerza total $F k$ sobre la partícula $k$ es la suma de todas las fuerzas de las otras partículas $j en el sistema$

{displaystyle mathbf {F} _{k}=sum _{j=1}^{N}mathbf {F} _{jk}}

F jk

j

k

{displaystyle -{frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}=-{frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}sum _{j=1}^{N}mathbf {F} _{jk}cdot mathbf {r} _{k},.}

Dado que ninguna partícula actúa sobre sí misma (es decir, $F jj = 0$ para $1 \leq j \leq N$ ), dividimos la suma en términos por debajo y por encima de esta diagonal y los sumamos en pares:

{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}&=sum _{k=1}^{N}sum _{j=1}^{N}mathbf {F} _{jk}cdot mathbf {r} _{k}=sum _{k=2}^{N}sum _{j=1}^{k-1}left(mathbf {F} _{jk}cdot mathbf {r} _{k}+mathbf {F} _{kj}cdot mathbf {r} _{j}right)\&=sum _{k=2}^{N}sum _{j=1}^{k-1}left(mathbf {F} _{jk}cdot mathbf {r} _{k}-mathbf {F} _{jk}cdot mathbf {r} _{j}right)=sum _{k=2}^{N}sum _{j=1}^{k-1}mathbf {F} _{jk}cdot left(mathbf {r} _{k}-mathbf {r} _{j}right)end{aligned}}}

F jk = F kj

A menudo sucede que las fuerzas pueden derivarse de una energía potencial $V jk$ que es una función solo de la distancia $r jk$ entre las partículas puntuales $j$ y $k$ . Dado que la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial, tenemos en este caso

{displaystyle mathbf {F} _{jk}=-nabla _{mathbf {r} _{k}}V_{jk}=-{frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}left({frac {mathbf {r} _{k}-mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}right),}

que es igual y opuesto a $F kj = -\nabla r j V kj = -\nabla r j V jk$ , la fuerza aplicada por la partícula $k$ sobre la partícula $j$ , como puede confirmarse mediante un cálculo explícito. Por lo tanto,

{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}&=sum _{k=2}^{N}sum _{j=1}^{k-1}mathbf {F} _{jk}cdot left(mathbf {r} _{k}-mathbf {r} _{j}right)\&=-sum _{k=2}^{N}sum _{j=1}^{k-1}{frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}{frac {|mathbf {r} _{k}-mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\&=-sum _{k=2}^{N}sum _{j=1}^{k-1}{frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.end{aligned}}}

Por lo tanto, tenemos

{displaystyle {frac {dG}{dt}}=2T+sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}=2T-sum _{k=2}^{N}sum _{j=1}^{k-1}{frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.}

Caso especial de fuerzas de ley de potencias

En un caso especial común, la energía potencial $V$ entre dos partículas es proporcional a una potencia $n$ de su distancia $r ij$

{displaystyle V_{jk}=alpha r_{jk}^{n},}

α

n

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}-{frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}&={frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}{frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\&={frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}nalpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\&={frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}sum _{j− − 12.. k=1NFk⋅ ⋅ rk=12.. k=1N.. j.kdVjkdrjkrjk=12.. k=1N.. j.knα α rjkn− − 1rjk=12.. k=1N.. j.knVjk=n2VTOT{fnMicroc {1}fn}fnfn}fnfnfnfn}m}cdot mathbf {r} _{k}= {c} {c} {c} {c} {c}c}c}cc}cc}cc}c}c} ¿Por qué? {dV_{jk} {dr_{jk}}r_{jk}\\\cH00={frac} {1}{2},sum ¿Qué? - No. ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}{2},sum ¿Qué? - ¿Qué? {n}{2},V_{text{toT}end{aligned}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}-{frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}&={frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}{frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\&={frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}nalpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\&={frac {1}{2}},sum _{k=1}^{N}sum _{j

V TOT

<math alttext="{displaystyle V_{text{TOT}}=sum _{k=1}^{N}sum _{jVTOT=.. k=1N.. j.kVjk.{displaystyle V_{text{TOT}=sum - ¿Qué? ¿Qué?<img alt="{displaystyle V_{text{TOT}}=sum _{k=1}^{N}sum _{j

Por lo tanto, tenemos

{displaystyle {frac {dG}{dt}}=2T+sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}=2T-nV_{text{TOT}},.}

Para los sistemas gravitatorios, el exponente $n$ es igual a −1, dando la identidad de Lagrange

{displaystyle {frac {dG}{dt}}={frac {1}{2}}{frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{text{TOT}}}

Promedio de tiempo

El promedio de esta derivada durante un período de tiempo, $τ$ , se define como

{displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}}rightrangle _{tau }={frac {1}{tau }}int _{0}^{tau }{frac {dG}{dt}},dt={frac {1}{tau }}int _{G(0)}^{G(tau)},dG={frac {G(tau)-G(0)}{tau }},}

{displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}}rightrangle _{tau }=2leftlangle Trightrangle _{tau }+sum _{k=1}^{N}leftlangle mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rightrangle _{tau }.}

El teorema del virial establece que si $⟨ dG / dt ⟩ τ = 0$ , entonces

{displaystyle 2leftlangle Trightrangle _{tau }=-sum _{k=1}^{N}leftlangle mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rightrangle _{tau }.}

Hay muchas razones por las que el promedio de la derivada temporal podría desaparecer, $⟨ dG / dt ⟩ τ = 0$ . Una razón citada con frecuencia se aplica a los sistemas vinculados de forma estable, es decir, a los sistemas que se mantienen unidos para siempre y cuyos parámetros son finitos. En ese caso, las velocidades y coordenadas de las partículas del sistema tienen límites superior e inferior, de modo que $G bound$ , es delimitado entre dos extremos, $G min$ y $G max$ , y el promedio llega a cero en el límite de infinito $τ$ :

{displaystyle lim _{tau to infty }left|leftlangle {frac {dG^{mathrm {bound} }}{dt}}rightrangle _{tau }right|=lim _{tau to infty }left|{frac {G(tau)-G(0)}{tau }}right|leq lim _{tau to infty }{frac {G_{max }-G_{min }}{tau }}=0.}

Incluso si el promedio de la derivada temporal de $G$ es solo aproximadamente cero, el teorema virial se cumple en el mismo grado de aproximación.

Para fuerzas de ley de potencia con un exponente $n$ , la ecuación general se cumple:

{displaystyle langle Trangle _{tau }=-{frac {1}{2}}sum _{k=1}^{N}langle mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rangle _{tau }={frac {n}{2}}langle V_{text{TOT}}rangle _{tau }.}

Para la atracción gravitacional, $n$ es igual a −1 y la energía cinética promedio es igual a la mitad de la energía potencial negativa promedio

{displaystyle langle Trangle _{tau }=-{frac {1}{2}}langle V_{text{TOT}}rangle _{tau }.}

Este resultado general es útil para sistemas gravitatorios complejos, como los sistemas solares o las galaxias.

Una aplicación simple del teorema virial se refiere a los cúmulos de galaxias. Si una región del espacio está inusualmente llena de galaxias, es seguro asumir que han estado juntas durante mucho tiempo y se puede aplicar el teorema virial. Las mediciones del efecto Doppler dan límites inferiores para sus velocidades relativas, y el teorema virial da un límite inferior para la masa total del cúmulo, incluida la materia oscura.

Si la hipótesis ergódica se cumple para el sistema en consideración, no es necesario calcular el promedio a lo largo del tiempo; también se puede tomar un promedio conjunto, con resultados equivalentes.

En mecánica cuántica

Aunque originalmente se derivó de la mecánica clásica, el teorema del virial también es válido para la mecánica cuántica, como lo demostró por primera vez Fock usando el teorema de Ehrenfest.

Evaluar el conmutador del hamiltoniano

{displaystyle H=V{bigl (}{X_{i}}{bigr)}+sum _{n}{frac {P_{n}^{2}}{2m}}}

X n

{displaystyle P_{n}=-ihbar {frac {d}{dX_{n}}}}

n

{displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=ihbar X_{n}{frac {dV}{dX_{n}}}-ihbar {frac {P_{n}^{2}}{m}}~.}

Al sumar todas las partículas, se encuentra para

{displaystyle Q=sum _{n}X_{n}P_{n}}

{displaystyle {frac {i}{hbar }}[H,Q]=2T-sum _{n}X_{n}{frac {dV}{dX_{n}}}}

{textstyle T=sum _{n}{frac {P_{n}^{2}}{2m}}}

dQ / ♪

. dQ / ♪ .

quantum virial teorem

{displaystyle 2langle Trangle =sum _{n}leftlangle X_{n}{frac {dV}{dX_{n}}}rightrangle ~.}

Identidad de Pokhozhaev

En el campo de la mecánica cuántica, existe otra forma del teorema virial, aplicable a soluciones localizadas de la ecuación de Schrödinger no lineal estacionaria o ecuación de Klein-Gordon, es la identidad de Pokhozhaev, también conocida como la identidad de Derrick' teorema de s.

Vamos $g(s)$ ser continuo y valor real, con $g(0)=0$ .

Denote ${textstyle G(s)=int _{0}^{s}g(t),dt}$ . Vamos

{displaystyle uin L_{mathrm {loc} }^{infty }(mathbb {R} ^{n}),qquad nabla uin L^{2}(mathbb {R} ^{n}),qquad G(u(cdot))in L^{1}(mathbb {R} ^{n}),qquad nin mathbb {N}}

{displaystyle -nabla ^{2}u=g(u),}

u

{displaystyle (n-2)int _{mathbb {R} ^{n}}|nabla u(x)|^{2},dx=nint _{mathbb {R} ^{n}}G(u(x)),dx.}

En relatividad especial

Para una sola partícula en relatividad especial, no es el caso que $T = 1 / 2 p \cdot v$ . En cambio, es cierto que $T = (γ - 1) mc 2$ , donde $γ$ es el factor de Lorentz

{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

β = v / c

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{2}}mathbf {p} cdot mathbf {v} &={frac {1}{2}}{boldsymbol {beta }}gamma mccdot {boldsymbol {beta }}c\[5pt]&={frac {1}{2}}gamma beta ^{2}mc^{2}\[5pt]&=left({frac {gamma beta ^{2}}{2(gamma -1)}}right)T,.end{aligned}}}

{displaystyle left({frac {1+{sqrt {1-beta ^{2}}}}{2}}right)Tqquad {text{or}}qquad left({frac {gamma +1}{2gamma }}right)T}

Por lo tanto, bajo las condiciones descritas en las secciones anteriores (incluida la tercera ley del movimiento de Newton, $F jk = - F kj$ , a pesar de la relatividad), el promedio de tiempo para $N$ partículas con un potencial de ley de potencia es

{displaystyle {frac {n}{2}}leftlangle V_{mathrm {TOT} }rightrangle _{tau }=leftlangle sum _{k=1}^{N}left({frac {1+{sqrt {1-beta _{k}^{2}}}}{2}}right)T_{k}rightrangle _{tau }=leftlangle sum _{k=1}^{N}left({frac {gamma _{k}+1}{2gamma _{k}}}right)T_{k}rightrangle _{tau },.}

{displaystyle {frac {2langle T_{mathrm {TOT} }rangle }{nlangle V_{mathrm {TOT} }rangle }}in left[1,2right],,}

Generalizaciones

Lord Rayleigh publicó una generalización del teorema virial en 1903. Henri Poincaré probó y aplicó una forma del teorema virial en 1911 al problema de la formación del Sistema Solar a partir de una nube protoestelar (entonces conocida como cosmogonía). Una forma variacional del teorema del virial fue desarrollada en 1945 por Ledoux. Parker, Chandrasekhar y Fermi desarrollaron una forma tensorial del teorema del virial. La siguiente generalización del teorema del virial ha sido establecida por Pollard en 1964 para el caso de la ley del inverso del cuadrado:

{displaystyle 2lim _{tau to +infty }langle Trangle _{tau }=lim _{tau to +infty }langle Urangle _{tau }qquad {text{if and only if}}quad lim _{tau to +infty }{tau }^{-2}I(tau)=0,.}

frontera

Inclusión de campos electromagnéticos

El teorema virial se puede extender para incluir campos eléctricos y magnéticos. El resultado es

{displaystyle {frac {1}{2}}{frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+int _{V}x_{k}{frac {partial G_{k}}{partial t}},d^{3}r=2(T+U)+W^{mathrm {E} }+W^{mathrm {M} }-int x_{k}(p_{ik}+T_{ik}),dS_{i},}

donde $I$ es el momento de inercia, $G$ es la densidad de momento del campo electromagnético, $T$ es la energía cinética del "fluido", $U$ es el "térmico" energía de las partículas, $W E$ y $W M$ son los contenido de energía eléctrica y magnética del volumen considerado. Finalmente, $p ik$ es el tensor de presión de fluido expresado en el sistema de coordenadas móvil local

{displaystyle p_{ik}=Sigma n^{sigma }m^{sigma }langle v_{i}v_{k}rangle ^{sigma }-V_{i}V_{k}Sigma m^{sigma }n^{sigma },}

y $T ik$ es el tensor de tensión electromagnético,

{displaystyle T_{ik}=left({frac {varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{frac {B^{2}}{2mu _{0}}}right)delta _{ik}-left(varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{frac {B_{i}B_{k}}{mu _{0}}}right).}

Un plasmoide es una configuración finita de campos magnéticos y plasma. Con el teorema virial, es fácil ver que cualquier configuración de este tipo se expandirá si no es contenida por fuerzas externas. En una configuración finita sin paredes que soporten presión o bobinas magnéticas, la integral de superficie se desvanecerá. Como todos los demás términos del lado derecho son positivos, la aceleración del momento de inercia también será positiva. También es fácil estimar el tiempo de expansión $τ$ . Si una masa total $M$ está confinada dentro de un radio $R$ , entonces el momento de inercia es aproximadamente $MR 2$ , y el lado izquierdo de el teorema del virial es $MR 2 / τ 2 . Los términos del lado derecho suman aproximadamente pR 3, donde p es la mayor entre la presión de plasma o la presión magnética. Igualando estos dos términos y resolviendo para τ, encontramos$

{displaystyle tau ,sim {frac {R}{c_{mathrm {s} }}},}

donde $c s$ es la velocidad de la onda acústica de iones (o la onda de Alfvén, si la presión magnética es mayor que la presión del plasma). Por lo tanto, se espera que el tiempo de vida de un plasmoide sea del orden del tiempo de tránsito acústico (o de Alfvén).

Sistema uniforme relativista

En caso de que en el sistema físico se tenga en cuenta el campo de presión, los campos electromagnético y gravitatorio, así como el campo de aceleración de las partículas, el teorema del virial se escribe en forma relativista de la siguiente manera:

{displaystyle leftlangle W_{k}rightrangle approx -0.6sum _{k=1}^{N}langle mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rangle}

donde el valor $W k \approx γ c T$ excede la energía cinética de las partículas $T$ por un factor igual al factor de Lorentz $γ c$ de las partículas en el centro del sistema. En condiciones normales podemos asumir que $γ c \approx 1$ , entonces podemos ver que en el teorema virial la energía cinética está relacionado con la energía potencial no por el coeficiente 1/2, sino por el coeficiente cercano a 0,6. La diferencia con el caso clásico surge por considerar el campo de presión y el campo de aceleración de las partículas dentro del sistema, mientras que la derivada del escalar $G$ no es igual a cero y debe considerarse como la derivada material.

Un análisis del teorema integral del virial generalizado permite encontrar, sobre la base de la teoría de campos, una fórmula para la velocidad cuadrática media de las partículas típicas de un sistema sin utilizar la noción de temperatura:

{displaystyle v_{mathrm {rms} }=c{sqrt {1-{frac {4pi eta rho _{0}r^{2}}{c^{2}gamma _{c}^{2}sin ^{2}left({frac {r}{c}}{sqrt {4pi eta rho _{0}}}right)}}}},}

Donde ${displaystyle ~c}$ es la velocidad de la luz, ${displaystyle ~eta }$ es el campo de aceleración constante, ${displaystyle ~rho _{0}}$ es la densidad de masa de partículas, ${displaystyle ~r}$ es el radio actual.

A diferencia del teorema virial para partículas, para el campo electromagnético el teorema virial se escribe de la siguiente manera:

{displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}

{displaystyle ~E_{kf}=int A_{alpha }j^{alpha }{sqrt {-g}},dx^{1},dx^{2},dx^{3}}

{displaystyle ~j^{alpha }}

{displaystyle ~W_{f}={frac {1}{4mu _{0}}}int F_{alpha beta }F^{alpha beta }{sqrt {-g}},dx^{1},dx^{2},dx^{3}}

En astrofísica

El teorema del virial se aplica con frecuencia en astrofísica, especialmente relacionando la energía potencial gravitacional de un sistema con su energía cinética o térmica. Algunas relaciones viriales comunes son

{displaystyle {frac {3}{5}}{frac {GM}{R}}={frac {3}{2}}{frac {k_{mathrm {B} }T}{m_{mathrm {p} }}}={frac {1}{2}}v^{2}}

M

R

v

T

G

k B

m p

3512

Galaxias y cosmología (masa virial y radio)

En astronomía, la masa y el tamaño de una galaxia (o sobredensidad general) a menudo se definen en términos de la "masa virial" y "radio virial" respectivamente. Debido a que las galaxias y las sobredensidades en fluidos continuos pueden extenderse mucho (incluso hasta el infinito en algunos modelos, como una esfera isotérmica), puede ser difícil definir medidas específicas y finitas de su masa y tamaño. El teorema del virial y los conceptos relacionados proporcionan un medio a menudo conveniente para cuantificar estas propiedades.

En la dinámica de galaxias, la masa de una galaxia a menudo se infiere midiendo la velocidad de rotación de su gas y estrellas, suponiendo órbitas circulares de Kepler. Usando el teorema virial, la dispersión de velocidad $σ$ se puede usar de manera similar. Tomando la energía cinética (por partícula) del sistema como $T = 1 / 2 v 2 ~ 3 / 2 σ 2$ , y la energía potencial (por partícula) como $U ~ 3 / 5 GM / R$ podemos escribir

{displaystyle {frac {GM}{R}}approx sigma ^{2}.}

Aquí. $R$ es el radio en el que se mide la dispersión de velocidad, y $M$ es la masa dentro de ese radio. La masa virial y el radio se definen generalmente para el radio al que la dispersión de velocidad es un máximo, es decir.

{displaystyle {frac {GM_{text{vir}}}{R_{text{vir}}}}approx sigma _{max }^{2}.}

Como se han realizado numerosas aproximaciones, además de la naturaleza aproximada de estas definiciones, las constantes de proporcionalidad de unidad de orden a menudo se omiten (como en las ecuaciones anteriores). Por lo tanto, estas relaciones solo son precisas en un sentido de orden de magnitud, o cuando se usan de manera coherente.

A menudo se usa una definición alternativa de masa y radio virial en cosmología, donde se usa para referirse al radio de una esfera, centrada en una galaxia o un cúmulo de galaxias, dentro del cual se mantiene el equilibrio virial. Dado que este radio es difícil de determinar por observación, a menudo se aproxima como el radio dentro del cual la densidad promedio es mayor, por un factor específico, que la densidad crítica.

{displaystyle rho _{text{crit}}={frac {3H^{2}}{8pi G}}}

H

G

{displaystyle r_{text{vir}}approx r_{200}=r,qquad rho =200cdot rho _{text{crit}}.}

{displaystyle M_{text{vir}}approx M_{200}={frac {4}{3}}pi r_{200}^{3}cdot 200rho _{text{crit}}.}

Estrellas

El teorema virial es aplicable a los núcleos de las estrellas, al establecer una relación entre la energía potencial gravitatoria y la energía cinética térmica (es decir, la temperatura). A medida que las estrellas de la secuencia principal convierten el hidrógeno en helio en sus núcleos, el peso molecular medio del núcleo aumenta y debe contraerse para mantener la presión suficiente para soportar su propio peso. Esta contracción disminuye su energía potencial y, según establece el teorema del virial, aumenta su energía térmica. La temperatura central aumenta incluso cuando se pierde energía, efectivamente un calor específico negativo. Esto continúa más allá de la secuencia principal, a menos que el núcleo se degenere, ya que eso hace que la presión se vuelva independiente de la temperatura y la relación virial con $n$ es igual a −1 ya no se cumple.

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