Teorema unitario de Dirichlet

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Da el rango del grupo de unidades en el anillo de números enteros algebraicos de un campo número

En matemáticas, el teorema unitario de Dirichlet es un resultado básico de la teoría algebraica de números debido a Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Determina el rango del grupo de unidades en el anillo $O K$ de enteros algebraicos. de un campo numérico $K$ . El regulador es un número real positivo que determina qué tan "denso" las unidades son.

La afirmación es que el grupo de unidades se genera de forma finita y tiene un rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a

r = r 1 + r 2 - 1

Donde $r 1$ es Número de incrustaciones reales y $r 2$ el número de pares conjugados de embeddings complejos de $K$ . Esta caracterización $r 1$ y $r 2$ se basa en la idea de que habrá tantas maneras de incrustar $K$ en el campo número complejo como grado ${displaystyle n=[K:mathbb {Q} ]}$ ; estos serán en los números reales, o pares de incrustaciones relacionadas con la conjugación compleja, de modo que

n = r 1 + 2 r 2

Note que si $K$ Galois terminó $mathbb {Q}$ entonces $r 1 = 0$ o $r 2 = 0$ .

Otras formas de determinar $r 1$ y $r 2$ son

utilizar el elemento primitivo teorema para escribir ${displaystyle K=mathbb {Q} (alpha)}$ , y luego $r 1$ es el número de conjugados $α$ que son reales, $2 r 2$ el número que es complejo; en otras palabras, si $f$ es el polinomio mínimo de $α$ sobre $mathbb {Q}$ , entonces $r 1$ es el número de raíces reales y $2r 2$ es el número de raíces complejas no reales de $f$ (que vienen en pares complejos conjugados);
escribir el producto tensor de campos ${displaystyle Kotimes _{mathbb {Q} }mathbb {R} }$ como producto de campos, $r 1$ copias de $mathbb {R}$ y $r 2$ copias de $mathbb {C}$ .

Como ejemplo, si $K$ es un campo cuadrático, el rango es 1 si es un campo cuadrático real, y 0 si es un campo cuadrático imaginario. La teoría de campos cuadráticos reales es esencialmente la teoría de la ecuación de Pell.

El rango es positivo para todos los campos número además $mathbb {Q}$ y campos cuadráticos imaginarios, que tienen rango 0. El tamaño de las unidades se mide en general por un determinante llamado regulador. En principio una base para las unidades puede ser efectivamente calculada; en la práctica los cálculos están bastante involucrados cuando $n$ es grande.

La torsión en el grupo de unidades es el conjunto de todas las raíces de la unidad de $K$ , que forman un grupo cíclico finito. Por lo tanto, para un campo numérico con al menos una incrustación real, la torsión debe ser solo ${1,-1}$ . Hay campos numéricos, por ejemplo la mayoría de los campos cuadráticos imaginarios, que no tienen incrustaciones reales y que también tienen ${1,-1}$ para la torsión de su grupo de unidades.

Los campos totalmente reales son especiales respecto a las unidades. Si $L / K$ es una extensión finita de campos numéricos con grado mayor que 1 y los grupos de unidades para los números enteros de $L$ y $K$ tiene el mismo rango entonces $K$ es totalmente real y $L$ es una extensión cuadrática totalmente compleja. Lo contrario también se cumple. (Un ejemplo es $K$ igual a los racionales y $L$ es igual a un campo cuadrático imaginario; ambos tienen rango de unidad 0.)

El teorema no sólo se aplica al orden máximo $O K$ sino a cualquier orden $O \subset O K$ .

Hay una generalización del teorema de la unidad por Helmut Hasse (y más tarde Claude Chevalley) para describir la estructura del grupo de S-units, determinando el rango del grupo unitario en localizaciones de anillos de enteros. Además, la estructura del módulo Galois ${displaystyle mathbb {Q} oplus O_{K,S}otimes _{mathbb {Z} }mathbb {Q} }$ ha sido determinado.

La reguladora

(feminine)

Supongamos que K es un campo número y $u_{1},dotsu_{r}$ son un conjunto de generadores para el grupo de unidad de K modulo raíces de unidad. Habrá $r + 1$ Lugares arquitectónicos de K, ya sea real o complejo. Para ${displaystyle uin K}$ , escribir ${displaystyle u^{(1)},dotsu^{(r+1)}}$ para las diferentes incrustaciones en $mathbb {R}$ o $mathbb {C}$ y conjunto $N j$ a 1 o 2 si la incrustación correspondiente es real o compleja respectivamente. Entonces el $r \times r + 1)$ matriz

{displaystyle left(N_{j}log left|u_{i}^{(j)}right|right)_{i=1,dotsr,;j=1,dotsr+1}}

R

R

regulador

u i

El regulador tiene la siguiente interpretación geométrica. El mapa tomando una unidad $u$ al vector con entradas ${textstyle N_{j}log left|u^{(j)}right|}$ tiene una imagen en $r$ - subespacial dimensional ${displaystyle mathbb {R} ^{r+1}}$ que consiste en todos los vectores cuyas entradas tienen la suma 0, y por el teorema de la unidad de Dirichlet la imagen es una celosía en este subespacio. El volumen de un dominio fundamental de esta celosa es ${displaystyle R{sqrt {r+1}}}$ .

El regulador de un campo numérico algebraico de grado mayor que 2 suele ser bastante engorroso de calcular, aunque ahora existen paquetes de álgebra informática que pueden hacerlo en muchos casos. Generalmente es mucho más fácil calcular el producto $hR$ del número de clase $h$ y el regulador usando la fórmula del número de clase, y la principal dificultad al calcular el número de clase de un campo numérico algebraico suele ser el cálculo del regulador.

Ejemplos

Un dominio fundamental en el espacio logarítmico del grupo de unidades del campo cíclico $K$ obtenido por $mathbb {Q}$ a root of $f () x) x 3 + x 2 - 2 x - 1$ . Si $α$ denota una raíz de $f () x)$ , entonces un conjunto de unidades fundamentales es ${} ε 1, ε 2}$ , donde $ε 1 = α 2 + α - 1$ y $ε 2 = 2 - α 2$ . El área del dominio fundamental es aproximadamente 0.910114, por lo que el regulador de $K$ es aproximadamente 0,25455.

El regulador de un campo cuadrático imaginario, o de los enteros racionales, es 1 (como el determinante de un $0 \times 0$ matriz es 1).
El regulador de un campo cuadrático real es el logaritmo de su unidad fundamental: por ejemplo, la de $mathbb {Q} ({sqrt {5}})$ es ${textstyle log {frac {{sqrt {5}}+1}{2}}}$ . Esto se puede ver como sigue. Una unidad fundamental es ${textstyle ({sqrt {5}}+1)/2}$ , y sus imágenes bajo las dos incrustaciones en $mathbb {R}$ son ${textstyle ({sqrt {5}}+1)/2}$ y ${textstyle (-{sqrt {5}}+1)/2}$ . Así que... $r \times r + 1)$ matriz ${displaystyle left[1times log left|{frac {{sqrt {5}}+1}{2}}right|,quad 1times log left|{frac {-{sqrt {5}}+1}{2}}right| right].}$
El regulador del campo cíclico cúbico ${mathbb {Q}}(alpha)$ , donde $α$ es una raíz de $x 3 + x 2 - 2 x - 1$ , es aproximadamente 0,5255. Una base del grupo de unidades modulo raíces de unidad es ${} ε 1, ε 2}$ Donde $ε 1 = α 2 + α - 1$ y $ε 2 = 2 - α 2$ .

Reguladores superiores

Una experiencia 'superior' regulador se refiere a una construcción para una función en un grupo K algebraico con índice $n > 1$ que juega el mismo papel que el regulador clásico para el grupo de unidades, que es un grupo $K 1 . Se ha desarrollado una teoría sobre tales reguladores, con el trabajo de Armand Borel y otros. Estos reguladores superiores desempeñan un papel, por ejemplo, en las conjeturas de Beilinson y se espera que ocurran en evaluaciones de ciertas funciones L en valores enteros del argumento. Véase también regulador Beilinson.$

Regulador Stark

La formulación de las conjeturas de Stark llevó a Harold Stark a definir lo que ahora se llama el regulador de Stark, similar al regulador clásico como determinante de logaritmos de unidades, adjunto a cualquier representación de Artin..

Regulador P-ádico

Sea $K$ un campo numérico y para cada primo $P$ de $K$ encima de algún primo racional fijo $p$ , let $U P$ denota las unidades locales en $P$ y deja que $U 1, P$ denota el subgrupo de unidades principales en $U P$ . Establecer

{displaystyle U_{1}=prod _{P|p}U_{1,P}.}

Entonces sea $E 1$ el conjunto de unidades globales $ε$ que se asigna a $U 1$ a través de la incrustación diagonal del unidades globales en $E$ .

Dado que $E 1$ es un subgrupo de índice finito de las unidades globales, es un grupo abeliano de rango $r 1 + r 2 - 1$ . El $p$ -regulador-ádico es el determinante de la matriz formada por el $p$ -logaritmos ádicos de los generadores de este grupo. La conjetura de Leopoldt establece que este determinante es distinto de cero.

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