Teorema integral de Cauchy

En matemáticas, la Teorema integral Cauchy (también conocido como Cauchy-Teorema de la garganta) en un análisis complejo, llamado después de Augustin-Louis Cauchy (y Édouard Goursat), es una declaración importante sobre las integrales de línea para las funciones holomorfas en el plano complejo. Esencialmente, dice que si f()z){displaystyle f(z)} es holomorfo en un dominio simplemente conectado Ω, entonces para cualquier contorno simplemente cerrado C{displaystyle C} en Ω, ese contorno integral es cero.

∫ ∫ Cf()z)dz=0.{displaystyle int _{C}f(z),dz=0.}

Declaración

Teorema fundamental para integrales de línea complejas

Si f()z) es una función holomorfa en una región abierta U, y γ γ {displaystyle gamma } es una curva en U desde z0{displaystyle z_{0} a z1{displaystyle z_{1} entonces,

∫ ∫ γ γ f.()z)dz=f()z1)− − f()z0).{displaystyle int _{gamma }f'(z),dz=f(z_{1})-f(z_{0}). }

También, cuando f()z) tiene un antiderivativo de valor único en una región abierta U, entonces el camino integral ∫ ∫ γ γ f.()z)dz{textstyle int _{gamma }f'(z),dz} es camino independiente para todos los caminos en U.

Formulación en regiones simplemente conectadas

Vamos U⊆ ⊆ C{displaystyle Usubseteq mathbb {C} ser un conjunto abierto simplemente conectado, y dejar f:U→ → C{displaystyle f:Uto mathbb {C} ser una función holomorfa. Vamos γ γ :[a,b]→ → U{displaystyle gamma:[a,b]to U} ser una curva cerrada suave. Entonces:

∫ ∫ γ γ f()z)dz=0.{displaystyle int _{gamma }f(z),dz=0}

U{displaystyle U}

U{displaystyle U}

U{displaystyle U}

Formulación general

Vamos U⊆ ⊆ C{displaystyle Usubseteq mathbb {C} ser un juego abierto, y dejar f:U→ → C{displaystyle f:Uto mathbb {C} ser una función holomorfa. Vamos γ γ :[a,b]→ → U{displaystyle gamma:[a,b]to U} ser una curva cerrada suave. Si γ γ {displaystyle gamma } es homotopic a una curva constante, entonces:

∫ ∫ γ γ f()z)dz=0.{displaystyle int _{gamma }f(z),dz=0}

U{displaystyle U}

Ejemplo principal

En ambos casos, es importante recordar que la curva γ γ {displaystyle gamma } no rodea ningún "agujero" en el dominio, o si no el teorema no se aplica. Un ejemplo famoso es la siguiente curva:

γ γ ()t)=eitt▪ ▪ [0,2π π ],{displaystyle gamma (t)=e^{it}quad tin left[0,2pi right],}

∫ ∫ γ γ 1zdz=2π π iل ل 0,{displaystyle int _{gamma } {frac {1},dz=2pi ineq 0,}

f()z)=1/z{displaystyle f(z)=1/z}

z=0{displaystyle z=0}

γ γ {displaystyle gamma }

f{displaystyle f}

γ γ {displaystyle gamma }

Discusión

Como mostró Édouard Goursat, el teorema integral de Cauchy puede probarse asumiendo sólo que el derivado complejo f.()z){displaystyle f'(z)} existe en todas partes U{displaystyle U}. Esto es significativo porque uno puede entonces probar la fórmula integral de Cauchy para estas funciones, y de eso deducir estas funciones son infinitamente diferentes.

La condición de que U{displaystyle U} ser simplemente conectado significa que U{displaystyle U} no tiene "agujeros" o, en términos de homotopy, que el grupo fundamental U{displaystyle U} es trivial; por ejemplo, cada disco abierto <math alttext="{displaystyle U_{z_{0}}={z:left|z-z_{0}right|Uz0={}z:Silencioz− − z0Silencio.r}{displaystyle ¿Qué?<img alt="{displaystyle U_{z_{0}}={z:left|z-z_{0}right|, para z0▪ ▪ C{displaystyle z_{0}in mathbb {C}, califica. La condición es crucial; considerar

γ γ ()t)=eitt▪ ▪ [0,2π π ]{displaystyle gamma (t)=e^{it}quad tin left[0,2pi right]}

∮ ∮ γ γ 1zdz=∫ ∫ 02π π 1eit()ieitdt)=∫ ∫ 02π π idt=2π π i{displaystyle oint _{gamma }{frac {1}{z},dz=int ¿Por qué?

f()z)=1/z{displaystyle f(z)=1/z}

z=0{displaystyle z=0}

Una consecuencia importante del teorema es que el camino integral de las funciones holomorfas en dominios simplemente conectados puede ser calculado de manera familiar del teorema fundamental del cálculo: U{displaystyle U} ser un subconjunto abierto simplemente conectado C{displaystyle mathbb {C}, vamos f:U→ → C{displaystyle f:Uto mathbb {C} ser una función holomorfa, y dejar γ γ {displaystyle gamma } ser un camino completamente diferente en U{displaystyle U} con punto de inicio a{displaystyle a} y punto final b{displaystyle b}. Si F{displaystyle F} es un complejo antiderivativo de f{displaystyle f}, entonces

∫ ∫ γ γ f()z)dz=F()b)− − F()a).{displaystyle int _{gamma }f(z),dz=F(b)-F(a). }

El teorema integral Cauchy es válido con una hipótesis más débil que la anterior, por ejemplo, dada U{displaystyle U}, un subconjunto abierto simplemente conectado C{displaystyle mathbb {C}, podemos debilitar las suposiciones a f{displaystyle f} ser holomorfo en U{displaystyle U} y continuo Ū ̄ {textstyle {fnK}} y γ γ {displaystyle gamma } un bucle simple rectificable en Ū ̄ {textstyle {fnK}}.

El teorema integral de Cauchy conduce a la fórmula integral de Cauchy y al teorema del residuo.

Prueba

Si uno asume que los derivados parciales de una función holomorfa son continuos, el teorema integral Cauchy puede ser probado como una consecuencia directa del teorema de Green y el hecho de que las partes reales e imaginarias de f=u+iv{displaystyle f=u+iv} debe satisfacer las ecuaciones Cauchy-Riemann en la región atada por γ γ {displaystyle gamma }, y además en el barrio abierto U de esta región. Cauchy proporcionó esta prueba, pero posteriormente fue probada por Goursat sin requerir técnicas de cálculo vectorial, o la continuidad de derivados parciales.

Podemos romper el componente f{displaystyle f}, así como el diferencial dz{displaystyle dz} en sus componentes reales e imaginarios:

f=u+iv{displaystyle f=u+iv}

dz=dx+idSí.{displaystyle dz=dx+i,dy}

En este caso tenemos

∮ ∮ γ γ f()z)dz=∮ ∮ γ γ ()u+iv)()dx+idSí.)=∮ ∮ γ γ ()udx− − vdSí.)+i∮ ∮ γ γ ()vdx+udSí.){displaystyle oint _{gamma }f(z),dz=oint _{gamma }(u+iv)(dx+i,dy)=oint _{gamma }(u,dx-v,dy)+ioint _{gamma }(v,dx+u,dy)}

Por el teorema de Green, entonces podemos reemplazar las integrales alrededor del contorno cerrado γ γ {displaystyle gamma } con un área integral en todo el dominio D{displaystyle D} que se adjunta γ γ {displaystyle gamma } como sigue:

∮ ∮ γ γ ()udx− − vdSí.)=∫ ∫ D()− − ∂ ∂ v∂ ∂ x− − ∂ ∂ u∂ ∂ Sí.)dxdSí.{displaystyle oint _{gamma }(u,dx-v,dy)=iint _{D}left(-{frac {partial v}{partial x}-{frac {partial u}{partial y}}}right),dx,dy}

∮ ∮ γ γ ()vdx+udSí.)=∫ ∫ D()∂ ∂ u∂ ∂ x− − ∂ ∂ v∂ ∂ Sí.)dxdSí.{displaystyle oint _{gamma }(v,dx+u,dy)=iint _{D}left({frac {partial u}{partial x}-{frac {partial v}{partial y}}right),dx,dy}

Pero como las partes reales e imaginarias de una función holomorfa en el dominio D{displaystyle D}, u{displaystyle u} y v{displaystyle v} debe satisfacer las ecuaciones Cauchy-Riemann allí:

∂ ∂ u∂ ∂ x=∂ ∂ v∂ ∂ Sí.{displaystyle {frac {partial u}{partial x}={frac {partial v}{partial Sí.

∂ ∂ u∂ ∂ Sí.=− − ∂ ∂ v∂ ∂ x{displaystyle {frac {partial u}{partial Y... #

Por lo tanto, encontramos que ambos integrandos (y por lo tanto sus integrales) son cero

∫ ∫ D()− − ∂ ∂ v∂ ∂ x− − ∂ ∂ u∂ ∂ Sí.)dxdSí.=∫ ∫ D()∂ ∂ u∂ ∂ Sí.− − ∂ ∂ u∂ ∂ Sí.)dxdSí.=0{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

∫ ∫ D()∂ ∂ u∂ ∂ x− − ∂ ∂ v∂ ∂ Sí.)dxdSí.=∫ ∫ D()∂ ∂ u∂ ∂ x− − ∂ ∂ u∂ ∂ x)dxdSí.=0{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros {fnMicrosoft v} {partial y}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Esto da el resultado deseado

∮ ∮ γ γ f()z)dz=0{displaystyle oint _{gamma }f(z),dz=0}