Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra, también conocido como teorema de d'Alembert', o el teorema de d'Alembert-Gauss , establece que todo polinomio de variable única no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Esto incluye polinomios con coeficientes reales, ya que todo número real es un número complejo con su parte imaginaria igual a cero.

Equivalentemente (por definición), el teorema establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado.

El teorema también se establece de la siguiente manera: todo polinomio distinto de cero, de una sola variable, de grado n con coeficientes complejos tiene, contado con multiplicidad, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de las dos afirmaciones se puede demostrar mediante el uso de divisiones polinómicas sucesivas.

A pesar de su nombre, no existe una prueba puramente algebraica del teorema, ya que cualquier prueba debe usar alguna forma de completitud analítica de los números reales, que no es un concepto algebraico. Además, no es fundamental para el álgebra moderna; su nombre se le dio en un momento en que el álgebra era sinónimo de teoría de ecuaciones.

Historia

Peter Roth, en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608, en Nürnberg, por Johann Lantzenberger), escribió que una ecuación de grado polinomio n (con coeficientes reales) podrá han tenido n soluciones. Albert Girard, en su libro L'invention nouvelle en l'Algèbre (publicado en 1629), afirmó que una ecuación de grado polinomio n tiene n soluciones, pero no dijo que tenían que ser números reales. Además, agregó que su afirmación sostiene "a menos que la ecuación sea incompleta", por lo que significa que ningún coeficiente es igual a 0. Sin embargo, cuando explica en detalle lo que significa, está claro que en realidad cree que su afirmación es siempre verdadera; por ejemplo, muestra que la ecuación ${displaystyle x^{4}=4x-3,}$ aunque incompleto, tiene cuatro soluciones (contando multiplicidades): 1 (twice), ${displaystyle -1+i{sqrt {2}}$ y ${displaystyle - 1-i{sqrt {2}}$

Como se mencionará nuevamente a continuación, del teorema fundamental del álgebra se deduce que todo polinomio no constante con coeficientes reales se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales cuyos grados son 1 o 2. Sin embargo, en 1702 Leibniz dijo erróneamente que ningún polinomio del tipo x⁴ + a⁴ (con a real y distinto de 0) se puede escribir de esa manera. Más tarde, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación sobre el polinomio x⁴ − 4x^{3< /sup> + 2x2 + 4x + 4}, pero recibió una carta de Euler en 1742 en la que se demostró que este polinomio es igual a

${displaystyle left(x^{2}-(2+alpha)x+1+{sqrt {7}+alpha right)left(x^{2}-(2-alpha)x+1+{sqrt {7}-alpha right),}$

con ${displaystyle alpha ={sqrt {4+2{sqrt {7}}}}}$Además, Euler señaló que

${displaystyle x^{4}+a^{4}=left(x^{2}+a{sqrt {2}cdot x+a^{2}right)left(x^{2}-a{sqrt {2}cdot x+a^{2}right). }$

D'Alembert hizo un primer intento de probar el teorema en 1746, pero su prueba estaba incompleta. Entre otros problemas, asumía implícitamente un teorema (ahora conocido como teorema de Puiseux), que no sería demostrado hasta más de un siglo después y utilizando el teorema fundamental del álgebra. Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) hicieron otros intentos. Estos últimos cuatro intentos asumieron implícitamente la afirmación de Girard; para ser más precisos, se asumía la existencia de soluciones y solo faltaba demostrar que su forma era a + bi para algunos números reales a y b. En términos modernos, Euler, de Foncenex, Lagrange y Laplace asumían la existencia de un campo divisorio del polinomio p(z).

A finales del siglo XVIII, se publicaron dos nuevas pruebas que no asumían la existencia de raíces, pero ninguna de las cuales estaba completa. Uno de ellos, debido a James Wood y principalmente algebraico, se publicó en 1798 y fue totalmente ignorado. La prueba de Wood tenía una brecha algebraica. El otro fue publicado por Gauss en 1799 y era principalmente geométrico, pero tenía un vacío topológico, solo llenado por Alexander Ostrowski en 1920, como se discute en Smale (1981).

La primera prueba rigurosa fue publicada por Argand, un matemático aficionado, en 1806 (y revisada en 1813); también fue aquí donde, por primera vez, se estableció el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos, en lugar de solo coeficientes reales. Gauss produjo otras dos pruebas en 1816 y otra versión incompleta de su prueba original en 1849.

El primer libro de texto que contenía una demostración del teorema fue el Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique de Cauchy (1821). Contenía la prueba de Argand, aunque a Argand no se le acredita.

Ninguna de las pruebas mencionadas hasta ahora es constructiva. Fue Weierstrass quien planteó por primera vez, a mediados del siglo XIX, el problema de encontrar una demostración constructiva del teorema fundamental del álgebra. Presentó su solución, que equivale en términos modernos a una combinación del método Durand-Kerner con el principio de continuación de la homotopía, en 1891. Hellmuth Kneser obtuvo otra prueba de este tipo en 1940 y su hijo Martin Kneser la simplificó en 1981.

Sin usar la elección contable, no es posible probar constructivamente el teorema fundamental del álgebra para números complejos basados en los números reales de Dedekind (que no son constructivamente equivalentes a los números reales de Cauchy sin elección contable). Sin embargo, Fred Richman demostró una versión reformulada del teorema que sí funciona.

Declaraciones equivalentes

Hay varias formulaciones equivalentes del teorema:

• Cada polinomio univariado de grado positivo con coeficientes reales tiene al menos una raíz compleja.
• Cada polinomio univariado de grado positivo con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

  Esto implica inmediatamente la afirmación anterior, ya que números reales son también números complejos. El contrario resulta del hecho de que uno consigue un polinomio con coeficientes reales tomando el producto de un polinomio y su complejo conjugado (obtenido por reemplazar cada coeficiente por su complejo conjugado). Una raíz de este producto es una raíz del polinomio dado, o de su conjugado; en este último caso, el conjugado de esta raíz es una raíz del polinomio dado.

• Todo polinomio univariado de grado positivo n con coeficientes complejos se pueden factorizar como
  $${displaystyle c(x-r_{1})cdots (x-r_{n}),}$$

  
  Donde ${displaystyle c,r_{1},ldotsr_{n}$ son números complejos.

  El n números complejos ${displaystyle r_{1},ldotsr_{n}$ son las raíces del polinomio. Si una raíz aparece en varios factores, es una raíz múltiple, y el número de sus ocurrencias es, por definición, la multiplicidad de la raíz.

  La prueba de que esta declaración resulta de las anteriores se hace por recurrencia n: cuando una raíz ${displaystyle R_{1}$ ha sido encontrado, la división polinomio por ${displaystyle x-r_{1}$ proporciona un polinomio de grado ${displaystyle n-1}$ cuyas raíces son las otras raíces del polinomio dado.

Las dos declaraciones siguientes son equivalentes a las anteriores, aunque no implican ningún número complejo no real. Estas declaraciones pueden probarse de factores anteriores señalando que, si r es una raíz no real de un polinomio con coeficientes reales, su complejo conjugado ${displaystyle {fnK}}$ es también una raíz, y ${displaystyle (x-r)(x-{overline {r}}}}$ es un polinomio de grado dos con coeficientes reales. Por el contrario, si uno tiene un factor de grado dos, la fórmula cuadrática da una raíz.

• Cada polinomio univariado con coeficientes reales de grado mayor que dos tiene un factor de grado dos con coeficientes reales.
• Cada polinomio univariado con coeficientes reales de grado positivo se puede considerar como
  $${displaystyle cp_{1}cdots P_{k},}$$

  
  Donde c es un número real y cada uno ${displaystyle P_{i}$ es un polinomio monico de grado en la mayoría de dos con coeficientes reales. Además, se puede suponer que los factores del grado dos no tienen ninguna raíz real.

Pruebas

Todas las pruebas a continuación involucran algún análisis matemático, o al menos el concepto topológico de continuidad de funciones reales o complejas. Algunos también usan funciones diferenciables o incluso analíticas. Este requisito ha llevado a la observación de que el Teorema fundamental del álgebra no es ni fundamental ni un teorema de álgebra.

Algunas demostraciones del teorema solo prueban que cualquier polinomio no constante con coeficientes reales tiene alguna raíz compleja. Este lema es suficiente para establecer el caso general porque, dado un polinomio no constante p(z) con coeficientes complejos, el polinomio

${displaystyle q(z)=p(z){overline {p({overline {z}}}}}}$

solo tiene coeficientes reales y, si z es un cero de q(z), entonces z o su conjugado es raíz de p(z).

Muchas pruebas no algebraicas del teorema usan el hecho (a veces llamado el "lema de crecimiento") de que una función polinomial p(z) de grado n cuyo coeficiente dominante es 1 se comporta como zⁿ cuando |z| es lo suficientemente grande. Más precisamente, existe algún número real positivo R tal que

$[displaystyle {tfrac {1}{2}Principalmente]$

cuando |z| > R.

Pruebas reales-analíticas

Incluso sin usar números complejos, es posible demostrar que un polinomio de valor real p(x): p(0) ≠ 0 de grado n > 2 siempre se puede dividir por algún polinomio cuadrático con coeficientes reales. En otras palabras, para algunos valores reales a y b, los coeficientes del resto lineal al dividir p(x) por x² − ax − b se convierten simultáneamente en cero.

${displaystyle p(x)=(x^{2}-ax-b)q(x)+x,R_{p(x)}(a,b)+S_{p(x)}(a,b),}$

donde q(x) es un polinomio de grado n − 2. Los coeficientes R_p(x)(a, b) y S_p(x)(a, b) son independientes de x y completamente definida por los coeficientes de p(x). En términos de representación, R_p(x)(a, b) y S_p(x)(a, b) son polinomios bivariados en a y b. Al estilo de la primera prueba (incompleta) de Gauss de este teorema de 1799, la clave es mostrar que para cualquier valor negativo suficientemente grande de b, todas las raíces de ambos R_p(x)(a, b) y S_p(x)(a, b) en la variable a tienen valores reales y se alternan entre sí (propiedad de entrelazamiento). Utilizando una cadena tipo Sturm que contiene R_p(x)(a, b) y S_p(x)(a, b) como términos consecutivos, el entrelazado en la variable a se puede mostrar para todos los pares consecutivos en la cadena siempre que b tenga suficiente gran valor negativo. Como S_p(a, b = 0) = p (0) no tiene raíces, entrelazando R_p(x)( a, b) y S_p(x)(a, b) en la variable a falla en b = 0. Se pueden aplicar argumentos topológicos en el entrelazado para mostrar que el lugar geométrico de las raíces de R_p(x)(a, b) y S_p(x)( a, b) deben intersecarse para algunos a y b de valor real < 0.

Pruebas analíticas complejas

Encuentra un disco cerrado D de radio r centrado en el origen tal que |p(z) | > |p(0)| siempre que |z| ≥ r. El mínimo de |p(z)| en D, que debe existir ya que D es compacto, por lo tanto se logra en algún punto z₀ en el interior de D, pero no en ningún punto de su límite. El principio del módulo máximo aplicado a 1/p(z) implica que p(z_{0< /sub>) = 0. En otras palabras, z0 es un cero de p(z).}

Una variación de esta prueba no requiere el principio del módulo máximo (de hecho, un argumento similar también proporciona una prueba del principio del módulo máximo para funciones holomorfas). Continuando desde antes de que se invocara el principio, si a:= p(z₀) ≠ 0, entonces, expandiendo p(z) en potencias de z − z₀, podemos escribir

${displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0}{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}}$

Aquí, el c_j son simplemente los coeficientes del polinomio z → p()z + z₀) después de la expansión, y k es el índice del primer coeficiente no cero después del término constante. Para z suficientemente cerca z₀ esta función tiene comportamiento asintotically similar to the simpler polinomial ${displaystyle q(z)=a+c_{k}(z-z_{0}{k}$. Más precisamente, la función

${displaystyle lefttención{frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0}{k+1}}}}justo M.$

para alguna constante positiva M en algún barrio z₀. Por lo tanto, si definimos ${displaystyle theta _{0}=(arg(a)+pi -arg(c_{k})/k}$ y dejar ${displaystyle z=z_{0}+re^{itheta - Sí.$ rastreando un círculo de radio r ## 0 around z, entonces para cualquier suficientemente pequeño r (para que el límite M sostiene), vemos que

${displaystyle {begin{aligned}Principe {fnMicrosoft Sans Serif} {leq}r^{k+1}left habit{frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}derecha\[4pt] {k} {k} {k} {k} {k}e^{i(arg(a)-arg(c_{k})}}justo para la vida+Mr^{k+1}[4pt]}}[4pt]}}}$

Cuando r está suficientemente cerca de 0, este límite superior para |p(z)| es estrictamente menor que |a|, contradiciendo la definición de z₀. Geométricamente, hemos encontrado una dirección explícita θ₀ tal que si uno se acerca a z₀ desde esa dirección puede obtener valores p(z) menor en valor absoluto que |p(z₀)|.

Se puede obtener otra prueba analítica en esta línea de pensamiento observando que, dado que |p(z)| > |p(0)| fuera de D, el mínimo de |p(z)| en todo el plano complejo se alcanza en z₀. Si |p(z₀)| > 0, entonces 1/p es una función holomorfa acotada en todo el plano complejo ya que, para cada número complejo z, |1/p(z)| ≤ |1/p(z₀)|. Aplicando el teorema de Liouville, que establece que una función entera acotada debe ser constante, esto implicaría que 1/p es constante y, por lo tanto, que p es constante. Esto genera una contradicción y, por lo tanto, p(z₀) = 0.

Otra prueba analítica más utiliza el principio del argumento. Sea R un número real positivo lo suficientemente grande como para que cada raíz de p(z) tenga un valor absoluto menor que R; tal número debe existir porque cada función polinomial no constante de grado n tiene como máximo n ceros. Para cada r > R, considera el número

${displaystyle {frac {1}{2pi i}int _{c(r)}{frac {p'(z)}{p(z)}},dz,}$

donde c(r) es el círculo con centro en 0 y radio r orientado en sentido antihorario; entonces el principio del argumento dice que este número es el número N de ceros de p(z) en la bola abierta centrada en 0 con radio < i>r, que, dado que r > R, es el número total de ceros de p(z). Por otro lado, la integral de n/z a lo largo de c(r) dividida por 2π i es igual a n. Pero la diferencia entre los dos números es

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicroc {c} {fn}} {fn} {fn}} {fnMicroc {fn} {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc}} {f}}} {f}}}} {f}}} {f}} {f} {f} {f} {f}} {f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKf} {f}f}f}f} {fnKf}f}f}fnKfnKfnKfnKf}fnKf}f}f}f}}fn$

El numerador de la expresión racional que se está integrando tiene un grado máximo n − 1 y el grado del denominador es n + 1. Por lo tanto, el número anterior tiende a 0 como r → +∞. Pero el número también es igual a N − n y entonces N = n.

Se puede dar otra prueba analítica compleja combinando el álgebra lineal con el teorema de Cauchy. Establecer que todo polinomio complejo de grado n > 0 tiene un cero, basta con mostrar que toda matriz cuadrada compleja de tamaño n > 0 tiene un valor propio (complejo). La prueba de la última afirmación es por contradicción.

Sea A una matriz cuadrada compleja de tamaño n > 0 y sea I_n la matriz unitaria del mismo tamaño. Suponga que A no tiene valores propios. Considere la función de resolución

${displaystyle R(z)=(zI_{n}-A)^{-1}$

que es una función meromórfica en el plano complejo con valores en el espacio vectorial de matrices. Los valores propios de A son precisamente los polos de R(z). Dado que, por suposición, A no tiene valores propios, la función R(z) es una función completa y el teorema de Cauchy implica que

${displaystyle int _{c(r)}R(z),dz=0.}$

Por otro lado, R(z) expandida como una serie geométrica da:

${displaystyle R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}sum ¿Qué?$

Esta fórmula es válida fuera del disco cerrado del radio ${displaystyle ToddAfnso}$ (la norma del operador A). Vamos ${displaystyle riéndose\fnMicrosoft Sans Serif}$ Entonces...

${displaystyle int _{c(r)}R(z)dz=sum _{k=0}{infty }int _{c(r)}{frac {dz}{z^{k+1}}A^{k}=2pi} II_{n}$

(en el que solo el sumando k = 0 tiene una integral distinta de cero). Esto es una contradicción, por lo que A tiene un valor propio.

Finalmente, el teorema de Rouché brinda quizás la prueba más corta del teorema.

Pruebas topológicas

Suponga que el mínimo de |p(z)| en todo el plano complejo se alcanza en z₀; se vio en la prueba que usa el teorema de Liouville que tal número debe existir. Podemos escribir p(z) como un polinomio en z − z₀: hay algún número natural k y hay algunos números complejos c_k, c_{k + 1},..., c_n tal que c_k ≠ 0 y:

${displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+cdots +c_{n}(z-z_{0}).$

Si p(z₀) es distinto de cero, se sigue que si a es un k^th raíz de −p(z₀)/c _k y si t es positivo y suficientemente pequeño, entonces |p(z_{0 + ta)| < |p(z0)|, lo cual es imposible, ya que |p(z0)| es el mínimo de |p| en D.}

Para otra prueba topológica por contradicción, suponga que el polinomio p(z) no tiene raíces y, por lo tanto, nunca es igual a 0. Piense en el polinomio como un mapa del plano complejo al plano complejo. Mapea cualquier círculo |z| = R en un bucle cerrado, una curva P(R). Consideraremos qué sucede con el número de vueltas de P(R) en los extremos cuando R es muy grande y cuando R = 0. Cuando R es un número suficientemente grande, entonces el término principal zⁿ de p (z) domina todos los demás términos combinados; en otras palabras,

${displaystyle left habitz^{n}right confianzaleft WordPressa_{n-1}z^{n-1}+cdots Buenas tardes.$

Cuando z atraviesa el círculo ${displaystyle Re^{itheta }$ una vez en contra de la aguja ${displaystyle (0leq theta leq 2pi),}$ entonces ${displaystyle z^{n}=R^{n}e^{intheta }$ vientos n tiempos contra reloj ${displaystyle (0leq theta leq 2pi n)}$ alrededor del origen (0,0), y P()R) igualmente. En el otro extremo, conztención = 0, la curva P(0) es simplemente el punto único p(0), que debe ser no cero porque p()zNunca es cero. Así p(0) debe ser distinto del origen (0,0), que denota 0 en el plano complejo. El número de vientos P(0) alrededor del origen (0,0) es así 0. Ahora cambiando R continuamente deformará el bucle continuamente. En algunos R el número de viento debe cambiar. Pero eso sólo puede suceder si la curva P()R) incluye el origen (0,0) para algunos R. Pero entonces para algunos z sobre ese círculozSilencioR tenemos p()z) = 0, contradiciendo nuestra suposición original. Por lo tanto, p()z) tiene al menos un cero.

Pruebas algebraicas

Estas demostraciones del Teorema fundamental del álgebra deben hacer uso de los siguientes dos hechos sobre números reales que no son algebraicos pero que requieren solo una pequeña cantidad de análisis (más precisamente, el teorema del valor intermedio en ambos casos):

• todo polinomio con un grado extraño y coeficientes reales tiene una verdadera raíz;
• cada número real no negativo tiene una raíz cuadrada.

El segundo hecho, junto con la fórmula cuadrática, implica el teorema para polinomios cuadráticos reales. En otras palabras, las pruebas algebraicas del teorema fundamental en realidad muestran que si R es cualquier campo real cerrado, entonces su extensión C = R(√−1) es algebraicamente cerrado.

Por inducción

Como se mencionó anteriormente, basta con verificar la declaración "todo polinomio no constante p(z) con coeficientes reales tiene una raíz compleja". Esta afirmación se puede demostrar por inducción sobre el mayor número entero no negativo k tal que 2^k divide el grado n de p(z). Sea a el coeficiente de zⁿ en p(z) y sea F sea un campo de división de p(z) sobre C; en otras palabras, el campo F contiene C y hay elementos z₁, z₂,..., z_n en F tal que

${displaystyle p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})cdots (z-z_{n}). }$

Si k = 0, entonces n es impar y, por lo tanto, p(z) tiene un valor real raíz. Ahora, suponga que n = 2^km (con m impar y k > 0) y que el teorema ya está demostrado cuando el grado del polinomio tiene la forma 2^{k − 1}m′ con m′ impar. Para un número real t, defina:

${displaystyle q_{t}(z)=prod _{1leq i madejleq n}left (z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}right).}$

Entonces los coeficientes de q_t(z) son polinomios simétricos en la z_i con coeficientes reales. Por lo tanto, se pueden expresar como polinomios con coeficientes reales en los polinomios simétricos elementales, es decir, en −a₁, a ₂,..., (−1)ⁿa_n. Entonces q_t(z) tiene de hecho coeficientes reales. Además, el grado de q_t(z) es n(n − 1)/2 = 2^k−1m(n − 1) y m(n − 1) es un número impar. Entonces, usando la hipótesis de inducción, q_t tiene al menos una raíz compleja; en otras palabras, z_i + z_j + tz_i z_j es complejo para dos elementos distintos i y j de {1,..., n}. Dado que hay más números reales que pares (i, j), se pueden encontrar distintos números reales t y s tal que z_i + z_j + tz_iz _j y z_i + z_j + sz_iz_j son complejos (por lo mismo i y j). Entonces, tanto z_i + z_j como z_iz _j son números complejos. Es fácil comprobar que todo número complejo tiene una raíz cuadrada compleja, por lo que todo polinomio complejo de grado 2 tiene una raíz compleja mediante la fórmula cuadrática. De ello se deduce que z_i y z_j son números complejos, ya que son raíces del polinomio cuadrático z² − (z_i + z_j) z + z_iz_j.

Joseph Shipman demostró en 2007 que la suposición de que los polinomios de grado impar tienen raíces es más fuerte de lo necesario; cualquier campo en el que los polinomios de grado primo tengan raíces es algebraicamente cerrado (por lo que 'impar' se puede reemplazar por 'primo impar' y esto es válido para campos de todas las características). Para la axiomatización de campos algebraicamente cerrados, esto es lo mejor posible, ya que hay contraejemplos si se excluye un solo primo. Sin embargo, estos contraejemplos se basan en que −1 tiene una raíz cuadrada. Si tomamos un campo donde −1 no tiene raíz cuadrada, y todo polinomio de grado n ∈ I tiene una raíz, donde I es cualquier conjunto infinito fijo de números impares, entonces cada polinomio f(x) de grado impar tiene una raíz (ya que (x² + 1)^kf(x) tiene una raíz, donde k se elige de modo que deg(f) + 2k ∈ I). Mohsen Aliabadi generalizó el resultado de Shipman en 2013, proporcionando una prueba independiente de que una condición suficiente para que un campo arbitrario (de cualquier característica) sea algebraicamente cerrado es que tenga una raíz para cada polinomio de primer grado.

De la teoría de Galois

Se puede dar otra prueba algebraica del teorema fundamental usando la teoría de Galois. Basta con mostrar que C no tiene una extensión de campo finito adecuada. Sea K/C una extensión finita. Dado que el cierre normal de K sobre R todavía tiene un grado finito sobre C (o R), podemos suponga sin pérdida de generalidad que K es una extensión normal de R (por lo tanto, es una extensión de Galois, ya que toda extensión algebraica de un campo de característica 0 es separable). Sea G el grupo de Galois de esta extensión, y sea H un 2-subgrupo de Sylow de G, de modo que el orden de H es una potencia de 2, y el índice de H en G es impar. Por el teorema fundamental de la teoría de Galois, existe una subextensión L de K/R tal que Gal(K /L) = H. Como [L:R] = [G:H] es impar, y no hay reales irreducibles no lineales polinomios de grado impar, debemos tener L = R, así [K:R] y [K:C] son potencias de 2. Asumiendo por vía de contradicción que [K:C] > 1, concluimos que el grupo de 2 Gal(K/C) contiene un subgrupo de índice 2, por lo que existe una subextensión M de C de grado 2. Sin embargo, C no tiene extensión de grado 2, porque todo polinomio complejo cuadrático tiene una raíz compleja, como se mencionó anteriormente. Esto muestra que [K:C] = 1, y por lo tanto K = C, lo que completa la demostración.

Pruebas geométricas

Existe todavía otra forma de abordar el teorema fundamental del álgebra, debida a J. M. Almira y A. Romero: mediante argumentos geométricos riemannianos. La idea principal aquí es probar que la existencia de un polinomio no constante p(z) sin ceros implica la existencia de una métrica riemanniana plana sobre la esfera S². Esto lleva a una contradicción ya que la esfera no es plana.

Se dice que una superficie riemanniana (M, g) es plana si su curvatura gaussiana, que denotamos por K_g, es idénticamente nulo. Ahora, el teorema de Gauss-Bonnet, cuando se aplica a la esfera S², afirma que

${displaystyle int _{mathbf {S} {c}K_{g}=4pi}$

lo que prueba que la esfera no es plana.

Supongamos ahora que n > 0 y

${displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+cdots +a_{n}z^{n}neq 0}$

para cada número complejo z. Definamos

${displaystyle p^{*}(z)=z^{n}pleft({tfrac {1}{z}right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+cdots - Sí.$

Obviamente, p*(z) ≠ 0 para todos los z en C. Considere el polinomio f(z) = p(z)p*(z). Entonces f(z) ≠ 0 para cada z en C. Además,

${displaystyle f({tfrac {1}{w}})=pleft({tfrac {1}{}{}}}right)p^{*}left({tfrac {1}{}right)=w^{-2n}p}(w)p(w)=w^{-2n}f(w). }$

Podemos usar esta ecuación funcional para probar que g, dada por

${displaystyle g={frac {1}{f {f}}}fnfnfn}}, turbando la vida.$

para w en C, y

${displaystyle g={frac {1}{}{}}derecho)derechaurdo {2} {fn} {fn}}fnfn}fnfnfnh}lnfncccH00cfn} {1} {}derecha)derecha$

para w ∈ S²{0}, es una métrica riemanniana bien definida sobre la esfera S² (que identificamos con el plano complejo extendido C ∪ {∞}).

Ahora, un simple cálculo muestra que

${displaystyle forall win mathbf {C}:qquad {frac {1}{f(w) {1} {fn}K_{g}={frac} {1}{n}Delta log Silenciof(w) {1}{n}Delta {text{Re}(log f(w)=0,}$

ya que la parte real de una función analítica es armónica. Esto prueba que K_g = 0.

Corolarios

Dado que el teorema fundamental del álgebra puede verse como la afirmación de que el campo de números complejos es algebraicamente cerrado, se sigue que cualquier teorema relacionado con campos algebraicamente cerrados se aplica al campo de números complejos. Aquí hay algunas consecuencias más del teorema, que son sobre el campo de los números reales o la relación entre el campo de los números reales y el campo de los números complejos:

• El campo de números complejos es el cierre algebraico del campo de números reales.
• Cada polinomio en una variable z con coeficientes complejos es el producto de una constante compleja y polinomios de la forma z+a con a complejo.
• Cada polinomio en una variable x con coeficientes reales se puede escribir únicamente como el producto de una constante, polinomios de la forma x+a con a real, y polinomios de la forma x²+ax+b con a y b reales y a²− 4b0 (que es lo mismo que decir que el polinomio x²+ax+b no tiene raíces reales). (Por el teorema Abel-Ruffini, los números reales a y b no son necesariamente expresibles en términos de los coeficientes del polinomio, las operaciones aritméticas básicas y la extracción de n- las raíces.) Esto implica que el número de raíces complejas no reales es siempre uniforme y permanece incluso cuando se cuenta con su multiplicidad.
• Cada función racional en una variable x, con coeficientes reales, se puede escribir como la suma de una función polinomio con funciones racionales de la forma a/(x−b)ⁿ (donde) n es un número natural, y a y b son números reales), y las funciones racionales de la forma (ax+b)/(x²+cx+d)ⁿ (donde) n es un número natural, y a, b, c, y d son números reales tales que c²− 4d0). Un corolario de esto es que cada función racional en un coeficiente variable y real tiene un primitivo elemental.
• Cada extensión algebraica del campo real es isomorfa ya sea al campo real o al campo complejo.

Límites en los ceros de un polinomio

Mientras que el teorema fundamental del álgebra establece un resultado de existencia general, es de algún interés, tanto desde el punto de vista teórico como desde el punto de vista práctico, tener información sobre la ubicación de los ceros de un polinomio dado. El resultado más simple en esta dirección es un atado en el módulo: todos los ceros de un polinomio monico ${displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+cdots #$ satisfacción de la desigualdad ¦ R_JUEGO, donde

${displaystyle R_{infty }:=1+max{a_{0}Sobrevivir,ldots habita_{n-1}$

Observe que, como se ha dicho, esto no es todavía un resultado de la existencia sino un ejemplo de lo que se llama un aprieto a priori: dice que si hay soluciones entonces se encuentran dentro del disco cerrado del centro el origen y el radio R_JUEGO. Sin embargo, una vez junto con el teorema fundamental del álgebra dice que el disco contiene de hecho al menos una solución. Más generalmente, un límite se puede dar directamente en términos de cualquier p-norm del n-vector de coeficientes ${displaystyle a:=(a_{0},a_{1},ldotsa_{n-1}),}$ que es Ø R_p, donde R_p es precisamente el q-norma del 2-vector ${displaystyle (1,fncipafnh00}),}$ q ser el exponente conyugal de p, ${fnMicroc} {1}{}+{tfrac {1}=1,}$ para cualquier 1 ≤ p ≤ ∞. Por lo tanto, el módulo de cualquier solución también está obligado por

${displaystyle ¿Qué?$

${displaystyle R_{p}:=left[1+left(sum _{0leq k maden} arresta_{k}Sobrevivir^{p}right)^{frac {fnK} {fnMicroc} {fnK}} {fnMicroc} {f}} {f} {f} {f}} {f}} {f}}} {f}} {fnK}}}} {f}}}} {f} {f}f}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f}} {f} {f}}}}}}$

para 1 < p < ∞, y en particular

${displaystyle R_{2}:={sqrt {sum _{0leq kleq - No.$

(donde definimos a_n como 1, lo cual es razonable ya que 1 es de hecho el n-ésimo coeficiente de nuestro polinomio). El caso de un polinomio genérico de grado n,

${displaystyle P(z):=a_{n}+a_{n-1}z^{n-1}+cdots +a_{1}z+a_{0}$

es por supuesto reducido al caso de un monic, dividiendo todos los coeficientes por a_n También, en caso de que 0 no sea una raíz, es decir. a₀ √ 0, límites desde abajo en las raíces неле seguido inmediatamente como límites desde arriba ${displaystyle {tfrac {1}{eta} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnKf}} }$, es decir, las raíces de

${displaystyle a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+cdots +a_{n-1}z+a_{n}$

Finalmente, la distancia ${displaystyle Silenciozeta -zeta - Hola.$ desde las raíces ${displaystyle zeta ¿Qué?$ puede ser estimado desde abajo y arriba, viendo ${displaystyle zeta -zeta ¿Qué?$ como ceros del polinomio ${displaystyle P(z+zeta - Sí.$, cuyos coeficientes son la expansión de Taylor P()z) at ${displaystyle z=zeta _{0}$

Sea ζ una raíz del polinomio

${displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+cdots +a_{1}z+a_{0}$

para demostrar la desigualdad |ζ| ≤ R_p podemos suponer, por supuesto, |ζ| > 1. Escribiendo la ecuación como

${displaystyle -zeta ^{n}=a_{n-1}zeta ^{n-1}+cdots +a_{1}zeta #$

y usando la desigualdad de Hölder encontramos

${displaystyle Silenciozeta "Perfecto" ^{n-1},ldotszeta1right)right remain_{q}$

Ahora, si p = 1, esto es

${displaystyle Silenciozeta "Principada" Silencio. Silencio, 1right}= 'Principalidad'$

así

${fnMicrosoft Sans Serif}$

En el caso 1 < p ≤ ∞, teniendo en cuenta la fórmula de sumatoria para una progresión geométrica, tenemos

${displaystyle Silenciozeta "Principal"cdots + 'cdots + sobrevivirzeta ^{q}+1right)^{frac {1}{q}=fn}{p}p}left({frac {fcfn}{fn} {fn}}{fn}}zeta ¿Qué? {1}{q}leq {fnK}{fn}{fn}{fn}{fn}{fn}{zeta ¿Qué?$

así

${displaystyle Silenciozeta 'Principio' {zeta }{qn}{fn}{fn} {fnh}} {fnh}} {fn}} {fnfn}}.$

y simplificando,

${displaystyle Silenciozeta 1+ turba turbada.$

Por lo tanto

${fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}$

se cumple, para todo 1 ≤ p ≤ ∞.