Teorema fundamental de la geometría de Riemann

En el campo matemático de la geometría de Riemann, el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que en cualquier variedad de Riemann (o variedad pseudo-riemanniana) existe una conexión afín única, libre de torsión y métrica. -compatible, llamada conexión Levi-Civita o (pseudo-)conexión Riemann de la métrica dada. Debido a que está definida canónicamente por tales propiedades, a menudo esta conexión se usa automáticamente cuando se le proporciona una métrica.

Enunciado del teorema

Teorema fundamental de la geometría Riemanniana. Vamos. ()M, g) ser un manifold Riemanniano (o pseudo-Manifold Riemanniano). Entonces hay una conexión única Silencio que satisface las siguientes condiciones:

• para cualquier campo vectorial X, Y, y Z tenemos
  $${\displaystyle X{\big (}g(Y,Z){\big)}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),}$$

  
  Donde X()g()Y, Z) denota el derivado de la función g()Y, Z) en el campo vectorial X.
• para cualquier campo vectorial X, Y,
  $${\displaystyle \nabla - Sí.$$

  
  Donde [X, Y] denota el corchete Lie de X y Y.

La primera condición se llama métrica-compatibilidad de Silencio. Puede ser expresado equivalentemente diciendo que, dada cualquier curva en M, el producto interior de cada dos Silencio– campos vectoriales paralelos a lo largo de la curva es constante. También puede ser equivalentemente citado como decir que el tensor métrico se conserva por transporte paralelo, es decir que la métrica es paralela al considerar la extensión natural de Silencio para actuar en (0,2) campos de gran tamaño: Silenciog = 0. Es además equivalente a exigir que la conexión sea inducida por una conexión principal del paquete de marco ortonormal.

La segunda condición a veces se llama simetría de ∇. Expresa la condición de que la torsión de ∇ sea cero y, como tal, también se denomina libre de torsión. Hay caracterizaciones alternativas.

Una extensión del teorema fundamental establece que dada una variedad pseudo-riemanniana hay una conexión única que preserva el tensor métrico, con cualquier forma 2 con valor vectorial dada como su torsión. La diferencia entre una conexión arbitraria (con torsión) y la correspondiente conexión de Levi-Civita es el tensor de contorsión.

El teorema fundamental afirma tanto la existencia como la singularidad de una determinada conexión, que se llama el Levi-Civita conexión o (pseudo-)Riemannian connection. Sin embargo, el resultado de la existencia es extremadamente directo, ya que la conexión en cuestión puede ser definida explícitamente por cualquiera de los segunda identidad Christoffel o fórmula Koszul como se obtiene en las pruebas siguientes. Esta definición explícita expresa la conexión Levi-Civita en términos de la métrica y sus primeros derivados. Como tal, si la métrica es k-tiempos continuamente diferenciables, entonces la conexión Levi-Civita es ()k −1)-tiempos continuamente diferenciables.

La conexión Levi-Civita también se puede caracterizar de otras maneras, por ejemplo, a través de la variación Palatini de la acción de Einstein-Hilbert.

Demostración del teorema

La demostración del teorema se puede presentar de varias maneras. Aquí la prueba se da primero en el lenguaje de coordenadas y símbolos de Christoffel, y luego en el lenguaje libre de coordenadas de derivadas covariantes. Independientemente de la presentación, la idea es utilizar las condiciones de compatibilidad métrica y de libertad de torsión para obtener una fórmula directa para cualquier conexión que sea compatible con el sistema métrico y libre de torsión. Esto establece la afirmación de unicidad en el teorema fundamental. Para establecer la afirmación de existencia, se debe comprobar directamente que la fórmula obtenida define una conexión como se desea.

Coordenadas locales

Aquí se utilizará la convención de suma de Einstein, es decir, un índice repetido como subíndice y superíndice se suma para todos los valores. Sea m la dimensión de M< /lapso>. Recuerde que, en relación con un gráfico local, una conexión viene dada por m³ funciones suaves

$${\displaystyle \left\{\Gamma _{ij}}\derecha}$$

$${\displaystyle (\nabla _{X}Y)}=X^{j}\partial - Sí. ¿Qué?$$

$${\displaystyle 0=X^{j}Y^{k} Gamma ¿Qué? Gamma _{kj} {i}),}$$

$${\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=\Gamma ¿Qué? Gamma ¿Qué?$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ##{i}g_{jl}+\partial {}g_{il}-\partial # {l}g_{ij} {\left} ¿Por qué? ¿Por qué? Gamma _{ji} {p}g_{pl}+\Gamma ¿Por qué? ¿Por qué? Gamma ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${\displaystyle \Gamma - ¿Qué? {1}{2}g^{kl}\left(\partial) ##{i}g_{jl}+\partial ¿Por qué?$$

Formulación invariante

La prueba anterior también se puede expresar en términos de campos vectoriales. La libertad de torsión se refiere a la condición de que

$${\displaystyle \nabla - Sí.$$

$${\displaystyle X\left(g(Y,Z)\right)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),}$$

$$¿Por qué? _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla) ¿Por qué?$$

$${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\left(g(Y,Z)\right)+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)-g([Y,X],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X}).$$