Teorema fundamental de la aritmética

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Los enteros tienen factorizaciones primarias únicas

In Disquisición Arithmeticae (1801) Gauss demostró el teorema de factorización único y lo usó para probar la ley de la reciprocidad cuadrática.

En matemáticas, el teorema fundamental de la aritmética, también llamado teorema de factorización única y teorema de factorización prima, establece que todo número entero mayor que El 1 se puede representar de forma única como un producto de números primos, hasta el orden de los factores. Por ejemplo,

{displaystyle 1200=2^{4}cdot 3^{1}cdot 5^{2}=(2cdot 2cdot 2cdot 2)cdot 3cdot (5cdot 5)=5cdot 2cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2cdot 2=ldots }

El teorema dice dos cosas sobre este ejemplo: primero, que 1200 puede representarse como un producto de números primos, y segundo, que no importa cómo se haga, siempre habrá exactamente cuatro 2, un 3, dos 5 y ningún otro primo en el producto.

El requisito de que los factores sean primordiales es necesario: las factorizaciones que contienen números compuestos pueden no ser únicas (por ejemplo, ${displaystyle 12=2cdot 6=3cdot 4}$ ).

Este teorema es una de las principales razones por las que 1 no se considera un número primo: si 1 fuera primo, entonces la factorización en los primeros no sería único; por ejemplo, ${displaystyle 2=2cdot 1=2cdot 1cdot 1=ldots }$

Este teorema se generaliza a otras estructuras algebraicas, en particular a anillos polinómicos sobre un campo. Estas estructuras se denominan dominios de factorización única.

Versión original de Euclides

El Libro VII, proposiciones 30, 31 y 32, y el Libro IX, proposición 14 de los Elementos de Euclides son esencialmente el enunciado y la prueba del teorema fundamental.

Si dos números se multiplican unos a otros hacen algunos número, y cualquier número primo mide el producto, se también mide uno de los números originales.
—Euclides, Elementos Libro VII, Proposición 30

(En terminología moderna: si un primo p divide el producto ab, entonces p divide a a o b o ambos.) La Proposición 30 se conoce como el lema de Euclides, y es la clave en la demostración del teorema fundamental de la aritmética.

Cualquier número compuesto se mide por un número primo.
—Euclides, Elementos Libro VII, Proposición 31

(En la terminología moderna: todo número entero mayor que uno se divide por igual entre algún número primo). La Proposición 31 se demuestra directamente por descenso infinito.

Cualquier número es primo o se mide por algún número primo.
—Euclides, Elementos Libro VII, Proposición 32

La proposición 32 se deriva de la proposición 31 y prueba que la descomposición es posible.

Si un número es el menor que se mide por números primos, no será medido por ninguno otro número primo excepto los que lo midieron originalmente.
—Euclides, Elementos Libro IX, Proposición 14

(En la terminología moderna: un mínimo común múltiplo de varios números primos no es un múltiplo de ningún otro número primo). La proposición 14 del Libro IX se deriva de la proposición 30 del Libro VII y prueba parcialmente que la descomposición es única: un punto señalado críticamente por André Weil. De hecho, en esta proposición los exponentes son todos iguales a uno, por lo que no se dice nada para el caso general.

El artículo 16 de Gauss' Disquisitiones Arithmeticae es una declaración y prueba moderna temprana que emplea aritmética modular.

Aplicaciones

Representación canónica de un entero positivo

Todo entero positivo $n > 1$ se puede representar exactamente de una manera como un producto de potencias primarias

{displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}cdots p_{k}^{n_{k}}=prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}},}

donde $p 1 < p 2 <... < p k$ son primos y los $n i$ son números enteros positivos. Esta representación se extiende comúnmente a todos los números enteros positivos, incluido el 1, por la convención de que el producto vacío es igual a 1 (el producto vacío corresponde a $k = 0).$

Esta representación se denomina representación canónica de $n$ , o la forma estándar de n. Por ejemplo,

999 = 3³× 37,

1000 = 2³× 5³,

1001 = 7×11×13.

Los factores $p 0 = 1$ se pueden insertar sin cambiar el valor de $n$ (por ejemplo, $1000 = 2 3 \times3 0 \times5 3$ ). De hecho, cualquier número entero positivo se puede representar de forma única como un producto infinito de todos los números primos positivos, como

{displaystyle n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}cdots =prod _{i=1}^{infty }p_{i}^{n_{i}},}

donde un número finito de $n i$ son números enteros positivos, y el otros son cero.

Permitir exponentes negativos proporciona una forma canónica para números racionales positivos.

Operaciones aritméticas

Las representaciones canónicas del producto, máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de dos números a y b se pueden expresar simplemente en términos de las representaciones canónicas de a y b mismas:

{displaystyle {begin{alignedat}{2}acdot b&=2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}cdots &&=prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},\gcd(a,b)&=2^{min(a_{1},b_{1})}3^{min(a_{2},b_{2})}5^{min(a_{3},b_{3})}7^{min(a_{4},b_{4})}cdots &&=prod p_{i}^{min(a_{i},b_{i})},\operatorname {lcm} (a,b)&=2^{max(a_{1},b_{1})}3^{max(a_{2},b_{2})}5^{max(a_{3},b_{3})}7^{max(a_{4},b_{4})}cdots &&=prod p_{i}^{max(a_{i},b_{i})}.end{alignedat}}}

Sin embargo, la factorización de enteros, especialmente de números grandes, es mucho más difícil que los productos informáticos, GCD o LCM. Por lo tanto, estas fórmulas tienen un uso limitado en la práctica.

Funciones aritméticas

Muchas funciones aritméticas se definen mediante la representación canónica. En particular, los valores de las funciones aditivas y multiplicativas están determinados por sus valores en las potencias de los números primos.

Prueba

La prueba utiliza el lema de Euclides (Elementos VII, 30): si un número primo divide el producto de dos números enteros, entonces debe dividir al menos uno de estos números enteros.

Existencia

Debe demostrarse que todo número entero mayor que $1$ es primo o producto de números primos. Primero, $2$ es primo. Luego, por inducción fuerte, asuma que esto es cierto para todos los números mayores que $1$ y menores que $n$ . Si $n$ es primo, no hay nada más que probar. De lo contrario, hay números enteros $a$ y $b$ , donde $n = a b$ , y $1 < a \leq b < n$ . Por la hipótesis de inducción, $a = p 1 p 2 \cdot\cdot\cdot p j$ y $b = q 1 q 2 \cdot\cdot\cdot q k$ son productos de números primos. Pero entonces $n = a b = p 1 p 2 \cdot\cdot\cdot p j q 1 q 2 \cdot\cdot\cdot q k$ es un producto de números primos.

Singularidad

Supongamos, por el contrario, que hay un número entero que tiene dos factores primos distintos. Sea $n$ el menor número entero y escriba $n = p 1 p 2 ... p j = q 1 q 2 ... q k$ , donde cada $p i$ y $q i$ es primo. Vemos que $p 1$ divide a $q 1 q 2 ... q k$ , entonces $p 1$ divide algo de $q i$ por el lema de Euclides. Sin pérdida de generalidad, digamos que $p 1$ divide a $q 1$ . Desde $p 1$ y $q 1$ son ambos primos, se sigue que $p 1 = q 1 . Volviendo a nuestras factorizaciones de n, podemos cancelar estos dos factores para concluir que p 2 ... p j = q 2 ... q k . Ahora tenemos dos factores primos distintos de algún número entero estrictamente más pequeño que n, lo que contradice la minimalidad de n .$

Singularidad sin el lema de Euclides

El teorema fundamental de la aritmética también se puede probar sin usar el lema de Euclides. La prueba que sigue está inspirada en la versión original de Euclides del algoritmo euclidiano.

Supongamos que $s$ es el entero positivo más pequeño que es el producto de números primos de dos maneras diferentes. Por cierto, esto implica que $s$ , si existe, debe ser un número compuesto mayor que $1$ . Ahora, di

{begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}cdots p_{m}\&=q_{1}q_{2}cdots q_{n}.end{aligned}}

Cada uno $p_{i}$ debe ser diferente de cada ${displaystyle q_{j}.}$ De lo contrario, si dices ${displaystyle p_{i}=q_{j},}$ entonces existiría algún entero positivo ${displaystyle t=s/p_{i}=s/q_{j}}$ que es más pequeño que $s$ y tiene dos factores principales diferentes. También se puede suponer que $<math alttext="{displaystyle p_{1}p1.q1,{displaystyle ¿Qué?<img alt="{displaystyle p_{1}$ intercambiando las dos factorizaciones, si es necesario.

Ajuste ${displaystyle P=p_{2}cdots p_{m}}$ y ${displaystyle Q=q_{2}cdots q_{n},}$ uno tiene ${displaystyle s=p_{1}P=q_{1}Q.}$ También, desde $<math alttext="{displaystyle p_{1}p1.q1,{displaystyle ¿Qué?<img alt="{displaystyle p_{1}$ uno tiene $<math alttext="{displaystyle Q$

Q.P.{displaystyle P:<img alt="{displaystyle Q

A continuación, sigue que

<math alttext="{displaystyle s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1})Q=p_{1}(P-Q)s− − p1Q=()q1− − p1)Q=p1()P− − Q).s.{displaystyle s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1}) Q=p_{1}(P-Q) se oye.}<img alt="{displaystyle s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1})Q=p_{1}(P-Q)

Como los enteros positivos menos que $s$ se supone que tienen una factorización principal única, $p_{1}$ debe ocurrir en la factorización de cualquiera ${displaystyle q_{1}-p_{1}}$ o $Q$ . Este último caso es imposible, como $Q$ , ser más pequeño que $s$ , debe tener una factorización principal única, y $p_{1}$ difiere de cada ${displaystyle q_{j}.}$ El caso anterior también es imposible, como, si $p_{1}$ es un divisor de ${displaystyle q_{1}-p_{1},}$ debe ser también un divisor de ${displaystyle q_{1},}$ que es imposible $p_{1}$ y $q_{1}$ son principios distintos.

Por lo tanto, no puede existir un entero más pequeño con más de una única factorización principal diferenciada. Cada entero positivo debe ser un número primario en sí mismo, que sería un factor único, o un compuesto que también factores únicos en los primeros, o en el caso del entero $1$ , no factor en ningún principio.

Generalizaciones

La primera generalización del teorema se encuentra en la segunda monografía de Gauss (1832) sobre la reciprocidad biquadratica. Este artículo introdujo lo que ahora se llama el anillo de los enteros gausianos, el conjunto de todos los números complejos a + bi Donde a y b son enteros. Ahora está denotado $mathbb {Z} [i].$ Él mostró que este anillo tiene las cuatro unidades ±1 y ±i, que los números no cero, no-unidad caen en dos clases, primos y compuestos, y que (excepto para el orden), los compuestos tienen la factorización única como producto de primos.

Del mismo modo, en 1844 mientras trabajaba en reciprocidad cúbica, Eisenstein introdujo el anillo $mathbb {Z} [omega ]$ , donde $omega ={frac {-1+{sqrt {-3}}}{2}},$ $omega ^{3}=1$ es una raíz cubo de la unidad. Este es el anillo de los enteros de Eisenstein, y demostró que tiene las seis unidades $pm 1,pm omegapm omega ^{2}$ y que tiene una factorización única.

~~Sin embargo, también se descubrió que la factorización única no siempre sostiene. Un ejemplo es dado por $mathbb {Z} [{sqrt {-5}}]$ . En este anillo uno tiene~~

~~${displaystyle 6=2cdot 3=(1+{sqrt {-5}})(1-{sqrt {-5}}).}$~~

Ejemplos como este provocaron que se modificara la noción de "prime". In $mathbb {Z} [{sqrt {-5}}]$ puede probarse que si alguno de los factores anteriores pueden ser representados como un producto, por ejemplo, 2 = ab, entonces uno de a o b Debe ser una unidad. Esta es la definición tradicional de "prime". También puede probarse que ninguno de estos factores obedece la lema de Euclides; por ejemplo, 2 no divide ninguno (1 + √; 5 -) ni (1 − √; 5 -) aunque divide su producto 6. En la teoría del número algebraico 2 se llama irreducible en $mathbb {Z} [{sqrt {-5}}]$ (sólo divisible por sí mismo o por una unidad) pero no en primer lugar $mathbb {Z} [{sqrt {-5}}]$ (si divide un producto debe dividir uno de los factores). La mención de $mathbb {Z} [{sqrt {-5}}]$ se requiere porque 2 es primo e irreducible en $mathbb {Z}.$ Utilizando estas definiciones se puede probar que en cualquier dominio integral un principio debe ser irreducible. El lema clásico de Euclid puede ser reformulado como "en el anillo de los enteros $mathbb {Z}$ todo irreducible es primo". Esto también es cierto en $mathbb {Z} [i]$ y $mathbb {Z} [omega ],$ pero no en $mathbb {Z} [{sqrt {-5}}].$

Los anillos en los que la factorización en irreducibles es esencialmente única se denominan dominios de factorización únicos. Ejemplos importantes son los anillos de polinomios sobre los enteros o sobre un campo, los dominios euclidianos y los dominios ideales principales.

En 1843, Kummer introdujo el concepto de número ideal, que Dedekind (1876) desarrolló aún más en la teoría moderna de ideales, subconjuntos especiales de anillos. La multiplicación se define para ideales, y los anillos en los que tienen factorización única se denominan dominios de Dedekind.

~~Existe una versión de factorización única para ordinales, aunque requiere algunas condiciones adicionales para garantizar la unicidad.~~

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