Teorema espectral

En matemáticas, particularmente en álgebra lineal y análisis funcional, un teorema espectral es un resultado sobre cuándo un operador lineal o una matriz pueden diagonalizarse (es decir, representarse como una matriz diagonal de alguna manera). Esto es extremadamente útil porque los cálculos que involucran una matriz diagonalizable a menudo se pueden reducir a cálculos mucho más simples que involucran la matriz diagonal correspondiente. El concepto de diagonalización es relativamente sencillo para operadores en espacios vectoriales de dimensión finita, pero requiere algunas modificaciones para operadores en espacios de dimensión infinita. En general, el teorema espectral identifica una clase de operadores lineales que pueden ser modelados por operadores de multiplicación, que son tan simples como uno puede esperar encontrar. En un lenguaje más abstracto, el teorema espectral es un enunciado sobre C*-álgebras conmutativas. Ver también teoría espectral para una perspectiva histórica.

Ejemplos de operadores a los que se aplica el teorema espectral son los operadores autoadjuntos o, más generalmente, los operadores normales en los espacios de Hilbert.

El teorema espectral también proporciona una descomposición canónica, denominada descomposición espectral, del espacio vectorial subyacente sobre el que actúa el operador.

Augustin-Louis Cauchy demostró el teorema espectral para matrices simétricas, es decir, que toda matriz simétrica real es diagonalizable. Además, Cauchy fue el primero en ser sistemático sobre los determinantes. El teorema espectral generalizado por John von Neumann es hoy quizás el resultado más importante de la teoría de operadores.

Este artículo se centra principalmente en el tipo más simple de teorema espectral, el de un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert. Sin embargo, como se señaló anteriormente, el teorema espectral también se cumple para operadores normales en un espacio de Hilbert.

Caso de dimensión finita

Mapas hermitianos y matrices hermitianas

Comenzamos considerando una matriz hermitiana en ${displaystyle mathbb {C} {n}}$ (pero la siguiente discusión será adaptable al caso más restrictivo de matrices simétricas en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$). Consideramos un mapa de Hermitian A en un espacio interior complejo-dimensional V dotado con un producto interno sesquilineal positivo ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$. La condición de Hermitian ${displaystyle A}$ significa que para todos x, Sí. ▪ V,

${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,Ayrangle.}$

Una condición equivalente es que A^* = A, donde A^* es el conjugado hermitiano de A. En el caso de que A se identifique con una matriz hermitiana, la matriz de A ^* se puede identificar con su transpuesta conjugada. (Si A es una matriz real, esto es equivalente a A^T = A, es decir, A es una matriz simétrica).

Esta condición implica que todos los valores propios de un mapa hermitiano son reales: basta con aplicarla al caso cuando x = y es un vector propio. (Recuerde que un vector propio de un mapa lineal A es un vector (distinto de cero) x tal que Ax = λx para algún escalar < i>λ. El valor λ es el valor propio correspondiente. Además, los valores propios son raíces del polinomio característico.)

Teorema. Si A es hermítica en V, entonces existe una ortonormal base de V que consta de vectores propios de A. Cada valor propio es real.

Proporcionamos un bosquejo de una prueba para el caso donde el campo subyacente de escalares son los números complejos.

Por el teorema fundamental del álgebra, aplicado al polinomio característico de A, existe al menos un valor propio λ₁ y vector propio e₁. Entonces desde

${displaystyle lambda ♪♪ e_{1},e_{1}rangle =langle A(e_{1}),e_{1}rangle =langle e_{1},A(e_{1})rangle ={bar {lambda ♪♪♪♪♪ E_{1},e_{1}rangle}$

encontramos que λ₁ es real. Ahora considere el espacio K = span{e₁}^⊥, el complemento ortogonal de e₁. Por hermiticidad, K es un subespacio invariante de A. La aplicación del mismo argumento a K muestra que A tiene un vector propio e₂ ∈ K. La inducción finita luego termina la prueba.

El teorema espectral también se cumple para mapas simétricos en espacios de productos internos reales de dimensión finita, pero la existencia de un vector propio no se sigue inmediatamente del teorema fundamental del álgebra. Para probar esto, considere A como una matriz hermitiana y use el hecho de que todos los valores propios de una matriz hermitiana son reales.

La representación matricial de A en una base de vectores propios es diagonal, y por la construcción la prueba da una base de vectores propios mutuamente ortogonales; eligiéndolos como vectores unitarios se obtiene una base ortonormal de vectores propios. A se puede escribir como una combinación lineal de proyecciones ortogonales por pares, denominada descomposición espectral. Dejar

${displaystyle V_{lambda }={vin V:Av=lambda v}$

sea el espacio propio correspondiente a un valor propio λ. Tenga en cuenta que la definición no depende de ninguna elección de vectores propios específicos. V es la suma directa ortogonal de los espacios V _λ donde el índice oscila sobre los valores propios.

En otras palabras, si P_λ denota la proyección ortogonal sobre V_λ, y λ₁,..., λ_m son los valores propios de A, entonces la descomposición espectral se puede escribir como

${displaystyle A=lambda _{1}P_{lambda ####cdots +lambda ¿Qué? - Sí.$

Si la descomposición espectral A es ${displaystyle A=lambda - ¿Qué? +lambda _{m} P_{m}$, entonces ${displaystyle A^{2}=(lambda ¿Por qué?$ y ${displaystyle mu A=mulambda _{1}P_{1}+cdots +mu lambda _{m} P_{m}$ para cualquier escalar ${displaystyle mu.}$ De ello se desprende que para cualquier polinomio f uno tiene

${displaystyle f(A)=f(lambda ¿Por qué? _{m}) P_{m}$

La descomposición espectral es un caso especial tanto de la descomposición de Schur como de la descomposición en valores singulares.

Matrices normales

El teorema espectral se extiende a una clase más general de matrices. Sea A un operador en un espacio de producto interno de dimensión finita. Se dice que A es normal si A^* A = AA^*. Se puede demostrar que A es normal si y solo si es unitariamente diagonalizable. Prueba: Por la descomposición de Schur, podemos escribir cualquier matriz como A = UTU^*, donde U es unitario y T es triangular superior. Si A es normal, entonces se ve que TT^{* = T*T}. Por lo tanto, T debe ser diagonal ya que una matriz triangular superior normal es diagonal (ver matriz normal). Lo contrario es obvio.

En otras palabras, A es normal si y solo si existe una matriz unitaria U tal que

${displaystyle A=UDU^{*},}$

donde D es una matriz diagonal. Entonces, las entradas de la diagonal de D son los valores propios de A. Los vectores columna de U son los vectores propios de A y son ortonormales. A diferencia del caso Hermitian, las entradas de D no necesitan ser reales.

Operadores autoadjuntos compactos

En el entorno más general de los espacios de Hilbert, que pueden tener una dimensión infinita, el enunciado del teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos es prácticamente el mismo que en el caso de dimensión finita.

Teorema. Supongamos que A es un operador autoadjunto compacto en un espacio de Hilbert (real o complejo) V. Entonces existe una base ortonormal de V que consta de vectores propios de A. Cada valor propio es real.

En cuanto a las matrices hermitianas, el punto clave es demostrar la existencia de al menos un vector propio distinto de cero. No se puede confiar en los determinantes para mostrar la existencia de valores propios, pero se puede usar un argumento de maximización análogo a la caracterización variacional de los valores propios.

Si se elimina la suposición de compacidad, entonces no es cierto que todo operador autoadjunto tiene vectores propios.

Operadores autoadjuntos acotados

Posible ausencia de vectores propios

La siguiente generalización que consideramos es la de operadores auto-adjuntos consolidados en un espacio Hilbert. Tales operadores pueden no tener eigenvalues: por ejemplo A ser el operador de la multiplicación por t on ${displaystyle L^{2}([0,1]}$, es decir,

${displaystyle [Avarphi ](t)=tvarphi (t).;}$

Este operador no tiene ningún eigenvector dentro ${displaystyle L^{2}([0,1]}$, aunque tiene eigenvectores en un espacio más grande. Nombre de la distribución ${displaystyle varphi (t)=delta (t-t_{0}}$, donde ${displaystyle delta }$ es la función Dirac delta, es un eigenvector cuando se interpreta en un sentido apropiado. La función Dirac delta no es, sin embargo, una función en el sentido clásico y no se encuentra en el espacio Hilbert L²[0, 1] o cualquier otro espacio de Banach. Así, las funciones delta son "eigenvectores generalizados" de ${displaystyle A}$ pero no eigenvectores en el sentido habitual.

Subespacios espectrales y medidas con valor de proyección

En ausencia de (verdad) eigenvectores, uno puede buscar subespacios consistentes en casi eigenvectores. En el ejemplo anterior, por ejemplo, donde ${displaystyle [Avarphi ](t)=tvarphi (t),;}$ podríamos considerar el subespacio de funciones soportadas en un pequeño intervalo ${displaystyle [a,a+varepsilon]$ dentro ${displaystyle [0,1]}$. Este espacio es invariable bajo ${displaystyle A}$ y para cualquier ${displaystyle varphi }$ en este subespacio, ${displaystyle Avarphi }$ es muy cercano ${displaystyle avarphi }$. En este enfoque del teorema espectral, si ${displaystyle A}$ es un operador auto-adjunto vinculado, entonces uno busca grandes familias de tales "subespaciales espectro". Cada subespacio, a su vez, está codificado por el operador de proyección asociado, y la colección de todos los subespacios es entonces representada por una medida de valor de proyección.

Una formulación del teorema espectral expresa el operador A como parte integral de la función de coordinación sobre el espectro del operador ${displaystyle sigma (A)}$ con respecto a una medida de valor de proyección.

${displaystyle A=int _{sigma (A)}lambda ,dE_{lambda }$

Cuando el operador autoadjunto en cuestión es compacto, esta versión del teorema espectral se reduce a algo similar al teorema espectral de dimensión finita anterior, excepto que el operador se expresa como una combinación lineal finita o numerable infinita de proyecciones, es decir, la medida consta sólo de átomos.

Versión del operador de multiplicación

Una formulación alternativa del teorema espectral dice que todo operador autoadjunto acotado es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. La importancia de este resultado es que los operadores de multiplicación son fáciles de entender en muchos sentidos.

Theorem.—Vamos A ser un operador auto-adjunto consolidado en un espacio Hilbert H. Entonces hay un espacio de medida ()X, μ) y una función medible esencialmente atada f on X y un operador unitario U:H → L²()X, μ) tales que

$${displaystyle U^{*}TU=A,}$$

Donde T es el operador de multiplicación:

$${displaystyle [Tvarphi ](x)=f(x)varphi (x),}$$

y ${displaystyle 'infty }$.

El teorema espectral es el comienzo de la vasta área de investigación del análisis funcional llamada teoría de operadores; véase también la medida espectral.

También existe un teorema espectral análogo para operadores normales acotados en espacios de Hilbert. La única diferencia en la conclusión es que ahora f puede tener un valor complejo.

Integrales directas

También hay una formulación del teorema espectral en términos de integrales directas. Es similar a la formulación del operador de multiplicación, pero más canónica.

Vamos ${displaystyle A}$ ser un operador auto-adjunto consolidado y dejar ${displaystyle sigma (A)}$ ser el espectro de ${displaystyle A}$. La formulación directa-integral del teorema espectral asocia dos cantidades a ${displaystyle A}$. Primero, una medida ${displaystyle mu }$ on ${displaystyle sigma (A)}$, y segundo, una familia de espacios de Hilbert ${displaystyle {H_{lambda }},,,lambda in sigma (A). }$ Entonces formamos el espacio integral directo Hilbert

$${displaystyle int _{mathbf {R} {oplus }H_{lambda },dmu (lambda). }$$

${displaystyle s(lambda),,,lambda in sigma (A),}$

${displaystyle s(lambda)in H_{lambda }$

${displaystyle lambda }$

Theorem—Si ${displaystyle A}$ es un operador auto-adjunto vinculado, entonces ${displaystyle A}$ es unitariamente equivalente a la "multiplicación por ${displaystyle lambda }$"operador en

$${displaystyle int _{mathbf {R} {oplus }H_{lambda },dmu (lambda)}$$

para algunas medidas ${displaystyle mu }$ y una familia ${displaystyle {H_{lambda }$ de los espacios de Hilbert. La medida ${displaystyle mu }$ está determinado por ${displaystyle A}$ hasta la equivalencia teórica de medida; es decir, cualquier medida asociada a la misma ${displaystyle A}$ tienen los mismos conjuntos de medida cero. Las dimensiones de los espacios de Hilbert ${displaystyle H_{lambda }$ están determinados por ${displaystyle A}$ hasta un conjunto de ${displaystyle mu }$- Medida cero.

Los espacios ${displaystyle H_{lambda }$ se puede pensar como algo como "eigenspaces" para ${displaystyle A}$. Note, however, that unless the one-element set ${displaystyle {lambda}}$ tiene una medida positiva, el espacio ${displaystyle H_{lambda }$ no es en realidad un subespacio de la integral directa. Así, el ${displaystyle H_{lambda }$'s debe ser pensado como "eigenespacio generalizado" — es decir, los elementos ${displaystyle H_{lambda }$ son "eigenvectores" que en realidad no pertenecen al espacio de Hilbert.

Aunque tanto la multiplicación-operadora como las formulaciones integrales directas del teorema espectral expresan un operador autoadjunto como unitario equivalente a un operador de multiplicación, el enfoque integral directo es más canónico. En primer lugar, el conjunto sobre el que tiene lugar la integral directa (el espectro del operador) es canónico. En segundo lugar, la función que multiplicamos es canónica en el enfoque directo-integral: Simplemente la función ${displaystyle lambda mapsto lambda }$.

Vectores cíclicos y espectro simple

Un vector ${displaystyle varphi }$ se llama vector cíclico para ${displaystyle A}$ si los vectores ${displaystyle varphiAvarphiA^{2}varphildots }$ abarca un subespacio denso del espacio Hilbert. Suppose ${displaystyle A}$ es un operador auto-adjunto consolidado para el cual existe un vector cíclico. En ese caso, no hay distinción entre las formulaciones directa-integral y multiplicador-operador del teorema espectral. De hecho, en ese caso hay una medida ${displaystyle mu }$ en el espectro ${displaystyle sigma (A)}$ de ${displaystyle A}$ tales que ${displaystyle A}$ es unitariamente equivalente a la "multiplicación por ${displaystyle lambda }$"operador en ${displaystyle L^{2}(sigma (A),mu)}$. Este resultado representa ${displaystyle A}$ simultáneamente como operador de multiplicación y como integral directo, desde ${displaystyle L^{2}(sigma (A),mu)}$ es sólo una integral directa en la que cada espacio Hilbert ${displaystyle H_{lambda }$ es sólo ${displaystyle mathbb {C}$.

No todo operador auto-adjunto vinculado admite un vector cíclico; de hecho, por la singularidad en la descomposición integral directa, esto puede ocurrir sólo cuando todo el ${displaystyle H_{lambda }$Tiene dimensión uno. Cuando esto sucede, decimos que ${displaystyle A}$ tiene " espectro simple" en el sentido de la teoría de la multiplicidad espectral. Es decir, un operador auto-adjunto vinculado que admite un vector cíclico debe ser pensado como la generalización infinita-dimensional de una matriz autoadjunta con eigenvalues distintos (es decir, cada eigenvalue tiene multiplicidad uno).

Aunque no todos ${displaystyle A}$ admite un vector cíclico, es fácil ver que podemos descomponer el espacio Hilbert como una suma directa de subespacios invariantes en los que ${displaystyle A}$ tiene un vector cíclico. Esta observación es la clave para las pruebas de la multiplicación-operadora y formas directa-integrales del teorema espectral.

Cálculo funcional

Una aplicación importante del teorema espectral (en cualquier forma) es la idea de definir un cálculo funcional. Es decir, dada una función ${displaystyle f}$ definida en el espectro ${displaystyle A}$, deseamos definir un operador ${displaystyle f(A)}$. Si ${displaystyle f}$ es simplemente un poder positivo, ${displaystyle f(x)=x^{n}$, entonces ${displaystyle f(A)}$ es sólo ${displaystyle nmathrm {th}$ poder de ${displaystyle A}$, ${displaystyle A^{n}$. Los casos interesantes son donde ${displaystyle f}$ es una función no polinomio como una raíz cuadrada o un exponencial. Cualquiera de las versiones del teorema espectral proporciona un cálculo funcional. En la versión directa-integral, por ejemplo, ${displaystyle f(A)}$ actúa como la "multiplicación" ${displaystyle f}$"operador en la integral directa:

${displaystyle [f(A)s](lambda)=f(lambda)s(lambda)}$.

Es decir, cada espacio ${displaystyle H_{lambda }$ in the direct integral is a (generalized) eigenspace for ${displaystyle f(A)}$ con eigenvalue ${displaystyle f(lambda)}$.

Operadores autoadjuntos generales

Muchos operadores lineales importantes que se producen en el análisis, como los operadores diferenciales, no están acotados. También existe un teorema espectral para operadores autoadjuntos que se aplica en estos casos. Para dar un ejemplo, todo operador diferencial de coeficiente constante es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. De hecho, el operador unitario que implementa esta equivalencia es la transformada de Fourier; el operador de multiplicación es un tipo de multiplicador de Fourier.

En general, el teorema espectral para operadores autoadjuntos puede tomar varias formas equivalentes. En particular, todas las formulaciones dadas en la sección anterior para operadores autoadjuntos acotados (la versión de medida con valor de proyección, la versión de operador de multiplicación y la versión de integral directa) siguen siendo válidas para operadores autoadjuntos no acotados, con pequeñas modificaciones técnicas para tratar problemas de dominio.