Teorema Egregio

Una consecuencia del Teorema Egregium es que la Tierra no puede ser exhibida en un mapa sin distorsión. La proyección Mercator, mostrada aquí, conserva ángulos pero no preserva el área.

El Teorema Egregium de Gauss (en latín, "Teorema notable") es un resultado importante de la geometría diferencial, demostrado por Carl Friedrich Gauss en 1827, que se refiere a la curvatura de las superficies. El teorema dice que la curvatura gaussiana se puede determinar completamente midiendo ángulos, distancias y sus tasas en una superficie, sin referencia a la forma particular en que la superficie está incrustada en el espacio euclidiano tridimensional ambiental. En otras palabras, la curvatura gaussiana de una superficie no cambia si se dobla la superficie sin estirarla. Así, la curvatura gaussiana es una invariante intrínseca de una superficie.

Gauss presentó el teorema de esta manera (traducido del latín):

Así la fórmula del artículo anterior se lleva a la notable Teorema. Si una superficie curvada se desarrolla sobre cualquier otra superficie lo que sea, la medida de curvatura en cada punto permanece inalterada.

El teorema es "notable" porque la definición inicial de la curvatura gaussiana hace uso directo de la posición de la superficie en el espacio. Por lo tanto, es bastante sorprendente que el resultado no dependa de su empotramiento a pesar de todas las deformaciones por flexión y torsión sufridas.

En la terminología matemática moderna, el teorema se puede establecer de la siguiente manera:

La curvatura gaussiana de una superficie es invariante bajo la isometría local.

Aplicaciones elementales

Animación mostrando la deformación de un helicoide en un catenoide. La deformación se realiza doblando sin estirar. Durante el proceso, la curvatura gausiana de la superficie en cada punto sigue siendo constante.

Una esfera de radio R tiene una curvatura gaussiana constante que es igual a 1/R². Al mismo tiempo, un plano tiene curvatura gaussiana cero. Como corolario del Teorema Egregium, un trozo de papel no se puede doblar sobre una esfera sin arrugarse. Por el contrario, la superficie de una esfera no se puede desplegar en un plano sin distorsionar las distancias. Si uno tuviera que pisar una cáscara de huevo vacía, sus bordes tienen que partirse al expandirse antes de aplanarse. Matemáticamente, una esfera y un plano no son isométricos, ni siquiera localmente. Este hecho es importante para la cartografía: implica que ningún mapa plano de la Tierra puede ser perfecto, ni siquiera para una parte de la superficie terrestre. Así toda proyección cartográfica necesariamente distorsiona al menos algunas distancias.

La catenoide y el helicoide son dos superficies de aspecto muy diferente. Sin embargo, cada uno de ellos puede doblarse continuamente en el otro: son localmente isométricos. Del Teorema Egregium se deduce que, bajo esta flexión, la curvatura gaussiana en dos puntos correspondientes de la catenoide y el helicoide es siempre la misma. Por lo tanto, la isometría es simplemente la flexión y torsión de una superficie sin arrugarse ni desgarrarse internamente, en otras palabras, sin tensión, compresión o corte adicionales.

Se ve una aplicación del teorema cuando un objeto plano se pliega o dobla un poco a lo largo de una línea, creando rigidez en la dirección perpendicular. Esto tiene un uso práctico en la construcción, así como en una estrategia común para comer pizza: una porción plana de pizza puede verse como una superficie con una curvatura gaussiana constante de 0. Doblar suavemente una porción debe mantener aproximadamente esta curvatura (suponiendo que la curvatura es aproximadamente una isometría local). Si se dobla un corte horizontalmente a lo largo de un radio, se crean curvaturas principales distintas de cero a lo largo de la curva, lo que determina que la otra curvatura principal en estos puntos debe ser cero. Esto crea rigidez en la dirección perpendicular al pliegue, un atributo deseable para comer pizza, ya que mantiene su forma el tiempo suficiente para consumirse sin ensuciar. Este mismo principio se utiliza para el refuerzo de materiales corrugados, más conocidos como tableros de fibra corrugados y hierro galvanizado corrugado, y en algunas formas de papas fritas.