Teorema del votante mediano

El teorema del votante mediano (o medio) es una proposición relacionada con la votación de preferencia clasificada presentada por Duncan Black en 1948. Establece que si los votantes y las políticas se distribuyen a lo largo de un espectro unidimensional, con los votantes clasificando las alternativas en orden de proximidad, entonces cualquier método de votación que satisface el criterio de Condorcet elegirá al candidato más cercano al votante medio. En particular, lo hará una mayoría de votos entre dos opciones.

El teorema está asociado con la economía de elección pública y la ciencia política estadística. Partha Dasgupta y Eric Maskin han argumentado que proporciona una poderosa justificación para los métodos de votación basados ​​en el criterio de Condorcet. El teorema de equilibrio de la regla de la mayoría de Plott extiende esto a dos dimensiones.

Harold Hotelling había hecho una afirmación vagamente relacionada anteriormente (en 1929). No es un teorema verdadero y es más propiamente conocido como teoría del votante mediano o modelo del votante mediano. Dice que en una democracia representativa, los políticos convergerán al punto de vista del votante medio.

Enunciado y demostración del teorema

Suponga que hay un número impar de votantes y al menos dos candidatos, y suponga que las opiniones se distribuyen a lo largo de un espectro. Suponga que cada votante clasifica a los candidatos en un orden de proximidad tal que el candidato más cercano al votante recibe su primera preferencia, el siguiente más cercano recibe su segunda preferencia y así sucesivamente. Luego hay un votante medio y mostraremos que la elección la ganará el candidato más cercano a él o ella.

Prueba: Sea Marlene el votante mediano. El candidato más cercano a ella recibirá su primer voto de preferencia. Supongamos que este candidato es Charles y que se encuentra a su izquierda. Entonces Marlene y todos los votantes a su izquierda (que comprenden la mayoría del electorado) preferirán a Charles a todos los candidatos a su derecha, y Marlene y todos los votantes a su derecha preferirán a Charles a todos los candidatos a su izquierda. ∎

El criterio de Condorcet se define como satisfecho por cualquier método de votación que asegure que un candidato que es preferido por la mayoría del electorado a cualquier otro candidato será el ganador, y este es precisamente el caso de Charles aquí; por tanto, Carlos ganará cualquier elección realizada con un método que satisfaga el criterio de Condorcet.

Por lo tanto, bajo cualquier método de votación que satisfaga el criterio de Condorcet, el ganador será el candidato preferido por el votante medio. Para decisiones binarias, el voto de la mayoría satisface el criterio; para votaciones multidireccionales, varios métodos lo satisfacen (ver método de Condorcet).

Suposiciones

El teorema también se aplica cuando el número de votantes es par, pero los detalles dependen de cómo se resuelvan los empates.

La suposición de que las preferencias se expresan en orden de proximidad se puede relajar para decir simplemente que tienen un solo pico.

La suposición de que las opiniones se encuentran a lo largo de una línea real puede relajarse para permitir topologías más generales.

Modelos espaciales/de valencia: Suponga que cada candidato tiene una valencia (atractivo) además de su posición en el espacio, y suponga que el votante i clasifica a los candidatos j en orden decreciente de v _j – d _ij donde v _j es la valencia de j y d _ij es la distancia de i a j. Entonces se sigue aplicando el teorema del votante mediano: los métodos de Condorcet elegirán al candidato votado por el votante mediano.

Historia

El teorema fue establecido por primera vez por Duncan Black en 1948. Escribió que vio una gran brecha en la teoría económica sobre cómo el voto determina el resultado de las decisiones, incluidas las decisiones políticas. El artículo de Black desencadenó una investigación sobre cómo la economía puede explicar los sistemas de votación. En 1957, Anthony Downs expuso el teorema del votante medio en su libro An Economic Theory of Democracy.

La propiedad del votante mediano

Diremos que un método de votación tiene la "propiedad del votante mediano en una dimensión" si siempre elige al candidato más cercano al votante mediano bajo un modelo espacial unidimensional. Podemos resumir el teorema del votante mediano diciendo que todos los métodos de Condorcet poseen la propiedad del votante mediano en una dimensión.

Resulta que los métodos de Condorcet no son únicos en esto: el método de Coombs no es consistente con Condorcet pero, no obstante, satisface la propiedad del votante mediano en una dimensión.

Extensión a distribuciones en más de una dimensión

El teorema del votante mediano se aplica de forma restringida a distribuciones de opiniones de votantes en espacios de cualquier dimensión. Una distribución en más de una dimensión no necesariamente tiene una mediana en todas las direcciones (que podría denominarse "mediana omnidireccional"); sin embargo, una amplia clase de distribuciones rotacionalmente simétricas, incluida la gaussiana, tiene una mediana de este tipo. Siempre que la distribución de votantes tenga una mediana única en todas las direcciones, y los votantes clasifiquen a los candidatos por orden de proximidad, se aplica el teorema del votante mediano: el candidato más cercano a la mediana tendrá una preferencia mayoritaria sobre todos sus rivales, y será elegido por cualquier método de votación que satisfaga la propiedad del votante mediano en una dimensión.(La unicidad aquí generaliza la propiedad garantizada por la imparidad del tamaño de la muestra en una sola dimensión).

prueba _ Vea el diagrama, en el que el disco gris representa la distribución de votantes uniforme sobre un círculo y M es la mediana en todas las direcciones. Sean A y B dos candidatos, de los cuales A es el más cercano a la mediana. Entonces, los votantes que clasifican A por encima de B son precisamente los que están a la izquierda (es decir, el lado 'A') de la línea roja sólida; y como A está más cerca que B de M, la mediana también está a la izquierda de esta línea.

Ahora bien, como M es una mediana en todas las direcciones, coincide con la mediana unidimensional en el caso particular de la dirección que muestra la flecha azul, que es perpendicular a la línea roja continua. Por lo tanto, si dibujamos una línea roja discontinua a través de M, perpendicular a la flecha azul, podemos decir que la mitad de los votantes se encuentran a la izquierda de esta línea. Pero dado que esta línea está a la izquierda de la línea roja sólida, se deduce que más de la mitad de los votantes clasificarán a A por encima de B. ∎

De ello se deduce que todos los métodos de Condorcet, y también los de Coombs, satisfacen la propiedad de la mediana del votante en espacios de cualquier dimensión para distribuciones de votantes con medianas omnidireccionales.

Es fácil construir distribuciones de votantes que no tengan una mediana en todas las direcciones. El ejemplo más simple consiste en una distribución limitada a 3 puntos que no están en línea recta, como 1, 2 y 3 en el segundo diagrama. La ubicación de cada votante coincide con la mediana bajo un cierto conjunto de proyecciones unidimensionales. Si A, B y C son los candidatos, entonces '1' votará ABC, '2' votará BCA y '3' votará CAB, dando un ciclo de Condorcet. Este es el tema del teorema de McKelvey-Schofield.

Relación entre la mediana en todas las direcciones y la mediana geométrica

Siempre que existe una mediana omnidireccional única, determina el resultado de los métodos de votación de Condorcet. Al mismo tiempo, la mediana geométrica puede identificarse como el ganador ideal de una elección de preferencia clasificada (ver Comparación de sistemas electorales). Por lo tanto, es importante conocer la relación entre los dos. De hecho siempre que existe una mediana en todas las direcciones (al menos para el caso de distribuciones discretas), esta coincide con la mediana geométrica.

lema _ Siempre que una distribución discreta tenga una mediana M en todas las direcciones, los puntos de datos no ubicados en M deben venir en pares balanceados ( A, A ') a cada lado de M con la propiedad de que A – M – A ' es una línea recta (es decir, no como A ₀ – M – A ₂ en el diagrama).

prueba _ Este resultado fue probado algebraicamente por Charles Plott en 1967.Aquí damos una prueba geométrica simple por contradicción en dos dimensiones.

Supongamos, por el contrario, que hay un conjunto de puntos A _i que tienen M como mediana en todas las direcciones, pero para los cuales los puntos que no coinciden con M no vienen en pares balanceados. Entonces podemos quitar de este conjunto cualquier punto en M y cualquier par balanceado alrededor de M sin que M deje de ser una mediana en cualquier dirección; entonces M sigue siendo una mediana omnidireccional.

Si el número de puntos restantes es impar, entonces podemos trazar fácilmente una línea a través de M tal que la mayoría de los puntos se encuentren en un lado, contradiciendo la propiedad de la mediana de M.

Si el número es par, digamos 2 n, entonces podemos etiquetar los puntos A ₀, A ₁,... en el sentido de las agujas del reloj alrededor de M comenzando en cualquier punto (ver el diagrama). Sea θ el ángulo subtendido por el arco de M – A ₀ a M – A _n. Entonces, si θ < 180° como se muestra, podemos dibujar una línea similar a la línea roja discontinua a través de M que tiene la mayoría de los puntos de datos en un lado, contradiciendo nuevamente la propiedad mediana de M; mientras que si θ > 180° se aplica lo mismo con la mayoría de los puntos del otro lado. Y si θ = 180°, entonces A ₀ y A _n forman un par equilibrado, contradiciendo otra suposición. ∎

teorema _ Siempre que una distribución discreta tiene una mediana M en todas las direcciones, coincide con su mediana geométrica.

prueba _ La suma de distancias desde cualquier punto P a un conjunto de puntos de datos en pares equilibrados ( A, A ') es la suma de las longitudes A – P – A '. Cada longitud individual de esta forma se minimiza sobre P cuando la línea es recta, como sucede cuandoP coincide con M. La suma de las distancias desde P a cualquier punto de datos ubicado en M también se minimiza cuando P y M coinciden. Por lo tanto, la suma de las distancias desde los puntos de datos hasta P se minimiza cuando P coincide con m. ∎

Ley de hotelling

La afirmación más informal, el modelo de votante mediano, está relacionada con el "principio de diferenciación mínima" de Harold Hotelling, también conocido como "ley de Hotelling". Establece que los políticos gravitan hacia la posición que ocupa el votante medio, o más generalmente hacia la posición favorecida por el sistema electoral. Fue presentado por primera vez (como una observación, sin ninguna pretensión de rigor) por Hotelling en 1929.

Hotelling vio el comportamiento de los políticos a través de los ojos de un economista. Le llamó la atención el hecho de que las tiendas que venden un bien en particular a menudo se congregan en la misma parte de una ciudad, y vio esto como una convergencia análoga de los partidos políticos. En ambos casos puede ser una política racional para maximizar la cuota de mercado.

Como ocurre con cualquier caracterización de la motivación humana, depende de factores psicológicos que no son fácilmente predecibles y está sujeta a muchas excepciones. También depende del sistema de votación: los políticos no convergerán hacia el votante medio a menos que el proceso electoral lo haga. Si un proceso electoral otorga más peso a los votantes rurales que a los urbanos, es probable que los partidos converjan hacia políticas que favorezcan las áreas rurales en lugar de la verdadera mediana.

Usos del teorema del votante mediano

El teorema es valioso por la luz que arroja sobre la optimización (y los límites de la optimización) de ciertos sistemas de votación.

Valerio Dotti señala áreas de aplicación más amplias:

El teorema del votante mediano demostró ser extremadamente popular en la literatura de economía política. La razón principal es que puede adoptarse para derivar implicaciones comprobables sobre la relación entre algunas características de la población votante y el resultado de la política, haciendo abstracción de otras características del proceso político.

Agrega que...

El resultado de la mediana de los votantes se ha aplicado a una increíble variedad de preguntas. Algunos ejemplos son el análisis de la relación entre la desigualdad de ingresos y el tamaño de la intervención gubernamental en las políticas redistributivas (Meltzer y Richard, 1981), el estudio de los determinantes de las políticas de inmigración (Razin y Sadka, 1999), del alcance de los impuestos sobre diferentes tipos de ingresos (Bassetto y Benhabib, 2006), y muchos más.