Teorema del valor medio

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Sobre la existencia de un tangente a un arco paralelo a la línea a través de sus puntos finales

Para cualquier función que sea continua

[a,b]

y diferenciable en

(a,b)

existe

c

en el intervalo

(a,b)

tal que el secant uniendo los puntos finales del intervalo

[a,b]

es paralelo al tangente

c

En matemáticas, el teorema del valor medio (o teorema de Lagrange) establece, aproximadamente, que para un arco plano dado entre dos extremos, hay al menos un punto en que la tangente al arco es paralela a la secante por sus extremos. Es uno de los resultados más importantes en el análisis real. Este teorema se utiliza para probar enunciados sobre una función en un intervalo a partir de hipótesis locales sobre derivadas en puntos del intervalo.

Más precisamente, el teorema afirma que si $f$ es una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ , entonces existe un punto $c$ dentro $(a,b)$ tal que el tangente $c$ es paralelo a la línea de secant a través de los puntos finales ${displaystyle {big (}a,f(a){big)}}$ y ${displaystyle {big (}b,f(b){big)}}$ , es decir,

{displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}

Historia

Parameshvara (1380-1460), de la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala en la India, describió por primera vez un caso especial de este teorema para la interpolación inversa del seno en sus comentarios sobre Govindasvāmi y Bhāskara II. Michel Rolle demostró una forma restringida del teorema en 1691; el resultado fue lo que ahora se conoce como el teorema de Rolle, y se demostró solo para polinomios, sin las técnicas del cálculo. El teorema del valor medio en su forma moderna fue enunciado y demostrado por Augustin Louis Cauchy en 1823. Desde entonces, se han demostrado muchas variaciones de este teorema.

Declaración formal

La función

f

alcanza la pendiente del secant entre

a

b

como el derivado en el punto

{displaystyle xi in (a,b)}

También es posible que haya varios tangentes paralelos al secant.

Vamos ${displaystyle f:[a,b]to mathbb {R} }$ ser una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ , y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ , Donde $<math alttext="{displaystyle a a.b{displaystyle a meantb} <img alt="a$ . Entonces hay algunos $c$ dentro $(a,b)$ tales que

${displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

El teorema de valor medio es una generalización del teorema de Rolle, que asume ${displaystyle f(a)=f(b)}$ Así que el lado derecho de arriba es cero.

El valor medio teorema sigue siendo válido en un entorno ligeramente más general. Sólo hay que asumir que ${displaystyle f:[a,b]to mathbb {R} }$ continuo $[a,b]$ , y eso por cada $x$ dentro $(a,b)$ el límite

$lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

existe como un número finito o igual $infty$ o $-infty$ . Si es finito, ese límite es igual $f'(x)$ . Un ejemplo donde esta versión del teorema se aplica es dada por el mapeo de la función raíz cubo real valorado ${displaystyle xmapsto x^{1/3}}$ , cuyo derivado tiende a la infinidad en el origen.

Tenga en cuenta que el teorema, como se indica, es falso si una función diferente es de valor complejo en lugar de valor real. Por ejemplo, definir ${displaystyle f(x)=e^{xi}}$ para siempre real $x$ . Entonces...

${displaystyle f(2pi)-f(0)=0=0(2pi -0)}$

mientras ${displaystyle f'(x)neq 0}$ para cualquier real $x$ .

Estas declaraciones formales también se conocen como Teorema del valor medio de Lagrange.

Prueba

La expresión ${textstyle {frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ da la pendiente de la línea que une los puntos $(a,f(a))$ y ${displaystyle (b,f(b))}$ , que es un acorde del gráfico de $f$ , mientras $f'(x)$ da la pendiente del tangente a la curva en el punto $(x,f(x))$ . Así, el valor medio teorema dice que dado cualquier acorde de una curva suave, podemos encontrar un punto en la curva que miente entre los puntos finales del acorde de tal manera que el tangente de la curva en ese punto es paralelo al acorde. La siguiente prueba ilustra esta idea.

Define ${displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ , donde $r$ es una constante. Desde $f$ continuo $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ , lo mismo es cierto para $g$ . Ahora queremos elegir $r$ así $g$ satisface las condiciones del teorema de Rolle. Nombre

${displaystyle {begin{aligned}g(a)=g(b)&iff f(a)-ra=f(b)-rb\&iff r(b-a)=f(b)-f(a)\&iff r={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.end{aligned}}}$

Por el teorema de Rolle, desde $g$ es diferente y ${displaystyle g(a)=g(b)}$ , hay algunos $c$ dentro $(a,b)$ para la cual ${displaystyle g'(c)=0}$ y se deriva de la igualdad ${displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ que,

${displaystyle {begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\&g'(c)=0\&g'(c)=f'(c)-r=0\&Rightarrow f'(c)=r={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}end{aligned}}}$

Implicaciones

Teorema 1: Suponga que f es una función continua de valor real, definida en un intervalo arbitrario I de la línea real. Si la derivada de f en cada punto interior del intervalo I existe y es cero, entonces f es constante en el interior.

Prueba: Suponga que la derivada de f en cada punto interior del intervalo I existe y es cero. Sea (a, b) un intervalo abierto arbitrario en I. Por el teorema del valor medio, existe un punto c en (a, b) tal que

${displaystyle 0=f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Esto implica que f(a) = f(b). Así, f es constante en el interior de I y por lo tanto es constante en I por continuidad. (Vea a continuación una versión multivariable de este resultado).

Observaciones:

Sólo continuidad f, no diferenciabilidad, se necesita en los puntos finales del intervalo I. No hay hipótesis de continuidad que se debe indicar si I es un intervalo abierto, ya que la existencia de un derivado en un punto implica la continuidad en este punto. (Ver la continuidad de la sección y diferenciabilidad del artículo derivado.)
La diferenciabilidad de f se puede relajar a la diferenciabilidad unilateral, una prueba dada en el artículo sobre semi-diferenciabilidad.

Teorema 2: Si f' (x) = g' (x) para todas las x en un intervalo (a, b) del dominio de estas funciones, entonces f - g es constante, es decir, f = g + c donde c es una constante en (a, b).

Prueba: Sea F = f − g, luego F' = f' − g' = 0 en el intervalo (a, b), por lo que el teorema 1 anterior dice que F = f − g es un constante c o f = g + c.

Teorema 3: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces el más general la antiderivada de f sobre I es F(x) + c donde c es una constante.

Prueba: Se sigue directamente del teorema 2 anterior.

Teorema del valor medio de Cauchy

Teorema de valor medio de Cauchy, también conocido como valor medio extendido, es una generalización del valor medio teorema. Afirma: si las funciones $f$ y $g$ son ambos continuos en el intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ , entonces hay algunos $cin (a,b)$ , tal que

Significado geométrico del teorema de Cauchy

${displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}$

Por supuesto, si ${displaystyle g(a)neq g(b)}$ y ${displaystyle g'(c)neq 0}$ , esto equivale a:

${displaystyle {frac {f'(c)}{g'(c)}}={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Geométricamente, esto significa que hay alguna tangente a la gráfica de la curva

${displaystyle {begin{cases}[a,b]to mathbb {R} ^{2}\tmapsto (f(t),g(t))end{cases}}}$

que es paralelo a la línea definida por los puntos ${displaystyle (f(a),g(a))}$ y ${displaystyle (f(b),g(b))}$ . Sin embargo, el teorema de Cauchy no reclama la existencia de tal tangente en todos los casos donde ${displaystyle (f(a),g(a))}$ y ${displaystyle (f(b),g(b))}$ son puntos distintos, ya que puede estar satisfecho sólo por algún valor $c$ con ${displaystyle f'(c)=g'(c)=0}$ , en otras palabras un valor para el cual la curva mencionada es estacionaria; en tales puntos no tangente a la curva es probable que se defina en absoluto. Un ejemplo de esta situación es la curva dada por

${displaystyle tmapsto left(t^{3},1-t^{2}right),}$

que en el intervalo $[-1,1]$ va desde el punto ${displaystyle (-1,0)}$ a $(1,0)$ , sin embargo nunca tiene un tangente horizontal; sin embargo tiene un punto estacionario (de hecho un cusp) en $t=0$ .

El teorema de valor medio de Cauchy se puede utilizar para probar la regla de L'Hôpital. El teorema de valor medio es el caso especial del teorema de valor promedio de Cauchy cuando ${displaystyle g(t)=t}$ .

Prueba del teorema del valor medio de Cauchy

La demostración del teorema del valor medio de Cauchy se basa en la misma idea que la demostración del teorema del valor medio.

Suppose ${displaystyle g(a)neq g(b)}$ . Define ${displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)}$ , donde $r$ se fija de tal manera que ${displaystyle h(a)=h(b)}$ , a saber
${displaystyle {begin{aligned}h(a)=h(b)&iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\&iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\&iff r={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.end{aligned}}}$
Desde $f$ y $g$ son continuos $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ , lo mismo es cierto para $h$ . En total, $h$ satisface las condiciones del teorema de Rolle: en consecuencia, hay algunas $c$ dentro $(a,b)$ para la cual ${displaystyle h'(c)=0}$ . Ahora utilizando la definición de $h$ tenemos:
${displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-left({frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}right)g'(c).}$
Por lo tanto:
${displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c),}$
que implica el resultado.
Si ${displaystyle g(a)=g(b)}$ , entonces, aplicando el teorema de Rolle $g$ , sigue que existe $c$ dentro $(a,b)$ para la cual ${displaystyle g'(c)=0}$ . Utilizando esta opción de $c$ El teorema de valor medio de Cauchy (trivialmente) sostiene.

Generalización para determinantes

Supongamos que ${displaystyle f,g,}$ y $h$ son funciones diferentes en $(a,b)$ que son continuos $[a,b]$ . Define

El teorema de valor medio mostrado en un puente en Beijing

${displaystyle D(x)={begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\f(a)&g(a)&h(a)\f(b)&g(b)&h(b)end{vmatrix}}}$

Existe $cin (a,b)$ tales que $D'(c)=0$ .

Observa que

${displaystyle D'(x)={begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\f(a)&g(a)&h(a)\f(b)&g(b)&h(b)end{vmatrix}}}$

y si nos colocamos $h(x)=1$ , tenemos Teorema de valor medio de Cauchy. Si nos colocamos $h(x)=1$ y $g(x)=x$ nosotros Teorema de valor medio de Lagrange.

La prueba de la generalización es bastante simple: cada una de $D(a)$ y $D(b)$ son determinantes con dos filas idénticas, por lo tanto $D(a)=D(b)=0$ . El teorema de Rolle implica que existe $cin (a,b)$ tales que $D'(c)=0$ .

Teorema del valor medio en varias variables

El teorema del valor medio se generaliza a funciones reales de múltiples variables. El truco consiste en usar la parametrización para crear una función real de una variable y luego aplicar el teorema de una variable.

Vamos $G$ ser un subconjunto abierto $mathbb {R} ^{n}$ , y dejar ${displaystyle f:Gto mathbb {R} }$ ser una función diferente. Puntos de fijación $x,yin G$ tal que el segmento de línea entre $x,y$ mentiras $G$ , y definir ${displaystyle g(t)=f{big (}(1-t)x+ty{big)}}$ . Desde $g$ es una función diferenciable en una variable, el valor medio teorema da:

${displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

para algunos $c$ entre 0 y 1. Pero... ${displaystyle g(1)=f(y)}$ y ${displaystyle g(0)=f(x)}$ , computación ${displaystyle g'(c)}$ explícitamente tenemos:

${displaystyle f(y)-f(x)=nabla f{big (}(1-c)x+cy{big)}cdot (y-x)}$

Donde $nabla$ denota un gradiente y $cdot$ un producto de puntos. Tenga en cuenta que este es un análogo exacto del teorema en una variable (en el caso $n=1$ esto es el teorema en una variable). Por la desigualdad Cauchy–Schwarz, la ecuación da la estimación:

${displaystyle {Bigl |}f(y)-f(x){Bigr |}leq {Bigl |}nabla f{big (}(1-c)x+cy{big)}{Bigr |} {Bigl |}y-x{Bigr |}.}$

En particular, cuando los derivados parciales de $f$ están obligados, $f$ es Lipschitz continuo (y por lo tanto uniformemente continuo).

Como aplicación de lo anterior, demostramos que $f$ es constante si el subconjunto abierto $G$ está conectado y cada derivado parcial de $f$ es 0. ${displaystyle x_{0}in G}$ , y dejar ${displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$ . Queremos mostrar $g(x)=0$ para todos $xin G$ . Por eso, vamos ${displaystyle E={xin G:g(x)=0}}$ . Entonces... E está cerrado y no vacío. También está abierto: para cada uno $xin E$

${displaystyle {Big |}g(y){Big |}={Big |}g(y)-g(x){Big |}leq (0){Big |}y-x{Big |}=0}$

para todos $y$ en algún barrio $x$ . (Aquí, es crucial que $x$ y $y$ están suficientemente cerca uno del otro.) Desde $G$ está conectado, concluimos ${displaystyle E=G}$ .

Los argumentos anteriores se hacen de manera libre de coordenadas; por lo tanto, se generalizan al caso cuando $G$ es un subconjunto de un espacio de Banach.

Teorema del valor medio para funciones vectoriales

No existe un análogo exacto del teorema del valor medio para las funciones con valores vectoriales (ver más abajo). Sin embargo, existe una desigualdad que se puede aplicar a muchas de las mismas situaciones a las que se aplica el teorema del valor medio en el caso unidimensional:

Theorem—Para una función de valor vectorial continua ${displaystyle mathbf {f}:[a,b]to mathbb {R} ^{k}}$ diferenciable en $(a,b)$ , existe un número $cin (a,b)$ tales que

${displaystyle |mathbf {f} (b)-mathbf {f} (a)|leq (b-a)left|mathbf {f} '(c)right|}$ .

El teorema sigue del teorema de valor medio. De hecho, tomar ${displaystyle varphi (t)=({textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a))cdot {textbf {f}}(t)}$ . Entonces... $varphi$ es valor real y por lo tanto, por el valor medio teorema,

${displaystyle varphi (b)-varphi (a)=varphi '(c)(b-a)}$

para algunos $cin (a,b)$ . Ahora, ${displaystyle varphi (b)-varphi (a)=|{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|^{2}}$ y ${displaystyle varphi '(c)=({textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a))cdot {textbf {f}}'(c).}$ Por lo tanto, utilizando la desigualdad Cauchy-Schwarz, de la ecuación anterior, obtenemos:

${displaystyle |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|^{2}leq |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)||{textbf {f}}'(c)|(b-a).}$

Si ${displaystyle {textbf {f}}(b)={textbf {f}}(a)}$ , el teorema es trivial (cualquier c obras). De lo contrario, dividiendo ambos lados por ${displaystyle |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|}$ cede el teorema. $square$

Jean Dieudonné en su tratado clásico Fundamentos del análisis moderno descarta el teorema del valor medio y lo reemplaza por la desigualdad media (que se da a continuación) ya que la prueba no es constructiva y no se puede encontrar el valor medio y en las aplicaciones sólo se necesita la desigualdad media. Serge Lang en Análisis I utiliza el teorema del valor medio, en forma integral, como un reflejo instantáneo pero este uso requiere la continuidad de la derivada. Si uno usa la integral de Henstock-Kurzweil, puede tener el teorema del valor medio en forma integral sin la suposición adicional de que la derivada debe ser continua ya que cada derivada es integrable de Henstock-Kurzweil.

La razón por la que no existe un análogo de la igualdad del valor medio es la siguiente: Si $f : U \to R m$ es una función diferenciable (donde $U \subset R n$ está abierto) y si $x + th$ , $x, h \in R n, t \in [0, 1]$ es el segmento de línea en cuestión (que se encuentra dentro de $U$ ), entonces se puede aplicar el procedimiento de parametrización anterior a cada una de las funciones componentes $f i (i = 1, \dots, m)$ de f (en la notación anterior establece $y = x + h$ ). Al hacerlo, uno encuentra los puntos $x + t i h$ en el segmento de línea que satisfacen

${displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=nabla f_{i}(x+t_{i}h)cdot h.}$

Pero generalmente no habrá un punto único $x + t * h$ en el segmento de línea que satisface

${displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=nabla f_{i}(x+t^{*}h)cdot h.}$

para todos los $i$ simultáneamente. Por ejemplo, defina:

${displaystyle {begin{cases}f:[0,2pi ]to mathbb {R} ^{2}\f(x)=(cos(x),sin(x))end{cases}}}$

Entonces... ${displaystyle f(2pi)-f(0)=mathbf {0} in mathbb {R} ^{2}}$ , pero ${displaystyle f_{1}'(x)=-sin(x)}$ y ${displaystyle f_{2}'(x)=cos(x)}$ nunca son simultáneamente cero $x$ rangos sobre ${displaystyle left[0,2pi right]}$ .

El teorema anterior implica lo siguiente:

Inequidad de valor medio—Para una función continua ${displaystyle {textbf {f}}:[a,b]to mathbb {R} ^{k}}$ , si ${textbf {f}}$ es diferente en $(a,b)$ , entonces

${displaystyle |{textbf {f}}(b)-{textbf {f}}(a)|leq (b-a)sup _{(a,b)}|{textbf {f}}'|}$ .

De hecho, la declaración anterior basta para muchas aplicaciones y puede probarse directamente como sigue. (Vamos a escribir) $f$ para ${textbf {f}}$ para legibilidad.) Primero asumo $f$ es diferente en $a$ también. Si $f'$ está sin límites $(a,b)$ No hay nada que probar. Así pues, asuma $<math alttext="{displaystyle sup _{(a,b)}|f'|Sup()a,b)Silenciof.Silencio.JUEGO JUEGO {displaystyle sup _{(a,b)}<img alt="{displaystyle sup _{(a,b)}|f'|$ . Vamos $sup _{(a,b)}|f'|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M■Sup()a,b)Silenciof.Silencio{displaystyle M confidencialsup _{(a,b)}sup _{(a,b)}|f'|}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354f69b184814408151d37505dcefec221dcb430" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.728ex; height:5.176ex;"/>$ Sé un número real. Vamos

${displaystyle E={0leq tleq 1mid |f(a+t(b-a))-f(a)|leq Mt(b-a)}.}$

Queremos mostrar ${displaystyle 1in E}$ . Por continuidad de $f$ , el conjunto $E$ está cerrado. También es indeseable ${displaystyle 0}$ está dentro. Por lo tanto, el conjunto $E$ tiene el elemento más grande $s$ . Si $s=1$ , entonces ${displaystyle 1in E}$ y hemos terminado. Por lo tanto, supongan lo contrario. Para $t>s}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">1■t■s{displaystyle 1 títulos]t>s}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ba677731ac5ef9d074b12ff73e97eef1545b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.289ex; height:2.176ex;"/>$ ,

${displaystyle {begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\&leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.end{aligned}}}$

Vamos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/>$ ser tal $sup _{(a,b)}|f'|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M− − ε ε ■Sup()a,b)Silenciof.Silencio{displaystyle M-epsilon √sup _{(a,b)}Sobrevivirsup _{(a,b)}|f'|}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bc1d158660bacfc62e702a72b177f2ce109c7" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.513ex; height:5.176ex;"/>$ . Por la diferenciabilidad de $f$ a ${displaystyle a+s(b-a)}$ (nota) $s$ puede ser 0), si $t$ está suficientemente cerca $s$ , el primer término es ${displaystyle leq epsilon (t-s)(b-a)}$ . El segundo mandato es ${displaystyle leq (M-epsilon)(t-s)(b-a)}$ . El tercer mandato es ${displaystyle leq Ms(b-a)}$ . Por lo tanto, resumiendo las estimaciones, obtenemos: ${displaystyle |f(a+t(b-a))-f(a)|leq tM|b-a|}$ , una contradicción con la máxima $s$ . Por lo tanto, ${displaystyle 1=sin M}$ y eso significa:

${displaystyle |f(b)-f(a)|leq M(b-a).}$

Desde $M$ es arbitrario, esto implica entonces la afirmación. Por último, si $f$ no es diferente en $a$ , vamos ${displaystyle a'in (a,b)}$ y aplicar el primer caso a $f$ restringidos ${displaystyle [a',b]}$ , dándonos:

${displaystyle |f(b)-f(a')|leq (b-a')sup _{(a,b)}|f'|}$

desde entonces ${displaystyle (a',b)subset (a,b)}$ . Letting ${displaystyle a'to a}$ termina la prueba. $square$

Para conocer algunas aplicaciones de la desigualdad del valor medio para establecer resultados básicos en cálculo, consulte también Cálculo en el espacio euclidiano#Nociones básicas.

Un cierto tipo de generalización del teorema del valor medio a funciones con valores vectoriales se obtiene de la siguiente manera: Sea $f$ un real continuamente diferenciable función valorada definida en un intervalo abierto $I$ , y dejar que $x$ así como $x + h$ ser puntos de $I$ . El teorema del valor medio en una variable nos dice que existe algún $t *$ entre 0 y 1 tal que

${displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)cdot h.}$

Por otro lado, tenemos, por el teorema fundamental del cálculo seguido de un cambio de variables,

${displaystyle f(x+h)-f(x)=int _{x}^{x+h}f'(u),du=left(int _{0}^{1}f'(x+th),dtright)cdot h.}$

Por lo tanto, el valor $f' (x + t * h)$ en el punto particular $t *$ ha sido reemplazado por el valor medio

${displaystyle int _{0}^{1}f'(x+th),dt.}$

Esta última versión se puede generalizar a funciones con valores vectoriales:

Proposición—Vamos $U \subset R n$ abre, $f : U \to R m$ continuamente diferenciable, y $x ▪ U$ , $h ▪ R n$ vectores tales que el segmento de línea $x + T, 0 \leq t \leq 1$ restos mortales $U$ . Entonces tenemos:

${displaystyle f(x+h)-f(x)=left(int _{0}^{1}Df(x+th),dtright)cdot h,}$

Donde $Df$ denota la matriz Jacobiana de $f$ y la parte integral de una matriz debe entenderse en forma de componente.

Prueba. Sea f₁, …, f_m componentes de $f$ y definir:

${displaystyle {begin{cases}g_{i}:[0,1]to mathbb {R} \g_{i}(t)=f_{i}(x+th)end{cases}}}$

Entonces tenemos

${displaystyle {begin{aligned}f_{i}(x+h)-f_{i}(x)&=g_{i}(1)-g_{i}(0)=int _{0}^{1}g_{i}'(t),dt\&=int _{0}^{1}left(sum _{j=1}^{n}{frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}(x+th)h_{j}right)dt=sum _{j=1}^{n}left(int _{0}^{1}{frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}(x+th),dtright)h_{j}.end{aligned}}}$

La reclamación sigue desde entonces $Df$ es la matriz que consiste en los componentes ${displaystyle {tfrac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}}$ . $square$

La desigualdad del valor medio se puede obtener como corolario de la proposición anterior (aunque bajo el supuesto de que las derivadas son continuas).

Casos donde no se puede aplicar el teorema (Necesidad de condiciones)

Ambas condiciones para el teorema del valor medio son necesarias:

f(x) es diferente en (a,b)
f(x) es continuo en [a,b]

Cuando no se cumple una de las condiciones anteriores, el teorema del valor medio no es válido en general y, por lo tanto, no se puede aplicar.

La función es diferenciable en el intervalo abierto a,b

La necesidad de la primera condición puede ser vista por el contraejemplo donde la función ${displaystyle f(x)=|x|}$ en [-1,1] no es diferente.

La función es continua en el intervalo cerrado a,b

La necesidad de la segunda condición puede ser vista por el contraejemplo donde la función ${displaystyle f(x)={begin{cases}1,&{text{at }}x=0\0,&{text{if }}xin (0,1]end{cases}}}$

$f(x)$ criterios de satisfizo 1 desde ${displaystyle f'(x)=0}$ on ${displaystyle (0,1)}$

Pero no criterios 2 desde entonces ${displaystyle {frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1}$ y ${displaystyle -1neq 0=f'(x)}$ para todos ${displaystyle xin (0,1)}$ así que no $c$ existe

Teoremas del valor medio para integrales definidas

Teorema del primer valor medio para integrales definidas

Geométricamente: interpretar f(c) como la altura de un rectángulo y b–a como el ancho, este rectángulo tiene el mismo área que la región debajo de la curva a a b

Sea f: [a, b] → R una función continua. Entonces existe c en (a, b) tal que

$int _{a}^{b}f(x),dx=f(c)(b-a).$

Dado que el valor medio de f en [a, b] se define como

${frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}f(x),dx,$

podemos interpretar la conclusión como f alcanza su valor medio en algún c en (a, b).

En general, si f: [a, b] → R es continuo y g es una función integrable que no cambia de signo en [a, b], entonces existe c en (a, b) tal que

$int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(c)int _{a}^{b}g(x),dx.$

Prueba de que hay algo de c en [a, b]

Suppose f[a, b] → R es continuo y g es una función integradora no negativa en [a, b]. Por el teorema de valor extremo, existe m y M tal que para cada uno x ena, b] ${displaystyle mleq f(x)leq M}$ y ${displaystyle f[a,b]=[m,M]}$ . Desde g es no negativo,

${displaystyle mint _{a}^{b}g(x),dxleq int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleq Mint _{a}^{b}g(x),dx.}$

Ahora deja

$I=int _{a}^{b}g(x),dx.$

Si $I=0$ , hemos terminado desde entonces

${displaystyle 0leq int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleq 0}$

significa

$int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=0,$

así que para cualquier c en (a, b),

${displaystyle int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(c)I=0.}$

Si I ≠ 0, entonces

${displaystyle mleq {frac {1}{I}}int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleq M.}$

Por el teorema del valor intermedio, f alcanza todos los valores del intervalo [m, M], por lo que para algunos c en [a, b]

$f(c)={frac {1}{I}}int _{a}^{b}f(x)g(x),dx,$

es decir,

$int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(c)int _{a}^{b}g(x),dx.$

Finalmente, si g es negativo en [a, b], entonces

${displaystyle Mint _{a}^{b}g(x),dxleq int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleq mint _{a}^{b}g(x),dx,}$

y todavía obtenemos el mismo resultado que arriba.

QED

Teorema del segundo valor medio para integrales definidas

Existen varios teoremas ligeramente diferentes denominados teorema del segundo valor medio para integrales definidas. Una versión comúnmente encontrada es la siguiente:

Si G[a, b] → R es una función positiva monotonicamente decreciente y φ: [a, b] → R es una función integradora, entonces existe un número x ena, b] tal que
$int _{a}^{b}G(t)varphi (t),dt=G(a^{+})int _{a}^{x}varphi (t),dt.$

Aquí. $G(a^{+})$ stands ${textstyle {lim _{xto a^{+}}G(x)}}$ , la existencia de la cual sigue de las condiciones. Tenga en cuenta que es esencial que el intervalo (a, bContiene b. Una variante que no tiene este requisito es:

Si G[a, b] → R es una función monotónica (no necesariamente decreciente y positiva) y φ[a, b] → R es una función integradora, entonces existe un número x ena, b.
$int _{a}^{b}G(t)varphi (t),dt=G(a^{+})int _{a}^{x}varphi (t),dt+G(b^{-})int _{x}^{b}varphi (t),dt.$

El teorema del valor medio para la integración falla para funciones con valores vectoriales

Si la función $G$ devuelve un vector multidimensional, entonces el MVT para la integración no es cierto, incluso si el dominio de $G$ es también multidimensional.

Por ejemplo, considere la siguiente función bidimensional definida en una $n$ - cubo dimensional:

${displaystyle {begin{cases}G:[0,2pi ]^{n}to mathbb {R} ^{2}\G(x_{1},dotsx_{n})=left(sin(x_{1}+cdots +x_{n}),cos(x_{1}+cdots +x_{n})right)end{cases}}}$

Entonces, por simetría es fácil ver que el valor medio de $G$ sobre su dominio es (0,0):

${displaystyle int _{[0,2pi ]^{n}}G(x_{1},dotsx_{n})dx_{1}cdots dx_{n}=(0,0)}$

Sin embargo, no hay punto en que $G=(0,0)$ , porque $|G|=1$ Por todas partes.

Un análogo probabilístico del teorema del valor medio

Vamos X y Y no negativo variables aleatorias tales que E[XEY] ${displaystyle Xleq _{st}Y}$ (i.e. X es más pequeño que Y en el orden estocástico habitual). Entonces existe una variable aleatoria absolutamente continua no negativa Z función de densidad de probabilidad

$x)-Pr(X>x) over {rm {E}}[Y]-{rm {E}}[X]},,qquad xgeqslant 0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">fZ()x)=Pr()Y■x)− − Pr()X■x)E[Y]− − E[X],x⩾ ⩾ 0.{displaystyle f_{Z}(x)={Pr(Y confíax)-Pr(X confíax) over {rm {E}[E} Y... 0.}x)-Pr(X>x) over {rm {E}}[Y]-{rm {E}}[X]},,qquad xgeqslant 0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98380bb043d37ca11885348245ab1f1e05019170" style="vertical-align: -2.671ex; width:45.994ex; height:6.509ex;"/>$

Sea g una función medible y diferenciable tal que E[g(X)], E[g(Y)] < ∞, y sea su derivada g′ medible e integrable de Riemann en el intervalo [x, y] para todo y ≥ x ≥ 0. Entonces, E[g′(Z)] es finita y

${rm {E}}[g(Y)]-{rm {E}}[g(X)]={rm {E}}[g'(Z)],[{rm {E}}(Y)-{rm {E}}(X)].$

Teorema del valor medio en variables complejas

Como se indicó anteriormente, el teorema no se cumple para funciones diferenciables de valores complejos. En cambio, se establece una generalización del teorema de la siguiente manera:

Sea f: Ω → C una función holomorfa sobre el conjunto convexo abierto Ω, y sean a y b ser puntos distintos en Ω. Entonces existen puntos u, v en el interior del segmento de recta de a a b tales que

${displaystyle operatorname {Re} (f'(u))=operatorname {Re} left({frac {f(b)-f(a)}{b-a}}right),}$

${displaystyle operatorname {Im} (f'(v))=operatorname {Im} left({frac {f(b)-f(a)}{b-a}}right).}$

Donde Re() es la parte real e Im() es la parte imaginaria de una función de valor complejo.

Véase también: Índice de Voorhoeve.

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