Teorema del valor intermedio

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Función continua en un intervalo toma cada valor entre sus valores en los extremos

Teorema de valor intermedio: Vamos

f

ser una función continua definida

[a,b]

y dejar

s

ser un número con

<math alttext="{displaystyle f(a)<sf()a).s.f()b){displaystyle f(a) <img alt="{displaystyle f(a)<s

. Entonces hay algunos $x$ entre

a

b

tales que

{displaystyle f(x)=s}

En el análisis matemático, el valor intermedio teorema dice que si $f$ es una función continua cuyo dominio contiene el intervalo $[a, b]$ , entonces toma cualquier valor dado entre $f(a)$ y $f(b)$ en algún momento dentro del intervalo.

Esto tiene dos corolarios importantes:

Si una función continua tiene valores de signo opuesto dentro de un intervalo, entonces tiene una raíz en ese intervalo (Teorema de Bolzano).
La imagen de una función continua sobre un intervalo es en sí mismo un intervalo.

Motivación

El valor intermedio teorema

Esto captura una propiedad intuitiva de funciones continuas sobre los números reales: dado $f$ continuo ${displaystyle [1,2]}$ con los valores conocidos ${displaystyle f(1)=3}$ y ${displaystyle f(2)=5}$ , entonces el gráfico de $y=f(x)$ debe pasar por la línea horizontal ${displaystyle y=4}$ mientras $x$ movimientos de $1$ a $2$ . Representa la idea de que el gráfico de una función continua en un intervalo cerrado se puede dibujar sin levantar un lápiz del papel.

Teorema

El teorema del valor intermedio establece lo siguiente:

Considere un intervalo $I = [a,b]$ de números reales $mathbb {R}$ y una función continua ${displaystyle fcolon Ito mathbb {R} }$ . Entonces...

Versión I. si $u$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$ , es decir, $<math alttext="{displaystyle min(f(a),f(b))<umin()f()a),f()b)).u.max()f()a),f()b)),{displaystyle min(f(a),f(b))) se llevó a cabomax(f(a),f(b)),} <img alt="{displaystyle min(f(a),f(b))<u$ entonces hay un $cin (a,b)$ tales que ${displaystyle f(c)=u}$ .
Versión II. el conjunto de la imagen $f(I)$ es también un intervalo, y contiene ${displaystyle {bigl [}min(f(a),f(b)),max(f(a),f(b)){bigr ]}}$ ,

Observación: Versión II afirma que el conjunto de valores de función no tiene brecha. Para cualquier dos valores de función $<math alttext="{displaystyle cc.d{displaystyle c realizadas} <img alt="c$ , incluso si están fuera del intervalo entre $f(a)$ y $f(b)$ , todos los puntos en el intervalo ${displaystyle {bigl [}c,d{bigr ]}}$ son también valores de función,

{displaystyle {bigl [}c,d{bigr ]}subseteq f(I).}

Versión IVersión II

Relación con la integridad

El teorema depende y es equivalente a la integridad de los números reales. El teorema de valor intermedio no se aplica a los números racionales Q porque existen lagunas entre los números racionales; los números irracionales llenan esas lagunas. Por ejemplo, la función ${displaystyle f(x)=x^{2}-2}$ para ${displaystyle xin mathbb {Q} }$ satisfizo ${displaystyle f(0)=-2}$ y ${displaystyle f(2)=2}$ . Sin embargo, no hay número racional $x$ tales que $f(x)=0$ , porque ${sqrt {2}}$ es un número irracional.

Prueba

El teorema puede demostrarse como consecuencia de la propiedad de completitud de los números reales de la siguiente manera:

Probaremos el primer caso, $<math alttext="{displaystyle f(a)<uf()a).u.f()b){displaystyle f(a) <img alt="{displaystyle f(a)<u$ . El segundo caso es similar.

Vamos $S$ ser el conjunto de todos $xin [a,b]$ tales que ${displaystyle f(x)leq u}$ . Entonces... $S$ no está vacía desde $a$ es un elemento $S$ . Desde $S$ es indeseable y obligado por $b$ , por completo, el supremum ${displaystyle c=sup S}$ existe. Eso es, $c$ es el número más pequeño que es mayor o igual a cada miembro de $S$ . Afirmamos que ${displaystyle f(c)=u}$ .

Arregla un poco. $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ . Desde $f$ es continuo, hay un $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tales que $<math alttext="{displaystyle |f(x)-f(c)|Silenciof()x)- - f()c)Silencio.ε ε {displaystyle Silenciof(x)-f(c) <img alt="{displaystyle |f(x)-f(c)|$ siempre $<math alttext="{displaystyle |x-c|Silenciox- - cSilencio.δ δ {displaystyle Silencioso-c intimidado <img alt="{displaystyle |x-c|$ . Esto significa que

<math alttext="{displaystyle f(x)-varepsilon <f(c)f()x)- - ε ε .f()c).f()x)+ε ε {displaystyle f(x)-varepsilon <img alt="{displaystyle f(x)-varepsilon <f(c)

{displaystyle xin (c-deltac+delta)}

{displaystyle a^{*}in (c-deltac]}

S

<math alttext="{displaystyle f(c)f()c).f()aAlternativa Alternativa )+ε ε ≤ ≤ u+ε ε .{displaystyle f(c) madef(a^{*})+varepsilon leq u+varepsilon.}<img alt="{displaystyle f(c)

{displaystyle a^{**}in (c,c+delta)}

{displaystyle a^{**}not in S}

c

S

f(a^{**})-varepsilon >u-varepsilon.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f()c)■f()aAlternativa Alternativa Alternativa Alternativa )− − ε ε ■u− − ε ε .{displaystyle f(c) confianzaf(a^{**})-varepsilon }f(a^{**})-varepsilon >u-varepsilon.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f1fd6986f6aa394934dfc2ce88deadfc49ac27" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.891ex; height:2.843ex;"/>

<math alttext="{displaystyle u-varepsilon <f(c) u- - ε ε .f()c).u+ε ε {displaystyle u-varepsilon] <img alt="{displaystyle u-varepsilon <f(c)

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>

{displaystyle f(c)=u}

Observación: El teorema del valor intermedio también se puede probar usando los métodos de análisis no estándar, que coloca "intuitivo" argumentos que implican infinitesimales sobre una base rigurosa.

Historia

Una forma del teorema se postuló ya en el siglo V a. C., en el trabajo de Bryson de Heraclea sobre la cuadratura del círculo. Bryson argumentó que, dado que existen círculos más grandes y más pequeños que un cuadrado dado, debe existir un círculo de igual área. El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Bolzano utilizó la siguiente formulación del teorema:

Vamos ${displaystyle f,phi }$ ser funciones continuas en el intervalo entre $alpha$ y $beta$ tales que $<math alttext="{displaystyle f(alpha)f()α α ).φ φ ()α α ){displaystyle f(alpha) <img alt="{displaystyle f(alpha)$ y $phi (beta)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f()β β )■φ φ ()β β ){displaystyle f(beta)phi (beta)}phi (beta)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ea12a185cf717fa2742f8171ccf06200ed42b3" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.045ex; height:2.843ex;"/>$ . Entonces hay un $x$ entre $alpha$ y $beta$ tales que ${displaystyle f(x)=phi (x)}$ .

La equivalencia entre esta formulación y la moderna se puede mostrar estableciendo $phi$ a la función constante adecuada. Augustin-Louis Cauchy proporcionó la formulación moderna y una prueba en 1821. Ambos se inspiraron en el objetivo de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Joseph-Louis Lagrange. La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad de valor intermedio tiene un origen anterior. Simon Stevin demostró el teorema de valor intermedio para los polinomios (utilizando un cúbico como ejemplo) proporcionando un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución. El algoritmo subdivide iterativamente el intervalo en 10 partes, produciendo un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración. Antes de que se diera la definición formal de continuidad, se dio la propiedad de valor intermedio como parte de la definición de una función continua. Los proponentes incluyen a Louis Arbogast, que asumió las funciones para no tener saltos, satisfacer la propiedad de valor intermedio y tener incrementos cuyos tamaños correspondieron a los tamaños de los incrementos de la variable. Los autores anteriores consideraron que el resultado era intuitivamente obvio y no requería ninguna prueba. La idea de Bolzano y Cauchy era definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimals en el caso de Cauchy y utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y proporcionar una prueba basada en tales definiciones.

Generalizaciones

El teorema del valor intermedio está estrechamente relacionado con la noción topológica de conectividad y se deriva de las propiedades básicas de los conjuntos conexos en espacios métricos y de los subconjuntos conexos de R en particular:

Si $X$ y $Y$ son espacios métricos, $f colon X to Y$ es un mapa continuo, y $Esubset X$ es un subconjunto conectado, entonces ${displaystyle f(E)}$ está conectado. (*)
Un subconjunto ${displaystyle Esubset mathbb {R} }$ está conectado si y sólo si satisface la siguiente propiedad: $<math alttext="{displaystyle x,yin E, x<rx,Sí.▪ ▪ E,x.r.Sí.⟹ ⟹ r▪ ▪ E{displaystyle x,yin E,cH00FF} <img alt="{displaystyle x,yin E, x<r$ . (**)

De hecho, la conexión es una propiedad topológica y (*) se generaliza a espacios topológicos: Si $X$ y $Y$ son espacios topológicos, $f colon X to Y$ es un mapa continuo, y $X$ es un espacio conectado, entonces $f(X)$ está conectado. La preservación de la conexión bajo mapas continuos se puede considerar como una generalización del teorema de valor intermedio, una propiedad de funciones de valor real de una variable real, a funciones continuas en espacios generales.

Recuerde la primera versión del teorema del valor intermedio, mencionado anteriormente:

Teorema de valor intermedio()Versión I)—Considere un intervalo cerrado $I=[a,b]$ en los números reales $mathbb {R}$ y una función continua ${displaystyle fcolon Ito mathbb {R} }$ . Entonces, si $u$ es un número real tal que $<math alttext="{displaystyle min(f(a),f(b))<umin()f()a),f()b)).u.max()f()a),f()b)){displaystyle min(f(a),f(b))) se llevó a cabomax(f(a),f(b)} <img alt="{displaystyle min(f(a),f(b))<u$ , existe $cin (a,b)$ tales que ${displaystyle f(c)=u}$ .

El teorema del valor intermedio es una consecuencia inmediata de estas dos propiedades de conectividad:

Prueba

Por (**), $I = [a,b]$ es un set conectado. A continuación de (*) que la imagen, $f(I)$ , también está conectado. Por conveniencia, asuma que $<math alttext="{displaystyle f(a)f()a).f()b){displaystyle f(a) wonf(b)} <img alt="{displaystyle f(a)$ . Luego una vez más invocando (**), $<math alttext="{displaystyle f(a)<uf()a).u.f()b){displaystyle f(a) <img alt="{displaystyle f(a)<u$ implica que ${displaystyle uin f(I)}$ , o ${displaystyle f(c)=u}$ para algunos ${displaystyle cin I}$ . Desde ${displaystyle uneq f(a),f(b)}$ , $cin (a,b)$ debe mantener, y la conclusión deseada sigue. El mismo argumento se aplica si $<math alttext="{displaystyle f(b)f()b).f()a){displaystyle f(b) <img alt="{displaystyle f(b)$ Así que hemos terminado. Q.E.D.

El teorema del valor intermedio se generaliza de forma natural: supongamos que $X$ es un espacio topológico conexo y $(Y, <)$ es un conjunto totalmente ordenado equipado con la topología de orden, y sea $f : X \to Y$ sea un mapa continuo. Si $a$ y $b$ son dos puntos en $X$ y $u$ es un punto en $Y$ que se encuentra entre $f (a)$ y $f (b)$ con respecto a $<$ , entonces existe $c$ en $X$ tal que $f (c) = u . El teorema original se recupera observando que R es conexo y que su topología natural es la topología de orden.$

El teorema del punto fijo de Brouwer es un teorema relacionado que, en una dimensión, proporciona un caso especial del teorema del valor intermedio.

Converse es falsa

(feminine)

Una función de Darboux es una función de valor real $f$ que tiene la "propiedad de valor intermedio" es decir, eso satisface la conclusión del teorema del valor intermedio: para dos valores cualesquiera $a$ y $b$ en el dominio de $f$ , y cualquier $y$ entre $f (a)$ y $f (b)$ , hay algo de $c$ entre $a$ y $b$ con $f (c) = y$ . El teorema del valor intermedio dice que toda función continua es una función de Darboux. Sin embargo, no todas las funciones de Darboux son continuas; es decir, el inverso del teorema del valor intermedio es falso.

Como ejemplo, tome la función $f : [0, \infty) \to [-1, 1]$ definida por $f (x) = sin(1/ x)$ para $x > 0$ y $f (0) = 0$ . Esta función no es continua en $x = 0$ porque el límite de $f (x)$ como $x$ tiende a 0 no existe; sin embargo, la función tiene la propiedad de valor intermedio. Otro ejemplo más complicado lo da la función de base 13 de Conway.

De hecho, el teorema de Darboux establece que todas las funciones que resultan de la derivación de alguna otra función en algún intervalo tienen la propiedad de valor intermedio (aunque no es necesario que sean continuas).

Históricamente, esta propiedad de valor intermedio se ha sugerido como una definición para la continuidad de funciones de valor real; esta definición no fue adoptada.

En matemáticas constructivas

En matemáticas constructivas, el teorema del valor intermedio no es cierto. En cambio, uno tiene que debilitar la conclusión:

Vamos $a$ y $b$ ser números reales y ${displaystyle f:[a,b]to R}$ ser una función continua puntual desde el intervalo cerrado $[a,b]$ a la línea real, y supone que $<math alttext="{displaystyle f(a)f()a).0{displaystyle f(a) <img alt="f(a)$ y $<math alttext="{displaystyle 00.f()b){displaystyle 0(b)} <img alt="{displaystyle 0$ . Entonces por cada número positivo $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ existe un punto $x$ en el intervalo de unidad tal que $<math alttext="{displaystyle vert f(x)vert Silenciof()x)Silencio.ε ε {displaystyle vert f(x)vert <img alt="{displaystyle vert f(x)vert$ .

Aplicaciones prácticas

Un resultado similar es el teorema Borsuk-Ulam, que dice que un mapa continuo del $n$ - Esfera a Euclidean $n$ - el espacio siempre mapear algunos puntos antipodal al mismo lugar.

Prueba de caso 1-dimensional

Toma. $f$ para ser cualquier función continua en un círculo. Dibuja una línea a través del centro del círculo, intercambiándolo en dos puntos opuestos $A$ y $B$ . Define $d$ para ser ${displaystyle f(A)-f(B)}$ . Si la línea se gira 180 grados, el valor $- d$ se obtendrá en su lugar. Debido al teorema de valor intermedio debe haber algún ángulo de rotación intermedio para el cual $d = 0$ , y como consecuencia $f () A) f () B)$ en este ángulo.

En general, para cualquier función continua cuyo dominio es algún convex cerrado $n$ -dimensional forma y cualquier punto dentro de la forma (no necesariamente su centro), existen dos puntos antipodal respecto al punto dado cuyo valor funcional es el mismo.

El teorema también sustenta la explicación de por qué la rotación de una mesa tambaleante la estabilizará (sujeta a ciertas restricciones fáciles de cumplir).

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