Teorema del valor extremo

En cálculo, el valor extremo teorema dice que si una función de valor real f{displaystyle f} es continuo en el intervalo cerrado [a,b]{displaystyle [a,b]}, entonces f{displaystyle f} debe alcanzar un máximo y un mínimo, cada una al menos una vez. Es decir, hay números c{displaystyle c} y d{displaystyle d} dentro [a,b]{displaystyle [a,b]} tal que:

f()c)≥ ≥ f()x)≥ ≥ f()d)О О x▪ ▪ [a,b]{displaystyle f(c)geq f(x)geq f(d)quad forall xin [a,b]}

El teorema de valor extremo es más específico que el relacionado Teorema de unión, que declara meramente que una función continua f{displaystyle f} en el intervalo cerrado [a,b]{displaystyle [a,b]} está atado en ese intervalo; es decir, existen números reales m{displaystyle m} y M{displaystyle M} tal que:

m≤ ≤ f()x)≤ ≤ MО О x▪ ▪ [a,b].{displaystyle mleq f(x)leq Mquad forall xin [a,b].}

Esto no dice que M{displaystyle M} y m{displaystyle m} son necesariamente los valores máximos y mínimos f{displaystyle f} en el intervalo [a,b],{displaystyle [a,b],} que es lo que el teorema de valor extremo estipula también debe ser el caso.

El teorema del valor extremo se usa para demostrar el teorema de Rolle. En una formulación debida a Karl Weierstrass, este teorema establece que una función continua de un espacio compacto no vacío a un subconjunto de los números reales alcanza un máximo y un mínimo.

Historia

El teorema del valor extremo fue probado originalmente por Bernard Bolzano en la década de 1830 en un trabajo Function Theory pero el trabajo permaneció inédito hasta 1930. La prueba de Bolzano consistía en mostrar que una función continua en se acotó un intervalo cerrado, y luego se mostró que la función alcanzó un valor máximo y mínimo. Ambas pruebas involucraron lo que hoy se conoce como el teorema de Bolzano-Weierstrass.

Funciones a las que no se aplica el teorema

Los siguientes ejemplos muestran por qué el dominio de la función debe ser cerrado y acotado para que se aplique el teorema. Cada uno falla en alcanzar un máximo en el intervalo dado.

1. f()x)=x{displaystyle f(x)=x} definidas [0,JUEGO JUEGO ){displaystyle [0,infty]} no está obligado desde arriba.
2. f()x)=x1+x{displaystyle f(x)={frac {x}{1+x}} definidas [0,JUEGO JUEGO ){displaystyle [0,infty]} está atado pero no alcanza su límite inferior 1{displaystyle 1}.
3. f()x)=1x{displaystyle f(x)={frac {1}{x}} definidas ()0,1]{displaystyle (0,1]} no está obligado desde arriba.
4. f()x)=1− − x{displaystyle f(x)=1-x} definidas ()0,1]{displaystyle (0,1]} está atado pero nunca alcanza su límite inferior superior 1{displaystyle 1}.

Definición f()0)=0{displaystyle f(0)=0} en los dos últimos ejemplos muestra que ambos teoremas requieren continuidad en [a,b]{displaystyle [a,b]}.

Generalización a espacios métricos y topológicos

Cuando se mueve de la línea real R{displaystyle mathbb {R} a los espacios métricos y los espacios topológicos generales, la generalización adecuada de un intervalo cerrado es un conjunto compacto. Un juego K{displaystyle K} se dice que es compacto si tiene la siguiente propiedad: de cada colección de conjuntos abiertos Uα α {displaystyle U_{alpha } tales que ⋃ ⋃ Uα α .. K{textstyle bigcup U_{alpha }supset K}, una subcoleccion finita Uα α 1,...... ,Uα α n{displaystyle U_{alpha _{1}},ldotsU_{alpha ¿Qué?puede ser elegido tal ⋃ ⋃ i=1nUα α i.. K{textstyle bigcup ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?. Esto generalmente se declara en breve como "cada cubierta abierta K{displaystyle K} tiene un subcubrimiento finito". El teorema Heine-Borel afirma que un subconjunto de la línea real es compacto si y sólo si está cerrado y atado. Correspondientemente, un espacio métrico tiene la propiedad Heine-Borel si cada conjunto cerrado y atado es también compacto.

El concepto de una función continua también se puede generalizar. Ante espacios topológicos V,W{displaystyle V,, una función f:V→ → W{displaystyle f:Vto W} se dice que es continuo si para cada conjunto abierto U⊂ ⊂ W{displaystyle Usubset W}, f− − 1()U)⊂ ⊂ V{displaystyle f^{-1}(U)subset V} también está abierto. Dada estas definiciones, se pueden demostrar funciones continuas para preservar la compactidad:

Teorema. Si V,W{displaystyle V, son espacios topológicos, f:V→ → W{displaystyle f:Vto W} es una función continua, y K⊂ ⊂ V{displaystyle Ksubset V} es compacto, entonces f()K)⊂ ⊂ W{displaystyle f(K)subset W. es también compacto.

En particular, si W=R{displaystyle W=Mathbb {R}, entonces este teorema implica que f()K){displaystyle f(K)} está cerrado y atado para cualquier conjunto compacto K{displaystyle K}, que a su vez implica que f{displaystyle f} alcanza su supremum e infimum en cualquier conjunto compacto (no vacío) K{displaystyle K}. Así, tenemos la siguiente generalización del teorema de valor extremo:

Teorema. Si K{displaystyle K} es un conjunto compacto y f:K→ → R{displaystyle f:Kto mathbb {R} es una función continua, entonces f{displaystyle f} está atado y existe p,q▪ ▪ K{displaystyle p,qin K} tales que f()p)=Supx▪ ▪ Kf()x){textstyle f(p)=sup _{xin K}f(x)} y f()q)=infx▪ ▪ Kf()x){textstyle f(q)=inf _{xin K}f(x)}.

De manera un poco más general, esto también es cierto para una función semicontinua superior. (ver espacio compacto#Funciones y espacios compactos).

Demostración de los teoremas

Miramos la prueba del límite superior y el máximo f{displaystyle f}. Aplicando estos resultados a la función − − f{displaystyle - f), la existencia del límite inferior y el resultado para el mínimo f{displaystyle f} sigue. También tenga en cuenta que todo en la prueba se hace dentro del contexto de los números reales.

Primero demostramos el teorema de acotación, que es un paso en la demostración del teorema del valor extremo. Los pasos básicos involucrados en la demostración del teorema del valor extremo son:

1. Probar el teorema de la unión.
2. Encontrar una secuencia para que su imagen converge al supremum de f{displaystyle f}.
3. Mostrar que existe una subsequencia que converge a un punto en el dominio.
4. Use continuidad para mostrar que la imagen de la subsequencia converge al supremum.

Prueba del teorema de acotación

Estado Si f()x){displaystyle f(x)} continuo [a,b]{displaystyle [a,b]} entonces está atado [a,b]{displaystyle [a,b]}

Suponga la función f{displaystyle f} no está atado arriba en el intervalo [a,b]{displaystyle [a,b]}. Entonces, por cada número natural n{displaystyle n}, existe un xn▪ ▪ [a,b]{displaystyle x_{n}in [a,b] tales que n}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f()xn)■n{displaystyle f(x_{n}]n}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdc7de7380950dec9aacd328f7a6363defb1a65" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.129ex; height:2.843ex;"/>. Esto define una secuencia ()xn)n▪ ▪ N{displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N}. Porque... [a,b]{displaystyle [a,b]} está atado, el teorema Bolzano-Weierstrass implica que existe una subsequencia convergente ()xnk)k▪ ▪ N{displaystyle (x_{n_{k})_{kin mathbb {N} de ()xn){displaystyle ({x_{n}}}}. Denota su límite x{displaystyle x}. As [a,b]{displaystyle [a,b]} está cerrado, contiene x{displaystyle x}. Porque... f{displaystyle f} es continuo x{displaystyle x}, sabemos que f()xnk){displaystyle f(x_{n}_{k}}} converge al número real f()x){displaystyle f(x)} (como f{displaystyle f} es secuencialmente continuo x{displaystyle x}). Pero... n_{k}geq k}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f()xnk)■nk≥ ≥ k{displaystyle f(x_{n}_{k}} {k}gq} k}n_{k}geq k}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176b759e52449da48df9f2913aef994a4999b162" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.387ex; height:3.009ex;"/> para todos k{displaystyle k}, lo que implica que f()xnk){displaystyle f(x_{n}_{k}}} divergencias a +JUEGO JUEGO {displaystyle +infty }Una contradicción. Por lo tanto, f{displaystyle f} está obligado arriba [a,b]{displaystyle [a,b]}.▪ ▪ {displaystyle Box}

Prueba alternativa

Estado Si f()x){displaystyle f(x)} continuo [a,b]{displaystyle [a,b]} entonces está atado [a,b]{displaystyle [a,b]}

Prueba Considere el conjunto B{displaystyle B} de puntos p{displaystyle p} dentro [a,b]{displaystyle [a,b]} tales que f()x){displaystyle f(x)} está atado [a,p]{displaystyle [a,p]}. Observamos que a{displaystyle a} es uno de esos puntos, porque f()x){displaystyle f(x)} está atado [a,a]{displaystyle [a,a]} por el valor f()a){displaystyle f(a)}. Si a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">e■a{displaystyle e confíaa}a}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c380fb5f3d5913cb6829da73a8313b0edb6d51e" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.412ex; height:1.843ex;"/> es otro punto, entonces todos los puntos entre a{displaystyle a} y e{displaystyle e} también pertenecen a B{displaystyle B}. En otras palabras B{displaystyle B} es un intervalo cerrado en su extremo izquierdo por a{displaystyle a}.

Ahora f{displaystyle f} es continuo en la derecha en a{displaystyle a}, por lo tanto existe 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/> tales que <math alttext="{displaystyle |f(x)-f(a)|Silenciof()x)− − f()a)Silencio.1{displaystyle Silenciof(x)-f(a) intimidad<img alt="{displaystyle |f(x)-f(a)| para todos x{displaystyle x} dentro [a,a+δ δ ]{displaystyle [a,a+delta]. Así f{displaystyle f} está obligado por f()a)− − 1{displaystyle f(a)-1} y f()a)+1{displaystyle f(a)+1} en el intervalo [a,a+δ δ ]{displaystyle [a,a+delta] para que todos estos puntos pertenecen a B{displaystyle B}.

Hasta ahora, sabemos que B{displaystyle B} es un intervalo de longitud no cero, cerrado en su extremo izquierdo por a{displaystyle a}.

Siguiente, B{displaystyle B} está obligado por encima b{displaystyle b}. Por lo tanto el conjunto B{displaystyle B} tiene un supremum en [a,b]{displaystyle [a,b]}; vamos a llamarlo s{displaystyle s}. De la longitud no cero de B{displaystyle B} podemos deducir eso a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">s■a{displaystyle s confíaa}a}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b21a351aadfbadbb855fc3164fa6f319e5aa50" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.419ex; height:1.843ex;"/>.

Suppose <math alttext="{displaystyle ss.b{displaystyle s wonb}<img alt="{displaystyle s. Ahora f{displaystyle f} es continuo s{displaystyle s}, por lo tanto existe 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/> tales que <math alttext="{displaystyle |f(x)-f(s)|Silenciof()x)− − f()s)Silencio.1{displaystyle tenciónf(x)-f(s)<img alt="{displaystyle |f(x)-f(s)| para todos x{displaystyle x} dentro [s− − δ δ ,s+δ δ ]{displaystyle [s-deltas+delta] así f{displaystyle f} está atado en este intervalo. Pero sigue de la supremacía de s{displaystyle s} que existe un punto que pertenece a B{displaystyle B}, e{displaystyle e} decir, que es mayor que s− − δ δ /2{displaystyle s-delta /2}. Así f{displaystyle f} está atado [a,e]{displaystyle [a,e]} que superpone [s− − δ δ ,s+δ δ ]{displaystyle [s-deltas+delta] así f{displaystyle f} está atado [a,s+δ δ ]{displaystyle [a,s+delta]. Sin embargo, esto contradice la supremacía de s{displaystyle s}.

Por lo tanto, debemos tener s=b{displaystyle S=b. Ahora f{displaystyle f} es continuo en la izquierda a la izquierda s{displaystyle s}, por lo tanto existe 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/> tales que <math alttext="{displaystyle |f(x)-f(s)|Silenciof()x)− − f()s)Silencio.1{displaystyle tenciónf(x)-f(s)<img alt="{displaystyle |f(x)-f(s)| para todos x{displaystyle x} dentro [s− − δ δ ,s]{displaystyle [s-deltas]} así f{displaystyle f} está atado en este intervalo. Pero sigue de la supremacía de s{displaystyle s} que existe un punto que pertenece a B{displaystyle B}, e{displaystyle e} decir, que es mayor que s− − δ δ /2{displaystyle s-delta /2}. Así f{displaystyle f} está atado [a,e]{displaystyle [a,e]} que superpone [s− − δ δ ,s]{displaystyle [s-deltas]} así f{displaystyle f} está atado [a,s]{displaystyle [a,s]}. ∎

Prueba del teorema del valor extremo

Por el teorema de acotación, f está acotado desde arriba, por lo tanto, por la completitud de Dedekind de los números reales, el límite superior mínimo (supremo) M de f existe. Es necesario encontrar un punto d en [a, b] tal que M = f (d). Sea n un número natural. Como M es el límite superior menor, M – 1/n no es un límite superior para f. Por tanto, existe d_n en [a, b] tal que M – 1/n < f(d_n). Esto define una secuencia {d_n}. Dado que M es un límite superior para f, tenemos M – 1/n < f(d_n) ≤ M para todos los n. Por lo tanto, la secuencia {f(d_n)} converge a M.

El teorema Bolzano-Weierstrass nos dice que existe una subsequenciadnk{displaystyle ♪♪}, que converge a algunos d y, como [a, bEstá cerrado, d está ena, b]. Desde f es continuo d, la secuencia {f()dnk{displaystyle ♪♪Convergencias f()d). Pero...f()d_nkEs una subsequencia def()d_nEso converge a MAsí que M = f()d). Por lo tanto, f alcanza su supremum M a d∎

Demostración alternativa del teorema del valor extremo

El conjunto {y ∈ R: y = f(x) para algún x ∈ [a,b]} es un conjunto acotado. Por lo tanto, su límite superior mínimo existe por la propiedad de límite superior mínimo de los números reales. Sea M = sup(f(x)) en [a, b]. Si no hay un punto x en [a, b] de modo que f(x) = Mentonces f(x) < M en [a, b]. Por lo tanto, 1/(M − f(x)) es continua en [a, b].

Sin embargo, para cada número positivo ε, siempre hay alguna x en [a, b] tal que M − f(x) < ε porque M es el límite superior mínimo. Por lo tanto, 1/(M − f(x)) > 1/ε, lo que significa que 1/(M − f( x)) no está acotado. Dado que cada función continua en a [a, b] está acotada, esto contradice la conclusión de que 1/(M − f(x)) era continuo en [a, b]. Por lo tanto, debe haber un punto x en [a, b] tal que f(x ) = M. ∎

Prueba usando los hiperreales

En el entorno del cálculo no estándar, deja NSer un hiperinteger infinito. El intervalo [0, 1] tiene una extensión hiperreal natural. Considere su partición en N subintervalos de igual longitud infinitesimal 1/N, con puntos de partición x_i= i/N como i "corres" de 0 a 0 N. La función .también se extiende naturalmente a una función .* definido en los hiperreales entre 0 y 1. Tenga en cuenta que en el ajuste estándar (cuando Nes finito), un punto con el valor máximo de . siempre se puede elegir entre N+1 puntos x_i, por inducción. Por lo tanto, por el principio de transferencia, hay un hiperinteger i₀ tal que 0 ≤ i₀≤ N y fAlternativa Alternativa ()xi0)≥ ≥ fAlternativa Alternativa ()xi){displaystyle f^{*}(x_{i_{0})geq f^{*}(x_{i}}para todos i= 0,...,N. Considere el punto real

c=st()xi0){displaystyle c=mathbf {st} (x_{i_{0}}}

stxx▪ ▪ [xi,xi+1]{displaystyle xin [x_{i},x_{i+1}}stx_ixstfAlternativa Alternativa ()xi0)≥ ≥ fAlternativa Alternativa ()xi){displaystyle f^{*}(x_{i_{0})geq f^{*}(x_{i}}st()fAlternativa Alternativa ()xi0))≥ ≥ st()fAlternativa Alternativa ()xi)){displaystyle mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0})geq mathbf {st} (f^{*}(x_{i})}.

st()fAlternativa Alternativa ()xi0))=f()st()xi0))=f()c){displaystyle mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0})=f(mathbf {st} (x_{i_{0})=f(c)}.

Por lo tanto ƒ(c) ≥ ƒ(x), para todo real x, demostrando que c es un máximo de ƒ.

Prueba de los primeros principios

Estado Si f()x){displaystyle f(x)} continuo [a,b]{displaystyle [a,b]} entonces consigue supremum en [a,b]{displaystyle [a,b]}

Prueba Por el Teorema de la Divinidad, f()x){displaystyle f(x)} está obligado arriba [a,b]{displaystyle [a,b]} y por la propiedad de la integridad de los números reales tiene un supremum en [a,b]{displaystyle [a,b]}. Vamos a llamarlo M{displaystyle M}, o M[a,b]{displaystyle M[a,b]. Está claro que la restricción f{displaystyle f} al subintervalo [a,x]{displaystyle [a,x]} Donde x≤ ≤ b{displaystyle xleq b} tiene un supremum M[a,x]{displaystyle M[a,x]} que es inferior o igual a M{displaystyle M}, y eso M[a,x]{displaystyle M[a,x]} aumentos f()a){displaystyle f(a)} a M{displaystyle M} como x{displaystyle x} aumentos a{displaystyle a} a b{displaystyle b}.

Si f()a)=M{displaystyle f(a)=M} entonces hemos terminado. Supongamos, pues, que <math alttext="{displaystyle f(a)f()a).M{displaystyle f(a)<img alt="{displaystyle f(a) y dejar d=M− − f()a){displaystyle d=M-f(a)}. Considere el conjunto L{displaystyle L. de puntos x{displaystyle x} dentro [a,b]{displaystyle [a,b]} tales que <math alttext="{displaystyle M[a,x]M[a,x].M{displaystyle M[a,x]<img alt="{displaystyle M[a,x].

Claramente a▪ ▪ L{displaystyle ain L}; más aún si a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">e■a{displaystyle e confíaa}a}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c380fb5f3d5913cb6829da73a8313b0edb6d51e" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.412ex; height:1.843ex;"/> es otro punto en L{displaystyle L. entonces todos los puntos entre a{displaystyle a} y e{displaystyle e} también pertenecen a L{displaystyle L. porque M[a,x]{displaystyle M[a,x]} está aumentando la monotónica. Por lo tanto L{displaystyle L. es un intervalo no vacío, cerrado en su extremo izquierdo por a{displaystyle a}.

Ahora f{displaystyle f} es continuo en la derecha en a{displaystyle a}, por lo tanto existe 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/> tales que <math alttext="{displaystyle |f(x)-f(a)|Silenciof()x)− − f()a)Silencio.d/2{displaystyle Silenciof(x)-f(a)<img alt="{displaystyle |f(x)-f(a)| para todos x{displaystyle x} dentro [a,a+δ δ ]{displaystyle [a,a+delta]. Así f{displaystyle f} es menos que M− − d/2{displaystyle M-d/2 en el intervalo [a,a+δ δ ]{displaystyle [a,a+delta] para que todos estos puntos pertenecen a L{displaystyle L..

Siguiente, L{displaystyle L. está obligado por encima b{displaystyle b} y por lo tanto tiene un supremum [a,b]{displaystyle [a,b]}Vamos a llamarlo s{displaystyle s}. Vemos desde arriba que a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">s■a{displaystyle s confíaa}a}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b21a351aadfbadbb855fc3164fa6f319e5aa50" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.419ex; height:1.843ex;"/>. Vamos a mostrar que s{displaystyle s} es el punto que estamos buscando es decir, el punto donde f{displaystyle f} alcanza su supremum, o en otras palabras f()s)=M{displaystyle f(s)=M}.

Supongamos lo contrario. <math alttext="{displaystyle f(s)f()s).M{displaystyle f(s)<img alt="{displaystyle f(s). Vamos d=M− − f()s){displaystyle d=M-f(s)} y considerar los dos casos siguientes:

1. <math alttext="{displaystyle ss.b{displaystyle s wonb}<img alt="{displaystyle s. As f{displaystyle f} es continuo s{displaystyle s}, existe 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/> tales que <math alttext="{displaystyle |f(x)-f(s)|Silenciof()x)− − f()s)Silencio.d/2{displaystyle tenciónf(x)-f(s)<img alt="{displaystyle |f(x)-f(s)| para todos x{displaystyle x} dentro [s− − δ δ ,s+δ δ ]{displaystyle [s-deltas+delta]. Esto significa que f{displaystyle f} es menos que M− − d/2{displaystyle M-d/2 en el intervalo [s− − δ δ ,s+δ δ ]{displaystyle [s-deltas+delta]. Pero sigue de la supremacía de s{displaystyle s} que existe un punto, e{displaystyle e} decir, pertenecientes a L{displaystyle L. que es mayor que s− − δ δ {displaystyle s-delta }. Por definición L{displaystyle L., <math alttext="{displaystyle M[a,e]M[a,e].M{displaystyle M[a,e]<img alt="{displaystyle M[a,e]. Vamos d1=M− − M[a,e]{displaystyle d_{1}=M-M[a,e] entonces para todos x{displaystyle x} dentro [a,e]{displaystyle [a,e]}, f()x)≤ ≤ M− − d1{displaystyle f(x)leq M-d-{1}. Tomando d2{displaystyle D_{2} como mínimo d/2{displaystyle d/2} y d1{displaystyle D_{1}, tenemos f()x)≤ ≤ M− − d2{displaystyle f(x)leq M-d_{2} para todos x{displaystyle x} dentro [a,s+δ δ ]{displaystyle [a,s+delta].
   Por lo tanto <math alttext="{displaystyle M[a,s+delta ]M[a,s+δ δ ].M{displaystyle M[a,s+delta]<img alt="{displaystyle M[a,s+delta ] así s+δ δ ▪ ▪ L{displaystyle s+delta in L}. Sin embargo, esto contradice la supremacía de s{displaystyle s} y completa la prueba.
2. s=b{displaystyle S=b. As f{displaystyle f} es continuo en la izquierda a la izquierda s{displaystyle s}, existe 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/> tales que <math alttext="{displaystyle |f(x)-f(s)|Silenciof()x)− − f()s)Silencio.d/2{displaystyle tenciónf(x)-f(s)<img alt="{displaystyle |f(x)-f(s)| para todos x{displaystyle x} dentro [s− − δ δ ,s]{displaystyle [s-deltas]}. Esto significa que f{displaystyle f} es menos que M− − d/2{displaystyle M-d/2 en el intervalo [s− − δ δ ,s]{displaystyle [s-deltas]}. Pero sigue de la supremacía de s{displaystyle s} que existe un punto, e{displaystyle e} decir, pertenecientes a L{displaystyle L. que es mayor que s− − δ δ {displaystyle s-delta }. Por definición L{displaystyle L., <math alttext="{displaystyle M[a,e]M[a,e].M{displaystyle M[a,e]<img alt="{displaystyle M[a,e]. Vamos d1=M− − M[a,e]{displaystyle d_{1}=M-M[a,e] entonces para todos x{displaystyle x} dentro [a,e]{displaystyle [a,e]}, f()x)≤ ≤ M− − d1{displaystyle f(x)leq M-d-{1}. Tomando d2{displaystyle D_{2} como mínimo d/2{displaystyle d/2} y d1{displaystyle D_{1}, tenemos f()x)≤ ≤ M− − d2{displaystyle f(x)leq M-d_{2} para todos x{displaystyle x} dentro [a,b]{displaystyle [a,b]}. Esto contradice la supremacía de M{displaystyle M} y completa la prueba.

Extensión a funciones semicontinuas

Si la continuidad de la función f se debilita a semicontinuidad, entonces la mitad correspondiente del teorema de acotación y el teorema del valor extremo se cumplen y los valores –∞ o +∞, respectivamente, de la línea de números reales extendida se puede permitir como valores posibles. Más precisamente:

Did you mean:

Theorem: If a function f: [a, b] → [–∞, ∞) is upper semi-continuous, meaning that

lim supSí.→ → xf()Sí.)≤ ≤ f()x){displaystyle limsup _{yto x}f(y)leq f(x)}

xabf

Prueba: Si f(x) = –∞ para todo x en [a ,b], entonces el supremo también es –∞ y el teorema es verdadero. En todos los demás casos, la prueba es una ligera modificación de las pruebas dadas anteriormente. En la demostración del teorema de acotación, la semicontinuidad superior de f en x solo implica que el límite superior de la subsucesión {f(x_nk)} está delimitado arriba por f(x) < ∞, pero eso es suficiente para obtener la contradicción. En la demostración del teorema del valor extremo, la semicontinuidad superior de f en d implica que el límite superior de la subsucesión {f(d_nk)} está delimitado arriba por f(d), pero esto es suficiente para concluir que f(d) = M. ∎

Did you mean:

Applying this result to −<if proves:

Did you mean:

Theorem: If a function f: [a, b] → (–∞, ∞] is lower semi-continuous, meaning that

lim infSí.→ → xf()Sí.)≥ ≥ f()x){displaystyle liminf _{yto x}f(y)geq f(x)}

xabf

Una función de valor real es semicontinua superior e inferior, si y solo si es continua en el sentido habitual. Por lo tanto, estos dos teoremas implican el teorema de acotación y el teorema del valor extremo.