Teorema del punto fijo de Brouwer

Teorema de punto fijo de Brouwer es un teorema de punta fija en la topología, llamado por L. E. J. (Bertus) Brouwer. Afirma que para cualquier función continua f{displaystyle f} cartografía de un convex compacto establecido en sí mismo hay un punto x0{displaystyle x_{0} tales que f()x0)=x0{displaystyle f(x_{0}=x_{0}. Las formas más simples del teorema de Brouwer son para funciones continuas f{displaystyle f} desde un intervalo cerrado I{displaystyle Yo... en los números reales a sí mismo o desde un disco cerrado D{displaystyle D} a sí mismo. Una forma más general que esta última es para funciones continuas desde un subconjunto compacto convexo K{displaystyle K} del espacio euclidiano a sí mismo.

Entre cientos de teoremas de punto fijo, el de Brouwer es particularmente conocido, debido en parte a su uso en numerosos campos de las matemáticas. En su campo original, este resultado es uno de los teoremas clave que caracterizan la topología de los espacios euclidianos, junto con el teorema de la curva de Jordan, el teorema de la bola peluda, la invariancia de la dimensión y el teorema de Borsuk-Ulam. Esto le da un lugar entre los teoremas fundamentales de la topología. El teorema también se usa para probar resultados profundos sobre ecuaciones diferenciales y se trata en la mayoría de los cursos de introducción a la geometría diferencial. Aparece en campos inverosímiles como la teoría de juegos. En economía, el teorema del punto fijo de Brouwer y su extensión, el teorema del punto fijo de Kakutani, juegan un papel central en la prueba de la existencia del equilibrio general en las economías de mercado tal como lo desarrolló en la década de 1950 el premio Nobel de economía Kenneth Arrow. y Gerard Debreu.

El teorema se estudió por primera vez en vista del trabajo sobre ecuaciones diferenciales de los matemáticos franceses alrededor de Henri Poincaré y Charles Émile Picard. Probar resultados como el teorema de Poincaré-Bendixson requiere el uso de métodos topológicos. Este trabajo de finales del siglo XIX se abrió a varias versiones sucesivas del teorema. El caso de asignaciones diferenciables de la bola cerrada n-dimensional fue probado por primera vez en 1910 por Jacques Hadamard y el caso general de mapeos continuos de Brouwer en 1911.

Declaración

El teorema tiene varias formulaciones, según el contexto en el que se utilice y su grado de generalización. El más simple a veces se da de la siguiente manera:

En el avión

Cada función continua de un disco cerrado a sí mismo tiene al menos un punto fijo.

Esto se puede generalizar a una dimensión finita arbitraria:

En el espacio euclidiano

Cada función continua de una bola cerrada de un espacio euclidiano en sí mismo tiene un punto fijo.

Una versión un poco más general es la siguiente:

Conjunto compacto convex

Cada función continua de un subconjunto compacto convexo K de un espacio euclidiano a K tiene un punto fijo.

Una forma aún más general se conoce mejor con otro nombre:

Teorema de punto fijo Schauder

Cada función continua de un subconjunto compacto convexo K de un espacio de Banach a K tiene un punto fijo.

Importancia de las condiciones previas

El teorema se cumple solo para funciones que son endomorfismos (funciones que tienen el mismo conjunto que el dominio y el codominio) y para conjuntos que son compactos (por lo tanto, en particular, acotado y cerrado) y convexo (u homeomorfo a convexo). Los siguientes ejemplos muestran por qué las condiciones previas son importantes.

La función f como endomorfismo

Considere la función

f()x)=x+1{displaystyle f(x)=x+1}

con dominio [-1,1]. El rango de la función es [0,2]. Por lo tanto, f no es un endomorfismo.

Acotación

Considere la función

f()x)=x+1,{displaystyle f(x)=x+1,}

que es una función continua de R{displaystyle mathbb {R} a sí mismo. A medida que cambia cada punto a la derecha, no puede tener un punto fijo. El espacio R{displaystyle mathbb {R} es convexo y cerrado, pero no atado.

Cerradura

Considere la función

f()x)=x+12,{displaystyle f(x)={frac {x+1}{2}}

que es una función continua desde el intervalo abierto (−1,1) a sí mismo. En este intervalo, desplaza cada punto a la derecha, por lo que no puede tener un punto fijo. El espacio (−1,1) es convexo y acotado, pero no cerrado. La función f sí tiene un punto fijo para el intervalo cerrado [−1,1], a saber, f(1) = 1.

Convexidad

La convexidad no es estrictamente necesaria para el BFPT. Debido a que las propiedades involucradas (continuidad, siendo un punto fijo) son invariantes bajo homeomorfismos, BFPT es equivalente a formas en las que el dominio es requerido para ser una bola de unidad cerrada Dn{displaystyle D^{n}. Por la misma razón se mantiene para cada conjunto que es homeomorfo a una bola cerrada (y por lo tanto también cerrado, atado, conectado, sin agujeros, etc.).

El siguiente ejemplo muestra que BFPT no trabaja para dominios con agujeros. Considerar la función f()x)=− − x{displaystyle f(x)=-x}, que es una función continua del círculo de unidad a sí mismo. Desde -x. para cualquier punto del círculo de la unidad, f no tiene punto fijo. El ejemplo análogo funciona para el n- esfera dimensional (o cualquier dominio simétrico que no contenga el origen). El círculo de la unidad está cerrado y atado, pero tiene un agujero (y por lo tanto no es convexo). La función f ¿Sí? tiene un punto fijo para el disco de unidad, ya que toma el origen a sí mismo.

Una generalización formal de BFPT para "sin agujeros" los dominios se pueden derivar del teorema del punto fijo de Lefschetz.

Notas

No se requiere que la función continua en este teorema sea biyectiva o sobreyectiva.

Ilustraciones

El teorema tiene varios "mundo real" ilustraciones. Aquí hay unos ejemplos.

1. Tome dos hojas de papel grafico de igual tamaño con sistemas de coordenadas sobre ellos, poner una plana sobre la mesa y arrollar (sin desgarrar o desgarrar) la otra y colocarla, de cualquier manera, en la parte superior de la primera para que el papel crudo no llegue fuera del plano. Entonces habrá al menos un punto de la hoja desmontada que se encuentra directamente por encima de su punto correspondiente (es decir, el punto con las mismas coordenadas) de la hoja plana. Esta es una consecuencia de la n = 2 caso del teorema de Brouwer aplicado al mapa continuo que asigna a las coordenadas de cada punto de la hoja desmontada las coordenadas del punto de la hoja plana inmediatamente debajo de ella.
2. Tome un mapa ordinario de un país, y suponga que ese mapa está establecido en una tabla dentro de ese país. Siempre habrá un punto "Usted está aquí" en el mapa que representa ese mismo punto en el país.
3. En tres dimensiones una consecuencia del teorema de punto fijo Brouwer es que, sin importar cuánto muevas un delicioso cóctel en un vaso (o pienses en el batido), cuando el líquido ha llegado a descansar, algún punto en el líquido terminará exactamente en el mismo lugar en el vidrio como antes de tomar cualquier acción, asumiendo que la posición final de cada punto es una función continua de su posición original, que el líquido después de revolver está contenido en el volumen originalmente conmovido Ordenando un cóctel sacudido, no agitado derrota la condición de convexidad ("agitar" se define como una serie dinámica de estados de contención inercial no-convexo en el espacio de cabeza vacío bajo una tapa). En ese caso, el teorema no se aplicaría, por lo que todos los puntos de la disposición líquida son potencialmente desplazados del estado original.

Enfoque intuitivo

Explicaciones atribuidas a Brouwer

Se supone que el teorema se originó a partir de la observación de Brouwer de una taza de café gourmet. Si se revuelve para disolver un terrón de azúcar, parece que siempre hay un punto sin movimiento. Llegó a la conclusión de que, en cualquier momento, hay un punto en la superficie que no se mueve. El punto fijo no es necesariamente el punto que parece estar inmóvil, ya que el centro de la turbulencia se mueve un poco. El resultado no es intuitivo, ya que el punto fijo original puede volverse móvil cuando aparece otro punto fijo.

Se dice que Brouwer agregó: "Puedo formular este espléndido resultado diferente, tomo una hoja horizontal y otra idéntica que arrugo, aplano y coloco sobre la otra. Luego, un punto de la hoja arrugada está en el mismo lugar que en la otra hoja." Brouwer "aplana" su sábana como con una plancha, sin quitar los pliegues y arrugas. A diferencia del ejemplo de la taza de café, el ejemplo del papel arrugado también demuestra que puede existir más de un punto fijo. Esto distingue el resultado de Brouwer de otros teoremas de punto fijo, como el de Stefan Banach, que garantizan la unicidad.

Caso unidimensional

En una dimensión, el resultado es intuitivo y fácil de probar. La función continua f se define en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores en el mismo intervalo. Decir que esta función tiene un punto fijo equivale a decir que su gráfica (verde oscuro en la figura de la derecha) se cruza con la de la función definida en el mismo intervalo [a, b] que asigna x a x (verde claro).

Intuitivamente, cualquier línea continua desde el borde izquierdo del cuadrado hasta el borde derecho necesariamente debe cruzar la diagonal verde. Para probar esto, considere la función g que asigna x a f(x) − x. Es ≥ 0 en a y ≤ 0 en b. Por el teorema del valor intermedio, g tiene un cero en [a, b]; este cero es un punto fijo.

Se dice que Brouwer expresó esto de la siguiente manera: "En lugar de examinar una superficie, probaremos el teorema sobre un trozo de cuerda. Comencemos con la cuerda en un estado desplegado, luego volvamos a doblarla. Aplanemos la cuerda replegada. De nuevo, un punto de la cuerda no ha cambiado de posición con respecto a su posición original en la cuerda desplegada."

Historia

El teorema del punto fijo de Brouwer fue uno de los primeros logros de la topología algebraica y es la base de teoremas de punto fijo más generales que son importantes en el análisis funcional. El caso n = 3 fue probado por primera vez por Piers Bohl en 1904 (publicado en Journal für die reine und angewandte Mathematik). Posteriormente fue probado por L. E. J. Brouwer en 1909. Jacques Hadamard probó el caso general en 1910, y Brouwer encontró una prueba diferente en el mismo año. Dado que estas primeras demostraciones eran todas indirectas no constructivas, iban en contra de los ideales intuicionistas de Brouwer. Aunque la existencia de un punto fijo no es constructiva en el sentido del constructivismo en matemáticas, ahora se conocen métodos para aproximar puntos fijos garantizados por el teorema de Brouwer.

Prehistoria

Para los flujos en un área sin límites, o en un área con un "agujero", el teorema no es aplicable.

El teorema se aplica a cualquier área en forma de disco, donde garantiza la existencia de un punto fijo.

Para comprender la prehistoria del teorema del punto fijo de Brouwer, es necesario pasar por ecuaciones diferenciales. A finales del siglo XIX, el viejo problema de la estabilidad del sistema solar volvió al centro de atención de la comunidad matemática. Su solución requería nuevos métodos. Como señaló Henri Poincaré, quien trabajó en el problema de los tres cuerpos, no hay esperanza de encontrar una solución exacta: "Nada es más apropiado para darnos una idea de la dureza del problema de los tres cuerpos y, en general, de todos los problemas de Dinámica donde no hay integral uniforme y las series de Bohlin divergen." También señaló que la búsqueda de una solución aproximada no es más eficiente: "cuanto más buscamos obtener aproximaciones precisas, más diverge el resultado hacia una imprecisión creciente".

Estudió una cuestión análoga a la del movimiento de la superficie en una taza de café. ¿Qué podemos decir, en general, sobre las trayectorias sobre una superficie animada por un flujo constante? Poincaré descubrió que la respuesta se puede encontrar en lo que ahora llamamos propiedades topológicas en el área que contiene la trayectoria. Si esta área es compacta, es decir, cerrada y delimitada, entonces la trayectoria se vuelve estacionaria o se acerca a un ciclo límite. Poincaré fue más allá; si el área es del mismo tipo que un disco, como es el caso de la taza de café, necesariamente debe haber un punto fijo. Este punto fijo es invariable bajo todas las funciones que asocian a cada punto de la superficie original su posición después de un corto intervalo de tiempo t. Si el área es una banda circular, o si no está cerrada, entonces este no es necesariamente el caso.

Para comprender mejor las ecuaciones diferenciales, nació una nueva rama de las matemáticas. Poincaré lo llamó análisis situs. La Encyclopædia Universalis francesa lo define como la rama que "trata las propiedades de un objeto que son invariantes si se deforma de forma continua, sin desgarrarse". En 1886, Poincaré demostró un resultado equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer, aunque la conexión con el tema de este artículo aún no era evidente. Un poco más tarde, desarrolló una de las herramientas fundamentales para comprender mejor el análisis situs, ahora conocido como el grupo fundamental o, a veces, el grupo de Poincaré. Este método se puede utilizar para una prueba muy compacta del teorema en discusión.

El método de Poincaré era análogo al de Émile Picard, un matemático contemporáneo que generalizó el teorema de Cauchy-Lipschitz. El enfoque de Picard se basa en un resultado que luego sería formalizado por otro teorema del punto fijo, llamado así por Banach. En lugar de las propiedades topológicas del dominio, este teorema utiliza el hecho de que la función en cuestión es una contracción.

Primeras pruebas

Jacques Hadamard ayudó Brouwer para formalizar sus ideas.

En los albores del siglo XX, el interés por el análisis situs no pasó desapercibido. Sin embargo, la necesidad de un teorema equivalente al discutido en este artículo aún no era evidente. Piers Bohl, un matemático letón, aplicó métodos topológicos al estudio de ecuaciones diferenciales. En 1904 demostró el caso tridimensional de nuestro teorema, pero no se notó su publicación.

Fue Brouwer, finalmente, quien le dio al teorema su primera patente de nobleza. Sus goles fueron diferentes a los de Poincaré. Este matemático se inspiró en los fundamentos de las matemáticas, especialmente en la lógica matemática y la topología. Su interés inicial residía en un intento de resolver el quinto problema de Hilbert. En 1909, durante un viaje a París, conoció a Henri Poincaré, Jacques Hadamard y Émile Borel. Las discusiones que siguieron convencieron a Brouwer de la importancia de una mejor comprensión de los espacios euclidianos y fueron el origen de un fructífero intercambio de cartas con Hadamard. Durante los siguientes cuatro años, se concentró en la demostración de ciertos grandes teoremas sobre esta cuestión. En 1912 demostró el teorema de la bola peluda para la esfera bidimensional, así como el hecho de que todo mapa continuo desde la bola bidimensional hasta sí misma tiene un punto fijo. Estos dos resultados en sí mismos no eran realmente nuevos. Como observó Hadamard, Poincaré había demostrado un teorema equivalente al teorema de la bola peluda. El aspecto revolucionario del enfoque de Brouwer fue su uso sistemático de herramientas desarrolladas recientemente, como la homotopía, el concepto subyacente del grupo de Poincaré. Al año siguiente, Hadamard generalizó el teorema en discusión a una dimensión finita arbitraria, pero empleó métodos diferentes. Hans Freudenthal comenta sobre los roles respectivos de la siguiente manera: "En comparación con los métodos revolucionarios de Brouwer, los de Hadamard eran muy tradicionales, pero la participación de Hadamard en el nacimiento de las ideas de Brouwer se asemeja a eso". de una comadrona más que la de un mero espectador."

El enfoque de Brouwer dio sus frutos, y en 1910 también encontró una prueba que era válida para cualquier dimensión finita, así como otros teoremas clave como la invariancia de la dimensión. En el contexto de este trabajo, Brouwer también generalizó el teorema de la curva de Jordan a una dimensión arbitraria y estableció las propiedades relacionadas con el grado de un mapeo continuo. Esta rama de las matemáticas, imaginada originalmente por Poincaré y desarrollada por Brouwer, cambió de nombre. En la década de 1930, el análisis situs se convirtió en topología algebraica.

Recepción

John Nash utilizó el teorema en la teoría del juego para probar la existencia de un perfil de estrategia de equilibrio.

El teorema demostró su valor en más de una forma. Durante el siglo XX se desarrollaron numerosos teoremas de punto fijo, e incluso una rama de las matemáticas llamada teoría de punto fijo. El teorema de Brouwer es probablemente el más importante. También se encuentra entre los teoremas fundamentales sobre la topología de las variedades topológicas y, a menudo, se usa para demostrar otros resultados importantes, como el teorema de la curva de Jordan.

Además de los teoremas del punto fijo para funciones más o menos contratantes, hay muchos que han surgido directa o indirectamente del resultado en discusión. Un mapa continuo desde una bola cerrada del espacio euclidiano hasta su límite no puede ser la identidad en el límite. De manera similar, el teorema de Borsuk-Ulam dice que un mapa continuo desde la esfera n-dimensional a Rⁿ tiene un par de puntos antípodas que son mapeado en el mismo punto. En el caso de dimensión finita, el teorema del punto fijo de Lefschetz proporcionó a partir de 1926 un método para contar puntos fijos. En 1930, el teorema del punto fijo de Brouwer se generalizó a los espacios de Banach. Esta generalización se conoce como el teorema del punto fijo de Schauder, un resultado generalizado aún más por S. Kakutani a funciones multivaluadas. También se encuentra el teorema y sus variantes fuera de la topología. Puede usarse para demostrar el teorema de Hartman-Grobman, que describe el comportamiento cualitativo de ciertas ecuaciones diferenciales cerca de ciertos equilibrios. De manera similar, el teorema de Brouwer se utiliza para la prueba del teorema del límite central. El teorema también se puede encontrar en pruebas de existencia para las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales.

También se tocan otras áreas. En teoría de juegos, John Nash usó el teorema para probar que en el juego de Hex hay una estrategia ganadora para las blancas. En economía, P. Bich explica que ciertas generalizaciones del teorema muestran que su uso es útil para ciertos problemas clásicos de la teoría de juegos y, en general, para equilibrios (ley de Hotelling), equilibrios financieros y mercados incompletos.

La celebridad de Brouwer no se debe exclusivamente a su trabajo topológico. Las pruebas de sus grandes teoremas topológicos no son constructivas, y la insatisfacción de Brouwer con esto es en parte lo que le llevó a articular la idea de la constructividad. Se convirtió en el iniciador y defensor celoso de una manera de formalizar las matemáticas que se conoce como intuitionismo, que en ese momento hizo una postura contra la teoría de conjuntos. Brouwer rechazó su prueba original del teorema de punta fija. El primer algoritmo para aproximar un punto fijo fue propuesto por Herbert Scarf. Un aspecto sutil del algoritmo de Scarf es que encuentra un punto que es casi fijo por función f, pero en general no puede encontrar un punto cercano a un punto fijo real. En lenguaje matemático, si ε es elegido para ser muy pequeño, el algoritmo de Scarf se puede utilizar para encontrar un punto x tales que f()x) es muy cerca x, es decir, <math alttext="{displaystyle d(f(x),x)d()f()x),x).ε ε {displaystyle d(f(x),x)<img alt="{displaystyle d(f(x),x). Pero el algoritmo de Scarf no se puede utilizar para encontrar un punto x tales que x está muy cerca de un punto fijo: no podemos garantizar <math alttext="{displaystyle d(x,y)d()x,Sí.).ε ε ,{displaystyle d(x,y)<img alt="{displaystyle d(x,y) Donde f()Sí.)=Sí..{displaystyle f(y)=y.} A menudo esta última condición es lo que significa la frase informal "aproximando un punto fijo".

Esquemas de prueba

Una prueba usando grado

La prueba original de Brouwer de 1911 se basó en la noción del grado de una representación continua, derivada de ideas en topología diferencial. En la literatura se pueden encontrar varios relatos modernos de la prueba, en particular Milnor (1965).

Vamos K=B()0)̄ ̄ {displaystyle K={overline {B(0)}} denota la bola de unidad cerrada en Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} centrado en el origen. Supongamos para la simplicidad que f:K→ → K{displaystyle f:Kto K} es continuamente diferente. Un valor regular f{displaystyle f} es un punto p▪ ▪ B()0){displaystyle pin B(0)} tal que el Jacobiano de f{displaystyle f} es no-singular en cada punto de la preimage p{displaystyle p}. En particular, por el teorema de la función inversa, cada punto de la preimage f{displaystyle f} mentiras B()0){displaystyle B(0)} (el interior de K{displaystyle K}). El grado de f{displaystyle f} a un valor ordinario p▪ ▪ B()0){displaystyle pin B(0)} se define como la suma de los signos del determinante jacobino de f{displaystyle f} sobre las preimágenes p{displaystyle p} menores f{displaystyle f}:

degp⁡ ⁡ ()f)=.. x▪ ▪ f− − 1()p)SignaturaDet()dfx).{displaystyle operatorname {deg} _{p}(f)=sum _{xin f^{-1}(p)}operatorname {sign} ,det(df_{x}). }

El grado es, en términos generales, el número de "hojas" de la preimagen f sobre un pequeño conjunto abierto alrededor de p, con hojas contadas de manera opuesta si están orientadas de manera opuesta. Esta es, por lo tanto, una generalización del número de devanados a dimensiones más altas.

El grado satisface la propiedad de invariancia de homotopy# f{displaystyle f} y g{displaystyle g} ser dos funciones continuamente diferentes, y Ht()x)=tf+()1− − t)g{displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g} para 0≤ ≤ t≤ ≤ 1{displaystyle 0leq tleq 1}. Supongamos que el punto p{displaystyle p} es un valor regular Ht{displaystyle H_{t} para todos t. Entonces... degp⁡ ⁡ f=degp⁡ ⁡ g{displaystyle deg _{p}f=deg _{p}g}.

Si no hay punto fijo del límite K{displaystyle K}, entonces la función

g()x)=x− − f()x)Supx▪ ▪ KSilenciox− − f()x)Silencio{displaystyle g(x)={frac {x-f(x)}{sup _{xin K}left habitx-f(x)right WordPress}}

está bien definido y

H()t,x)=x− − tf()x)Supx▪ ▪ KSilenciox− − tf()x)Silencio{displaystyle H(t,x)={frac {x-tf(x)}{sup _{xin K}left habitx-tf(x)right sometida}}

define una homotopia de la función de identidad a ella. La función de identidad tiene grado uno en cada punto. En particular, la función de identidad tiene grado uno en el origen, por lo que g{displaystyle g} también tiene grado uno en el origen. Como consecuencia, el preimage g− − 1()0){displaystyle g^{-1}(0)} no está vacío. Los elementos de g− − 1()0){displaystyle g^{-1}(0)} son precisamente los puntos fijos de la función original f.

Esto requiere algo de trabajo para que sea completamente general. La definición de grado debe extenderse a valores singulares de f, y luego a funciones continuas. El advenimiento más moderno de la teoría de la homología simplifica la construcción del grado y, por lo tanto, se ha convertido en una prueba estándar en la literatura.

Una demostración usando el teorema de la bola peluda

El teorema de la bola peluda establece que en la esfera unitaria S en una euclidiana de dimensión impar espacio, no hay ningún campo de vector tangente continuo que desaparezca en ninguna parte w en S. (La condición de tangencia significa que w(x) ⋅ x = 0 para cada vector unitario x). A veces, el teorema se expresa por la afirmación de que "siempre hay un lugar en el globo sin viento". Una prueba elemental del teorema de la bola peluda se puede encontrar en Milnor (1978).

De hecho, suponga primero que w es continuamente diferenciable. Al escalar, se puede suponer que w es un vector unitario tangente continuamente diferenciable en S. Se puede extender radialmente a una pequeña capa esférica A de S. Para t lo suficientemente pequeño, un cálculo de rutina muestra que la asignación f_t(x) = t x + w(x) es un mapeo de contracción en A y que el volumen de su imagen es un polinomio en t. Por otro lado, como mapeo de contracción, f_t debe restringirse a un homeomorfismo de S en (1 + t²)^½ S y A en (1 + t²)^½ A. Esto da una contradicción, porque, si la dimensión n del espacio euclidiano es impar, (1 + t²)^n/2 no es un polinomio.

Si w es solo un vector tangente unitario continuo en S, por el teorema de aproximación de Weierstrass, se puede aproximar uniformemente mediante un mapa polinomial u de A en el espacio euclidiano. La proyección ortogonal sobre el espacio tangente está dada por v(x) = u(x) - u(x ) ⋅ x. Por lo tanto, v es polinomial y no desaparece en ninguna parte en A; por construcción v/||v|| es un campo de vector tangente unitario suave en S, una contradicción.

La versión continua del teorema de la bola peluda ahora se puede usar para probar el teorema del punto fijo de Brouwer. Primero suponga que n es impar. Si hubiera una autoasignación continua libre de puntos fijos f de la bola unitaria cerrada B de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;" nespacio euclidiano V, conjunto

w()x)=()1− − x⋅ ⋅ f()x))x− − ()1− − x⋅ ⋅ x)f()x).{f} {f} {f} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}} {cdot {f} {f} {f} {f}} {f} {f}} {f} {f} {f} {f} {f}f}} {f}f}}f}}f}}}} {f}f}}}}}f}f} {f}}}}}}f}f} {f}f} {f}}}}}}f} {f} {f}}}f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f}} {f}f}f}f}}}f} {f} {f} {f}f} {f}}}}}}f} {f}f}}}

Dado que f no tiene puntos fijos, se deduce que, para x en el interior de B, el vector w(x) no es cero; y para x en S, el producto escalar
x ⋅ w(x) = 1 – x ⋅ f(x) es estrictamente positivo. Del espacio original n-dimensional Espacio euclidiano V, construya un nuevo auxiliar
(n + 1) espacio dimensional W = V x R, con coordenadas y = (x, t). Colocar

X()x,t)=()− − tw()x),x⋅ ⋅ w()x)).{fnMitbf} {fnMithbf {f},t)=(-t,{mthbf {w} {\fnMitbf {x}),{mtbf {x} }cdot {mathbf {}({mathbf {x})}).}

Por construcción X es un campo vectorial continuo en la esfera unitaria de W, satisfaciendo la condición de tangencia y ⋅ X(y) = 0. Además, X(y) no desaparece por ninguna parte (porque, si x tiene la norma 1, entonces x ⋅ w(x) no es cero; mientras que si x tiene una norma estrictamente menor que 1, entonces t y w(x) son distintos de cero). Esta contradicción prueba el teorema del punto fijo cuando n es impar. Incluso para n, se puede aplicar el teorema del punto fijo a la bola unitaria cerrada B en n + 1 dimensiones y la asignación F(x,y) = (f(x),0). La ventaja de esta prueba es que utiliza solo técnicas elementales; resultados más generales como el teorema de Borsuk-Ulam requieren herramientas de topología algebraica.

Una prueba usando homología o cohomología

La prueba utiliza la observación de que el límite del disco n Dⁿ es Sⁿ⁻¹, la esfera (n − 1).

Ilustración de la retracción F

Supongamos, por contradicción, que una función continua f: Dⁿ → Dⁿ tiene no punto fijo. Esto significa que, para cada punto x en Dⁿ, los puntos x y f(x) son distintos. Debido a que son distintos, para cada punto x en Dⁿ, podemos construir un rayo único a partir de f(x) a x y siga el rayo hasta que se cruce con el límite Sⁿ⁻¹ (ver ilustración). Al llamar a este punto de intersección F(x), definimos una función F: Dⁿ → Sⁿ⁻¹ enviando cada punto en el disco a su punto de intersección correspondiente en el límite. Como caso especial, siempre que x esté en el límite, entonces el punto de intersección F(x) debe ser x.

En consecuencia, F es un tipo especial de función continua conocida como retracción: cada punto del codominio (en este caso Sⁿ⁻¹) es un punto fijo de F.

Intuitivamente, parece poco probable que pueda haber una retracción de Dⁿ a Sⁿ⁻¹, y en el caso n = 1, la imposibilidad es más básica, porque S⁰ (es decir, los extremos del intervalo cerrado D¹) ni siquiera está conectado. El caso n = 2 es menos obvio, pero se puede probar usando argumentos básicos que involucran los grupos fundamentales de los espacios respectivos: la retracción induciría un homomorfismo de grupo sobreyectivo del grupo fundamental de D ² al de S¹, pero este último grupo es isomorfo a Z mientras que el primero grupo es trivial, por lo que esto es imposible. El caso n = 2 también se puede probar por contradicción basada en un teorema sobre campos vectoriales no nulos.

Para n > 2, sin embargo, probar la imposibilidad de la retractación es más difícil. Una forma es hacer uso de grupos de homología: la homología H_n−1(Dⁿ) es trivial, mientras que H_n−1(S ⁿ⁻¹) es cíclico infinito. Esto muestra que la retracción es imposible, porque nuevamente la retracción induciría un homomorfismo de grupo inyectivo del último al primer grupo.

La imposibilidad de una retracción también se puede mostrar utilizando la cohomología de de Rham de subconjuntos abiertos del espacio euclidiano Eⁿ. Para n ≥ 2, la cohomología de De Rham de U = Eⁿ – (0) es unidimensional en grado 0 y n - 1, y se anula en caso contrario. Si existiera una retracción, entonces U tendría que ser contráctil y su cohomología de Rham en grado n - 1 tendría que desaparecer, una contradicción.

Una prueba usando Stokes' teorema

Como en la demostración del teorema del punto fijo de Brouwer para mapas continuos usando homología, se reduce a probar que no hay retracción continua F desde la pelota B hacia su límite ∂B. En ese caso, se puede suponer que F es suave, ya que se puede aproximar utilizando Weierstrass teorema de aproximación o convolucionando con funciones de protuberancia suave no negativa de soporte suficientemente pequeño e integral (es decir, suavizando). Si ω es una forma de volumen en el límite, Stokes' teorema,

<math alttext="{displaystyle 00.∫ ∫ ∂ ∂ B⋅ ⋅ =∫ ∫ ∂ ∂ BFAlternativa Alternativa ()⋅ ⋅ )=∫ ∫ BdFAlternativa Alternativa ()⋅ ⋅ )=∫ ∫ BFAlternativa Alternativa ()d⋅ ⋅ )=∫ ∫ BFAlternativa Alternativa ()0)=0,{displaystyle 0 madeint _{partial B}omega =int _{partial B}F^{*}(omega)=int - ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué?<img alt="{displaystyle 0

dando una contradicción.

Más generalmente, esto muestra que no hay una retracción suave de cualquier variedad compacta orientada suave no vacía M en su límite. La prueba usando Stokes' El teorema está estrechamente relacionado con la demostración por homología, porque la forma ω genera el grupo de cohomología de Rham H^n-1(∂M) que es isomorfo al grupo de homología <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;" H_n-1(∂M) por el teorema de de Rham.

Una prueba combinatoria

El BFPT puede probarse usando la lema de Sperner. Ahora damos un esbozo de la prueba del caso especial en el que f es una función del estándar n-simplex, Δ Δ n,{displaystyle Delta ^{n},} a sí mismo, donde

Δ Δ n={}P▪ ▪ Rn+1▪ ▪ .. i=0nPi=1yPi≥ ≥ 0para todosi}.{displaystyle Delta ^{n}=left{Pin mathbb {R} ^{n+1}mid sum {fnMicrosoft Sans Serif}

Por cada punto P▪ ▪ Δ Δ n,{displaystyle Pin Delta ^{n} también f()P)▪ ▪ Δ Δ n.{displaystyle f(P)in Delta ^{n} De ahí que la suma de sus coordenadas sea igual:

.. i=0nPi=1=.. i=0nf()P)i{displaystyle sum _{i=0}{n}{p_{i}=1=sum ¿Qué?

Por lo tanto, por el principio de la paloma, por cada P▪ ▪ Δ Δ n,{displaystyle Pin Delta ^{n} debe haber un índice j▪ ▪ {}0,...... ,n}{displaystyle jin {0,ldotsn} tal que j{displaystyle j}th coordinate of P{displaystyle P} es mayor o igual al j{displaystyle j}th coordinate of its image under f:

Pj≥ ≥ f()P)j.{displaystyle P_{j}geq f(P)_{j}

Además, si P{displaystyle P} mentiras sobre k- sub-cara dimensional de Δ Δ n,{displaystyle Delta ^{n},} entonces por el mismo argumento, el índice j{displaystyle j} se puede seleccionar entre k + 1 coordenadas que no son cero en este sub-cara.

Ahora utilizamos este hecho para construir un colorante Sperner. Por cada triangulación de Δ Δ n,{displaystyle Delta ^{n},} el color de cada vértice P{displaystyle P} es un índice j{displaystyle j} tales que f()P)j≤ ≤ Pj.{displaystyle f(P)_{j}leq P_{j}.

Por construcción, esta es una coloración de Sperner. Por lo tanto, según el lema de Sperner, hay un símplex n-dimensional cuyos vértices están coloreados con el conjunto completo de n + 1 colores disponibles.

Porque... f es continuo, este simplex se puede hacer arbitrariamente pequeño eligiendo una triangulación arbitrariamente fina. Por lo tanto, debe haber un punto P{displaystyle P} que satisface la condición de etiquetado en todas las coordenadas: f()P)j≤ ≤ Pj{displaystyle f(P)_{j}leq P_{j} para todos j.{displaystyle J.

Porque la suma de las coordenadas P{displaystyle P} y f()P){displaystyle f(P)} deben ser iguales, todas estas desigualdades deben ser en realidad iguales. Pero esto significa que:

f()P)=P.{displaystyle f(P)=P.}

Eso es, P{displaystyle P} es un punto fijo f.{displaystyle f.}

Una prueba de Hirsch

También hay una demostración rápida, de Morris Hirsch, basada en la imposibilidad de una retracción diferenciable. La prueba indirecta comienza observando que el mapa f se puede aproximar mediante un mapa suave que retiene la propiedad de no fijar un punto; esto se puede hacer usando el teorema de aproximación de Weierstrass o convolucionando con funciones de relieve suaves. Luego se define una retracción como arriba, que ahora debe ser diferenciable. Tal retracción debe tener un valor no singular, según el teorema de Sard, que también es no singular para la restricción al límite (que es solo la identidad). Por lo tanto, la imagen inversa sería una variedad 1 con límite. El límite tendría que contener al menos dos puntos finales, los cuales tendrían que estar en el límite de la bola original, lo cual es imposible en una retracción.

R. Bruce Kellogg, Tien-Yien Li y James A. Yorke convirtieron la prueba de Hirsch en una prueba computable al observar que, de hecho, la retracción está definida en todas partes excepto en los puntos fijos. Para casi cualquier punto, q, en la frontera (asumiendo que no es un punto fijo) existe la única variedad con frontera mencionada anteriormente y la única posibilidad es que conduzca desde q a un punto fijo. Es una tarea numérica sencilla seguir un camino de este tipo desde q hasta el punto fijo, por lo que el método es esencialmente computable. dio una versión de seguimiento de ruta conceptualmente similar de la prueba de homotopía que se extiende a una amplia variedad de problemas relacionados.

Una prueba usando área orientada

Una variación de la prueba anterior no emplea el teorema del Sard, y va como sigue. Si r:: B→ → ∂ ∂ B{displaystyle rcolon Bto partial B} es una retracción suave, uno considera la deformación suave gt()x):=tr()x)+()1− − t)x,{displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,} y la función lisa

φ φ ()t):=∫ ∫ BDetDgt()x)dx.{displaystyle varphi (t):=int _{B}det Dg^{t}(x),dx.}

Derivando bajo el signo de integral no es difícil comprobar que φ′(t) = 0 para todo t, entonces φ es una función constante, lo cual es una contradicción porque φ(0) es el volumen n-dimensional de la pelota, mientras que φ(1) es cero. La idea geométrica es que φ(t) es el área orientada de g^t(B) (es decir, la medida de Lebesgue de la imagen de la pelota vía g^t, tomando en cuenta la multiplicidad y la orientación), y debe permanecer constante (como es muy claro en el caso unidimensional). Por otro lado, como el parámetro t pasa de 0 a 1 el mapa g^t se transforma continuamente desde el mapa de identidad de la pelota, a la retracción r, lo cual es una contradicción ya que el área orientada de la identidad coincide con el volumen de la pelota, mientras que el área orientada de r es necesariamente 0, ya que su imagen es la frontera de la pelota, un conjunto de medida nula.

Una prueba usando el juego Hex

Una prueba bastante diferente dada por David Gale se basa en el juego de Hex. El teorema básico con respecto a Hex, demostrado por primera vez por John Nash, es que ningún juego de Hex puede terminar en empate; el primer jugador siempre tiene una estrategia ganadora (aunque este teorema no es constructivo y las estrategias explícitas no se han desarrollado completamente para tamaños de tablero de dimensiones 10 x 10 o mayores). Esto resulta ser equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer para la dimensión 2. Al considerar las versiones n-dimensionales de Hex, se puede probar en general que el teorema de Brouwer es equivalente a la determinación teorema para Hex.

Una prueba usando el teorema del punto fijo de Lefschetz

El teorema del punto fijo de Lefschetz dice que si un mapa continuo f de un complejo simplicial finito B a sí mismo tiene solo puntos fijos aislados, entonces el número de puntos fijos contado con multiplicidades (que pueden ser negativas) es igual al número de Lefschetz

.. n()− − 1)nTr⁡ ⁡ ()fSilencioHn()B)){displaystyle displaystyle sum _{n}(-1)^{n}operatorname {Tr} (f sometidaH_{n}(B)}

y en particular si el número de Lefschetz es no cero entonces f Debe tener un punto fijo. Si B es una bola (o más generalmente es contractible) entonces el número de Lefschetz es uno porque el único grupo de homología simplicial no cero es: H0()B){displaystyle H_{0}(B)} y f actúa como la identidad de este grupo, así f tiene un punto fijo.

Una prueba en un sistema lógico débil

En matemáticas inversas, el teorema de Brouwer se puede demostrar en el sistema WKL0 y, a la inversa, sobre el sistema base RCA0 El teorema de Brouwer para un cuadrado implica el lema débil de König, por lo que esto da una descripción precisa de la fuerza del teorema de Brouwer.

Generalizaciones

El teorema de punto fijo de Brouwer constituye el punto de partida de una serie de teoremas de punto fijo más generales.

La generalización directa a dimensiones infinitas, es decir, usar la bola unitaria de un espacio de Hilbert arbitrario en lugar del espacio euclidiano, no es cierta. El principal problema aquí es que las bolas unitarias de los espacios de Hilbert de dimensión infinita no son compactas. Por ejemplo, en el espacio de Hilbert ℓ2 de secuencias reales (o complejas) sumables al cuadrado, considere el mapa f: ℓ² → ℓ² que envía una secuencia (x_n) desde la bola unitaria cerrada de ℓ² a la secuencia (y_n) definido por

Sí.0=1− − .. x.. 22ySí.n=xn− − 1paran≥ ≥ 1.{displaystyle Y... {fnMicrosoft Sans Serif}quad {fnMicrosoft Sans Serif}quad} Y... 1.}

No es difícil comprobar que este mapa es continuo, tiene su imagen en la esfera unitaria de ℓ², pero no tiene un punto fijo.

Por lo tanto, todas las generalizaciones del teorema del punto fijo de Brouwer a espacios de dimensión infinita incluyen una suposición de compacidad de algún tipo y, a menudo, también una suposición de convexidad. Ver teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita para una discusión de estos teoremas.

También hay generalización finita-dimensional a una clase más grande de espacios: Si X{displaystyle X} es un producto de finitamente muchos continuos en cadena, luego cada función continua f:X→ → X{displaystyle f:Xrightarrow X. tiene un punto fijo, donde un continuum encadeable es un (normalmente pero en este caso no necesariamente métrica) espacio compacto Hausdorff del cual cada cubierta abierta tiene una refinamiento abierto finito {}U1,...... ,Um}{displaystyle {U_{1},ldots U_{m}, tal que Ui∩ ∩ Ujل ل ∅ ∅ {displaystyle U_{i}cap U_{j}neq emptyset } si Silencioi− − jSilencio≤ ≤ 1{displaystyle TENSI-J 1}. Ejemplos de continuo encadenable incluyen espacios compactos conectados ordenados linealmente y en particular intervalos cerrados de números reales.

El teorema del punto fijo de Kakutani generaliza el teorema del punto fijo de Brouwer en una dirección diferente: permanece en Rⁿ, pero considera funciones semicontinuas con valores de conjunto (funciones que asignan a cada punto del conjunto un subconjunto del conjunto). También requiere compacidad y convexidad del conjunto.

El teorema del punto fijo de Lefschetz se aplica a espacios topológicos compactos (casi) arbitrarios y proporciona una condición en términos de homología singular que garantiza la existencia de puntos fijos; esta condición se cumple trivialmente para cualquier mapa en el caso de Dⁿ.

Resultados equivalentes

Hay varios teoremas de punto fijo que vienen en tres variantes equivalentes: una variante de topología algebraica, una variante combinatoria y una variante de cobertura de conjuntos. Cada variante se puede probar por separado usando argumentos totalmente diferentes, pero cada variante también se puede reducir a las otras variantes en su fila. Además, cada resultado en la fila superior se puede deducir de la que está debajo en la misma columna.

Notas