Teorema del punto fijo de Banach

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Teorema sobre los espacios métricos

En matemáticas, el teorema del punto fijo de Banach (también conocido como teorema de mapeo de contracción o teorema de mapeo de contracción) es una herramienta importante en la teoría de los espacios métricos; garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertos automapas de espacios métricos, y proporciona un método constructivo para encontrar esos puntos fijos. Puede entenderse como una formulación abstracta del método de aproximaciones sucesivas de Picard. El teorema lleva el nombre de Stefan Banach (1892-1945), quien lo declaró por primera vez en 1922.

Declaración

Definición. Vamos $(X,d)$ ser un espacio métrico completo. Entonces un mapa ${displaystyle T: X to X}$ se llama mapeo de contracción X si existe ${displaystyle qin [0,1)}$ tales que

d(T(x),T(y))leq qd(x,y)

para todos ${displaystyle x,yin X.}$

Banach Fixed Point Theorem. Vamos $(X,d)$ ser un espacio métrico completo no vacío con un mapeo de contracción ${displaystyle T:Xto X.}$ Entonces... T admite un punto fijo único $x^{*}$ dentro X (i.e. ${displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$ ). Además, $x^{*}$ se puede encontrar como sigue: comenzar con un elemento arbitrario ${displaystyle x_{0}in X}$ y definir una secuencia $(x_{n})_{{nin {mathbb N}}}$ por ${displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$ para $ngeq 1.$ Entonces... ${displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=x^{*}}$ .

Observación 1. Las siguientes desigualdades son equivalentes y describen la velocidad de convergencia:

{displaystyle {begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&leq {frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\d(x^{*},x_{n+1})&leq {frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\d(x^{*},x_{n+1})&leq qd(x^{*},x_{n}).end{aligned}}}

Cualquier valor de ese tipo q se llama Lipschitz constante para $T$ , y el más pequeño a veces se llama "la mejor constante de Lipschitz" $T$ .

Observación 2. $<math alttext="{displaystyle d(T(x),T(y))d()T()x),T()Sí.)).d()x,Sí.){displaystyle d(T(x),T(y)) <img alt="{displaystyle d(T(x),T(y))$ para todos $xneq y$ es en general no lo suficiente para garantizar la existencia de un punto fijo, como se muestra en el mapa

{displaystyle T:[1,infty)to [1,infty),,,T(x)=x+{tfrac {1}{x}},,}

que carece de un punto fijo. Sin embargo, si $X$ es compacto, entonces esta suposición más débil implica la existencia y singularidad de un punto fijo, que se puede encontrar fácilmente como un minimizador de ${displaystyle d(x,T(x))}$ , de hecho, un minimizador existe por compactidad, y tiene que ser un punto fijo $T$ . Luego se sigue fácilmente que el punto fijo es el límite de cualquier secuencia de iteraciones de $T$ .

Nota 3. Al utilizar el teorema en la práctica, la parte más difícil es normalmente definir $X$ apropiadamente ${displaystyle T(X)subseteq X.}$

Prueba

Vamos ${displaystyle x_{0}in X}$ ser arbitraria y definir una secuencia $(x_{n})_{{nin {mathbb N}}}$ por configuración x_n = T()x_n−1). Primero notamos eso para todos ${displaystyle nin mathbb {N}}$ tenemos la desigualdad

{displaystyle d(x_{n+1},x_{n})leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}

Esto sigue por inducción n, utilizando el hecho de que T es un mapeo de contracción. Entonces podemos mostrar que $(x_{n})_{{nin {mathbb N}}}$ es una secuencia Cauchy. En particular, ${displaystyle m,nin mathbb {N} }$ tales que m ■ n:

{displaystyle {begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+cdots +d(x_{n+1},x_{n})\&leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\&leq q^{n}d(x_{1},x_{0})sum _{k=0}^{infty }q^{k}\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})left({frac {1}{1-q}}right).end{aligned}}}

Que el ε 0 sea arbitrario. Desde q ################################################################################################################################################################################################################################################################ $N in N$ así

<math alttext="{displaystyle q^{N}qN.ε ε ()1− − q)d()x1,x0).{displaystyle q^{N}{frac {varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0}}}}}<img alt="q^{N}

Por lo tanto, eligiendo m y n mayor que N podemos escribir:

<math alttext="{displaystyle d(x_{m},x_{n})leq q^{n}d(x_{1},x_{0})left({frac {1}{1-q}}right)d()xm,xn)≤ ≤ qnd()x1,x0)()11− − q).()ε ε ()1− − q)d()x1,x0))d()x1,x0)()11− − q)=ε ε .{cHFF} {cH00}} {cH00} {cH00}} {cH00}} {cH0} {ccH00}}ccH00}}cH0} {cH0}} {ccH0}} {ccH0}}}cccH0}}}} {cccH0}}}cccccccccccccccccccH0}cH0}}ccccccccccccccH0}}}}}}cccccccccccccccH0}ccccccH0}ccH00}}}ccH<img alt="d(x_{m},x_{n})leq q^{n}d(x_{1},x_{0})left({frac {1}{1-q}}right)

Esto demuestra que la secuencia $(x_{n})_{{nin {mathbb N}}}$ Es Cauchy. Por integridad de (X,d), la secuencia tiene un límite ${displaystyle x^{*}in X.}$ Además, $x^{*}$ debe ser un punto fijo T:

{displaystyle x^{*}=lim _{nto infty }x_{n}=lim _{nto infty }T(x_{n-1})=Tleft(lim _{nto infty }x_{n-1}right)=T(x^{*}).}

Como un mapeo de contracción, T es continuo, por lo que estaba justificado traer el límite dentro de T. Por último, T no puede tener más de un punto fijo en (X,d), ya que cualquier par de puntos fijos distintos p₁ y p₂ contradirían la contracción de T:

qd(p_{1},p_{2}).}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d()T()p1),T()p2))=d()p1,p2)■qd()p1,p2).{displaystyle d(T(p_{1}),T(p_{2})=d(p_{1},p_{2})}(p_{1},p_{2}).}qd(p_{1},p_{2}).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829468dc991888d84beba6437780b71cf313aeac" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.324ex; height:2.843ex;"/>

Aplicaciones

Una aplicación estándar es la prueba del teorema Picard–Lindelöf sobre la existencia y singularidad de soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias. La solución buscada de la ecuación diferencial se expresa como un punto fijo de un operador integral adecuado que transforma las funciones continuas en funciones continuas. El teorema de punta fija Banach se utiliza para demostrar que este operador integral tiene un punto fijo único.
Una consecuencia del teorema de punta fija de Banach es que las pequeñas perturbaciones de Lipschitz de la identidad son homeomorfismos bi-lipschitz. Dejar Ω ser un conjunto abierto de un espacio de Banach E; I: Ω → E denotar el mapa de identidad (inclusión) y dejar g: Ω → E ser un mapa de Lipschitz constante k 1. Entonces

Ω":=I+g)(Ω) es un subconjunto abierto E: precisamente para cualquier x en Ω tal que B()x, rΩ Ω uno tiene B()I+g)x), r(1 - 1k) ⊂ Ω;
I+g: Ω → Ω" es un homeomorfismo bi-lipschitz;

precisamente,I+g)⁻¹ sigue siendo de la forma I + h: Ω → Ω h a Lipschitz mapa de constante k/(1−k). Una consecuencia directa de este resultado produce la prueba de la función inversa teorema.

Se puede utilizar para dar condiciones suficientes bajo las cuales el método de Newton de aproximaciones sucesivas está garantizado para trabajar, y de forma similar para el tercer método de Chebyshev.
Se puede utilizar para demostrar la existencia y singularidad de soluciones a ecuaciones integrales.
Se puede utilizar para dar una prueba al teorema de incrustación de Nash.
Se puede utilizar para demostrar la existencia y singularidad de soluciones para valorar la iteración, la iteración de políticas y la evaluación de políticas del aprendizaje de refuerzo.
Se puede utilizar para demostrar la existencia y singularidad de un equilibrio en la competencia de Cournot, y otros modelos económicos dinámicos.

Conversa

Existen varios opuestos del principio de contracción de Banach. Lo siguiente se debe a Czesław Bessaga, de 1959:

Vamos f: X → X ser un mapa de un conjunto abstracto tal que cada iterate fⁿ tiene un punto fijo único. Vamos ${displaystyle qin (0,1),}$ entonces existe una métrica completa X tales que f es contractual, y q es la constante de contracción.

De hecho, las suposiciones muy débiles bastan para obtener tal tipo de conversa. Por ejemplo si $f: X to X$ es un mapa en un espacio topológico T1 con un punto fijo único a, tal que para cada $xin X$ tenemos fⁿ()x) → a, entonces ya existe una métrica en X con respecto a la cual f satisface las condiciones del principio de contracción de Banach con constante de contracción 1/2. En este caso la métrica es de hecho un ultramétrico.

Generalizaciones

Hay una serie de generalizaciones (algunas de las cuales son corolarios inmediatos).

Sea T: X → X un mapa en un espacio métrico completo no vacío. Entonces, por ejemplo, algunas generalizaciones del teorema del punto fijo de Banach son:

Supongamos que un poco de iterate Tⁿ de T es una contracción. Entonces... T tiene un punto fijo único.
Suponga que para cada uno n, existen c_n tales que d(T)ⁿx), Tⁿ(y)) ≤ c_nd(x, y) para todos x y Sí., y eso

<math alttext="{displaystyle sum nolimits _{n}c_{n}.. ncn.JUEGO JUEGO .{displaystyle sum nolimits _{n}c_{n} significainfty.}<img alt="{displaystyle sum nolimits _{n}c_{n}

Entonces... T tiene un punto fijo único.

En las aplicaciones, la existencia y unicidad de un punto fijo a menudo se puede mostrar directamente con el teorema estándar del punto fijo de Banach, mediante una elección adecuada de la métrica que hace que el mapa T sea una contracción. De hecho, el resultado anterior de Bessaga sugiere fuertemente buscar tal métrica. Consulte también el artículo sobre teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita para generalizaciones.

Una clase diferente de generalizaciones surge de generalizaciones adecuadas de la noción de espacio métrico, p. debilitando los axiomas definitorios de la noción de métrica. Algunos de estos tienen aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de la semántica de programación en la informática teórica.

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