Teorema del módulo de continuidad de Lévy

El teorema del módulo de continuidad de Lévy es un teorema que da como resultado un comportamiento casi seguro de una estimación del módulo de continuidad para el proceso de Wiener, que se utiliza para modelar lo que se conoce como movimiento browniano.

El teorema del módulo de continuidad de Lévy recibe su nombre del matemático francés Paul Lévy.

Vamos. ${\displaystyle B:[0,1]\times \Omega \to \mathbb {R}$ ser un proceso estándar de Wiener. Entonces, casi seguro,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\sup _{t,t'\leq 1; la vida no es para siempre {\be1}}=1.}$

En otras palabras, las trayectorias de muestra del movimiento browniano tienen módulo de continuidad

${\displaystyle \omega _{B}(\delta)=c{\sqrt {2\delta \log(1/\delta)}}}}$

con probabilidad uno, para ${\displaystyle c}$ y suficientemente pequeña ${\displaystyle \delta >0}$.

• Algunas propiedades de los caminos de muestra del proceso de Wiener

• Paul Pierre Lévy, Tiorie de l'addition des variables aléatoires. Gauthier-Villars, París (1937).