Teorema del jurado de Condorcet

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Teorema de ciencia política

teorema del jurado de Condorcet es un teorema de ciencia política sobre la probabilidad relativa de que un grupo determinado de individuos llegue a una decisión correcta. El teorema fue expresado por primera vez por el marqués de Condorcet en su obra de 1785 Ensayo sobre la aplicación del análisis a la probabilidad de decisiones mayoritarias.

Los supuestos del teorema son que un grupo desea llegar a una decisión por mayoría de votos. Uno de los dos resultados de la votación es correcto y cada votante tiene una probabilidad independiente p de votar por la decisión correcta. El teorema pregunta cuántos votantes deberíamos incluir en el grupo. El resultado depende de si p es mayor o menor que 1/2:

Si p es mayor de 1/2 (cada votante es más probable que vote correctamente), luego añadir más votantes aumenta la probabilidad de que la decisión mayoritaria sea correcta. En el límite, la probabilidad de que la mayoría de votos se acerque correctamente 1 a medida que aumenta el número de votantes.
Por otro lado, si p es menos de 1/2 (cada votante es más probable que vote incorrectamente), y luego añadir más votantes empeora las cosas: el jurado óptimo consiste en un votante único.

Desde Condorcet, muchos otros investigadores han demostrado varios otros teoremas del jurado, relajando algunas o todas las suposiciones de Condorcet.

Pruebas

Prueba 1: Calcular la probabilidad de que dos votantes adicionales cambien el resultado

Para evitar la necesidad de una regla de desempate, asumimos que n es impar. Básicamente, el mismo argumento funciona incluso para n si los empates se rompen añadiendo un solo votante.

Ahora supongamos que comenzamos con n votantes y dejamos que m de estos votantes voten correctamente.

Considere lo que sucede cuando agregamos dos votantes más (para mantener el número total impar). El voto mayoritario cambia sólo en dos casos:

m era un voto demasiado pequeño para conseguir una mayoría de la n votos, pero ambos nuevos votantes votaron correctamente.
m era igual a la mayoría de la n votos, pero ambos nuevos votantes votaron incorrectamente.

El resto del tiempo, o los nuevos votos se anulan, sólo aumentan la brecha o no marcan una diferencia suficiente. Así que sólo nos importa lo que sucede cuando un solo voto (entre los primeros n) separa una mayoría correcta de una incorrecta.

Restringiendo nuestra atención a este caso, podemos imaginar que los primeros n-1 votos se anulan y que el voto decisivo lo emite el n-ésimo votante. En este caso, la probabilidad de obtener una mayoría correcta es simplemente p. Ahora supongamos que enviamos a los dos votantes adicionales. La probabilidad de que cambien una mayoría incorrecta a una mayoría correcta es (1-p)p², mientras que la probabilidad de que cambien una mayoría correcta mayoría a una mayoría incorrecta es p(1-p)². La primera de estas probabilidades es mayor que la segunda si y sólo si p > 1/2, demostrando el teorema.

Prueba 2: Calcular la probabilidad de que la decisión sea correcta

Esta prueba es directa; sólo resume las probabilidades de las mayorías. Cada término de la suma multiplica el número de combinaciones de una mayoría por la probabilidad de esa mayoría. Cada mayoría se cuenta usando una combinación, n Temas tratados k a la vez, donde n es el tamaño del jurado, y k es el tamaño de la mayoría. Las probabilidades varían de 0 (= el voto siempre es incorrecto) a 1 (= siempre correcto). Cada persona decide independientemente, por lo que las probabilidades de sus decisiones se multiplican. La probabilidad de cada decisión correcta es p. La probabilidad de una decisión incorrecta, q, es lo opuesto p, es decir, 1 - p. La notación de poder, es decir. ${displaystyle p^{x}}$ es un cortocircuito x multiplicaciones de p.

Las precisiones del comité o del jurado se pueden estimar fácilmente utilizando este enfoque en hojas de cálculo o programas de computadora.

Como ejemplo, tomemos el caso más simple de n = 3, p = 0,8. Necesitamos demostrar que 3 personas tienen más de 0,8 posibilidades de tener razón. En efecto:

0.8 × 0.8 × 0.8 + 0.8 × 0.8 × 0,2 + 0,8 × 0,8 + 0,8 × 0,8 × 0,8 = 0,896.

Asintóticas

La probabilidad de una decisión mayoritaria correcta P(n,p), cuando la probabilidad individual p está cerca de 1/2 crece linealmente en términos de p − 1/2. Para n votantes cada uno tiene probabilidad p de decidir correctamente y para n impares (donde no hay posibles empates):

{displaystyle P(n,p)=1/2+c_{1}(p-1/2)+c_{3}(p-1/2)^{3}+Oleft((p-1/2)^{5}right),}

dónde

{displaystyle c_{1}={n choose {lfloor n/2rfloor }}{frac {lfloor n/2rfloor +1}{4^{lfloor n/2rfloor }}}={sqrt {frac {2n+1}{pi }}}left(1+{frac {1}{16n^{2}}}+O(n^{-3})right),}

y la aproximación asintotica en términos de n es muy preciso. La expansión es sólo en poderes extraños y $<math alttext="{displaystyle c_{3}c3c)0{displaystyle c_{3}traducido0}<img alt="{displaystyle c_{3}$ . En términos simples, esto dice que cuando la decisión es difícil (p cerca de 1/2), la ganancia por tener n Los votantes crecen proporcionalmente a ${displaystyle {sqrt {n}}}$ .

El teorema en otras disciplinas

El teorema del jurado de Condorcet se ha utilizado recientemente para conceptualizar la integración de puntuaciones cuando varios lectores médicos (radiólogos, endoscopistas, etc.) evalúan de forma independiente las imágenes para determinar la actividad de la enfermedad. Esta tarea surge en la lectura central realizada durante los ensayos clínicos y tiene similitudes con la votación. Según los autores, la aplicación del teorema puede traducir las puntuaciones de los lectores individuales en una puntuación final de una manera que sea matemáticamente sólida (al evitar el promedio de datos ordinales), matemáticamente manejable para análisis posteriores y de una manera que sea consistente con la tarea de puntuación en cuestión (basada en decisiones sobre la presencia o ausencia de características, una tarea de clasificación subjetiva)

El teorema del jurado de Condorcet también se utiliza en el aprendizaje conjunto en el campo del aprendizaje automático. Un método de conjunto combina las predicciones de muchos clasificadores individuales mediante votación mayoritaria. Suponiendo que cada uno de los clasificadores individuales predice con una precisión ligeramente superior al 50% y que sus predicciones son independientes, entonces el conjunto de sus predicciones será mucho mayor que sus puntuaciones predictivas individuales.

Aplicabilidad a los procesos democráticos

Muchos teóricos políticos y filósofos utilizan el teorema del jurado del CJT para defender la democracia, ver Brennan y hacer referencias en ella. Sin embargo, es una pregunta empírica si el teorema tiene en la vida real o no. Note que el CJT es un espada de doble filo: puede probar que la regla de la mayoría es un (casi) mecanismo perfecto para agregar información, cuando $1/2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p■1/2{displaystyle p confía1/2}1/2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60ff015be9efe4b2e672ca20d536b34b8892d51" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:7.845ex; height:2.843ex;"/>$ , o un (casi) desastre perfecto, cuando $<math alttext="{displaystyle ppc)1/2{displaystyle p<1/2} <img alt="{displaystyle p$ . Un desastre significaría que la opción equivocada se elige sistemáticamente. Algunos autores han argumentado que estamos en este último escenario. Por ejemplo, Bryan Caplan ha argumentado ampliamente que el conocimiento de los votantes está sistemáticamente sesgado hacia opciones erróneas (probablemente). En la configuración del CJT, esto podría interpretarse como evidencia para $<math alttext="{displaystyle ppc)1/2{displaystyle p<1/2} <img alt="{displaystyle p$ .

Recientemente se adoptó otro enfoque para estudiar la aplicabilidad del CJT. En lugar de considerar el caso homogéneo, cada votante puede tener una probabilidad ${displaystyle p_{i}in [0,1]}$ , posiblemente diferente de otros votantes. Este caso fue estudiado anteriormente por Daniel Berend y Jacob Paroush e incluye el teorema clásico de Condorcet (cuando ${displaystyle p_{i}=p~~forall ~iin mathbb {N} }$ ) y otros resultados, como el Milagro de la agregación (cuando ${displaystyle p_{i}=1/2}$ para la mayoría de los votantes y ${displaystyle p_{i}=1}$ para una pequeña proporción de ellos). Luego, siguiendo un enfoque bayesiano, se estima la probabilidad previa (en este caso, a priori) de la tesis predicha por el teorema. Es decir, si elegimos una secuencia arbitraria de votantes (es decir, una secuencia ${displaystyle (p_{i})_{iin mathbb {N} }}$ ), ¿la tesis de la retención de CJT? La respuesta es no. Más precisamente, si una secuencia aleatoria ${displaystyle p_{i}}$ se toma siguiendo una distribución imparcial que no favorece la competencia, $1/2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">pi■1/2{displaystyle - ¿Por qué?1/2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc8b38073e98d802e3fd905e49e326e14d3e46c" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:8.644ex; height:2.843ex;"/>$ , o incompetencia, $<math alttext="{displaystyle p_{i}pic)1/2{displaystyle - ¿Qué?<img alt="{displaystyle p_{i}$ , entonces la tesis predicha por el teorema no se mantendrá casi seguro. Con este nuevo enfoque, los proponentes del CJT deben presentar pruebas sólidas de competencia, para superar la baja probabilidad previa. Es decir, no es sólo el caso de que haya pruebas contra la competencia (probabilidad posterior), sino también que no podemos esperar que el CJT se mantenga en ausencia de pruebas (probabilidad principal).

Más resultados...