Teorema del ideal primo booleano

En matemáticas, el teorema del ideal primo booleano establece que los ideales en un álgebra booleana pueden extenderse a ideales primos. Una variación de esta declaración para filtros en conjuntos se conoce como el lema de ultrafiltro. Otros teoremas se obtienen considerando diferentes estructuras matemáticas con nociones apropiadas de ideales, por ejemplo, anillos e ideales primos (de la teoría de anillos), o redes distributivas e ideales máximos (de la teoría del orden). Este artículo se centra en los teoremas de los ideales primos de la teoría del orden.

Aunque los diversos teoremas de los ideales primos pueden parecer simples e intuitivos, en general no se pueden deducir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (abreviado ZF). En cambio, algunas de las afirmaciones resultan ser equivalentes al axioma de elección (AC), mientras que otras (el teorema del ideal primo booleano, por ejemplo) representan una propiedad que es estrictamente más débil que AC. Es debido a este estado intermedio entre ZF y ZF + AC (ZFC) que el teorema del ideal primo booleano a menudo se toma como un axioma de la teoría de conjuntos. Las abreviaturas BPI o PIT (para álgebras booleanas) se utilizan a veces para referirse a este axioma adicional.

Teoremas de ideales primos

Un orden ideal es un conjunto inferior (no vacío) dirigido. Si el conjunto considerado parcialmente ordenado (poset) tiene suprema binaria (a.k.a. se une), al igual que las poses dentro de este artículo, entonces esto se caracteriza equivalentemente como un conjunto inferior no vacío I que está cerrado por la supremacía binaria (es decir, x,Sí.▪ ▪ I{displaystyle x,yin I} implicación xAlternativa Alternativa Sí.▪ ▪ I{displaystyle xvee yin I}). Un ideal I es primo si su complemento teórico en la pose es un filtro (es decir, x∧ ∧ Sí.▪ ▪ I{displaystyle xwedge yin I} implicación x▪ ▪ I{displaystyle xin I} o Sí.▪ ▪ I{displaystyle yin I}). Los ideales son adecuados si no son iguales a toda la pose.

Históricamente, la primera declaración relacionada con los teoremas de ideales primos posteriores se refería de hecho a los filtros, subconjuntos que son ideales con respecto al orden dual. El lema del ultrafiltro establece que cada filtro en un conjunto está contenido dentro de algún filtro máximo (adecuado): un ultrafiltro. Recuerde que los filtros sobre conjuntos son filtros propios del álgebra booleana de su conjunto potencia. En este caso especial, los filtros maximales (es decir, los filtros que no son subconjuntos estrictos de ningún filtro propio) y los filtros principales (es decir, los filtros que con cada unión de los subconjuntos X e Y contienen también X o Y) coinciden. El dual de esta afirmación asegura que todo ideal de un conjunto potencia está contenido en un ideal primo.

La declaración anterior condujo a varios teoremas ideales primos generalizados, cada uno de los cuales existe en forma débil y fuerte. Los teoremas de ideales primos débiles establecen que cada álgebra no trivial de una determinada clase tiene al menos un ideal primo. Por el contrario, los teoremas de los ideales primos fuertes requieren que todo ideal que sea disjunto de un filtro dado pueda extenderse a un ideal primo que aún sea disjunto de ese filtro. En el caso de álgebras que no son posets, se utilizan diferentes subestructuras en lugar de filtros. Se sabe que muchas formas de estos teoremas son equivalentes, por lo que la afirmación de que "PIT" Las retenciones generalmente se toman como la afirmación de que la declaración correspondiente para álgebras booleanas (BPI) es válida.

Otra variación de teoremas similares se obtiene reemplazando cada aparición de ideal primo por ideal máximo. Los teoremas ideales maximales correspondientes (MIT) son a menudo, aunque no siempre, más fuertes que sus equivalentes PIT.

Teorema del ideal primo booleano

El teorema del ideal primo booleano es el teorema del ideal primo fuerte para las álgebras booleanas. Por lo tanto, la declaración formal es:

Vamos B ser un álgebra booleana, dejar I ser un ideal y dejar F ser un filtro de B, tal que I y F están descompuestos. Entonces... I está contenido en un ideal de primera B que está descompuesto F.

El teorema del ideal primo débil para álgebras booleanas simplemente establece:

Cada álgebra booleana contiene un ideal primo.

Nos referimos a estas declaraciones como el BPI débil y fuerte. Los dos son equivalentes, ya que el BPI fuerte implica claramente el BPI débil, y la implicación inversa se puede lograr usando el BPI débil para encontrar ideales primos en el álgebra de cociente apropiado.

El BPI se puede expresar de varias formas. Para ello, recuérdese el siguiente teorema:

Para cualquier ideal I de un álgebra booleana B, los siguientes son equivalentes:

• I es un ideal excelente.
• I es un ideal máximo, es decir, para cualquier ideal adecuado J, si I figura en J entonces I = J.
• Por cada elemento a de B, I contiene exactamente uno de {a, ¬a}.

Este teorema es un hecho bien conocido para las álgebras booleanas. Su dual establece la equivalencia de filtros primarios y ultrafiltros. Tenga en cuenta que la última propiedad es, de hecho, autodual: solo la suposición previa de que I es un ideal proporciona la caracterización completa. Todas las implicaciones dentro de este teorema se pueden probar en ZF.

Por lo tanto, el siguiente (fuerte) teorema ideal máximo (MIT) para álgebras booleanas es equivalente a BPI:

Vamos B ser un álgebra booleana, dejar I ser un ideal y dejar F ser un filtro de B, tal que I y F están descompuestos. Entonces... I está contenido en un ideal máximo de B que está descompuesto F.

Tenga en cuenta que se requiere "global" maximalidad, no solo maximalidad con respecto a ser disjunto de F. Sin embargo, esta variación produce otra caracterización equivalente de BPI:

Vamos B ser un álgebra booleana, dejar I ser un ideal y dejar F ser un filtro de B, tal que I y F están descompuestos. Entonces... I está contenido en algún ideal de B que es maximal entre todos los ideales se descomponen F.

El hecho de que este enunciado sea equivalente a BPI se establece fácilmente observando el siguiente teorema: para cualquier red distributiva L, si un ideal I es máximo entre todos los ideales de L que son disjuntos a un filtro dado F, entonces I es un ideal primo. La prueba de esta afirmación (que nuevamente puede llevarse a cabo en la teoría de conjuntos ZF) se incluye en el artículo sobre ideales. Dado que cualquier álgebra booleana es un retículo distributivo, esto muestra la implicación deseada.

Ahora se ve fácilmente que todas las afirmaciones anteriores son equivalentes. Yendo aún más lejos, se puede aprovechar el hecho de que los órdenes duales de las álgebras booleanas son exactamente las mismas álgebras booleanas. Por lo tanto, cuando se toman los duales equivalentes de todas las declaraciones anteriores, se obtiene una serie de teoremas que se aplican igualmente a las álgebras booleanas, pero donde cada aparición de ideal se reemplaza por filtro. Vale la pena señalar que para el caso especial en el que el álgebra booleana en consideración es un conjunto de potencias con el ordenamiento de subconjuntos, el "teorema de filtro máximo" se llama lema del ultrafiltro.

Resumiendo, para el álgebra booleana, el MIT débil y fuerte, el PIT débil y fuerte, y estas declaraciones con filtros en lugar de ideales son todas equivalentes. Se sabe que todas estas afirmaciones son consecuencias del Axioma de Elección, AC, (la prueba fácil hace uso del lema de Zorn), pero no se pueden probar en ZF (Zermelo-Fraenkel teoría de conjuntos sin AC), si ZF es consistente. Sin embargo, el BPI es estrictamente más débil que el axioma de elección, aunque la prueba de esta afirmación, debida a J. D. Halpern y Azriel Lévy, no es trivial.

Otros teoremas de ideales primos

Las propiedades prototípicas que se analizaron para las álgebras booleanas en la sección anterior se pueden modificar fácilmente para incluir redes más generales, como redes distributivas o álgebras de Heyting. Sin embargo, en estos casos los ideales maximales son diferentes de los ideales primos, y la relación entre PIT y MIT no es obvia.

De hecho, resulta que las MIT para redes distributivas e incluso para álgebras de Heyting son equivalentes al axioma de elección. Por otro lado, se sabe que el PIT fuerte para redes distributivas es equivalente a BPI (es decir, al MIT y al PIT para álgebras booleanas). Por lo tanto, esta declaración es estrictamente más débil que el axioma de elección. Además, observe que las álgebras de Heyting no son auto duales y, por lo tanto, el uso de filtros en lugar de ideales produce diferentes teoremas en este contexto. Tal vez sorprendentemente, el MIT para los duales de álgebras de Heyting no es más fuerte que BPI, lo que contrasta fuertemente con el MIT para álgebras de Heyting mencionado anteriormente.

Finalmente, también existen teoremas de ideales primos para otras álgebras abstractas (no teóricas de orden). Por ejemplo, el MIT para anillos implica el axioma de elección. Esta situación requiere reemplazar el término teórico de orden "filtro" por otros conceptos—para anillos un "subconjunto multiplicativamente cerrado" es apropiado.

La lema del ultrafiltro

Un filtro en un conjunto X es una colección no vacía de subconjuntos no vacíos de X que se cierra bajo una intersección finita y bajo un superconjunto. Un ultrafiltro es un filtro maximal. El lema del ultrafiltro establece que cada filtro en un conjunto X es un subconjunto de algún ultrafiltro en el estilo X. Un ultrafiltro que no contiene conjuntos finitos se denomina 'no principal'. El lema del ultrafiltro, y en particular la existencia de ultrafiltros no principales (considere el filtro de todos los conjuntos con complementos finitos), se puede demostrar usando el lema de Zorn.

El lema del ultrafiltro es equivalente al teorema del ideal primo booleano, con la equivalencia demostrable en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección. La idea detrás de la prueba es que los subconjuntos de cualquier conjunto forman un álgebra booleana parcialmente ordenada por inclusión, y cualquier álgebra booleana es representable como un álgebra de conjuntos por el teorema de representación de Stone.

Si el conjunto X es finito, entonces el lema del ultrafiltro puede demostrarse a partir de los axiomas ZF. Esto ya no es cierto para conjuntos infinitos; se debe suponer un axioma adicional debe. El lema de Zorn, el axioma de elección y el teorema de Tychonoff pueden usarse para demostrar el lema del ultrafiltro. El lema del ultrafiltro es estrictamente más débil que el axioma de elección.

El lema del ultrafiltro tiene muchas aplicaciones en topología. El lema del ultrafiltro se puede utilizar para probar el teorema de Hahn-Banach y el teorema de la subbase de Alexander.

Aplicaciones

Intuitivamente, el teorema del ideal primo booleano establece que hay "suficientes" ideales primos en un álgebra booleana en el sentido de que podemos extender todo ideal a uno máximo. Esto es de importancia práctica para probar el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas, un caso especial de dualidad de Stone, en el que uno equipa el conjunto de todos los ideales primos con una cierta topología y, de hecho, puede recuperar el álgebra booleana original (hasta isomorfismo) a partir de estos datos. Además, resulta que en las aplicaciones uno puede elegir libremente trabajar con ideales primos o con filtros primos, porque cada ideal determina de manera única un filtro: el conjunto de todos los complementos booleanos de sus elementos. Ambos enfoques se encuentran en la literatura.

Muchos otros teoremas de topología general que a menudo se dice que se basan en el axioma de elección son, de hecho, equivalentes a BPI. Por ejemplo, el teorema de que un producto de espacios compactos de Hausdorff es compacto es equivalente a él. Si dejamos fuera "Hausdorff" obtenemos un teorema equivalente al axioma de elección completo.

En teoría de grafos, el teorema de Bruijn-Erdős es otro equivalente a BPI. Establece que, si un gráfico infinito dado requiere al menos algún número finito k en cualquier coloreado de gráfico, entonces tiene un subgrafo finito eso también requiere k.

Una aplicación no muy conocida del teorema del ideal primo booleano es la existencia de un conjunto no medible (el ejemplo que se suele dar es el conjunto de Vitali, que requiere el axioma de elección). De esto y del hecho de que el BPI es estrictamente más débil que el axioma de elección, se deduce que la existencia de conjuntos no medibles es estrictamente más débil que el axioma de elección.

En álgebra lineal, el teorema del ideal primo booleano se puede utilizar para demostrar que dos bases cualesquiera de un espacio vectorial dado tienen la misma cardinalidad.