Teorema del gráfico cerrado

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El gráfico de la función cúbica

{displaystyle f(x)=x^{3}-9x}

en el intervalo

{displaystyle [-4,4]}

está cerrado porque la función es continua. El gráfico de la función Heaviside en

{displaystyle [-2,2]}

no está cerrado, porque la función no es continua.

En matemáticas, el teorema de la gráfica cerrada puede referirse a uno de varios resultados básicos que caracterizan funciones continuas en términos de sus gráficas. Cada uno da condiciones cuando funciones con gráficas cerradas son necesariamente continuas.

Gráficos y mapas con gráficos cerrados

Si ${displaystyle f:Xto Sí.$ es un mapa entre los espacios topológicos entonces Gráfico de ${displaystyle f}$ es el conjunto ${displaystyle operatorname {Gr} f:={(x,f(x)):xin X}}$ o equivalentemente,

{displaystyle operatorname {Gr} f:={(x,y)in Xtimes Y:y=f(x)}}

el gráfico de ${displaystyle f}$ cerrado

{displaystyle operatorname {Gr} f}

{displaystyle Xtimes Y}

Cualquier función continua en un espacio de Hausdorff tiene una gráfica cerrada.

Cualquier mapa lineal, ${displaystyle L:Xto Y,}$ entre dos espacios vectoriales topológicos cuyas topologías son (Cauchy) completas con respecto a la traducción de métricas invariantes, y si además (1a) ${displaystyle L.$ es secuencialmente continuo en el sentido de la topología del producto, entonces el mapa ${displaystyle L.$ es continuo y su gráfico, $Gr L$ , está necesariamente cerrado. Por el contrario, si ${displaystyle L.$ es un mapa lineal con, en lugar de (1a), el gráfico de ${displaystyle L.$ es (1b) conocido por estar cerrado en el espacio de productos cartesianos ${displaystyle Xtimes Y}$ , entonces ${displaystyle L.$ es continua y por lo tanto necesariamente continua.

Ejemplos de mapas continuos que no tienen un gráfico cerrado

Si ${displaystyle X}$ es cualquier espacio entonces el mapa de identidad ${displaystyle operatorname [Id]:Xto X}$ es continuo pero su gráfico, que es la diagonal ${displaystyle operatorname {Gr} operatorname {Id}:={(x,x):xin X}$ , está cerrado ${displaystyle Xtimes X}$ si ${displaystyle X}$ Es Hausdorff. En particular, si ${displaystyle X}$ no es Hausdorff entonces ${displaystyle operatorname [Id]:Xto X}$ es continuo pero sí no tienen un gráfico cerrado.

Vamos ${displaystyle X}$ denota los números reales ${displaystyle mathbb {R}$ con la topología Euclideana habitual y dejar ${displaystyle Sí.$ denota ${displaystyle mathbb {R}$ con la topología indiscreta (donde note que ${displaystyle Sí.$ es no Hausdorff y que cada función valora ${displaystyle Sí.$ es continuo). Vamos ${displaystyle f:Xto Sí.$ se define por ${displaystyle f(0)=1}$ y ${displaystyle f(x)=0}$ para todos ${displaystyle xneq 0}$ . Entonces... ${displaystyle f:Xto Sí.$ es continuo pero su gráfico es no cerrado ${displaystyle Xtimes Y}$ .

Teorema del grafo cerrado en topología de conjuntos de puntos

En la topología de conjuntos de puntos, el teorema del grafo cerrado establece lo siguiente:

Teorema de gráfico cerrado—Si ${displaystyle f:Xto Sí.$ es un mapa de un espacio topológico ${displaystyle X}$ en un espacio Hausdorff ${displaystyle Sí.$ entonces el gráfico de ${displaystyle f}$ cerrado si ${displaystyle f:Xto Sí.$ es continuo. El contrario es cierto cuando ${displaystyle Sí.$ es compacto. (Nota que la compactidad y la Hausdorffness no implican uno al otro.)

Prueba

La primera parte es esencialmente por definición.

Segunda parte:

Para cualquier abierto ${displaystyle Vsubset Y}$ Revisamos ${displaystyle f^{-1}(V)}$ está abierto. Así que toma cualquiera ${displaystyle xin f^{-1}(V)}$ construimos un vecindario abierto ${displaystyle U}$ de ${displaystyle x}$ tales que ${displaystyle f(U)subset V}$ .

Desde el gráfico ${displaystyle f}$ está cerrado, por cada punto ${displaystyle (x,y)}$ en la "línea vertical en x", con ${displaystyle y'neq f(x)}$ dibujar un rectángulo abierto ${displaystyle U_{y'}times V_{y'}$ disjoint del gráfico ${displaystyle f}$ . Estos rectángulos abiertos, cuando se proyectan al eje y, cubren el eje y excepto en ${displaystyle f(x)}$ así que agrega un conjunto más ${displaystyle V}$ .

Ingenuamente tratando de tomar ${displaystyle U:=bigcap _{y'neq f(x)}U_{y'}$ construiría un conjunto que contuviera ${displaystyle x}$ , pero no está garantizado estar abierto, así que utilizamos la compactidad aquí.

Desde ${displaystyle Sí.$ es compacto, podemos tomar una cubierta abierta finita ${displaystyle Sí.$ como ${displaystyle ¿Qué?$ .

Ahora ${displaystyle U:=bigcap ¿Qué?$ . Es un barrio abierto ${displaystyle x}$ , ya que es simplemente una intersección finita. Afirmamos que este es el barrio abierto ${displaystyle U}$ que queremos.

Supongamos que no, entonces hay un poco de mala conducta ${displaystyle x'in U}$ tales que ${displaystyle f(x')not in V}$ entonces eso implicaría ${displaystyle f(x')in V_{y'_{i}}$ para algunos ${displaystyle i}$ por cubierta abierta, pero luego ${displaystyle (x',f(x')in Utimes V_{y'_{i}subset U_{y'_{i}times ¿Qué?$ una contradicción ya que se supone que debe ser descompuesto del gráfico ${displaystyle f}$ .

Los espacios no-Hausdorff rara vez se ven, pero los espacios no-compactos son comunes. Un ejemplo de incumplimiento ${displaystyle Sí.$ es la línea real, que permite la función discontinua con gráfico cerrado ${displaystyle f(x)={begin{cases}{frac {1}{text{ if }xneq 0,$

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