Teorema del elemento primitivo

En teoría de campos, el teorema del elemento primitivo es un resultado que caracteriza las extensiones de campo de grados finitos que pueden generarse por un solo elemento. Dicho elemento generador se denomina elemento primitivo de la extensión del campo y, en este caso, la extensión se denomina extensión simple. El teorema establece que una extensión finita es simple si y sólo si hay un número finito de campos intermedios. Un resultado más antiguo, también llamado a menudo "teorema del elemento primitivo", establece que toda extensión finita separable es simple; puede verse como una consecuencia del primer teorema. Estos teoremas implican en particular que todos los campos numéricos algebraicos sobre números racionales, y todas las extensiones en las que ambos campos son finitos, son simples.

Terminología

Vamos E/F{displaystyle E/F} ser un extensión. Un elemento α α ▪ ▪ E{displaystyle alpha in E} es un elemento primitivo para E/F{displaystyle E/F} si E=F()α α ),{displaystyle E=F(alpha),} i.e. si cada elemento E{displaystyle E} puede ser escrito como una función racional α α {displaystyle alpha } con coeficientes en F{displaystyle F}. Si existe tal elemento primitivo, entonces E/F{displaystyle E/F} se denomina a simple extensión.

Si la extensión de campo E/F{displaystyle E/F} tiene elemento primitivo α α {displaystyle alpha } y es de grado finito n=[E:F]{displaystyle n=[E:F], entonces cada elemento x de E se puede escribir de forma única en la forma

x=fn− − 1α α n− − 1+⋯ ⋯ +f1α α +f0,{displaystyle x=f_{n-1}{alpha }{n-1}+cdots +f_{1}{alpha }+f_{0},}

Donde fi▪ ▪ F{displaystyle f_{i}in F. para todos i. Es decir, el conjunto

{}1,α α ,...... ,α α n− − 1}{displaystyle {1,alphaldots{alpha } {n-1}}

es una base para E como espacio vectorial sobre F.

Ejemplo

Si uno se adhiere a los números racionales F=Q{displaystyle F=Mathbb {Q} los dos números irracionales 2{displaystyle {sqrt {2}} y 3{displaystyle {sqrt {3}} para obtener el campo de extensión E=Q()2,3){displaystyle E=Mathbb {} {fn} {fnK}} {fnK}}} {fnK}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}}}}} {fnK}}}} {f}} {f}} de grado 4, se puede mostrar esta extensión es simple, significando E=Q()α α ){displaystyle E=Mathbb {Q} (alpha)} para un solo α α ▪ ▪ E{displaystyle alpha in E}. Tomando α α =2+3{displaystyle alpha ={sqrt {2}+{sqrt {3}}, los poderes 1, α, α², α³ se puede ampliar como combinaciones lineales de 1, 2{displaystyle {sqrt {2}}, 3{displaystyle {sqrt {3}}, 6{displaystyle {sqrt {6}} con coeficientes enteros. Uno puede resolver este sistema de ecuaciones lineales para 2{displaystyle {sqrt {2}} y 3{displaystyle {sqrt {3}} sobre Q()α α ){displaystyle mathbb {Q} (alpha)}, para obtener 2=12()α α 3− − 9α α ){displaystyle {sqrt {2}={tfrac {1}{2}(alpha ^{3}-9alpha)}} y 3=− − 12()α α 3− − 11α α ){displaystyle {sqrt {3}=-{tfrac} {1}{2}(alpha ^{3}-11alpha)}. Esto demuestra que α es un elemento primitivo:

Q()2,3)=Q()2+3).{displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2},{sqrt {3})=mathbb {Q} ({sqrt {2}}+{sqrt {3}}}}}

Los teoremas

El teorema clásico del elemento primitivo establece:

Cada extensión de campo separable de grado finito es simple.

Este teorema se aplica a cuerpos numéricos algebraicos, es decir, extensiones finitas de los números racionales Q, ya que Q tiene la característica 0 y, por lo tanto, toda extensión finita sobre Q es separable.

El siguiente teorema del elemento primitivo (Ernst Steinitz) es más general:

Una extensión de campo finito E/F{displaystyle E/F} es simple si y sólo si existen solamente finitamente muchos campos intermedios K con E⊇ ⊇ K⊇ ⊇ F{displaystyle Esupseteq Ksupseteq F..

Utilizando el teorema fundamental de la teoría de Galois, el primer teorema se deriva inmediatamente del segundo.

Característica p

Para una extensión no estable E/F{displaystyle E/F} de característica p, sin embargo hay un elemento primitivo proporcionado el grado [E:F] es p: de hecho, no puede haber subcampos intermedios no-triviales ya que sus grados serían factores de los primeros p.

Cuando...E:F= p², puede que no haya un elemento primitivo (en cuyo caso hay infinitamente muchos campos intermedios). El ejemplo más simple es E=Fp()T,U){displaystyle E=mathbb {fnMicrosoft Sans Serif}, el campo de las funciones racionales en dos indeterminados T y U sobre el campo finito con p elementos y F=Fp()Tp,Up){displaystyle F=mathbb {f}(T^{p},U^{p}. De hecho, para cualquier α = g(T,U) in E∖ ∖ F{displaystyle Esetminus F}, el endomorfismo Frobenius muestra que el elemento α^p mentiras F α es una raíz de f()X)=Xp− − α α p▪ ▪ F[X]{displaystyle f(X)=X^{p}-alpha ^{p}in F[X], y α no puede ser un elemento primitivo (de grado p² sobre F), pero en su lugar F(α) es un campo intermedio no-trivial.

Prueba

Comenzando con una extensión finita simple E = F(α), sea f el polinomio mínimo de α sobre F . Si K es un subcampo intermedio, entonces sea g el polinomio mínimo de α sobre K, y sea L Sea el campo generado sobre F por los coeficientes de g. Entonces, dado que L ⊆ K, el polinomio mínimo de α sobre L debe ser múltiplo de g, por lo que es g; esto implica que el grado de E sobre L es el mismo que sobre K, pero como L ⊆ K, esto significa que L = K. Dado que g es un factor de f, esto significa que no puede haber más campos intermedios que factores de f, por lo que solo hay un número finito.

En la otra dirección, si F es finita, entonces cualquier extensión finita E de F es automáticamente simple, así que supongamos que F es infinito. Entonces E se genera sobre F mediante un número finito de elementos, por lo que basta con demostrar que F(α, β) es simple para dos elementos cualesquiera α y β en E. Pero, considerando todos los campos F(α + x β), donde x es un elemento de F, hay son sólo un número finito, por lo que debe haber x₀ y x₁ distintos en F para lo cual F(α + x₀ β) = F(α + x₁ β). Entonces, el álgebra simple muestra que F(α + x₀ β) = F(α, β). Para una prueba alternativa, observe que cada uno del número finito de campos intermedios es un subespacio lineal propio de E sobre F, y que una unión finita de subespacios lineales propios de un El espacio vectorial sobre un campo infinito no puede igualar el espacio completo. Luego, tomando cualquier elemento en E que no esté en ningún campo intermedio, debe generar el conjunto de E sobre F.

Resultados constructivos

Generalmente, el conjunto de todos los elementos primitivos para una extensión finita separable E / F es el complemento de una colección finita de F propia -subespacios de E, es decir, los campos intermedios. Esta afirmación no dice nada en el caso de campos finitos, para los cuales existe una teoría computacional dedicada a encontrar un generador del grupo multiplicativo del campo (un grupo cíclico), que es a fortiori un elemento primitivo. (ver elemento primitivo (campo finito)). Cuando F es infinito, una técnica de prueba del principio de casillero considera el subespacio lineal generado por dos elementos y demuestra que solo hay un número finito de combinaciones lineales.

γ γ =α α +cβ β {displaystyle gamma =alpha +cbeta}

con c en F, que no genera el subcampo que contiene ambos elementos:

como F()α α ,β β )/F()α α +cβ β ){displaystyle F(alphabeta)/F(alpha +cbeta)} es una extensión separable, si F()α α +cβ β )⊊ ⊊ F()α α ,β β ){displaystyle F(alpha +cbeta)subsetneq F(alphabeta)} existe una incrustación no-trivial σ σ :F()α α ,β β )→ → F̄ ̄ {displaystyle sigma:F(alphabeta)to {overline {F} cuya restricción F()α α +cβ β ){displaystyle F(alpha +cbeta)} es la identidad que significa σ σ ()α α )+cσ σ ()β β )=α α +cβ β {displaystyle sigma (alpha)+csigma (beta)=alpha +cbeta } y σ σ ()β β )ل ل β β {displaystyle sigma (beta)neq beta } así c=σ σ ()α α )− − α α β β − − σ σ ()β β ){displaystyle c={frac {sigma (alpha)-alpha }{beta -sigma (beta)}}}. Esta expresión c puede tomar sólo [F()α α ):F][F()β β ):F]{displaystyle [F(alpha] [F(beta] diferentes valores. Por todo otro valor c▪ ▪ F{displaystyle cin F} entonces F()α α ,β β )=F()α α +cβ β ){displaystyle F(alphabeta)=F(alpha +cbeta)}.

Esto es casi inmediato como una forma de mostrar cómo Steinitz' resultado implica el resultado clásico, y un límite para el número de c excepcionales en términos del número de resultados de campos intermedios (siendo este número algo que puede estar limitado por la teoría de Galois y a priori) ). Por tanto, en este caso el método de prueba y error es un posible método práctico para encontrar elementos primitivos.

Historia

En su Primera Memoria de 1831, Évariste Galois esbozó una prueba del teorema clásico del elemento primitivo en el caso de un campo de división de un polinomio entre los números racionales. Los vacíos en su boceto podrían llenarse fácilmente (como señaló el árbitro Siméon Denis Poisson; la Memoria de Galois no se publicó hasta 1846) explotando un teorema de Joseph-Louis Lagrange de 1771, que Galois ciertamente conocía. Es probable que Lagrange ya conociera el teorema del elemento primitivo para dividir campos. Luego, Galois utilizó intensamente este teorema en su desarrollo del grupo de Galois. Desde entonces se ha utilizado en el desarrollo de la teoría de Galois y el teorema fundamental de la teoría de Galois. Los dos teoremas de los elementos primitivos fueron demostrados en su forma moderna por Ernst Steinitz, en un influyente artículo sobre teoría de campos en 1910; Steinitz calificó el estilo "clásico" un Teorema de los elementos primitivos y el otro Teorema de los cuerpos intermedios. Emil Artin reformuló la teoría de Galois en la década de 1930 sin el uso de los teoremas de los elementos primitivos.