Teorema del buen orden

En matemáticas, el teorema del buen orden, también conocido como teorema de Zermelo, establece que todo conjunto puede estar bien ordenado. Un conjunto X está bien ordenado por un orden total estricto si cada subconjunto no vacío de X tiene un elemento mínimo bajo el orden. El teorema del buen orden junto con el lema de Zorn son los enunciados matemáticos más importantes que son equivalentes al axioma de elección (a menudo llamado AC, véase también Axioma de elección § Equivalentes). Ernst Zermelo introdujo el axioma de elección como un "principio lógico inobjetable" para demostrar el teorema del buen orden. Del teorema del buen orden se puede concluir que todo conjunto es susceptible de inducción transfinita, que los matemáticos consideran una técnica poderosa. Una consecuencia famosa del teorema es la paradoja de Banach-Tarski.

Historia

Georg Cantor consideraba que el teorema bien ordenado era un "principio fundamental del pensamiento". Sin embargo, se considera difícil o incluso imposible visualizar un buen orden de R{displaystyle mathbb {R}; tal visualización tendría que incorporar el axioma de elección. En 1904, Gyula Kőnig afirmó haber demostrado que tal ordenación no puede existir. Unas semanas después, Felix Hausdorff encontró un error en la prueba. Resultó, sin embargo, que en la lógica de primer orden el teorema bien ordenado es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que los axiomas Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección incluido son suficientes para demostrar el teorema bien ordenado, y en cambio, los axiomas Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección, pero con la elección suficiente (Lo mismo se aplica a la lema de Zorn.) En la lógica de segundo orden, sin embargo, el teorema bien ordenado es estrictamente más fuerte que el axioma de elección: del teorema bien ordenado uno puede deducir el axioma de elección, pero desde el axioma de elección uno no puede deducir el teorema bien ordenado.

Hay un chiste bien conocido sobre las tres afirmaciones y su relativa adaptabilidad a la intuición:

El axioma de la elección es obviamente cierto, el principio bien ordenado obviamente falso, ¿y quién puede hablar sobre la lema de Zorn?

Prueba del axioma de elección

El teorema del buen orden se deriva del axioma de elección de la siguiente manera.

Deja que el set que estamos tratando de ordenar bien A{displaystyle A}, y dejar f{displaystyle f} ser una función de elección para la familia de subconjuntos no vacíos de A{displaystyle A}. Por cada ordinal α α {displaystyle alpha }, definir un conjunto aα α {displaystyle a_{alpha } que está dentro A{displaystyle A} por configuración <math alttext="{displaystyle a_{alpha } = f(Asetminus {a_{xi }mid xi aα α =f()A∖ ∖ {}a.. ▪ ▪ .. .α α }){displaystyle a_{alpha } = f(Asetminus {a_{xi }mid xi Identificadaalpha }}<img alt="{displaystyle a_{alpha } = f(Asetminus {a_{xi }mid xi si este complemento <math alttext="{displaystyle Asetminus {a_{xi }mid xi A∖ ∖ {}a.. ▪ ▪ .. .α α }{displaystyle Asetminus {a_{xi }mid xi<img alt="{displaystyle Asetminus {a_{xi }mid xi no está vacío, o la licencia aα α {displaystyle a_{alpha } indefinido si lo es. Eso es, aα α {displaystyle a_{alpha } es elegido del conjunto de elementos de A{displaystyle A} que aún no han sido asignados un lugar en el orden (o indefinidos si la totalidad de A{displaystyle A} se ha enumerado con éxito). Entonces... .. aα α ▪ ▪ aα α se define.. {displaystyle langle a_{alpha. }{text{ is defined}rangle } es un buen orden A{displaystyle A} como se desee.

Prueba del axioma de elección

El axioma de elección se puede probar a partir del teorema del buen orden de la siguiente manera.

Para hacer una función de elección para una colección de conjuntos no vacíos, E{displaystyle E}, tomar la unión de los conjuntos en E{displaystyle E} y llámalo X{displaystyle X}. Existe una orden bien ordenada X{displaystyle X}; R{displaystyle R. sea una orden. La función que a cada conjunto S{displaystyle S. de E{displaystyle E} asocia el elemento más pequeño de S{displaystyle S., como ordenó (la restricción a S{displaystyle S. de) R{displaystyle R., es una función de elección para la colección E{displaystyle E}.

Un punto esencial de esta prueba es que implica sólo una única opción arbitraria, la de R{displaystyle R.; aplicar el teorema bien ordenado a cada miembro S{displaystyle S. de E{displaystyle E} por separado no funcionaría, ya que el teorema sólo afirma la existencia de un bien ordenado, y elegir para cada S{displaystyle S. un buen orden requeriría tantas opciones como simplemente elegir un elemento de cada S{displaystyle S.. En particular, si E{displaystyle E} contiene incontablemente muchos conjuntos, haciendo que todas las opciones incontablemente no se permite bajo los axiomas de la teoría de conjunto Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección.