Teorema de verde

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Theorem in calculus relating line and double integrals

En cálculo vectorial, el teorema de Green relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple $C$ a una integral doble sobre la región plana $D$ limitada por $C$ . Es el caso especial bidimensional de Stokes' teorema.

Teorema

Sea $C$ una curva cerrada simple, suave por partes, positivamente orientada en un plano, y sea $D$ sea la región delimitada por $C$ . Si $L$ y $M$ son funciones de $(x, y)$ definidas en una región abierta que contiene $D$ y tener derivadas parciales continuas allí, entonces

{displaystyle oint _{C}(L,dx+M,dy)=iint _{D}left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}right)dx,dy}

donde la ruta de integración a lo largo de $C$ es en sentido antihorario.

En física, el teorema de Green encuentra muchas aplicaciones. Uno es resolver integrales de flujo bidimensionales, afirmando que la suma de fluido que sale de un volumen es igual al flujo de salida total sumado alrededor de un área circundante. En geometría plana y, en particular, topografía de áreas, el teorema de Green se puede utilizar para determinar el área y el centroide de figuras planas únicamente mediante la integración sobre el perímetro.

Prueba cuando D es una región simple

Si D es un tipo simple de región con su límite que consiste en las curvas C₁, C₂, C₃, C₄La mitad del teorema de Green se puede demostrar.

La siguiente es una prueba de la mitad del teorema para el área simplificada D, una región tipo I donde C₁ y C₃ son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero). Existe una demostración similar para la otra mitad del teorema cuando D es una región de tipo II donde C₂ y C₄ son curvas conectadas por líneas horizontales (nuevamente, posiblemente de longitud cero). Juntando estas dos partes, el teorema se prueba para regiones de tipo III (definidas como regiones que son tanto de tipo I como de tipo II). El caso general se puede deducir de este caso especial descomponiendo D en un conjunto de regiones de tipo III.

Si se puede demostrar que

{displaystyle oint _{C}L,dx=iint _{D}left(-{frac {partial L}{partial y}}right)dA}

()1)

{displaystyle oint _{C} M,dy=iint _{D}left({frac {partial M}{partial x}}right)dA}

()2)

son verdaderas, entonces el teorema de Green se sigue inmediatamente para la región D. Podemos probar (1) fácilmente para regiones de tipo I, y (2) para regiones de tipo II. Luego se sigue el teorema de Green para las regiones de tipo III.

Suponga que la región D es una región de tipo I y, por lo tanto, se puede caracterizar, como se muestra a la derecha, por

{displaystyle D={(x,y)mid aleq xleq b,g_{1}(x)leq yleq g_{2}(x)}}

g₁g₂

[a, b]

{displaystyle {begin{aligned}iint _{D}{frac {partial L}{partial y}},dA&=int _{a}^{b},int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{frac {partial L}{partial y}}(x,y),dy,dx\&=int _{a}^{b}left[L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x))right],dx.end{aligned}}}

()3)

Ahora calcule la integral de línea en (1). C se puede reescribir como la unión de cuatro curvas: C₁, C₂, C₃, C₄.

Con C₁, usa las ecuaciones paramétricas: x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. Entonces

{displaystyle int _{C_{1}}L(x,y),dx=int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x)),dx.}

Con C₃, usa las ecuaciones paramétricas: x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. Entonces

{displaystyle int _{C_{3}}L(x,y),dx=-int _{-C_{3}}L(x,y),dx=-int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x)),dx.}

La integral sobre C₃ se niega porque va en dirección negativa de b a a, ya que C está orientado positivamente (en sentido contrario a las agujas del reloj). En C₂ y C₄, x permanece constante, lo que significa

{displaystyle int _{C_{4}}L(x,y),dx=int _{C_{2}}L(x,y),dx=0.}

Por lo tanto,

{displaystyle {begin{aligned}int _{C}L,dx&=int _{C_{1}}L(x,y),dx+int _{C_{2}}L(x,y),dx+int _{C_{3}}L(x,y),dx+int _{C_{4}}L(x,y),dx\&=int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x)),dx-int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x)),dx.end{aligned}}}

()4)

Combinando (3) con (4), obtenemos (1) para regiones de tipo I. Un tratamiento similar produce (2) para regiones de tipo II. Poniendo los dos juntos, obtenemos el resultado para las regiones de tipo III.

Prueba de curvas de Jordan rectificables

Vamos a probar lo siguiente

Theorem—Vamos $Gamma$ ser una curva Jordania rectificada y orientada positivamente en $R^2$ y dejar $R$ denota su región interior. Supongamos que ${displaystyle A,B:{overline {R}}to mathbb {R} }$ son funciones continuas con la propiedad que $A$ tiene segundo derivado parcial en cada punto $R$ , $B$ tiene primero derivado parcial en cada punto $R$ y que las funciones ${displaystyle D_{1}B,D_{2}A:Rto mathbb {R} }$ son Riemann-integrable sobre $R$ . Entonces...

{displaystyle int _{Gamma }(A,dx+B,dy)=int _{R}left(D_{1}B(x,y)-D_{2}A(x,y)right),d(x,y).}

Necesitamos los siguientes lemas cuyas demostraciones se pueden encontrar en:

Lemma 1 (Decomposition Lemma)—Assume $Gamma$ es una curva Jordania rectificable y orientada positivamente en el plano y deja $R$ ser su región interior. Por cada real positivo $delta$ , vamos ${displaystyle {mathcal {F}}(delta)}$ denota la colección de cuadrados en el plano atado por las líneas ${displaystyle x=mdeltay=mdelta }$ , donde $m$ corre por el conjunto de enteros. Entonces, para esto $delta$ , existe una descomposición de ${overline {R}}$ en un número finito de subregiones no superpuestas de manera que

Cada una de las subregiones contenidas en $R$ , di ${displaystyle R_{1},R_{2},ldotsR_{k}}$ , es un cuadrado de ${displaystyle {mathcal {F}}(delta)}$ .
Cada una de las subregiones restantes, digamos ${displaystyle R_{k+1},ldotsR_{s}}$ , tiene como límite una curva Jordania rectificable formada por un número finito de arcos de $Gamma$ partes de los lados de algún cuadrado ${displaystyle {mathcal {F}}(delta)}$ .
Cada una de las regiones fronterizas ${displaystyle R_{k+1},ldotsR_{s}}$ puede ser encerrado en un cuadrado de longitud de borde $2delta$ .
Si $Gamma _{i}$ es la curva de límites positivamente orientada $R_{i}$ , entonces ${displaystyle Gamma =Gamma _{1}+Gamma _{2}+cdots +Gamma _{s}.}$
El número ${displaystyle s-k}$ de las regiones fronterizas ${textstyle 4!left({frac {Lambda }{delta }}+1right)}$ , donde $Lambda$ es la longitud de $Gamma$ .

Lemma 2—Vamos $Gamma$ ser una curva rectificable en el plano y dejar ${displaystyle Delta _{Gamma }(h)}$ ser el conjunto de puntos en el plano cuya distancia de (el rango de) $Gamma$ es en la mayoría $h$ . El contenido exterior de Jordania de este conjunto satisfies ${displaystyle {overline {c}},,Delta _{Gamma }(h)leq 2hLambda +pi h^{2}}$ .

Lemma 3—Vamos $Gamma$ ser una curva rectificable en $R^2$ y dejar ${displaystyle f:{text{range of }}Gamma to mathbb {R} }$ ser una función continua. Entonces...

{displaystyle leftvert int _{Gamma }f(x,y),dyrightvert leq {frac {1}{2}}Lambda Omega _{f},}

{displaystyle leftvert int _{Gamma }f(x,y),dxrightvert leq {frac {1}{2}}Lambda Omega _{f},}

Donde

{displaystyle Omega _{f}}

es la oscilación de

f

en el rango de

Gamma

Ahora estamos en condiciones de probar el teorema:

Prueba de Teorema. Vamos $varepsilon$ ser un número real arbitrario positivo. Por continuidad de $A$ , $B$ y compactidad de ${overline {R}}$ , dado $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , existe $<math alttext="{displaystyle 0<delta 0.δ δ .1{displaystyle 0. <img alt="0<delta$ tal que cuando dos puntos ${overline {R}}$ son menos que ${displaystyle 2{sqrt {2}},delta }$ aparte, sus imágenes bajo $A,B$ son menos que $varepsilon$ aparte. Para esto $delta$ , considere la descomposición dada por el Lemma anterior. Tenemos

{displaystyle int _{Gamma }A,dx+B,dy=sum _{i=1}^{k}int _{Gamma _{i}}A,dx+B,dyquad +sum _{i=k+1}^{s}int _{Gamma _{i}}A,dx+B,dy.}

Put ${displaystyle varphi:=D_{1}B-D_{2}A}$ .

Para cada uno ${displaystyle iin {1,ldotsk}}$ , la curva $Gamma _{i}$ es una plaza positivamente orientada, para la cual la fórmula de Green sostiene. Por lo tanto

{displaystyle sum _{i=1}^{k}int _{Gamma _{i}}A,dx+B,dy=sum _{i=1}^{k}int _{R_{i}}varphi =int _{bigcup _{i=1}^{k}R_{i}},varphi.}

Cada punto de una región fronteriza está a una distancia no mayor que ${displaystyle 2{sqrt {2}},delta }$ desde $Gamma$ . Así, si $K$ es la unión de todas las regiones fronterizas, entonces ${displaystyle Ksubset Delta _{Gamma }(2{sqrt {2}},delta)}$ ; por lo tanto ${displaystyle c(K)leq {overline {c}},Delta _{Gamma }(2{sqrt {2}},delta)leq 4{sqrt {2}},delta +8pi delta ^{2}}$ , por Lemma 2. Note que

{displaystyle int _{R}varphi ,,-int _{bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}varphi =int _{K}varphi.}

0.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silencio.. i=1k∫ ∫ .. iAdx+BdSí.− − ∫ ∫ Rφ φ Silencio≤ ≤ Mδ δ ()1+π π 2δ δ )para algunosM■0.{displaystyle leftvert sum ##{i=1} {k}int ¿Por qué?0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360b35b8d16d955aaf99ccd6ec87d02f234c61a5" style="vertical-align: -3.171ex; width:65.673ex; height:7.509ex;"/>

También podemos elegir $delta$ para que el RHS de la última desigualdad sea $<math alttext="{displaystyle .ε ε .{displaystyle.varepsilon.} <img alt="{displaystyle$

La observación al comienzo de esta prueba implica que las oscilaciones $A$ y $B$ en todas las regiones fronterizas $varepsilon$ . Tenemos

{displaystyle leftvert sum _{i=k+1}^{s}int _{Gamma _{i}}A,dx+B,dyrightvert leq {frac {1}{2}}varepsilon sum _{i=k+1}^{s}Lambda _{i}.}

Por el Lema 1(iii),

{displaystyle sum _{i=k+1}^{s}Lambda _{i}leq Lambda +(4delta),4!left({frac {Lambda }{delta }}+1right)leq 17Lambda +16.}

Combinando estos, finalmente obtenemos

<math alttext="{displaystyle leftvert int _{Gamma }A,dx+B,dyquad -int _{R}varphi rightvert Silencio∫ ∫ .. Adx+BdSí.− − ∫ ∫ Rφ φ Silencio.Cε ε ,{displaystyle leftvert int ¿Qué? Gamma }A,dx+B,dyquad -int _{R}varphi rightvert - No.<img alt="{displaystyle leftvert int _{Gamma }A,dx+B,dyquad -int _{R}varphi rightvert

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">C■0{displaystyle C confiar0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84d4126c6df243734f9355927c026df6b0d3859" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.027ex; height:2.176ex;"/>

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>

Validez bajo diferentes hipótesis

Las hipótesis del último teorema no son las únicas bajo las cuales la fórmula de Green es cierta. Otro conjunto común de condiciones es el siguiente:

Funciones ${displaystyle A,B:{overline {R}}to mathbb {R} }$ todavía se supone que son continuos. Sin embargo, ahora necesitamos que sean Fréchet-diferencialables en cada punto $R$ . Esto implica la existencia de todos los derivados direccionales, en particular ${displaystyle D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,,i=1,2}$ , donde, como siempre, ${displaystyle (e_{1},e_{2})}$ es la base canónica ordenada $R^2$ . Además, necesitamos la función ${displaystyle D_{1}B-D_{2}A}$ para ser Riemann-integrable sobre $R$ .

Como corolario de esto, obtenemos el Teorema Integral de Cauchy para curvas de Jordan rectificables:

Teorema (Caucho)—Si $Gamma$ es una curva Jordania rectificable $mathbb{C}$ y si ${displaystyle f:{text{closure of inner region of }}Gamma to mathbb {C} }$ es un mapa continuo holomorfo en toda la región interna de $Gamma$ , entonces

{displaystyle int _{Gamma }f=0,}

el integral siendo un complejo contorno integral.

Prueba

Consideramos el plano complejo como $R^2$ . Ahora, definir ${displaystyle u,v:{overline {R}}to mathbb {R} }$ ser tal ${displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).}$ Estas funciones son claramente continuas. Es bien sabido que $u$ y $v$ son Fréchet-differentiable y que satisfacen las ecuaciones Cauchy-Riemann: ${displaystyle D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={text{zero function}}}$ .

Ahora, analizando las sumas utilizadas para definir el contorno complejo integral en cuestión, es fácil darse cuenta de que

{displaystyle int _{Gamma }f=int _{Gamma }u,dx-v,dyquad +iint _{Gamma }v,dx+u,dy,}

las integrales en el RHS siendo las integrales de línea habituales. Estas observaciones nos permiten aplicar el Teorema de Green a cada una de estas integrales de línea, terminando la prueba.

Regiones multiconectadas

Teorema. Vamos ${displaystyle Gamma _{0},Gamma _{1},ldotsGamma _{n}}$ ser curvas rectificables de Jordania orientadas positivamente en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ satisfacción

{displaystyle {begin{aligned}Gamma _{i}subset R_{0},&&{text{if }}1leq ileq n\Gamma _{i}subset mathbb {R} ^{2}setminus {overline {R}}_{j},&&{text{if }}1leq i,jleq n{text{ and }}ineq j,end{aligned}}}

R_{i}

Gamma _{i}

{displaystyle D=R_{0}setminus ({overline {R}}_{1}cup {overline {R}}_{2}cup cdots cup {overline {R}}_{n}).}

Suppose ${displaystyle p:{overline {D}}to mathbb {R} }$ y ${displaystyle q:{overline {D}}to mathbb {R} }$ son funciones continuas cuya restricción $D$ Fréchet-differentiable. Si la función

{displaystyle (x,y)longmapsto {frac {partial q}{partial e_{1}}}(x,y)-{frac {partial p}{partial e_{2}}}(x,y)}

D

{displaystyle {begin{aligned}&int _{Gamma _{0}}p(x,y),dx+q(x,y),dy-sum _{i=1}^{n}int _{Gamma _{i}}p(x,y),dx+q(x,y),dy\[5pt]={}&int _{D}left{{frac {partial q}{partial e_{1}}}(x,y)-{frac {partial p}{partial e_{2}}}(x,y)right},d(x,y).end{aligned}}}

Relación con Stokes' teorema

El teorema de Green es un caso especial del teorema de Kelvin-Stokes, cuando se aplica a una región en la $xy$ - Avión.

Podemos aumentar el campo bidimensional en un campo tridimensional con un z componente que siempre es 0. Escribe F para la función de valor vectorial $mathbf {F} =(L,M,0)$ . Comience con el lado izquierdo del teorema de Green:

{displaystyle oint _{C}(L,dx+M,dy)=oint _{C}(L,M,0)cdot (dx,dy,dz)=oint _{C}mathbf {F} cdot dmathbf {r}.}

El teorema de Kelvin-Stokes:

{displaystyle oint _{C}mathbf {F} cdot dmathbf {r} =iint _{S}nabla times mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ,dS.}

La superficie $S$ es sólo la región en el avión $D$ , con la unidad normal $mathbf {hat {n}}$ definido (por convención) tener un componente z positivo para que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas.

La expresión dentro de la integral se convierte en

{displaystyle nabla times mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} =left[left({frac {partial 0}{partial y}}-{frac {partial M}{partial z}}right)mathbf {i} +left({frac {partial L}{partial z}}-{frac {partial 0}{partial x}}right)mathbf {j} +left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}right)mathbf {k} right]cdot mathbf {k} =left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}right).}

Así obtenemos el lado derecho del teorema de Green

{displaystyle iint _{S}nabla times mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ,dS=iint _{D}left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}right),dA.}

El teorema de Green también es un resultado directo de la regla general de Stokes; teorema usando formas diferenciales y derivadas exteriores:

{displaystyle oint _{C}L,dx+M,dy=oint _{partial D}!omega =int _{D}domega =int _{D}{frac {partial L}{partial y}},dywedge ,dx+{frac {partial M}{partial x}},dxwedge ,dy=iint _{D}left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}right),dx,dy.}

Relación con el teorema de la divergencia

Considerando solo campos vectoriales bidimensionales, el teorema de Green es equivalente a la versión bidimensional del teorema de la divergencia:

iint _{D}left(nabla cdot mathbf {F} right)dA=oint _{C}mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}} ,ds,

Donde $nabla cdot mathbf {F}$ es la divergencia en el campo vectorial bidimensional $mathbf {F}$ , y $mathbf {hat {n}}$ es el vector normal de la unidad externa en el límite.

Para ver esto, considere la unidad normal $mathbf {hat {n}}$ en el lado derecho de la ecuación. Desde el teorema de Green $dmathbf {r} =(dx,dy)$ es un vector apuntando tangencial a lo largo de la curva, y la curva C es la curva positivamente orientada (es decir, antiauricular) a lo largo del límite, una normalidad externa sería un vector que apunta 90° a la derecha de esto; una opción sería $(dy,-dx)$ . La longitud de este vector es ${textstyle {sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ Así que... $(dy,-dx)=mathbf {hat {n}} ,ds.$

Comience con el lado izquierdo del teorema de Green:

{displaystyle oint _{C}(L,dx+M,dy)=oint _{C}(M,-L)cdot (dy,-dx)=oint _{C}(M,-L)cdot mathbf {hat {n}} ,ds.}

mathbf {F} =(M,-L)

{displaystyle oint _{C}(M,-L)cdot mathbf {hat {n}} ,ds=iint _{D}left(nabla cdot (M,-L)right),dA=iint _{D}left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}right),dA.}

Cálculo del área

El teorema de Green se puede utilizar para calcular el área por línea integral. El área de una región planar $D$ es dado por

{displaystyle A=iint _{D}dA.}

Elija $L$ y $M$ tales que ${frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}=1$ , el área es dada por

{displaystyle A=oint _{C}(L,dx+M,dy).}

Posibles fórmulas para el área de $D$ incluir

{displaystyle A=oint _{C}x,dy=-oint _{C}y,dx={tfrac {1}{2}}oint _{C}(-y,dx+x,dy).}

Historia

Lleva el nombre de George Green, quien afirmó un resultado similar en un artículo de 1828 titulado Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo. En 1846, Augustin-Louis Cauchy publicó un artículo que establecía el teorema de Green como la penúltima oración. De hecho, esta es la primera versión impresa del teorema de Green en la forma que aparece en los libros de texto modernos. Bernhard Riemann dio la primera demostración del teorema de Green en su tesis doctoral sobre la teoría de funciones de variable compleja.

Contenido relacionado

Más resultados...