Teorema de taylor

La función exponencial Sí.=e^x (rojo) y el correspondiente polinomio Taylor de grado cuatro (verde seco) alrededor del origen.

En cálculo, el teorema de Taylor proporciona una aproximación de una función diferenciable k veces alrededor de un punto dado mediante un polinomio de grado k, llamado el polinomio de Taylor de k-ésimo orden. Para una función suave, el polinomio de Taylor es el truncamiento en el orden k de la serie de Taylor de la función. El polinomio de Taylor de primer orden es la aproximación lineal de la función, y el polinomio de Taylor de segundo orden a menudo se denomina aproximación cuadrática. Hay varias versiones del teorema de Taylor, algunas dan estimaciones explícitas del error de aproximación de la función por su polinomio de Taylor.

El teorema de Taylor lleva el nombre del matemático Brook Taylor, quien planteó una versión del mismo en 1715, aunque James Gregory ya mencionó una versión anterior del resultado en 1671.

El teorema de Taylor se enseña en los cursos de cálculo de nivel introductorio y es una de las herramientas elementales centrales en el análisis matemático. Proporciona fórmulas aritméticas simples para calcular con precisión los valores de muchas funciones trascendentales, como la función exponencial y las funciones trigonométricas. Es el punto de partida del estudio de las funciones analíticas, y es fundamental en diversas áreas de las matemáticas, así como en el análisis numérico y la física matemática. El teorema de Taylor también se generaliza a funciones multivariadas y de valores vectoriales.

Motivación

Gráfico de f()x) e^x (azul) con su aproximación lineal P₁()x) = 1 + x (red) at a= 0.

Si una función de valor real f(x) es diferenciable en el punto x = a, entonces tiene una aproximación lineal cerca de este punto. Esto significa que existe una función h₁(x) tal que

$${displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),quad lim _{xto a}h_{1}(x)=0.}$$

Aquí

$${displaystyle P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}$$

es la aproximación lineal de f(x) para x cerca del punto a, cuya gráfica < span class="nowrap">y = P₁(x) es la recta tangente al gráfico y = f(x) en x = a< /lapso>. El error en la aproximación es:

$${displaystyle R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a). }$$

As x tiende aa, este error va a cero mucho más rápido que ${displaystyle f'(a)(x{-}a)}$, haciendo ${displaystyle f(x)approx P_{1}(x)}$ una aproximación útil.

Gráfico de f()x) e^x (azul) con su aproximación cuadrática P₂()x) = 1 + x + x²/2 (red) at a= 0. Observe la mejora en la aproximación.

Para una mejor aproximación a f(x), podemos ajustar un polinomio cuadrático en lugar de una función lineal:

$${displaystyle P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f'''(a)}{2}(x-a)^{2}$$

En lugar de hacer coincidir una derivada de f(x) en x = a, este polinomio tiene las mismas derivadas primera y segunda, como es evidente en la diferenciación.

El teorema de Taylor asegura que la aproximación cuadrática es, en una vecindad suficientemente pequeña de x = a, más precisa que la aproximación lineal. Específicamente,

$${displaystyle f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},quad lim _{xto a}h_{2}(x)=0.}$$

Aquí el error en la aproximación es

$${displaystyle R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2}$$

que, dada la conducta limitante ${displaystyle h_{2}$, va a cero más rápido que ${displaystyle (x-a)} {2}$ como x tiende aa.

Aproximación f()x) = 1/(1 +x²) (azul) por sus polinomios Taylor P_k de orden k= 1,..., 16 centrados en x= 0 (rojo) y x= 1 (verde). Las aproximaciones no mejoran en todo el exterior (−1, 1) y (1 − √2, 1 + √2) respectivamente.

De manera similar, podríamos obtener aproximaciones aún mejores a f si usamos polinomios de mayor grado, ya que entonces podemos igualar aún más derivadas con f en el punto base seleccionado.

En general, el error en aproximar una función por un polinomio de grado k irá a cero mucho más rápido que ${displaystyle (x-a)}{k}$ como x tiende aa. Sin embargo, hay funciones, incluso infinitamente diferenciables, para las cuales aumentar el grado del polinomio aproximado no aumenta la exactitud de la aproximación: decimos que tal función no es analítica en x = a: no es (localmente) determinado por sus derivados en este punto.

El teorema de Taylor es de naturaleza asintótica: solo nos dice que el error R_k en una aproximación por un k El polinomio de Taylor de -ésimo orden P_k tiende a cero más rápido que cualquier polinomio de k-ésimo grado distinto de cero cuando x → a. No nos dice qué tan grande es el error en cualquier vecindad concreta del centro de expansión, pero para este propósito hay fórmulas explícitas para el resto del término (dadas a continuación) que son válidas bajo algunos supuestos de regularidad adicionales en f. Estas versiones mejoradas del teorema de Taylor generalmente conducen a estimaciones uniformes para el error de aproximación en una vecindad pequeña del centro de expansión, pero las estimaciones no necesariamente se cumplen para vecindades que son demasiado grandes, incluso si la función f es analítico. En esa situación, uno puede tener que seleccionar varios polinomios de Taylor con diferentes centros de expansión para tener aproximaciones de Taylor confiables de la función original (vea la animación a la derecha).

Hay varias formas en las que podríamos usar el término resto:

1. Estimar el error de un polinomio P_k()x) de grado k estimación f()x) en un intervalo dado (a – r, a + r). (Dentro del intervalo y grado, encontramos el error.)
2. Encontrar el grado más pequeño k para el cual el polinomio P_k()x) aproximados f()x) a dentro de una tolerancia de error dada en un intervalo determinado (a − r, a + r). (Dado el intervalo y la tolerancia al error, encontramos el grado.)
3. Encontrar el intervalo más grande (a − r, a + r) en que P_k()x) aproximados f()x) dentro de una tolerancia de error dada. (Dado el grado y la tolerancia al error, encontramos el intervalo.)

Teorema de Taylor en una variable real

Enunciado del teorema

La declaración precisa de la versión más básica del teorema de Taylor es la siguiente:

El teorema de Taylor—Vamos k≥ 1 ser un entero y dejar la función f: R → R Ser k tiempos diferentes en el punto a ▪ R. Entonces existe una función h_k: R → R tales que

$${fnMicrosoft Sans Serif}(x-a)}cdots +{frac {(k)} {k!} {k!} {k)}} {k} {k} {k} {k} {k})} {k)} {k} {k} {k} {k} {k} {k} {k} {x)} {k} {k} {k} {k)} {k} {k)} {k} {k)}(x)} }$$

y

$${displaystyle lim _{xto a}h_{k}(x)=0.}$$

Esto se llama Forma Peano del resto.

El polinomio que aparece en el teorema de Taylor es el polinomio de Taylor de k-ésimo orden

$${displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f'''(a)}{2!}} {2}+cdots +{frac {(k)}(a)} {k} {k}} {k}} {k}} {k} {c}} {c}}}}} {c}}}}} {c}{k}} {c}}}} {c}}}} {c}} {c}} {c} {c} {cc} {cccc}}}} {c} {c}}}}}}}}}} {cccc}}}}}} {cccccccccccccccccccccccccc}}$$

de la función f en el punto a. El polinomio de Taylor es el único "mejor ajuste asintótico" polinomio en el sentido de que si existe una función h_k: R → R y un polinomio de orden k-ésimo p tal que

$${displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},quad lim _{xto a}h_{k}(x)=0,}$$

entonces p = P_k. El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del término restante

$${displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$$

que es el error de aproximación al aproximar f con su polinomio de Taylor. Usando la notación de la o pequeña, el enunciado del teorema de Taylor se lee como

$${displaystyle R_{k}(x)=o(Principe-a perpetua^{k}),quad xto a.}$$

Fórmulas explícitas para el resto

Bajo supuestos de regularidad más estrictos en f, existen varias fórmulas precisas para el término restante R_k del polinomio de Taylor, las más comunes siendo el siguiente.

Formas de valor medio del resto—Vamos f: R → R Ser k+ 1 veces diferenciable en el intervalo abierto con f^()k) continuo en el intervalo cerrado entre a y x. Entonces...

$${displaystyle R_{k}(x)={frac {(k+1)} {xi _{L}}{(k+1)}}} {x-a)} {k+1}}}} {ccH0}$$

para algún número real ._L entre a y x. Este es el Lagrange form del resto.

Análogamente,

$${displaystyle R_{k}(x)={frac {(k+1)}(xi ¡No!$$

para algún número real ._C entre a y x. Este es el Forma Cauchy del resto.

Estos refinamientos del teorema de Taylor generalmente se prueban usando el teorema del valor medio, de ahí el nombre. Además, observe que este es precisamente el teorema del valor medio cuando k = 0. También se pueden encontrar otras expresiones similares. Por ejemplo, si G(t) es continua en el intervalo cerrado y diferenciable con una derivada no nula en el intervalo abierto entre a y x, entonces

$${f} {f} {f} {x]} {f} {cH00} {cHFF} {cH00}} {cH00}} {f} {f} {f}} {f} {f}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}f} {f} {f}$$

para algunos números . entre a y x. Esta versión cubre las formas Lagrange y Cauchy del resto como casos especiales, y se prueba a continuación utilizando el teorema de valor medio de Cauchy. La forma Lagrange se obtiene tomando ${displaystyle G(t)=(x-t)}{k+1}$ y la forma Cauchy se obtiene tomando ${displaystyle G(t)=t-a}$.

La declaración de la forma integral del resto es más avanzada que las anteriores y requiere la comprensión de la teoría de integración de Lebesgue para la generalidad completa. Sin embargo, también se cumple en el sentido de integral de Riemann siempre que la (k + 1)ésima derivada de f sea continua en el intervalo cerrado [a,x].

Forma integral del resto—Vamos f^()k) ser absolutamente continuo en el intervalo cerrado entre a y x. Entonces...

$${displaystyle R_{k}(x)=int _{a}{x}{frac {f^{(k+1)}(t)} {k!}} {k}t)},dt.}$$

Debido a la continuidad absoluta de f^(k) en el intervalo cerrado entre a y x, su derivada f^(k+1) existe como L¹ -, y el resultado puede probarse mediante un cálculo formal utilizando el teorema fundamental del cálculo y la integración por partes.

Estimaciones para el resto

A menudo es útil en la práctica poder estimar el término restante que aparece en la aproximación de Taylor, en lugar de tener una fórmula exacta para ello. Supongamos que f es (k + 1)-veces continuamente diferenciable en un intervalo I que contiene a. Supongamos que existen constantes reales q y Q tales que

$${displaystyle qleq f^{(k+1)}(x)leq Q}$$

a lo largo de I. Entonces el resto del término satisface la desigualdad

$${displaystyle q{frac {x-a)}{k+1}}}leq R_{k}(x)leq Q{frac {(x-a)}{k+1}{(k+1)}}}}}}}}}}}}}}}}$$

si x > a, y una estimación similar si x < a. Esta es una simple consecuencia de la forma de Lagrange del resto. En particular, si

$$################################################################################################################################################################################################################################################################$$

en un intervalo I =a − r,a + r) con algunos ${displaystyle r]$ entonces

$${fnMicrosoft Sans Serif}(x) ¡Oh, Dios mío! M{frac {r^{k+1}{(k+1)}}$$

para todo x∈(a − r,a + r). La segunda desigualdad se llama estimación uniforme, porque se cumple uniformemente para todo x en el intervalo (< i>a − r,a + r).

Ejemplo

Aproximación e^x (azul) por sus polinomios Taylor P_k de orden k= 1,...,7 centrado en x= 0 (rojo).

Supongamos que deseamos encontrar el valor aproximado de la función f(x) = e ^x en el intervalo [−1,1] mientras se asegura de que el error en la aproximación no sea más de 10⁻⁵. En este ejemplo pretendemos que solo conocemos las siguientes propiedades de la función exponencial:

${displaystyle e^{0}=1,qquad {d} {dx}e^{x}=e^{x},qquad e^{x} {x} {0,qquad xin mathbb {R}.}$

()★)

De estas propiedades se deduce que f^(k)(x) = e^x para todos k, y en particular, f^{( k)}(0) = 1. Por lo tanto, el polinomio de Taylor de k-ésimo orden de f en 0 y su término restante en la forma de Lagrange están dados por

$${displaystyle P_{k}(x)=1+x+{frac {x^{2}{2}}}+cdots {fnMicrosoft Sans Serif}qquad R_{k} {fnMicrosoft Sans Serif} } { k+1)!}x^{k+1}$$

donde ξ es un número entre 0 y x. Dado que e^x aumenta en (★), simplemente podemos usar e^x ≤ 1 para x ∈ [−1, 0] para estimar el resto en el subintervalo [−1, 0]. Para obtener un límite superior para el resto en [0,1], usamos la propiedad e^ξ < e^x para 0<ξ<x para estimar

$${displaystyle e^{x}=1+x+{frac {e^{xi ### {2}x^{2}traducido 1+x+{frac {e^{x}{2}x^{2},qquad 0cantaxleq 1}$$

utilizando la expansión de Taylor de segundo orden. Luego resolvemos e^x para deducir que

$${displaystyle e^{x}leq {1+x}{1-{frac} {x^{2}{2}}}=2{frac} {1+x}{2-x^{2}}leq 4,qquad 0leq xleq 1}$$

simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador. Combinando estas estimaciones para e^x vemos que

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {4}}}}qquad -1leq xleq 1,}}} {m} {fnMicroc {4}}}}}}},qquad -1leqi}$$

por lo que la precisión requerida ciertamente se alcanza, cuando

$${displaystyle {frac {4}{(k+1)!} {5}quad Longleftrightarrow quad 4cdot 10^{5} made(k+1)!quad Longleftrightarrow quad kgeq 9.}$$

(Vea factorial o calcule a mano los valores 9! = 362< span style="margin-left:.25em;">880 y 10! = 3628800.) Como conclusión, el teorema de Taylor conduce a la aproximación

$${displaystyle e^{x}=1+x+{frac {x^{2}{2}}}+cdots +{frac {x^{9}{9}}}+R_{9}(x),qquad SilencioR_{9}(x) Por supuesto 10^{-5},qquad -1leq xleq 1.}$$

Por ejemplo, esta aproximación proporciona una expresión decimal e ≈ 2,71828, correcta hasta cinco decimales.

Relación con la analiticidad

Expansiones de Taylor de funciones analíticas reales

Sea I ⊂ R un intervalo abierto. Por definición, una función f: I → R es analítica real si está definida localmente por una serie de potencias convergentes. Esto significa que por cada a ∈ I existe alguna r > 0 y una secuencia de coeficientes c_k ∈ R tal que (a − r, a + r) ⊂ I y

$${displaystyle f(x)=sum _{k=0}{infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+cdotsqquad$$

En general, el radio de convergencia de una serie de potencias se puede calcular a partir de la fórmula de Cauchy-Hadamard

$${displaystyle {frac {fnh}=limsup _{kto infty. {1}{k}.}$$

Este resultado se basa en la comparación con una serie geométrica, y el mismo método muestra que si la serie de potencias basada en a converge para algún b ∈ R , debe converger uniformemente en el intervalo cerrado [a − r_b, a + r_b], donde r_b = |b − a|. Aquí solo se considera la convergencia de la serie de potencias, y bien podría ser que (a − R,a + R) se extiende más allá del dominio I de f.

Los polinomios de Taylor de la función analítica real f en a son simplemente los truncamientos finitos

$${displaystyle P_{k}(x)=sum _{j=0} {k_{j}(x-a)^{j},qquad {fnMicrosoft Sans Serif}$$

de su serie de potencias que define localmente, y los términos restantes correspondientes están dados localmente por las funciones analíticas

$${displaystyle R_{k}(x)=sum _{j=k+1}{infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),qquad Нx-a perpetuar.}$$

Aquí las funciones

$${displaystyle {begin{aligned} {k}:(a-r,a+r)to mathbb {R}\fnK}(x)=(x-a)sum _{j=0}^{infty }c_{k+1+j}left(x-aright){j}end{aligned}}$$

también son analíticos, ya que sus series de potencias definitorias tienen el mismo radio de convergencia que la serie original. Suponiendo que [a − r, a + r] ⊂ I y r < R, todas estas series convergen uniformemente en (a − r, a + r). Naturalmente, en el caso de funciones analíticas se puede estimar el término residual R_k(x) por la cola de la secuencia de las derivadas < i>f′(a) en el centro de la expansión, pero utilizando un análisis complejo también surge otra posibilidad, que se describe a continuación.

Teorema de Taylor y convergencia de series de Taylor

La serie de Taylor de f convergerá en algún intervalo en el que todas sus derivadas estén acotadas y no crezcan demasiado rápido cuando k tiende a infinito. (Sin embargo, incluso si la serie de Taylor converge, es posible que no converja a f, como se explica a continuación; entonces se dice que f no es analítico).

Uno podría pensar en la serie de Taylor

$${displaystyle f(x)approx sum _{k=0}{infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+cdots }$$

de una función derivable infinitamente muchas veces f: R → R como su "polinomio de Taylor de orden infinito" en a. Ahora, las estimaciones para el resto implican que si, para cualquier r, se sabe que las derivadas de f están acotadas entre (a − r, a + r), luego para cualquier orden k y para cualquier r > 0 existe una constante M_k,r > 0 tal que

${displaystyle TENSI_{k}(x) M_{k,r}{frac ¡Oh!$

()★★)

para cada x ∈ (a − r,a + r). A veces, las constantes M_k,r se pueden elegir de tal manera que M_k,r está acotado arriba, para r fijos y todos los k. Entonces la serie de Taylor de f converge uniformemente a alguna función analítica

$${displaystyle {begin{aligned} {f}:(a-r,a+r)to mathbb {R}f} {f}=sum _{k=0}{infty }{frac {f^{(k)}(a)} {k}}}left(x-aright)}end{aligned}}}}}}}}}}}}}}}}left(x-aright)} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}$$

(Uno también obtiene convergencia incluso si M_k,r no está acotado por encima siempre que crezca lentamente suficiente.)

La función de límite T_f es por definición siempre analítica, pero no es necesariamente igual a la función original f, incluso si f es infinitamente diferenciable. En este caso, decimos que f es una función suave no analítica, por ejemplo, una función plana: