Teorema de Stone-Weierstrass

En análisis matemático, el teorema de aproximación de Weierstrass establece que toda función continua definida en un intervalo cerrado [a, b ] se puede aproximar uniformemente tanto como se desee mediante una función polinomial. Debido a que los polinomios se encuentran entre las funciones más simples y debido a que las computadoras pueden evaluar polinomios directamente, este teorema tiene relevancia tanto práctica como teórica, especialmente en la interpolación de polinomios. La versión original de este resultado fue establecida por Karl Weierstrass en 1885 utilizando la transformada de Weierstrass.

Marshall H. Stone generalizó considerablemente el teorema (Stone 1937) y simplificó la prueba (Stone 1948). Su resultado es conocido como Stone-Weierstrass theorem. El teorema de Piedra-Weierstrass generaliza el teorema de aproximación de Weierstrass en dos direcciones: en lugar del intervalo real [a, b], un espacio Hausdorff compacto arbitrario X es considerado, y en lugar del álgebra de funciones polinómicas, una variedad de otras familias de funciones continuas en ${displaystyle X}$ se muestran suficientes, como se detalla a continuación. El teorema de Piedra-Weierstrass es un resultado vital en el estudio del álgebra de funciones continuas en un espacio Hausdorff compacto.

Además, hay una generalización del teorema de Stone-Weierstrass a espacios de Tychonoff no compactos, es decir, cualquier función continua en un espacio de Tychonoff se aproxima uniformemente en conjuntos compactos mediante álgebras del tipo que aparece en el teorema de Stone-Weierstrass y se describe a continuación.

Una generalización diferente de Weierstrass' El teorema original es el teorema de Mergelyan, que lo generaliza a funciones definidas en ciertos subconjuntos del plano complejo.

Teorema de aproximación de Weierstrass

El enunciado del teorema de aproximación descubierto originalmente por Weierstrass es el siguiente:

En esa página se describe una demostración constructiva de este teorema usando polinomios de Bernstein.

Aplicaciones

Como consecuencia del teorema de aproximación de Weierstrass, se puede demostrar que el espacio C[a, b] es separable: las funciones polinómicas son densas, y cada función polinómica puede aproximarse uniformemente por una con coeficientes racionales; solo hay muchos polinomios contables con coeficientes racionales. Dado que C[a, b] es metrizable y separable, se deduce que C[ a, b] tiene cardinalidad como máximo 2^ℵ₀. (Observación: este resultado de cardinalidad también se deriva del hecho de que una función continua en los reales está determinada únicamente por su restricción a los racionales).

Teorema de Stone-Weierstrass, versión real

El conjunto C[a, b] de funciones continuas de valor real en [a, b], junto con la norma suprema || f || = sup_{a ≤ x ≤ b} | f (x)|, es un álgebra de Banach, (es decir, un álgebra asociativa y un espacio de Banach tal que || fg|| ≤ || f ||·||g|| para todos  f, g). El conjunto de todas las funciones polinómicas forma una subálgebra de C[a, b] (es decir, un subespacio vectorial de C[a, b] que se cierra bajo la multiplicación de funciones), y el contenido del teorema de aproximación de Weierstrass es que esta subálgebra es densa en C[a, b].

Stone comienza con un espacio de Hausdorff compacto arbitrario X y considera el álgebra C(< i>X, R) de funciones continuas de valor real en X, con la topología de convergencia uniforme. Quiere encontrar subálgebras de C(X, R) que sean densas. Resulta que la propiedad crucial que debe satisfacer una subálgebra es que separe puntos: un conjunto A de funciones definidas en X se dice que separa puntos si, por cada dos puntos diferentes x y y en estilo X existe una función p en A con p(x) ≠ p (y). Ahora podemos afirmar:

Esto implica Weierstrass' declaración original ya que los polinomios en [a, b] forman una subálgebra de C [a, b] que contiene las constantes y separa los puntos.

Versión localmente compacta

Una versión del teorema de Stone-Weierstrass también es cierta cuando X es solo localmente compacta. Sea C₀(X, R) el espacio de funciones continuas de valor real en X que desaparecen en el infinito; es decir, una función continua  f  está en C₀(X , R) si, para cada ε > 0, existe un conjunto compacto K ⊂ X tal que | f | < ε en X K. Nuevamente, C₀(X, R) es un álgebra de Banach con la norma suprema. Una subálgebra A de C₀(X< /i>, R) se dice que no desaparece en ninguna parte si no todos los elementos de A desaparecen simultáneamente en un punto; es decir, para cada x en X , hay algo de  f  en A< /span> tal que  f (x) ≠ 0. El teorema se generaliza de la siguiente manera:

Esta versión implica claramente la versión anterior en el caso de que X sea compacto, ya que en ese caso C₀(X, R) = C(X, R). También hay versiones más generales de Stone-Weierstrass que debilitan la suposición de compacidad local.

Aplicaciones

El teorema de Stone-Weierstrass se puede utilizar para demostrar las siguientes dos afirmaciones, que van más allá del resultado de Weierstrass.

• Si f es una función de valor real continua definida en el conjunto [a, b[ ]c, d] y ε ■ 0, entonces existe una función polinomio p en dos variables tales que Silenciof()x, Sí.) − p()x, Sí.) ε para todos x dentro [a, b] y Sí. dentro [c, d].
• Si X y Y son dos espacios compactos Hausdorff y f: X × Y → R es una función continua, entonces para cada ε ■ 0 existe n ■ 0 y funciones continuas f₁,...f_n on X y funciones continuas g₁,... g_n on Y tales que Silenciof − −f_ig_iSilencioso ε.

El teorema tiene muchas otras aplicaciones para el análisis, que incluyen:

• Serie Fourier: Conjunto de combinaciones lineales de funciones e_n()x) e^2πinx, n ▪ Z es denso en C([0, 1]/{0, 1}), donde identificamos los puntos finales del intervalo [0, 1] para obtener un círculo. Una consecuencia importante de esto es que e_n son una base ortonormal del espacio L2([0, 1]) de funciones cuadradas integradas sobre [0, 1].

Teorema de Stone-Weierstrass, versión compleja

Ligeramente más general es el siguiente teorema, donde consideramos el álgebra ${displaystyle C(X,mathbb {C}$ de funciones continuas de valor complejo en el espacio compacto ${displaystyle X}$, de nuevo con la topología de la convergencia uniforme. Este es un álgebra C* con la *-operación dada por la conjugación compleja de punta.

El álgebra unitaria compleja generada por ${displaystyle S.$ consiste en todas las funciones que se pueden obtener de los elementos ${displaystyle S.$ tirando en la función constante 1 y añadiéndolos, multiplicandolos, conjugandolos, o multiplicándolos con escalares complejos, y repitiendo finitamente muchas veces.

Este teorema implica la versión real, porque si una red de funciones de valor complejo se aproxima uniformemente a una función determinada, ${displaystyle f_{n}to f}$, entonces las partes reales de esas funciones uniformemente aproximan la parte real de esa función, ${displaystyle operatorname {Re} f_{n}to operatorname {Re} f}$, y porque para subconjuntos reales, ${displaystyle Ssubset C(X,mathbb {R})subset C(X,mathbb {C}),}$ tomar las partes reales del álgebra unitaria compleja generada (selfadjoint) coincide con el álgebra unitaria generada real.

Como en el caso real, un análogo de este teorema es válido para espacios de Hausdorff localmente compactos.

Teorema de Stone-Weierstrass, versión del cuaternión

Siguiendo a Holladay (1957), considere el álgebra C(X, H) de funciones continuas con valores de cuaterniones en el espacio compacto X, nuevamente con la topología de convergencia uniforme.

Si una cuaternión q está escrito en la forma ${textstyle q=a+ib+jc+kd$

• su parte de escalar a es el número real ${displaystyle {frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}}$.

Del mismo modo

• la parte del cuero cabelludo −qi es b que es el número real ${displaystyle {frac {-qi-iq+jqkqj}{4}}}$.
• la parte del cuero cabelludo −qj es c que es el número real ${displaystyle {frac {-qj-iqkq+kqi}{4}}}$.
• la parte del cuero cabelludo −qk es d que es el número real ${displaystyle {frac {-qk+iqj-jqkq}{4}}}$.

Entonces podemos afirmar:

Teorema de Stone-Weierstrass, versión C*-álgebra

El espacio de funciones continuas de valor complejo en un espacio compacto Hausdorff ${displaystyle X}$ i.e. ${displaystyle C(X,mathbb {C}$ es el ejemplo canónico de un álgebra comunitaria unitaria C* ${displaystyle {Mathfrak}}$. El espacio X puede ser visto como el espacio de estados puros en ${displaystyle {Mathfrak}}$, con la débil-* topología. Siguiendo el ejemplo anterior, una extensión no recíproca del teorema de Piedra-Weierstrass, que sigue sin resolver, es la siguiente:

En 1960, Jim Glimm demostró una versión más débil de la conjetura anterior.

Versiones de celosía

Sea X un espacio compacto de Hausdorff. La prueba original del teorema de Stone usó la idea de redes en C(X, R). Un subconjunto L de C(X, R ) se llama red si para dos elementos  f, g ∈ L, las funciones max{ f, g}, min{ f, < i>g} también pertenecen a L. La versión de celosía del teorema de Stone-Weierstrass establece:

Las versiones anteriores de Stone–Weierstrass se pueden probar a partir de esta versión una vez que uno se da cuenta de que la propiedad de la red también se puede formular usando el valor absoluto | f | que a su vez puede aproximarse mediante polinomios en  f . Una variante del teorema se aplica a subespacios lineales de C(X, R) cerrados bajo max (Hewitt & Stromberg 1965, Teorema 7.29):

Hay información más precisa disponible:

Suppose X es un espacio Hausdorff compacto con al menos dos puntos y L es una celosa C(X, R). La función φ zioDtX, R) pertenece al cierre de L si y sólo si por cada par de puntos distintos x y Sí. dentro X y para cada ε ■ 0 existe f▪ L para la cual Silenciof()x) − φ()x) ε y Silenciof()Sí.) − φ()Sí.) ε.

Teorema de Bishop

Otra generalización del teorema de Stone-Weierstrass se debe a Errett Bishop. El teorema de Bishop es el siguiente (Bishop 1961):

Glicksberg (1962) ofrece una breve prueba del teorema de Bishop utilizando el teorema de Krein-Milman de manera esencial, así como el teorema de Hahn-Banach: el proceso de Louis de Branges (1959). Ver también Rudin (1973, §5.7).

Teorema de Nachbin

El teorema de Nachbin ofrece una analogía con el teorema de Stone-Weierstrass para álgebras de funciones suaves de valores complejos en una variedad suave (Nachbin 1949). El teorema de Nachbin es el siguiente (Llavona 1986):

Historia editorial

En 1885 también se publicó una versión en inglés del artículo cuyo título era Sobre la posibilidad de dar una representación analítica a una función arbitraria de variable real. Según la matemática Yamilet Quintana, Weierstrass "sospechaba que cualquier función analítica podía representarse mediante series de potencias".