Teorema de Sharkovskii

En matemáticas, teorema de Sharkovskii (también aparece bajo el nombre teorema de Sharkovsky, teorema de Sharkovskii b>, Teorema de Šarkovskii o Teorema de Sarkovskii), llamado así por Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky, quien lo publicó en 1964, es un resultado sobre dinámica discreta sistemas Una de las implicaciones del teorema es que si un sistema dinámico discreto en la línea real tiene un punto periódico de período 3, entonces debe tener puntos periódicos de cualquier otro período.

Declaración

Para algún intervalo ${displaystyle Isubset mathbb {R}$Supongo que

$${displaystyle f:Ito I}$$

${displaystyle x}$

punto periódico del período ${displaystyle m}$

${displaystyle f^{(m)}(x)=x}$

${displaystyle f^{(m)}$

${displaystyle m}$

${displaystyle f}$

${displaystyle x}$

período mínimo ${displaystyle m}$

${displaystyle f^{(k)}(x)neq x}$

${displaystyle 0 se hizo$

${displaystyle f}$

$${displaystyle # 2# 2## 2### 2### 2### 2### 2#### 2### 2#### 2#### 2###### 2#### 2########################################################################################################################################################################################################## {2}}}$$

Se compone de:

• los números extraños ${displaystyle =(2n+1)cdot 2^{0}$ dentro creciente orden,
• 2 veces los números extraños ${displaystyle =(2n+1)cdot 2^{1}$ dentro creciente orden,
• 4 veces los números extraños ${displaystyle =(2n+1)cdot 2^{2}$ dentro creciente orden,
• 8 veces los números extraños ${displaystyle =(2n+1)cdot 2^{3}$,
• etc. ${displaystyle =(2n+1)cdot 2^{m}$
• finalmente, los poderes de dos ${displaystyle =2^{n}$ dentro disminución Orden.

Este orden es un orden total: cada entero positivo aparece exactamente una vez en algún lugar de esta lista. Sin embargo, no es un buen orden. En un buen orden, cada subconjunto tendría un elemento anterior, pero en este orden no existe una potencia de dos anterior.

El teorema de Sharkovskii dice que si ${displaystyle f}$ tiene un punto periódico de menos período ${displaystyle m}$, y ${displaystyle m}$ precedes ${displaystyle n}$ en el orden anterior, entonces ${displaystyle f}$ tiene también un punto periódico de menos período ${displaystyle n}$.

Una consecuencia es que si ${displaystyle f}$ tiene solamente muchos puntos periódicos finitos, entonces todos deben tener períodos que son poderes de dos. Además, si hay un punto periódico del período tres, hay puntos periódicos de todos los demás períodos.

El teorema de Sharkovskii no establece que haya ciclos estables de esos períodos, solo que hay ciclos de esos períodos. Para sistemas como el mapa logístico, el diagrama de bifurcación muestra un rango de valores de parámetros para los cuales aparentemente el único ciclo tiene el período 3. De hecho, debe haber ciclos de todos los períodos allí, pero no son estables y, por lo tanto, no son visibles en el imagen generada por computadora.

El supuesto de continuidad es importante. Sin esta suposición, la función lineal discontinua ${displaystyle f:[0,3)to [0,3)}$ definida como:

$${displaystyle f:xmapsto {begin{cases}x+1mathrm {for } 0leq x 10x2x-2 limitmathrm {for} 2leq x 3end{cases}}$$

${displaystyle f}$

${displaystyle f:xmapsto (1-x)}{-1}$

${displaystyle mathbb {R} setminus {1},}$

Generalizaciones y resultados relacionados

Sharkovskii también demostró el teorema transversal: cada conjunto superior del orden anterior es el conjunto de períodos para alguna función continua de un intervalo a sí mismo. De hecho, todos esos períodos son alcanzados por la familia de funciones ${displaystyle [0,1]to [0,1]}$, ${displaystyle xmapsto min(h,1-2 vidas eternasx-1/2 duración)}$ para ${displaystyle hin [0,1]}$, excepto por el conjunto vacío de períodos que se logra por ${displaystyle T:Mathbb {R} to mathbb {R}$, ${displaystyle xmapsto x+1}$.

Por otro lado, con información adicional sobre la estructura combinatoria del mapa de intervalos que actúa sobre los puntos en una órbita periódica, un punto de período n puede forzar el período 3 (y, por lo tanto, todos los períodos). Es decir, si el tipo de órbita (la permutación cíclica generada por el mapa que actúa sobre los puntos en la órbita periódica) tiene un llamado par de estiramiento, entonces esto implica la existencia de un punto periódico de período-3. Se puede demostrar (en un sentido asintótico) que casi todas las permutaciones cíclicas admiten al menos un par de estiramiento y, por lo tanto, casi todos los tipos de órbita implican un período-3.

Tien-Yien Li y James A. Yorke demostraron en 1975 que la existencia de un ciclo de período 3 no solo implica la existencia de ciclos de todos los períodos, sino que además implica la existencia de una infinidad incontable de puntos que nunca asigne a ningún ciclo (puntos caóticos), una propiedad conocida como período tres implica caos.

El teorema de Sharkovskii no se aplica inmediatamente a sistemas dinámicos en otros espacios topológicos. Es fácil encontrar un mapa circular con puntos periódicos del período 3 solamente: tome una rotación de 120 grados, por ejemplo. Pero algunas generalizaciones son posibles, típicamente involucrando el grupo de clase de mapeo del espacio menos una órbita periódica. Por ejemplo, Peter Kloeden demostró que el teorema de Sharkovskii se cumple para asignaciones triangulares, es decir, asignaciones para las cuales el componente f_i< /span> depende solo de los primeros i componentes x₁,..., x_i.