Teorema de Schur-Zassenhaus

El Schur-Zassenhaus teorem es un teorema en la teoría de grupo que dice que ${\displaystyle G.$ es un grupo finito, y ${\displaystyle N}$ es un subgrupo normal cuyo orden es coprime al orden del grupo cociente ${\displaystyle G/N}$Entonces ${\displaystyle G.$ es un producto semidirecto (o extensión dividida) de ${\displaystyle N}$ y ${\displaystyle G/N}$. Una declaración alternativa del teorema es que cualquier subgrupo normal de Hall ${\displaystyle N}$ de un grupo finito ${\displaystyle G.$ tiene un complemento ${\displaystyle G.$. Además, si ${\displaystyle N}$ o ${\displaystyle G/N}$ es solvable entonces el teorema de Schur-Zassenhaus también declara que todos los complementos de ${\displaystyle N}$ dentro ${\displaystyle G.$ son conjugados. El supuesto de que ${\displaystyle N}$ o ${\displaystyle G/N}$ es solvable se puede dejar caer ya que siempre está satisfecho, pero todas las pruebas conocidas de esto requieren el uso del teorema Feit-Thompson mucho más difícil.

El teorema de Schur-Zassenhaus responde al menos parcialmente a la pregunta: "En una serie de composición, ¿cómo podemos clasificar grupos con un cierto conjunto de factores de composición?" La otra parte, que es donde los factores de composición no tienen órdenes coprimos, se aborda en la teoría de extensión.

El teorema de Schur-Zassenhaus fue introducido por Zassenhaus (1937, 1958, Capítulo IV, sección 7). El teorema 25, que atribuye a Isai Schur, demuestra la existencia de un complemento, y el teorema 27 demuestra que todos los complementos están conjugados bajo la suposición de que ${\displaystyle N}$ o ${\displaystyle G/N}$ es solvable. No es fácil encontrar una declaración explícita de la existencia de un complemento en las obras publicadas de Schur, aunque los resultados de Schur (1904, 1907) en el multiplicador Schur implican la existencia de un complemento en el caso especial cuando el subgrupo normal está en el centro. Zassenhaus señaló que el teorema de Schur-Zassenhaus para grupos no sostenibles seguiría si todos los grupos de orden extraño fueran solvables, que fue probado posteriormente por Feit y Thompson. Ernst Witt mostró que también seguiría de la conjetura Schreier (ver Witt (1998, p.277) para la nota 1937 inédita de Witt), pero la conjetura Schreier sólo se ha demostrado utilizando la clasificación de grupos simples finitos, que es mucho más difícil que el teorema Feit-Thompson.

Si no imponemos la condición coprime, el teorema no es cierto: considerar por ejemplo el grupo cíclico ${\displaystyle C_{4}$ y su subgrupo normal ${\displaystyle C_{2}$. Entonces si ${\displaystyle C_{4}$ eran un producto semidireccional ${\displaystyle C_{2}$ y ${\displaystyle C_{4}/C_{2}\cong C_{2}$ entonces ${\displaystyle C_{4}$ tendría que contener dos elementos del orden 2, pero sólo contiene uno. Otra manera de explicar esta imposibilidad de dividir ${\displaystyle C_{4}$ (es decir, expresarlo como un producto semidirecto) es observar que los automorfismos de ${\displaystyle C_{2}$ son el grupo trivial, por lo que el único producto [semi]directo posible ${\displaystyle C_{2}$ con sí mismo es un producto directo (que da lugar al cuatro grupos Klein, un grupo que no es isómorfo con ${\displaystyle C_{4}$).

Un ejemplo en el que se aplica el teorema Schur-Zassenhaus es el grupo simétrico en 3 símbolos, ${\displaystyle S_{3}$, que tiene un subgrupo normal del orden 3 (isomorfo con ${\displaystyle C_{3}$) que a su vez tiene índice 2 en ${\displaystyle S_{3}$ (de acuerdo con el teorema de Lagrange), así ${\displaystyle S_{3}/C_{3}\cong C_{2}$. Dado que 2 y 3 son relativamente primos, el teorema Schur-Zassenhaus se aplica y ${\displaystyle S_{3}\cong C_{3}\rtimes C_{2}$. Note que el grupo de automorfismo ${\displaystyle C_{3}$ es ${\displaystyle C_{2}$ y el automorfismo ${\displaystyle C_{3}$ utilizado en el producto semidirecto que da lugar a ${\displaystyle S_{3}$ es el automorfismo no-trivial que permuta los dos elementos no-identitarios ${\displaystyle C_{3}$. Además, los tres subgrupos del orden 2 en ${\displaystyle S_{3}$ (cualquiera de los cuales puede servir como complemento ${\displaystyle C_{3}$ dentro ${\displaystyle S_{3}$) son conjugados entre sí.

La no trivialidad de la conclusión de conjugación (adicional) se puede ilustrar con el grupo Klein cuatro ${\displaystyle V}$ como el no-ejemplo. cualquiera de los tres subgrupos apropiados ${\displaystyle V}$ (todos los cuales tienen orden 2) es normal ${\displaystyle V}$; la fijación de uno de estos subgrupos, cualquiera de los otros dos subgrupos restantes (propiedad) lo complementa en ${\displaystyle V}$, pero ninguno de estos tres subgrupos ${\displaystyle V}$ es un conjugado de cualquier otro, porque ${\displaystyle V}$ es abeliano.

El grupo de quaternion tiene subgrupos normales de orden 4 y 2 pero no es un producto [semi]directo. Los documentos de Schur a principios del siglo XX introdujeron la noción de extensión central para abordar ejemplos como ${\displaystyle C_{4}$ y las quaternions.

La existencia de un complemento a un subgrupo Hall normal H de un grupo finito G se puede demostrar en los siguientes pasos:

1. Por inducción sobre el orden G, podemos asumir que es verdad para cualquier grupo más pequeño.
2. Si H es abeliano, entonces la existencia de un complemento se debe al hecho de que el grupo de cohomología H²()G/H,H) desaparece (como H y G/H tienen órdenes coprime) y el hecho de que todos los complementos son conjugados sigue de la desaparición de H¹()G/H,H).
3. Si H es solvable, tiene un subgrupo abeliano notrivial A que es característico en H y por lo tanto normal en G. Aplicando el teorema de Schur-Zassenhaus G/A reduce la prueba al caso cuando H=A es abeliano que se ha hecho en el paso anterior.
4. Si el normalizador N=N_G()P) de cada uno p- Subgrupo lento P de H es igual a GEntonces H es nilpotent, y en particular solvable, por lo que el teorema sigue por el paso anterior.
5. Si el normalizador N=N_G()P) de algunos p- Subgrupo lento P de H es más pequeño que G, entonces por inducción el teorema Schur-Zassenhaus tiene para N, y un complemento N∩H dentro N es un complemento H dentro G porque G=NH.

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