Teorema de roth

En matemáticas, el teorema de Roth o el teorema de Thue-Siegel-Roth es un resultado fundamental en la aproximación diofántica de los números algebraicos. Es de tipo cualitativo, afirmando que los números algebraicos no pueden tener muchas aproximaciones de números racionales que sean "muy buenas". Durante medio siglo, el significado de muy bueno fue refinado por varios matemáticos, empezando por Joseph Liouville en 1844 y continuando con los trabajos de Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947) y Klaus Roth (1955).

Declaración

El teorema de Roth declara que cada número algebraico irracional ${displaystyle alpha }$ tiene un exponente de aproximación igual a 2. Esto significa que, para todos ${displaystyle varepsilon }$, la desigualdad

${displaystyle left durablealpha -{frac {fnMicrosoft} {1}{2+varepsilon }$

puede tener sólo finitamente muchas soluciones en los enteros coprime ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$. La prueba de Roth de este hecho resolvió una conjetura de Siegel. Sigue que cada número algebraico irracional α satisfies

${displaystyle left durablealpha -{frac Está bien. {C(alphavarepsilon)}{q^{2+varepsilon }$

con ${displaystyle C(alphavarepsilon)}$ un número positivo dependiendo sólo de ${displaystyle varepsilon }$ y ${displaystyle alpha }$.

Discusión

El primer resultado en esta dirección es el teorema de Liouville sobre la aproximación de los números algebraicos, que da un exponente de aproximación de d para un número algebraico α de grado d≥ 2. Esto ya es suficiente para demostrar la existencia de números trascendentales. Thue se dio cuenta de que un exponente menos que d tendría aplicaciones para la solución de ecuaciones de Diofantina y en El teorema de Thue de 1909 estableció un exponente ${displaystyle d/2+1+varepsilon }$ que él aplicó para probar la finicidad de las soluciones de la ecuación Thue. El teorema de Siegel mejora esto a un exponente sobre 2√d, y el teorema de Dyson de 1947 tiene exponente sobre √2d.

El resultado de Roth con el exponente 2 es en cierto sentido lo mejor posible, porque esta declaración fallaría en establecer ${displaystyle varepsilon =0}$: por el teorema de Dirichlet sobre la aproximación diofantina hay infinitamente muchas soluciones en este caso. Sin embargo, hay una conjetura más fuerte de Serge Lang que

${displaystyle left durablealpha -{frac {fnMicrosoft} {1}{2}log(q)^{1+varepsilon }$

puede tener sólo finitamente muchas soluciones en números enteros p y q. Si uno deja correr α sobre todo el conjunto de números reales, no sólo los reinos algebraicos, entonces tanto la conclusión de Roth como la retención de Lang para casi todo ${displaystyle alpha }$. Así que tanto el teorema como la conjetura afirman que un determinado conjunto contable pierde un determinado conjunto de medida cero.

El teorema no es actualmente eficaz: es decir, no hay límites conocidos en los posibles valores de p,q dado ${displaystyle alpha }$. Davenport " Roth (1955) mostró que las técnicas de Roth podrían utilizarse para dar un vínculo efectivo para el número de p/q satisfacer la desigualdad, utilizando un principio de "gap". El hecho de que realmente no sepamos C(ε) significa que el proyecto de resolución de la ecuación, o ligando el tamaño de las soluciones, está fuera de alcance.

Técnica de prueba

La técnica de prueba consiste en construir un polinomio multivariable auxiliar en un número arbitrario grande de variables dependiendo de ${displaystyle varepsilon }$, llevando a una contradicción en la presencia de demasiadas buenas aproximaciones. Más específicamente, se encuentra un cierto número de aproximaciones racionales al número algebraico irracional en cuestión, y luego se aplica la función sobre cada uno de estos simultáneamente (es decir, cada uno de estos números racionales sirve como la entrada a una variable única en la expresión que define nuestra función). Por su naturaleza, era ineficaz (ver resultados efectivos en la teoría de números); esto es de particular interés ya que una aplicación importante de este tipo de resultado es limitar el número de soluciones de algunas ecuaciones de diofantina.

Generalizaciones

Existe una versión de dimensiones superiores, el teorema del subespacio de Schmidt, del resultado básico. También existen numerosas ampliaciones, por ejemplo utilizando la métrica p-ádica, basada en el método de Roth.

William J. LeVeque generalizó el resultado mostrando que se cumple un límite similar cuando los números aproximados se toman de un campo numérico algebraico fijo. Defina la altura H(ξ) de un número algebraico ξ como el máximo de los valores absolutos de los coeficientes de su polinomio mínimo. Arreglar κ>2. Para un número algebraico dado α y un campo numérico algebraico K, la ecuación

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}{kappa }$

tiene sólo un número finito de soluciones en los elementos ξ de K.