Teorema de Riemann-Roch

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Relación entre género, grado y dimensión de los espacios de función sobre superficies

El teorema de Riemann-Roch es un teorema importante en matemáticas, específicamente en análisis complejo y geometría algebraica, para el cálculo de la dimensión del espacio de funciones meromórficas con ceros prescritos y polos permitidos. Relaciona el análisis complejo de una superficie de Riemann compacta conectada con el género puramente topológico g de la superficie, de una manera que puede trasladarse a entornos puramente algebraicos.

Probado inicialmente como desigualdad de Riemann por Riemann (1857), el teorema alcanzó su forma definitiva para las superficies de Riemann después del trabajo del estudiante de corta vida de Riemann, Gustav Roch (1865).). Más tarde se generalizó a curvas algebraicas, a variedades de dimensiones superiores y más allá.

Nociones preliminares

Una superficie Riemann del género 3.

A Riemann surface $X$ es un espacio topológico que es localmente homeomorfico a un subconjunto abierto de $mathbb{C}$ , el conjunto de números complejos. Además, los mapas de transición entre estos subconjuntos abiertos deben ser holomorfos. Esta última condición permite transferir las nociones y los métodos de análisis complejos que tratan con las funciones holomorfas y meromorfas sobre $mathbb{C}$ a la superficie $X$ . Para los propósitos del teorema Riemann-Roch, la superficie $X$ siempre se supone que es compacto. Hablando coloquialmente, el género $g$ de una superficie Riemann es su número de mangos; por ejemplo el género de la superficie Riemann que se muestra a la derecha es tres. Más precisamente, el género se define como la mitad del primer número de Betti, es decir, la mitad del $mathbb{C}$ -dimensión del primer grupo singular de homología ${displaystyle H_{1}(X,mathbb {C})}$ con coeficientes complejos. El género clasifica superficies compactas Riemann hasta homeomorfismo, es decir, dos superficies tales son homeomorfos si y sólo si su género es el mismo. Por lo tanto, el género es un invariante topológico importante de una superficie Riemann. Por otro lado, la teoría de Hodge muestra que el género coincide con el $mathbb{C}$ -dimensión del espacio de formas únicas holomorfas en $X$ , por lo que el género también codifica información compleja-analítica sobre la superficie Riemann.

Un divisor $D$ es un elemento del grupo abeliano libre en los puntos de la superficie. Equivalentemente, un divisor es una combinación lineal finita de puntos de la superficie con coeficientes enteros.

Cualquier función meromorfa $f$ da lugar a un divisor denotado $(f)$ definidas

(f):=sum _{z_{nu }in R(f)}s_{nu }z_{nu }

Donde $R(f)$ es el conjunto de todos los ceros y polos de $f$ , y ${displaystyle s_{nu }}$ es dado por

{displaystyle s_{nu }:={begin{cases}a&{text{if }}z_{nu }{text{ is a zero of order }}a\-a&{text{if }}z_{nu }{text{ is a pole of order }}a.end{cases}}}

El set $R(f)$ se sabe que es finito; esta es una consecuencia $X$ ser compacto y el hecho de que los ceros de una función holomorfa (no cero) no tienen un punto de acumulación. Por lo tanto, $(f)$ está bien definido. Cualquier divisor de esta forma se llama divisor principal. Dos divisores que difieren por un divisor principal se llaman linealmente equivalente. El divisor de una forma meromorfa 1 se define de forma similar. Un divisor de una forma meromorférica global se llama divisor canónico (normalmente denotado) $K$ ). Cualquier dos formas meromórficas de 1 producirá divisores linealmente equivalentes, por lo que el divisor canónico se determina únicamente hasta la equivalencia lineal (de ahí "el divisor canónico).

El símbolo ${displaystyle deg(D)}$ denota los grado (ocasionalmente también llamado índice) del divisor $D$ , es decir, la suma de los coeficientes que se producen en $D$ . Se puede demostrar que el divisor de una función meromorfa global siempre tiene el grado 0, por lo que el grado de divisor depende sólo de su clase de equivalencia lineal.

El número ${displaystyle ell (D)}$ es la cantidad que es de interés primario: la dimensión (sobre $mathbb{C}$ ) del espacio vector de las funciones meromorfónicas $h$ sobre la superficie, tal que todos los coeficientes de ${displaystyle (h)+D}$ no son negativos. Intuitivamente, podemos pensar en esto como todas las funciones meromórficas cuyos polos en cada punto no son peores que el coeficiente correspondiente en $D$ ; si el coeficiente en $D$ a $z$ es negativo, entonces requerimos que $h$ tiene un cero de al menos esa multiplicidad $z$ – si el coeficiente en $D$ es positivo, $h$ puede tener un poste de la mayoría de ese orden. Los espacios vectoriales para divisores linealmente equivalentes son naturalmente isomorfos a través de la multiplicación con la función meromorfa global (que está bien definida hasta un escalar).

Enunciado del teorema

The Riemann-Roch teorem for a compact Riemann surface of genus $g$ con divisor canónico $K$ estados

{displaystyle ell (D)-ell (K-D)=deg(D)-g+1.}

Típicamente, el número ${displaystyle ell (D)}$ es el de interés, mientras ${displaystyle ell (K-D)}$ se piensa como un término de corrección (también llamado índice de especialidad) por lo que el teorema puede ser rudamente parafrasado diciendo

dimensión − Corrección = grado − género + 1.

Debido a que es la dimensión de un espacio vectorial, el plazo de corrección ${displaystyle ell (K-D)}$ es siempre no negativo, así que

{displaystyle ell (D)geq deg(D)-g+1.}

Esto se llama La desigualdad de Riemann. Parte de Roch de la declaración es la descripción de la posible diferencia entre los lados de la desigualdad. Sobre una superficie general Riemann del género $g$ , $K$ grado ${displaystyle 2g-2}$ , independientemente de la forma meromorfa elegida para representar al divisor. Esto se debe a la puesta ${displaystyle D=K}$ en el teorema. En particular, siempre y cuando $D$ por lo menos ${displaystyle 2g-1}$ , el plazo de corrección es 0, de modo que

{displaystyle ell (D)=deg(D)-g+1.}

Ahora se ilustrará el teorema para superficies de género bajo. También hay otros teoremas estrechamente relacionados: una formulación equivalente de este teorema usando haces de líneas y una generalización del teorema a curvas algebraicas.

Ejemplos

El teorema será ilustrado escogiendo un punto $P$ sobre la superficie en cuestión y respecto de la secuencia de números

{displaystyle ell (ncdot P),ngeq 0}

es decir, la dimensión del espacio de funciones que son holomorfas en todas partes excepto en $P$ donde se permite que la función tenga un polo de orden al máximo $n$ . Para $n=0$ , las funciones son necesarias para ser completas, es decir, holomorfas en toda la superficie $X$ . Por el teorema de Liouville, tal función es necesariamente constante. Por lo tanto, ${displaystyle ell (0)=1}$ . En general, la secuencia ${displaystyle ell (ncdot P)}$ es una secuencia creciente.

Género cero

La esfera Riemann (también llamada línea de proyecto compleja) está simplemente conectada y por lo tanto su primera homología singular es cero. En particular su género es cero. La esfera puede ser cubierta por dos copias de $mathbb{C}$ , con mapa de transición

{displaystyle mathbb {C} ^{times }ni zmapsto {frac {1}{z}}in mathbb {C} ^{times }.}

Por lo tanto, la forma ${displaystyle omega =dz}$ en una copia $mathbb {C}$ se extiende a una forma meromorfa en la esfera Riemann: tiene un doble polo en el infinito, ya que

{displaystyle dleft({frac {1}{z}}right)=-{frac {1}{z^{2}}},dz.}

Así, su divisor ${displaystyle K:=operatorname {div} (omega)=-2P}$ (donde) $P$ es el punto en el infinito).

Por lo tanto, el teorema dice que la secuencia ${displaystyle ell (ncdot P)}$ lecturas

1, 2, 3,...

Esta secuencia también se puede leer de la teoría de las fracciones parciales. A la inversa si esta secuencia comienza de esta manera, entonces $g$ debe ser cero.

Género uno

Un toro.

El siguiente caso es una superficie Riemann del género $g=1$ , como un toro $mathbb{C} /Lambda$ , donde $Lambda$ es una celosía bidimensional (un grupo isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ ). Su género es uno: su primer grupo de homología singular se genera libremente por dos lazos, como se muestra en la ilustración a la derecha. La coordinación estándar del complejo $z$ on $C$ cede una forma ${displaystyle omega =dz}$ on $X$ que está en todas partes holomorfa, es decir, no tiene polos en absoluto. Por lo tanto, $K$ , el divisor de $omega$ es cero.

En esta superficie, esta secuencia es

1, 1, 2, 3, 4, 5...

y esto caracteriza el caso $g=1$ . De hecho, para $D=0$ , ${displaystyle ell (K-D)=ell (0)=1}$ , como se mencionó anteriormente. Para ${displaystyle D=ncdot P}$ con $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ , el grado de ${displaystyle K-D}$ es estrictamente negativo, por lo que el plazo de corrección es 0. La secuencia de dimensiones también puede derivarse de la teoría de las funciones elípticas.

Género dos y posteriores

Para $g=2$ , la secuencia mencionada arriba es

1, 2, 3...

Se muestra de esto que el ? término de grado 2 es 1 o 2, dependiendo del punto. Se puede probar que en cualquier curva del género 2 hay exactamente seis puntos cuyas secuencias son 1, 1, 2, 2,... y el resto de los puntos tienen la secuencia genérica 1, 1, 2,... En particular, una curva de género 2 es una curva hiperéptica. Para $2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g■2{displaystyle g título2}2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaabfeeeb83682d8eb852ddbe13e14d32157da63" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.377ex; height:2.509ex;"/>$ siempre es cierto que en la mayoría de los puntos la secuencia comienza con ${displaystyle g+1}$ y hay finitamente muchos puntos con otras secuencias (ver puntos de Weierstrass).

Riemann–Roch para haces lineales

Utilizando la estrecha correspondencia entre divisores y paquetes de línea holomorfa en una superficie Riemann, el teorema también se puede indicar de una manera diferente, pero equivalente: L ser un paquete de línea holomorfa X. Vamos $H^{0}(X,L)$ denota el espacio de secciones holomorfas L. Este espacio será finito-dimensional; su dimensión se denota ${displaystyle h^{0}(X,L)}$ . Vamos K denota el paquete canónico en X. Entonces, el teorema Riemann-Roch declara que

{displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}otimes K)=deg(L)+1-g.}

El teorema de la sección anterior es el caso especial de cuando L es un paquete de puntos.

El teorema se puede aplicar para demostrar que hay g secciones holomorfas linealmente independientes K, o una forma en X, como sigue. Tomando L para ser el paquete trivial, $h^{0}(X,L)=1$ desde las únicas funciones holomorfas X son constantes. El grado de L es cero, y $L^{-1}$ es el paquete trivial. Así,

1-h^{0}(X,K)=1-g.

Por lo tanto, $h^{0}(X,K)=g$ , demostrando que hay g Una forma holomorfa.

Grado de paquete canónico

Desde el paquete canónico $K$ tiene $h^{0}(X,K)=g$ , aplicar Riemann-Roch a $L=K$ da

{displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}otimes K)=deg(K)+1-g}

que se puede reescribir como

{displaystyle g-1=deg(K)+1-g}

por lo tanto el grado del paquete canónico es ${displaystyle deg(K)=2g-2}$ .

Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas

Cada elemento en la formulación anterior del teorema de Riemann-Roch para divisores en superficies de Riemann tiene un análogo en geometría algebraica. El análogo de una superficie de Riemann es una curva algebraica no singular C sobre un campo k. La diferencia en la terminología (curva frente a superficie) se debe a que la dimensión de una superficie de Riemann como variedad real es dos, pero una como variedad compleja. La compacidad de una superficie de Riemann es paralela a la condición de que la curva algebraica sea completa, lo que equivale a ser proyectiva. Sobre un campo general k, no existe una buena noción de (co)homología singular. El llamado género geométrico se define como

{displaystyle g(C):=dim _{k}Gamma (C,Omega _{C}^{1})}

es decir, como la dimensión del espacio de formas únicas definidas globalmente (algebraicas) (ver diferencial Kähler). Por último, las funciones meromorfológicas en una superficie Riemann están representadas localmente como fracciones de funciones holomorfas. Por lo tanto, son reemplazados por funciones racionales que son fracción local de funciones regulares. Así, escribiendo ${displaystyle ell (D)}$ para la dimensión (sobre k) del espacio de funciones racionales en la curva cuyos polos en cada punto no son peores que el coeficiente correspondiente en D, la misma fórmula que arriba sostiene:

{displaystyle ell (D)-ell (K-D)=deg(D)-g+1.}

Donde C es una curva algebraica proyectiva no-singular sobre un campo algebraicamente cerrado k. De hecho, la misma fórmula contiene curvas proyectivas sobre cualquier campo, excepto que el grado de divisor necesita tener en cuenta las multiplicidades provenientes de las posibles extensiones del campo base y los campos de residuos de los puntos que apoyan el divisor. Finalmente, para una curva adecuada sobre un anillo Artiniano, la característica Euler del paquete de línea asociado a un divisor se da por el grado del divisor (definido adecuadamente) más la característica Euler de la hoja estructural ${mathcal {O}}$ .

La suposición de suavidad en el teorema también se puede relajar: para una curva (proyectiva) sobre un campo algebraicamente cerrado, todos cuyos anillos locales son anillos de Gorenstein, se cumple la misma afirmación anterior, siempre que el género geométrico como definido anteriormente se reemplaza por el género aritmético g_a, definido como

{displaystyle g_{a}:=dim _{k}H^{1}(C,{mathcal {O}}_{C}).}

(Para curvas suaves, el género geométrico concuerda con el aritmético). El teorema también se ha extendido a curvas singulares generales (y variedades de mayor dimensión).

Aplicaciones

Polinomio de Hilbert

Una de las consecuencias importantes de Riemann-Roch es que da una fórmula para computar el polinomio Hilbert de los paquetes de línea en una curva. Si un paquete de línea ${mathcal {L}}$ es amplio, entonces el polinomio Hilbert dará el primer grado ${displaystyle {mathcal {L}}^{otimes n}}$ dar una incrustación en espacio proyector. Por ejemplo, la hoja canónica $omega _{C}$ grado ${displaystyle 2g-2}$ , que da un amplio paquete de línea para el género $ggeq 2$ . Si nos fijamos ${displaystyle omega _{C}(n)=omega _{C}^{otimes n}}$ entonces la fórmula Riemann-Roch lee

{displaystyle {begin{aligned}chi (omega _{C}(n))&=deg(omega _{C}^{otimes n})-g+1\&=n(2g-2)-g+1\&=2ng-2n-g+1\&=(2n-1)(g-1)end{aligned}}}

Dar el título $1$ Hilbert polinomial of $omega _{C}$

{displaystyle H_{omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}

Porque la hoja tricanal ${displaystyle omega _{C}^{otimes 3}}$ se utiliza para incrustar la curva, el polinomio Hilbert

${displaystyle H_{C}(t)=H_{omega _{C}^{otimes 3}}(t)}$

generalmente se considera al construir el esquema de curvas de Hilbert (y el espacio de módulos de curvas algebraicas). Este polinomio es

${displaystyle {begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\&=6(g-1)t+(1-g)end{aligned}}}$

y se llama el polinomio de Hilbert de una curva de género g.

Incrustación pluricanónica

Al analizar más esta ecuación, la característica de Euler se lee como

{displaystyle {begin{aligned}chi (omega _{C}^{otimes n})&=h^{0}left(C,omega _{C}^{otimes n}right)-h^{0}left(C,omega _{C}otimes left(omega _{C}^{otimes n}right)^{vee }right)\&=h^{0}left(C,omega _{C}^{otimes n}right)-h^{0}left(C,left(omega _{C}^{otimes (n-1)}right)^{vee }right)end{aligned}}}

Desde ${displaystyle deg(omega _{C}^{otimes n})=n(2g-2)}$

{displaystyle h^{0}left(C,left(omega _{C}^{otimes (n-1)}right)^{vee }right)=0}

para $ngeq 3$ , ya que su grado es negativo para todos $ggeq 2$ , lo que implica que no tiene secciones globales, hay una incrustación en algún espacio proyectivo de las secciones globales ${displaystyle omega _{C}^{otimes n}}$ . En particular, ${displaystyle omega _{C}^{otimes 3}}$ da una incrustación en ${displaystyle mathbb {P} ^{N}cong mathbb {P} (H^{0}(C,omega _{C}^{otimes 3}))}$ Donde ${displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$ desde entonces ${displaystyle h^{0}(omega _{C}^{otimes 3})=6g-6-g+1}$ . Esto es útil en la construcción del espacio moduli de curvas algebraicas porque se puede utilizar como el espacio proyectivo para construir el esquema Hilbert con el polinomio Hilbert ${displaystyle H_{C}(t)}$ .

Género de curvas planas con singularidades

Una curva algebraica plana irreducible de grado d tiene (d − 1)(d − 2)/2 − g singularidades, cuando se cuentan correctamente. De ello se deduce que, si una curva tiene (d − 1)(d − 2)/2 singularidades diferentes, es una curva racional y, por tanto, admite una parametrización racional.

Fórmula de Riemann-Hurwitz

La fórmula de Riemann-Hurwitz relativa a mapas (ramificados) entre superficies de Riemann o curvas algebraicas es una consecuencia del teorema de Riemann-Roch.

Teorema de Clifford sobre divisores especiales

El teorema de Clifford sobre divisores especiales es también una consecuencia del teorema Riemann-Roch. Afirma que para un divisor especial (es decir, tal que $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">l l ()K− − D)■0{displaystyle ell (K-D)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88539b706226276ecf40a10a3a02a8e730fdc3bf" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.871ex; height:2.843ex;"/>$ ) satisfactoria $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">l l ()D)■0,{displaystyle ell (D)}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7976dfb7573e0c162391f0d2d7ebac19a9c88f3" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.611ex; height:2.843ex;"/>$ las siguientes desigualdades:

{displaystyle ell (D)leq {frac {deg D}{2}}+1.}

Prueba

Prueba para curvas algebraicas

La declaración para curvas algebraicas se puede probar utilizando la dualidad Serre. El entero ${displaystyle ell (D)}$ es la dimensión del espacio de secciones globales del paquete de línea ${mathcal {L}}(D)$ asociados D ()cf. Divisor Cartier). En términos de cohomología de hoja, por lo tanto tenemos ${displaystyle ell (D)=mathrm {dim} H^{0}(X,{mathcal {L}}(D))}$ , y también ${displaystyle ell ({mathcal {K}}_{X}-D)=dim H^{0}(X,omega _{X}otimes {mathcal {L}}(D)^{vee })}$ . Pero Serre duality for non-singular projective variety in the particular case of a curve states that $H^{0}(X,omega _{X}otimes {mathcal {L}}(D)^{vee })$ es isomorfo al dual ${displaystyle H^{1}(X,{mathcal {L}}(D))^{vee }}$ . El lado izquierdo es igual a la característica de Euler del divisor D. Cuando D = 0, encontramos la característica de Euler para la hoja de estructura $1-g$ por definición. Para probar el teorema para divisor general, se puede proceder agregando puntos uno por uno al divisor y asegurar que la característica de Euler se transforme en consecuencia al lado derecho.

Prueba para superficies compactas de Riemann

El teorema de las superficies compactas de Riemann se puede deducir de la versión algebraica usando el teorema de Chow y el principio GAGA: de hecho, cada superficie compacta de Riemann se define mediante ecuaciones algebraicas en algún espacio proyectivo complejo. (El teorema de Chow dice que cualquier subvariedad analítica cerrada del espacio proyectivo se define mediante ecuaciones algebraicas, y el principio de GAGA dice que la cohomología de la gavilla de una variedad algebraica es la misma que la cohomología de la gavilla de la variedad analítica definida por las mismas ecuaciones).

Uno puede evitar el uso del teorema de Chow argumentando idénticamente a la prueba en el caso de curvas algebraicas, pero reemplazando ${mathcal {L}}(D)$ con la hoja ${displaystyle {mathcal {O}}_{D}}$ de funciones meromorfas h tal que todos los coeficientes del divisor ${displaystyle (h)+D}$ son no negativos. Aquí el hecho de que la característica de Euler se transforma según se desee cuando se agrega un punto al divisor se puede leer de la secuencia exacta larga inducida por la secuencia exacta corta

{displaystyle 0to {mathcal {O}}_{D}to {mathcal {O}}_{D+P}to mathbb {C} _{P}to 0}

Donde ${displaystyle mathbb {C} _{P}}$ es el rascacielos en P, y el mapa ${displaystyle {mathcal {O}}_{D+P}to mathbb {C} _{P}}$ devuelve el ${displaystyle -k-1}$ el coeficiente Laurent, donde ${displaystyle k=D(P)}$ .

Teorema aritmético de Riemann-Roch

Una versión del teorema aritmético de Riemann-Roch establece que si k es un campo global, y f es una función adecuadamente admisible de los adeles de k , entonces para cada idele a, uno tiene una fórmula de suma de Poisson:

{displaystyle {frac {1}{|a|}}sum _{xin k}{hat {f}}(x/a)=sum _{xin k}f(ax).}

En el caso especial cuando k es el campo de función de una curva algebraica sobre un campo finito y f es cualquier carácter que es trivial en k, esto recupera el teorema geométrico de Riemann-Roch.

Otras versiones del teorema aritmético de Riemann-Roch hacen uso de la teoría de Arakelov para parecerse más exactamente al teorema tradicional de Riemann-Roch.

Generalizaciones del teorema de Riemann-Roch

El teorema de Riemann-Roch para curvas fue probado para superficies de Riemann por Riemann y Roch en la década de 1850 y para curvas algebraicas por Friedrich Karl Schmidt en 1931 mientras trabajaba en campos perfectos de características finitas. Como dice Peter Roquette,

El primer logro principal de F. K. Schmidt es el descubrimiento de que el teorema clásico de Riemann-Roch en superficies compactas Riemann se puede transferir a campos de funciones con campo base finito. En realidad, su prueba del teorema Riemann-Roch funciona para campos de base perfectos arbitrarios, no necesariamente finitos.

Es fundamental en el sentido de que la teoría posterior de las curvas trata de refinar la información que produce (por ejemplo, en la teoría de Brill-Noether).

Hay versiones en dimensiones superiores (para la noción apropiada de divisor, o paquete de línea). Su formulación general depende de dividir el teorema en dos partes. Uno, que ahora se llamaría dualidad Serre, interpreta la ${displaystyle ell (K-D)}$ término como dimensión de un primer grupo de cohomología de hoja; con ${displaystyle ell (D)}$ la dimensión de un grupo de cohomología cero, o espacio de secciones, el lado izquierdo del teorema se convierte en una característica de Euler, y el lado derecho una computación de él como grado corregido según la topología de la superficie Riemann.

En geometría algebraica de dimensión dos, tal fórmula fue encontrada por los geómetras de la escuela italiana; Se demostró un teorema de Riemann-Roch para superficies (hay varias versiones, siendo la primera posiblemente debida a Max Noether).

Friedrich Hirzebruch encontró y probó una generalización n-dimensional, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, como una aplicación de clases características en topología algebraica; estuvo muy influenciado por el trabajo de Kunihiko Kodaira. Aproximadamente al mismo tiempo, Jean-Pierre Serre estaba dando la forma general de la dualidad de Serre, tal como la conocemos ahora.

Alexander Grothendieck demostró una generalización de gran alcance en 1957, ahora conocida como el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch. Su trabajo reinterpreta a Riemann-Roch no como un teorema sobre una variedad, sino como un morfismo entre dos variedades. Los detalles de las pruebas fueron publicados por Armand Borel y Jean-Pierre Serre en 1958. Posteriormente, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la prueba.

Finalmente, también se encontró una versión general en topología algebraica. Estos desarrollos se llevaron a cabo esencialmente todos entre 1950 y 1960. Después de eso, el teorema del índice de Atiyah-Singer abrió otra ruta hacia la generalización. En consecuencia, la característica de Euler de un haz coherente es razonablemente computable. Para un solo sumando dentro de la suma alterna, se deben usar más argumentos, como teoremas de desaparición.

Contenido relacionado

Más resultados...