Teorema de representación de Riesz

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Teorema sobre el doble espacio de Hilbert

Este artículo describe un teorema relativo a la dualidad de un espacio Hilbert. Para los teoremas referentes funcionales lineales a medidas, vea Riesz – Markov–Kakutani teorema de representación.

El teorema de representación de Riesz, a veces llamado teorema de representación de Riesz-Fréchet en honor a Frigyes Riesz y Maurice René Fréchet, establece una conexión importante entre un espacio de Hilbert y su doble continuo espacio. Si el campo subyacente son los números reales, los dos son isométricamente isomorfos; si el campo subyacente son los números complejos, los dos son isométricamente antiisomorfos. El (anti-)isomorfismo es un isomorfismo natural particular.

Preliminares y notación

Vamos $H$ ser un espacio Hilbert sobre un campo ${displaystyle mathbb {F}}$ Donde $mathbb {F}$ o es el número real $mathbb {R}$ o los números complejos ${displaystyle mathbb {C}.}$ Si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {C} }$ (Resp. si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ entonces $H$ se llama complejo Hilbert espacio (resp. a verdadero Hilbert espacio). Cada espacio real de Hilbert se puede ampliar para ser un subconjunto denso de un espacio único (hasta la isometría bijeactiva) Hilbert, llamado su complejidad, por lo que los espacios de Hilbert se suponen a menudo automáticamente complejo. Los espacios reales y complejos de Hilbert tienen en común muchos, pero de ninguna manera, propiedades y resultados / teoremas.

Este artículo está destinado tanto para matemáticos como físicos y describirá el teorema para ambos. En matemáticas y física, si se supone que un espacio de Hilbert es real (es decir, si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ ) entonces esto normalmente se aclarará. A menudo en matemáticas, y especialmente en física, a menos que se indique lo contrario, "Hilbert espacio" se suele suponer automáticamente significar "espacio complejo Hilbert". Dependiendo del autor, en matemáticas, "Hilbert space" normalmente significa o (1) un espacio complejo Hilbert, o (2) un real o complejo espacio Hilbert.

Mapas lineales y antilineales

Por definición, un mapa antilineal (también llamado a conjugate-linear mapa) ${displaystyle f:Hto Y}$ es un mapa entre los espacios vectoriales que aditivo:

{displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)quad {text{ for all }}x,yin H,}

antilinearconjugado-linearconjugate-homogeneous

{displaystyle f(cx)={overline {c}}f(x)quad {text{ for all }}xin H{text{ and all scalar }}cin mathbb {F}.}

En contraste, un mapa ${displaystyle f:Hto Y}$ es lineal si es aditivo y homogéneo:

{displaystyle f(cx)=cf(x)quad {text{ for all }}xin Hquad {text{ and all scalars }}cin mathbb {F}.}

Cada constante ${displaystyle 0}$ mapa es siempre lineal y antilineal. Si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ entonces las definiciones de mapas lineales y mapas antilineales son completamente idénticas. Un mapa lineal de un espacio Hilbert en un espacio de Banach (o más generalmente, desde cualquier espacio de Banach en cualquier espacio vectorial topológico) es continuo si y sólo si está atado; lo mismo es cierto de mapas antilineales. La inversa de cualquier bijeción antilinear (resp. linear) es otra vez una bijeción antilinear (resp. linear). La composición de dos anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti antimapas lineales es un lineal mapa.

Espacios continuos duales y anti-dual

A funcional on $H$ es una función ${displaystyle Hto mathbb {F} }$ cuyo codominio es el campo de escalar subyacente ${displaystyle mathbb {F}.}$ Denote by $H^{*}$ (Resp. by ${displaystyle {overline {H}}^{*})}$ el conjunto de todas las funciones lineales (resp. continuas antilinear) en $H,$ que se llama (continua) espacio dual (Resp. the (continua) espacio antidual) de $H.$ Si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ entonces funcionales lineales en $H$ son lo mismo que las funcionalidades antilineales y, en consecuencia, lo mismo es cierto para tales mapas continuos: es decir, ${displaystyle H^{*}={overline {H}}^{*}.}$

Correspondencia biunívoca entre funcionales lineales y antilineales

Dado cualquier funcional ${displaystyle f~:~Hto mathbb {F}}$ el conjugado de $f$ es el funcional

{displaystyle {begin{alignedat}{4}{overline {f}}:,&H&&to ,&&mathbb {F} \&h&&mapsto ,&&{overline {f(h)}}.\end{alignedat}}}

Esta asignación es muy útil cuando ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {C} }$ porque si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ entonces ${displaystyle f={overline {f}}}$ y la asignación ${displaystyle fmapsto {overline {f}}}$ reduce el mapa de identidad.

La asignación ${displaystyle fmapsto {overline {f}}}$ define una correspondencia bijetiva antilineal del conjunto de

todos los funcionales (resp. todos los funcionales lineales, todos los funcionales lineales continuos

H^{*}

) on

H,

en el set de

todas las funciones (resp. all anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti antifuncionales lineales, todas continuas anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti antifuncionales lineales

{displaystyle {overline {H}}^{*}}

) on

H.

Anotaciones matemáticas vs. físicas y definiciones del producto interior

El espacio Hilbert $H$ tiene un producto interno asociado ${displaystyle Htimes Hto mathbb {F} }$ valorado en $H$ 's subyacente scalar field $mathbb {F}$ que es lineal en una coordenadas y antilinear en la otra (como se describe en detalle a continuación). Si $H$ es un espacio complejo Hilbert (que significa, si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {C} }$ ), que es muy a menudo el caso, entonces que la coordinación es antilinear y que es lineal se convierte en un muy bien. tecnicismo importante. Sin embargo, si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ entonces el producto interno es un mapa simétrico que es simultáneamente lineal en cada coordenadas (es decir, bilinear) y antilinear en cada coordenadas. En consecuencia, la cuestión de qué coordinación es lineal y que es antilinear es irrelevante para los espacios reales de Hilbert.

Notación del producto interior

En matemáticas, el producto interno en un espacio Hilbert $H$ a menudo se denota ${displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle }$ o ${displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle _{H}}$ mientras que en física, la notación del sujetador ${displaystyle leftlangle cdot mid cdot rightrangle }$ o ${displaystyle leftlangle cdot mid cdot rightrangle _{H}}$ se utiliza normalmente en su lugar. En este artículo, estas dos notaciones estarán relacionadas con la igualdad:

{displaystyle leftlangle x,yrightrangle:=leftlangle ymid xrightrangle quad {text{ for all }}x,yin H.}

Definiciones contrapuestas del producto interior

Los mapas ${displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle }$ y ${displaystyle leftlangle cdot mid cdot rightrangle }$ se supone que tienen las dos propiedades siguientes:

El mapa .⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ .{displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle } ${displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle }$ es lineal en su primero coordenadas; equivalentemente, el mapa .⋅ ⋅ ▪ ▪ ⋅ ⋅ .{displaystyle leftlangle cdot mid cdot rightrangle } ${displaystyle leftlangle cdot mid cdot rightrangle }$ es lineal en su segundo Coordina. Explícitamente, esto significa que para cada fijo Sí.▪ ▪ H,{displaystyle yin H,} ${displaystyle yin H,}$ el mapa que se denota .Sí.▪ ▪ ⋅ ⋅ .=.⋅ ⋅ ,Sí..:H→ → F{displaystyle leftlangle ,ymid cdot ,rightrangle =leftlangle ,cdoty,rightrangle: Hto mathbb {F} ${displaystyle leftlangle ,ymid cdot ,rightrangle =leftlangle ,cdoty,rightrangle:Hto mathbb {F} }$ y definidos por
h↦ ↦ .Sí.▪ ▪ h.=.h,Sí..para todosh▪ ▪ H{displaystyle hmapsto leftlangle ,ymid h,rightrangle =leftlangle ,h,y,rightrangle quad {text{ for all }hin H}
${displaystyle hmapsto leftlangle ,ymid h,rightrangle =leftlangle ,h,y,rightrangle quad {text{ for all }}hin H}$
es un funcional lineal en H.{displaystyle H.} $H.$
- De hecho, esta funcionalidad lineal es continua, así que ${displaystyle leftlangle ,ymid cdot ,rightrangle =leftlangle ,cdoty,rightrangle in H^{*}.}$
El mapa .⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ .{displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle } ${displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle }$ es antilinear en su segundo coordenadas; equivalentemente, el mapa .⋅ ⋅ ▪ ▪ ⋅ ⋅ .{displaystyle leftlangle cdot mid cdot rightrangle } ${displaystyle leftlangle cdot mid cdot rightrangle }$ es anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti anti antilineal en su primero Coordina. Explícitamente, esto significa que para cada fijo Sí.▪ ▪ H,{displaystyle yin H,} ${displaystyle yin H,}$ el mapa que se denota .⋅ ⋅ ▪ ▪ Sí..=.Sí.,⋅ ⋅ .:H→ → F{displaystyle leftlangle ,cdot mid y,rightrangle =leftlangle ,y,cdot ,rightrangle: Hto mathbb {F} ${displaystyle leftlangle ,cdot mid y,rightrangle =leftlangle ,y,cdot ,rightrangle:Hto mathbb {F} }$ y definidos por
h↦ ↦ .h▪ ▪ Sí..=.Sí.,h.para todosh▪ ▪ H{displaystyle hmapsto leftlangle ,hmid y,rightrangle =leftlangle ,y,h,rightrangle quad {text{ for all }hin H}
${displaystyle hmapsto leftlangle ,hmid y,rightrangle =leftlangle ,y,h,rightrangle quad {text{ for all }}hin H}$
es un funcional antilinear H.{displaystyle H.} $H.$
- De hecho, esta funcionalidad antilineal es continua, por lo que ${displaystyle leftlangle ,cdot mid y,rightrangle =leftlangle ,y,cdot ,rightrangle in {overline {H}}^{*}.}$

En matemáticas, la convención dominante (es decir, la definición de un producto interno) es que el producto interno es lineal en el primero coordinar y antilinear en la otra coordenadas. En física, la convención/definición es lamentablemente la opuesto, lo que significa que el producto interno es lineal en el segundo coordinar y antilinear en la otra coordenadas. Este artículo no elegirá una definición sobre la otra. En cambio, las suposiciones hechas arriba lo hacen para que la notación de matemáticas ${displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle }$ satisface la convención/definición matemática para el producto interno (es decir, lineal en la primera coordenadas y antilinear en el otro), mientras que la notación del sujetador de la física ${displaystyle leftlangle cdot |cdot rightrangle }$ satisface la convención/definición física para el producto interno (es decir, lineal en la segunda coordenadas y antilinear en la otra). En consecuencia, las dos suposiciones anteriores hacen que la notación utilizada en cada campo sea coherente con la convención/definición de ese campo para la que la coordinación es lineal y que es antilineal.

Norma canónica y producto interior sobre el espacio dual y el espacio antidual

Si $x=y$ entonces ${displaystyle langle ,xmid x,rangle =langle ,x,x,rangle }$ es un número real no negativo y el mapa

{displaystyle |x|:={sqrt {langle x,xrangle }}={sqrt {langle xmid xrangle }}}

define una norma canónica en $H$ Eso hace $H$ en un espacio normal. Como con todos los espacios ordenados, el espacio dual (continua) $H^{*}$ lleva una norma canónica, llamada doble norma, que se define por

{displaystyle |f|_{H^{*}}~:=~sup _{|x|leq 1,xin H}|f(x)|quad {text{ for every }}fin H^{*}.}

La norma canónica en el espacio anti-dual (continua) ${displaystyle {overline {H}}^{*},}$ denotado por ${displaystyle |f|_{{overline {H}}^{*}},}$ se define utilizando esta misma ecuación:

{displaystyle |f|_{{overline {H}}^{*}}~:=~sup _{|x|leq 1,xin H}|f(x)|quad {text{ for every }}fin {overline {H}}^{*}.}

Esta norma canónica $H^{*}$ satisface la ley paralelograma, lo que significa que la identidad de polarización se puede utilizar para definir una producto interno canónico en ${displaystyle H^{*},}$ que este artículo denotará por las notaciones

{displaystyle leftlangle f,grightrangle _{H^{*}}:=leftlangle gmid frightrangle _{H^{*}},}

H^{*}

{displaystyle H^{*}:}

{displaystyle fmapsto {sqrt {leftlangle f,frightrangle _{H^{*}}}}}

{displaystyle fin H^{*}:}

{displaystyle sup _{|x|leq 1,xin H}|f(x)|=|f|_{H^{*}}~=~{sqrt {langle f,frangle _{H^{*}}}}~=~{sqrt {langle fmid frangle _{H^{*}}}}.}

Como se describirá más adelante, el teorema de representación Riesz se puede utilizar para dar una definición equivalente de la norma canónica y el producto interno canónico en ${displaystyle H^{*}.}$

Las mismas ecuaciones que se utilizaron anteriormente también se pueden utilizar para definir una norma y producto interno en $H$ Es espacio anti-dual ${displaystyle {overline {H}}^{*}.}$

Isometría canónica entre el dual y el antidual

El complejo conjugado ${overline {f}}$ de un funcional $f,$ que se definió anteriormente, satisfios

{displaystyle |f|_{H^{*}}~=~left|{overline {f}}right|_{{overline {H}}^{*}}quad {text{ and }}quad left|{overline {g}}right|_{H^{*}}~=~|g|_{{overline {H}}^{*}}}

{displaystyle fin H^{*}}

{displaystyle gin {overline {H}}^{*}.}

{displaystyle {begin{alignedat}{4}operatorname {Cong}:;&&H^{*}&&;to ;&{overline {H}}^{*}\[0.3ex]&&f&&;mapsto ;&{overline {f}}\end{alignedat}}}

{displaystyle operatorname {Cong} ^{-1}~:~{overline {H}}^{*}to H^{*}}

H^{*}

{displaystyle {overline {H}}^{*},}

{displaystyle langle ,cdot ,,,cdot ,rangle _{H^{*}}}

{displaystyle langle ,cdot ,,,cdot ,rangle _{{overline {H}}^{*}},}

{displaystyle langle ,{overline {f}},|,{overline {g}},rangle _{{overline {H}}^{*}}={overline {langle ,f,|,g,rangle _{H^{*}}}}=langle ,g,|,f,rangle _{H^{*}}qquad {text{ for all }}f,gin H^{*}}

{displaystyle langle ,{overline {f}},|,{overline {g}},rangle _{H^{*}}={overline {langle ,f,|,g,rangle _{{overline {H}}^{*}}}}=langle ,g,|,f,rangle _{{overline {H}}^{*}}qquad {text{ for all }}f,gin {overline {H}}^{*}.}

Si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ entonces ${displaystyle H^{*}={overline {H}}^{*}}$ y este mapa canónico ${displaystyle operatorname {Cong}:H^{*}to {overline {H}}^{*}}$ reduce el mapa de identidad.

Teorema de representación de Riesz

Dos vectores $x$ y $y$ son ortogonal si ${displaystyle langle x,yrangle =0,}$ que sucede si ${displaystyle |y|leq |y+sx|}$ para todos los escalares $s.$ El complemento ortogonal de un subconjunto ${displaystyle Csubseteq H}$ es

{displaystyle C^{bot }:={,yin H:langle y,crangle =0{text{ for all }}cin C,},}

H.

C

{displaystyle min C}

{displaystyle |m|=inf _{cin C}|c|;}

{displaystyle min C}

{displaystyle Cto [0,infty)}

{displaystyle cmapsto |c|.}

Declaración

Riesz representación teorema—Vamos $H$ ser un espacio Hilbert cuyo producto interior ${displaystyle leftlangle x,yrightrangle }$ es lineal en su primero argumento y antilinear en su segundo argumento y dejar ${displaystyle langle ymid xrangle:=langle x,yrangle }$ ser la notación física correspondiente. Para cada funcional lineal continuo ${displaystyle varphi in H^{*},}$ existe un vector único ${displaystyle f_{varphi }in H,}$ llamado Representación de Riesz de $varphi$ tales que

{displaystyle varphi (x)=leftlangle x,f_{varphi }rightrangle =leftlangle f_{varphi }mid xrightrangle quad {text{ for all }}xin H.}

Importante para complejo Hilbert espacios, $f_{varphi }$ se encuentra siempre en el antilinear coordinación del producto interior.

Además, la longitud del vector de representación es igual a la norma de lo funcional:

{displaystyle left|f_{varphi }right|_{H}=|varphi |_{H^{*}},}

f_{varphi }

es el vector único

{displaystyle f_{varphi }in left(ker varphi right)^{bot }}

con

{displaystyle varphi left(f_{varphi }right)=|varphi |^{2}.}

Es también el elemento único de la norma mínima en

{displaystyle C:=varphi ^{-1}left(|varphi |^{2}right)}

; es decir,

f_{varphi }

es el elemento único

C

satisfacción

{displaystyle left|f_{varphi }right|=inf _{cin C}|c|.}

Moreover, any non-zero

{displaystyle qin (ker varphi)^{bot }}

puede ser escrito como

{displaystyle q=left(|q|^{2}/,{overline {varphi (q)}}right) f_{varphi }.}

Corollary—El mapa canónico de $H$ en su dualidad $H^{*}$ es la isometría del operador antilineal inyectable

{displaystyle {begin{alignedat}{4}Phi:;&&H&&;to ;&H^{*}\[0.3ex]&&y&&;mapsto ;&langle ,cdot ,,yrangle =langle y|,cdot ,rangle \end{alignedat}}}

El teorema de representación Riesz establece que este mapa es subjetivo (y por lo tanto bijetivo) cuando

H

es completo y que su inverso es el isomorfismo antilineal bijetivo

{displaystyle {begin{alignedat}{4}Phi ^{-1}:;&&H^{*}&&;to ;&H\[0.3ex]&&varphi &&;mapsto ;&f_{varphi }\end{alignedat}}.}

En consecuencia, cada uno funcional lineal continuo en el espacio Hilbert

H

se puede escribir de forma única en la forma

{displaystyle langle y,|,cdot ,rangle }

Donde

{displaystyle |langle y,|cdot rangle |_{H^{*}}=|y|_{H}}

para todos

{displaystyle yin H.}

La asignación

{displaystyle ymapsto langle y,cdot rangle =langle cdot ,|,yrangle }

también se puede ver como un bijector lineal isometría

{displaystyle Hto {overline {H}}^{*}}

en el espacio anti-dual

H,

que es el complejo espacio vectorial conjugado del espacio dual continuo

{displaystyle H^{*}.}

Los productos internos en $H$ y $H^{*}$ relacionados por

{displaystyle leftlangle Phi h,Phi krightrangle _{H^{*}}={overline {langle h,krangle }}_{H}=langle k,hrangle _{H}quad {text{ for all }}h,kin H}

y de manera similar,

{displaystyle leftlangle Phi ^{-1}varphiPhi ^{-1}psi rightrangle _{H}={overline {langle varphipsi rangle }}_{H^{*}}=leftlangle psivarphi rightrangle _{H^{*}}quad {text{ for all }}varphipsi in H^{*}.}

El set ${displaystyle C:=varphi ^{-1}left(|varphi |^{2}right)}$ satisfizo ${displaystyle C=f_{varphi }+ker varphi }$ y ${displaystyle C-C=ker varphi }$ entonces ${displaystyle f_{varphi }neq 0}$ entonces $C$ puede ser interpretado como el hiperplano afine que es paralelo al subespacial vectorial ${displaystyle ker varphi }$ y contiene ${displaystyle f_{varphi }.}$

Para ${displaystyle yin H,}$ la notación física para el funcionamiento ${displaystyle Phi (y)in H^{*}}$ es el sujetador ${displaystyle langle y|,}$ cuando explícitamente esto significa que ${displaystyle langle y|:=Phi (y),}$ que complementa la notación de ket ${displaystyle |yrangle }$ definidas por ${displaystyle |yrangle:=y.}$ En el tratamiento matemático de la mecánica cuántica, el teorema puede ser visto como una justificación para la notación popular entre el sujetador y el té. El teorema dice eso, cada sujetador ${displaystyle langle psi ,|}$ tiene un ket correspondiente ${displaystyle |,psi rangle}$ y este último es único.

Históricamente, el teorema a menudo se atribuye simultáneamente a Riesz y Fréchet en 1907 (ver referencias).

Prueba
Vamos $mathbb {F}$ denota el campo de escalar subyacente $H.$ Prueba de la fórmula de la norma: Corrección ${displaystyle yin H.}$ Define ${displaystyle Lambda:Hto mathbb {F} }$ por ${displaystyle Lambda (z):=langle ,y,\|,z,rangle}$ que es un funcional lineal en $H$ desde entonces $z$ está en el argumento lineal. Por la desigualdad Cauchy–Schwarz, ${displaystyle \|Lambda (z)\|=\|langle ,y,\|,z,rangle \|leq \|y\|\|z\|}$ que muestra $Lambda$ está atado (equivalentemente, continuo) y que ${displaystyle \|Lambda \|leq \|y\|.}$ Queda por demostrar que ${displaystyle \|y\|leq \|Lambda \|.}$ Usando $y$ en lugar de $z,$ sigue que ${displaystyle \|y\|^{2}=langle ,y,\|,y,rangle =Lambda y=\|Lambda (y)\|leq \|Lambda \|\|y\|}$ (la igualdad ${displaystyle Lambda y=\|Lambda (y)\|}$ Oportunidad ${displaystyle Lambda y=\|y\|^{2}geq 0}$ es real y no negativo). Así que ${displaystyle \|Lambda \|=\|y\|.}$ $blacksquare$ La prueba anterior no utilizó el hecho de que $H$ es completo, que muestra que la fórmula para la norma ${displaystyle \|langle ,y,\|,cdot ,rangle \|_{H^{}}=\|y\|_{H}}$ sostiene más generalmente para todos los espacios de producto interno. Prueba de que una representación de Riesz $varphi$ es único:* Suppose ${displaystyle f,gin H}$ son tales ${displaystyle varphi (z)=langle ,f,\|,z,rangle }$ y ${displaystyle varphi (z)=langle ,g,\|,z,rangle }$ para todos ${displaystyle zin H.}$ Entonces... ${displaystyle langle ,f-g,\|,z,rangle =langle ,f,\|,z,rangle -langle ,g,\|,z,rangle =varphi (z)-varphi (z)=0quad {text{ for all }}zin H}$ que muestra ${displaystyle Lambda:=langle ,f-g,\|,cdot ,rangle }$ es la constante ${displaystyle 0}$ funcional lineal. En consecuencia ${displaystyle 0=\|langle ,f-g,\|,cdot ,rangle \|=\|f-g\|,}$ que implica ${displaystyle f-g=0.}$ $blacksquare$ Prueba de que un vector $f_{varphi }$ representación $varphi$ existe: Vamos ${displaystyle K:=ker varphi:={min H:varphi (m)=0}.}$ Si ${displaystyle K=H}$ (o equivalentemente, si $varphi = 0$ Entonces toma ${displaystyle f_{varphi }:=0}$ completa la prueba así que asuma que ${displaystyle Kneq H}$ y ${displaystyle varphi neq 0.}$ La continuidad de $varphi$ implica que $K$ es un subespacio cerrado $H$ (porque ${displaystyle K=varphi ^{-1}({0})}$ y ${0}$ es un subconjunto cerrado $mathbb {F}$ ). Vamos ${displaystyle K^{bot }:={vin H~:~langle ,v,\|,k,rangle =0~{text{ for all }}kin K}}$ denota el complemento ortogonal $K$ dentro $H.$ Porque... $K$ está cerrado y $H$ es un espacio de Hilbert, $H$ puede ser escrito como la suma directa ${displaystyle H=Koplus K^{bot }}$ (una prueba de esto se da en el artículo sobre el teorema de proyección de Hilbert). Porque... ${displaystyle Kneq H,}$ hay algunos no cero ${displaystyle pin K^{bot }.}$ Para cualquier ${displaystyle hin H,}$ ${displaystyle varphi [(varphi h)p-(varphi p)h]~=~varphi [(varphi h)p]-varphi [(varphi p)h]~=~(varphi h)varphi p-(varphi p)varphi h=0,}$ que muestra ${displaystyle (varphi h)p-(varphi p)h~in ~ker varphi =K,}$ donde ahora ${displaystyle pin K^{bot }}$ implicación ${displaystyle 0=langle ,p,\|,(varphi h)p-(varphi p)h,rangle ~=~langle ,p,\|,(varphi h)p,rangle -langle ,p,\|,(varphi p)h,rangle ~=~(varphi h)langle ,p,\|,p,rangle -(varphi p)langle ,p,\|,h,rangle.}$ Solving for ${displaystyle varphi h}$ muestra que ${displaystyle varphi h={frac {(varphi p)langle ,p,\|,h,rangle }{\|p\|^{2}}}=leftlangle ,{frac {overline {varphi p}}{\|p\|^{2}}}p,{Bigg \|},h,rightrangle quad {text{ for every }}hin H,}$ que demuestra que el vector ${displaystyle f_{varphi }:={frac {overline {varphi p}}{\|p\|^{2}}}p}$ satisfizo ${displaystyle varphi h=langle ,f_{varphi },\|,h,rangle {text{ for every }}hin H.}$ Aplicar la fórmula de la norma que se probó anteriormente con ${displaystyle y:=f_{varphi }}$ muestra que ${displaystyle \|varphi \|_{H^{}}=left\|leftlangle ,f_{varphi },\|,cdot ,rightrangle right\|_{H^{}}=left\|f_{varphi }right\|_{H}.}$ Además, el vector ${displaystyle u:={frac {p}{\|p\|}}}$ tiene norma ${displaystyle \|u\|=1}$ y satisfizos ${displaystyle f_{varphi }:={overline {varphi (u)}}u.}$ $blacksquare$ Ahora se puede deducir que ${displaystyle K^{bot }}$ es $1$ -dimensional cuando ${displaystyle varphi neq 0.}$ Vamos ${displaystyle qin K^{bot }}$ ser cualquier vector no cero. Replacing $p$ con $q$ en la prueba anterior muestra que el vector ${displaystyle g:={frac {overline {varphi q}}{\|q\|^{2}}}q}$ satisfizo ${displaystyle varphi (h)=langle ,g,\|,h,rangle }$ para todos ${displaystyle hin H.}$ La singularidad del vector (no cero) $f_{varphi }$ representación $varphi$ implica que ${displaystyle f_{varphi }=g,}$ que a su vez implica ${displaystyle {overline {varphi q}}neq 0}$ y ${displaystyle q={frac {\|q\|^{2}}{overline {varphi q}}}f_{varphi }.}$ Así cada vector en ${displaystyle K^{bot }}$ es un escalar múltiple de ${displaystyle f_{varphi }.}$ $blacksquare$ Las fórmulas para los productos internos siguen de la identidad de polarización.

Prueba

Vamos $mathbb {F}$ denota el campo de escalar subyacente $H.$

Prueba de la fórmula de la norma:

Corrección ${displaystyle yin H.}$ Define ${displaystyle Lambda:Hto mathbb {F} }$ por ${displaystyle Lambda (z):=langle ,y,|,z,rangle}$ que es un funcional lineal en $H$ desde entonces $z$ está en el argumento lineal. Por la desigualdad Cauchy–Schwarz,

{displaystyle |Lambda (z)|=|langle ,y,|,z,rangle |leq |y||z|}

que muestra

Lambda

está atado (equivalentemente, continuo) y que

{displaystyle |Lambda |leq |y|.}

Queda por demostrar que

{displaystyle |y|leq |Lambda |.}

Usando

y

en lugar de

z,

sigue que

{displaystyle |y|^{2}=langle ,y,|,y,rangle =Lambda y=|Lambda (y)|leq |Lambda ||y|}

(la igualdad

{displaystyle Lambda y=|Lambda (y)|}

Oportunidad

{displaystyle Lambda y=|y|^{2}geq 0}

es real y no negativo). Así que

{displaystyle |Lambda |=|y|.}

blacksquare

La prueba anterior no utilizó el hecho de que $H$ es completo, que muestra que la fórmula para la norma ${displaystyle |langle ,y,|,cdot ,rangle |_{H^{*}}=|y|_{H}}$ sostiene más generalmente para todos los espacios de producto interno.

Prueba de que una representación de Riesz $varphi$ es único:

Suppose ${displaystyle f,gin H}$ son tales ${displaystyle varphi (z)=langle ,f,|,z,rangle }$ y ${displaystyle varphi (z)=langle ,g,|,z,rangle }$ para todos ${displaystyle zin H.}$ Entonces...

{displaystyle langle ,f-g,|,z,rangle =langle ,f,|,z,rangle -langle ,g,|,z,rangle =varphi (z)-varphi (z)=0quad {text{ for all }}zin H}

que muestra

{displaystyle Lambda:=langle ,f-g,|,cdot ,rangle }

es la constante

{displaystyle 0}

funcional lineal. En consecuencia

{displaystyle 0=|langle ,f-g,|,cdot ,rangle |=|f-g|,}

que implica

{displaystyle f-g=0.}

blacksquare

Prueba de que un vector $f_{varphi }$ representación $varphi$ existe:

Vamos ${displaystyle K:=ker varphi:={min H:varphi (m)=0}.}$ Si ${displaystyle K=H}$ (o equivalentemente, si $varphi = 0$ Entonces toma ${displaystyle f_{varphi }:=0}$ completa la prueba así que asuma que ${displaystyle Kneq H}$ y ${displaystyle varphi neq 0.}$ La continuidad de $varphi$ implica que $K$ es un subespacio cerrado $H$ (porque ${displaystyle K=varphi ^{-1}({0})}$ y ${0}$ es un subconjunto cerrado $mathbb {F}$ ). Vamos

{displaystyle K^{bot }:={vin H~:~langle ,v,|,k,rangle =0~{text{ for all }}kin K}}

denota el complemento ortogonal

K

dentro

H.

Porque...

K

está cerrado y

H

es un espacio de Hilbert,

H

puede ser escrito como la suma directa

{displaystyle H=Koplus K^{bot }}

(una prueba de esto se da en el artículo sobre el teorema de proyección de Hilbert). Porque...

{displaystyle Kneq H,}

hay algunos no cero

{displaystyle pin K^{bot }.}

Para cualquier

{displaystyle hin H,}

{displaystyle varphi [(varphi h)p-(varphi p)h]~=~varphi [(varphi h)p]-varphi [(varphi p)h]~=~(varphi h)varphi p-(varphi p)varphi h=0,}

que muestra

{displaystyle (varphi h)p-(varphi p)h~in ~ker varphi =K,}

donde ahora

{displaystyle pin K^{bot }}

implicación

{displaystyle 0=langle ,p,|,(varphi h)p-(varphi p)h,rangle ~=~langle ,p,|,(varphi h)p,rangle -langle ,p,|,(varphi p)h,rangle ~=~(varphi h)langle ,p,|,p,rangle -(varphi p)langle ,p,|,h,rangle.}

Solving for

{displaystyle varphi h}

muestra que

{displaystyle varphi h={frac {(varphi p)langle ,p,|,h,rangle }{|p|^{2}}}=leftlangle ,{frac {overline {varphi p}}{|p|^{2}}}p,{Bigg |},h,rightrangle quad {text{ for every }}hin H,}

que demuestra que el vector

{displaystyle f_{varphi }:={frac {overline {varphi p}}{|p|^{2}}}p}

satisfizo

{displaystyle varphi h=langle ,f_{varphi },|,h,rangle {text{ for every }}hin H.}

Aplicar la fórmula de la norma que se probó anteriormente con ${displaystyle y:=f_{varphi }}$ muestra que ${displaystyle |varphi |_{H^{*}}=left|leftlangle ,f_{varphi },|,cdot ,rightrangle right|_{H^{*}}=left|f_{varphi }right|_{H}.}$ Además, el vector ${displaystyle u:={frac {p}{|p|}}}$ tiene norma ${displaystyle |u|=1}$ y satisfizos ${displaystyle f_{varphi }:={overline {varphi (u)}}u.}$ $blacksquare$

Ahora se puede deducir que ${displaystyle K^{bot }}$ es $1$ -dimensional cuando ${displaystyle varphi neq 0.}$ Vamos ${displaystyle qin K^{bot }}$ ser cualquier vector no cero. Replacing $p$ con $q$ en la prueba anterior muestra que el vector ${displaystyle g:={frac {overline {varphi q}}{|q|^{2}}}q}$ satisfizo ${displaystyle varphi (h)=langle ,g,|,h,rangle }$ para todos ${displaystyle hin H.}$ La singularidad del vector (no cero) $f_{varphi }$ representación $varphi$ implica que ${displaystyle f_{varphi }=g,}$ que a su vez implica ${displaystyle {overline {varphi q}}neq 0}$ y ${displaystyle q={frac {|q|^{2}}{overline {varphi q}}}f_{varphi }.}$ Así cada vector en ${displaystyle K^{bot }}$ es un escalar múltiple de ${displaystyle f_{varphi }.}$ $blacksquare$

Las fórmulas para los productos internos siguen de la identidad de polarización.

Observaciones

Si ${displaystyle varphi in H^{*}}$ entonces

{displaystyle varphi left(f_{varphi }right)=leftlangle f_{varphi },f_{varphi }rightrangle =left|f_{varphi }right|^{2}=|varphi |^{2}.}

{displaystyle varphi left(f_{varphi }right)geq 0}

{displaystyle varphi left(f_{varphi }right)=0}

{displaystyle f_{varphi }=0}

{displaystyle varphi =0.}

Funcionales lineales como hiperplanos afines

Funcional lineal continuo no trivial $varphi$ a menudo se interpreta geométricamente identificándolo con el hiperplano affine ${displaystyle A:=varphi ^{-1}(1)}$ (el núcleo ${displaystyle ker varphi =varphi ^{-1}(0)}$ también se visualiza a menudo ${displaystyle A:=varphi ^{-1}(1)}$ aunque sabiendo $A$ es suficiente para reconstruir ${displaystyle ker varphi }$ porque si ${displaystyle A=varnothing }$ entonces ${displaystyle ker varphi =H}$ y de otro modo ${displaystyle ker varphi =A-A}$ ). En particular, la norma $varphi$ debe ser interpretable como el "norm del hiperplano $A$ ". Cuando ${displaystyle varphi neq 0}$ entonces el teorema de representación Riesz proporciona tal interpretación ${displaystyle |varphi |}$ en términos del hiperplano affine ${displaystyle A:=varphi ^{-1}(1)}$ como sigue: usando la notación de la declaración del teorema, de ${displaystyle |varphi |^{2}neq 0}$ sigue que ${displaystyle C:=varphi ^{-1}left(|varphi |^{2}right)=|varphi |^{2}varphi ^{-1}(1)=|varphi |^{2}A}$ y así ${displaystyle |varphi |=left|f_{varphi }right|=inf _{cin C}|c|}$ implicación ${displaystyle |varphi |=inf _{ain A}|varphi |^{2}|a|}$ y así ${displaystyle |varphi |={frac {1}{inf _{ain A}|a|}}.}$ Esto también se puede ver aplicando el teorema de proyección de Hilbert $A$ y conclusión de que el punto mínimo mundial del mapa ${displaystyle Ato [0,infty)}$ definidas por ${displaystyle amapsto |a|}$ es ${displaystyle {frac {f_{varphi }}{|varphi |^{2}}}in A.}$ Las fórmulas

{displaystyle {frac {1}{inf _{ain A}|a|}}=sup _{ain A}{frac {1}{|a|}}}

{displaystyle |varphi |}

{displaystyle A=varphi ^{-1}(1)}

set

A

funcional

{displaystyle {frac {1}{infty }}:=0,}

{displaystyle |varphi |={frac {1}{inf _{ain varphi ^{-1}(1)}|a|}}}

{displaystyle varphi =0.}

mathbb {R}

{displaystyle sup varnothing =-infty }

[0,infty)

{displaystyle |,cdot ,|}

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">dim⁡ ⁡ H■0{displaystyle dim H Conf0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a030252adb42cb399d8fe235e4c45a14c16992cc" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.587ex; height:2.176ex;"/>

{displaystyle sup varnothing =0,}

{displaystyle |varphi |=sup _{ain varphi ^{-1}(1)}{frac {1}{|a|}}}

varphi = 0

{displaystyle sup varnothing =0}

Construcciones del vector de representación

Usando la notación del teorema anterior, varias maneras de construir $f_{varphi }$ desde ${displaystyle varphi in H^{*}}$ se describen ahora. Si $varphi = 0$ entonces ${displaystyle f_{varphi }:=0}$ ; en otras palabras,

{displaystyle f_{0}=0.}

Este caso especial $varphi = 0$ se supone que en adelante se sabe, por lo que algunas de las construcciones dadas a continuación comienzan asumiendo ${displaystyle varphi neq 0.}$

Complemento ortogonal del kernel

Si ${displaystyle varphi neq 0}$ entonces para cualquier ${displaystyle 0neq uin (ker varphi)^{bot },}$

{displaystyle f_{varphi }:={frac {{overline {varphi (u)}}u}{|u|^{2}}}.}

Si ${displaystyle uin (ker varphi)^{bot }}$ es un vector unitario ${displaystyle |u|=1}$ entonces

{displaystyle f_{varphi }:={overline {varphi (u)}}u}

varphi = 0

{displaystyle f_{varphi }={overline {varphi (u)}}u={overline {0}}u=0}

u

{displaystyle -u,}

{displaystyle (ker varphi)^{bot }.}

{displaystyle {overline {varphi (-u)}}(-u)={overline {varphi (u)}}u=f_{varphi }}

{displaystyle f_{varphi }.}

Proyección ortogonal sobre kernel

Si $xin H$ es tal que ${displaystyle varphi (x)neq 0}$ y si ${displaystyle x_{K}}$ es la proyección ortogonal de $x$ sobre ${displaystyle ker varphi }$ entonces

{displaystyle f_{varphi }={frac {|varphi |^{2}}{varphi (x)}}left(x-x_{K}right).}

Base ortonormal

Dada una base ortonormal ${displaystyle left{e_{i}right}_{iin I}}$ de $H$ y un funcionamiento lineal continuo ${displaystyle varphi in H^{*},}$ el vector ${displaystyle f_{varphi }in H}$ se puede construir única

{displaystyle f_{varphi }=sum _{iin I}{overline {varphi left(e_{i}right)}}e_{i}}

{displaystyle varphi left(e_{i}right)}

{displaystyle 0}

f_{varphi }

H

{displaystyle yin H}

{displaystyle y=sum _{iin I}a_{i}e_{i}}

{displaystyle varphi (y)=sum _{iin I}varphi left(e_{i}right)a_{i}=langle f_{varphi }|yrangle }

{displaystyle left|f_{varphi }right|^{2}=varphi left(f_{varphi }right)=sum _{iin I}varphi left(e_{i}right){overline {varphi left(e_{i}right)}}=sum _{iin I}left|varphi left(e_{i}right)right|^{2}=|varphi |^{2}.}

Si la base ortonormal ${displaystyle left{e_{i}right}_{iin I}=left{e_{i}right}_{i=1}^{infty }}$ es una secuencia entonces esto se convierte

{displaystyle f_{varphi }={overline {varphi left(e_{1}right)}}e_{1}+{overline {varphi left(e_{2}right)}}e_{2}+cdots }

{displaystyle yin H}

{displaystyle y=sum _{iin I}a_{i}e_{i}=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+cdots }

{displaystyle varphi (y)=varphi left(e_{1}right)a_{1}+varphi left(e_{2}right)a_{2}+cdots =langle f_{varphi }|yrangle.}

Ejemplo en dimensiones finitas usando transformaciones de matrices

Considerar el caso especial ${displaystyle H=mathbb {C} ^{n}}$ (donde) $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ es un entero) con el producto interno estándar

{displaystyle langle zmid wrangle:={overline {,{vec {z}},,}}^{operatorname {T} }{vec {w}}qquad {text{ for all }};w,zin H}

{displaystyle w{text{ and }}z}

{displaystyle {vec {w}}:={begin{bmatrix}w_{1}\vdots \w_{n}end{bmatrix}}}

{displaystyle {vec {z}}:={begin{bmatrix}z_{1}\vdots \z_{n}end{bmatrix}}}

e_{1},ldotse_{n}

H

e_{i}

1

i

{displaystyle 0}

H^{*}

{displaystyle {overline {,{vec {z}},}}^{operatorname {T} }:=left[{overline {z_{1}}},ldots{overline {z_{n}}}right]}

{displaystyle {vec {z}}.}

{displaystyle varphi in H^{*}}

{displaystyle varphi _{1},ldotsvarphi _{n}in mathbb {C} }

{displaystyle varphi left(w_{1},ldotsw_{n}right)=varphi _{1}w_{1}+cdots +varphi _{n}w_{n}qquad {text{ for all }};w:=left(w_{1},ldotsw_{n}right)in H,}

{displaystyle varphi _{i}=varphi left(e_{i}right)}

{displaystyle i=1,ldotsn.}

varphi

{displaystyle f_{varphi }~:=~{overline {varphi _{1}}}e_{1}+cdots +{overline {varphi _{n}}}e_{n}~=~left({overline {varphi _{1}}},ldots{overline {varphi _{n}}}right)in H.}

{displaystyle w=left(w_{1},ldotsw_{n}right)}

H

{displaystyle {vec {w}}:={begin{bmatrix}w_{1}\vdots \w_{n}end{bmatrix}}}

f_{varphi }

{displaystyle {vec {f_{varphi }}}:={begin{bmatrix}{overline {varphi _{1}}}\vdots \{overline {varphi _{n}}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{overline {varphi left(e_{1}right)}}\vdots \{overline {varphi left(e_{n}right)}}end{bmatrix}}.}

varphi

{displaystyle {vec {varphi }}:=left[varphi _{1},ldotsvarphi _{n}right]}

{displaystyle {vec {f_{varphi }}}:={overline {,{vec {varphi }},,}}^{operatorname {T} }}

varphi

{displaystyle {vec {w}}mapsto {vec {varphi }},{vec {w}},}

{displaystyle w=left(w_{1},ldotsw_{n}right)in H,}

{displaystyle varphi (w)=varphi _{1}w_{1}+cdots +varphi _{n}w_{n}=left[varphi _{1},ldotsvarphi _{n}right]{begin{bmatrix}w_{1}\vdots \w_{n}end{bmatrix}}={overline {begin{bmatrix}{overline {varphi _{1}}}\vdots \{overline {varphi _{n}}}end{bmatrix}}}^{operatorname {T} }{vec {w}}={overline {,{vec {f_{varphi }}},,}}^{operatorname {T} }{vec {w}}=leftlangle ,,f_{varphi },mid ,w,rightrangle}

f_{varphi }

varphi.

{displaystyle Phi:Hto H^{*}}

{displaystyle z=left(z_{1},ldotsz_{n}right)in H}

{displaystyle Phi (z)in H^{*}}

H

{displaystyle w=left(w_{1},ldotsw_{n}right)~mapsto ~langle ,z,mid ,w,rangle ={overline {z_{1}}}w_{1}+cdots +{overline {z_{n}}}w_{n},}

H

H^{*}

Phi

{displaystyle {vec {z}}={begin{bmatrix}z_{1}\vdots \z_{n}end{bmatrix}}~mapsto ~{overline {,{vec {z}},}}^{operatorname {T} }=left[{overline {z_{1}}},ldots{overline {z_{n}}}right].}

Phi

{displaystyle Phi ^{-1}:H^{*}to H}

{displaystyle varphi mapsto f_{varphi },}

{displaystyle varphi ~mapsto ~f_{varphi }~:=~left({overline {varphi left(e_{1}right)}},ldots{overline {varphi left(e_{n}right)}}right);}

Phi ^{-1}

{displaystyle {vec {varphi }}=left[varphi _{1},ldotsvarphi _{n}right]~mapsto ~{overline {,{vec {varphi }},,}}^{operatorname {T} }={begin{bmatrix}{overline {varphi _{1}}}\vdots \{overline {varphi _{n}}}end{bmatrix}}.}

{displaystyle Phi:Hto H^{*}}

{displaystyle Phi ^{-1}:H^{*}to H}

{displaystyle {vec {v}}mapsto {overline {,{vec {v}},}}^{operatorname {T} }}

H

H^{*}

Este ejemplo utiliza el producto interior estándar, que es el mapa ${displaystyle langle zmid wrangle:={overline {,{vec {z}},,}}^{operatorname {T} }{vec {w}},}$ pero si se utiliza un producto interno diferente, como ${displaystyle langle zmid wrangle _{M}:={overline {,{vec {z}},,}}^{operatorname {T} },M,{vec {w}},}$ Donde $M$ es cualquier matriz Hermitian positivo-definido, o si una base ortonormal diferente se utiliza entonces las matrices de transformación, y por lo tanto también las fórmulas anteriores, será diferente.

Relación con el espacio real de Hilbert asociado

Supongamos que $H$ es un espacio complejo Hilbert con producto interior ${displaystyle langle ,cdot mid cdot ,rangle.}$ Cuando el espacio Hilbert $H$ es reinterpretado como un espacio verdadero Hilbert entonces será denotado por ${displaystyle H_{mathbb {R} },}$ donde el (real) producto interno en ${displaystyle H_{mathbb {R} }}$ es la parte real de $H$ 's producto interior; es decir:

{displaystyle langle x,yrangle _{mathbb {R} }:=operatorname {re} langle x,yrangle.}

La norma en ${displaystyle H_{mathbb {R} }}$ inducido por ${displaystyle langle ,cdot ,,,cdot ,rangle _{mathbb {R} }}$ es igual a la norma original en $H$ y el espacio dual continuo ${displaystyle H_{mathbb {R} }}$ es el conjunto de todos real-valorado $mathbb {R}$ - Funciones lineales en ${displaystyle H_{mathbb {R} }}$ (ver el artículo sobre la identidad de polarización para más detalles sobre esta relación). Vamos ${displaystyle psi _{mathbb {R} }:=operatorname {re} psi }$ y ${displaystyle psi _{i}:=operatorname {im} psi }$ denota las partes reales e imaginarias de un funcional lineal ${displaystyle psi}$ así ${displaystyle psi =operatorname {re} psi +ioperatorname {im} psi =psi _{mathbb {R} }+ipsi _{i}.}$ La fórmula que expresa una funcionalidad lineal en términos de su parte real es

{displaystyle psi (h)=psi _{mathbb {R} }(h)-ipsi _{mathbb {R} }(ih)quad {text{ for }}hin H,}

{displaystyle psi _{i}(h)=-ipsi _{mathbb {R} }(ih)}

{displaystyle hin H.}

{displaystyle ker psi _{mathbb {R} }=psi ^{-1}(imathbb {R}),}

{displaystyle psi =0}

{displaystyle psi _{mathbb {R} }=0.}

{displaystyle |psi |=left|psi _{mathbb {R} }right|=left|psi _{i}right|}

{displaystyle left|psi _{mathbb {R} }right|:=sup _{|h|leq 1}left|psi _{mathbb {R} }(h)right|}

{displaystyle left|psi _{i}right|:=sup _{|h|leq 1}left|psi _{i}(h)right|}

psi

{displaystyle psi _{mathbb {R} }}

Representación de un funcional y su parte real

La representación Riesz de una función lineal continua $varphi$ en un espacio complejo Hilbert es igual a la representación Riesz de su parte real ${displaystyle operatorname {re} varphi }$ en su espacio de Hilbert real asociado.

Explícitamente, ${displaystyle varphi in H^{*}}$ y como arriba, ${displaystyle f_{varphi }in H}$ ser la representación de Riesz $varphi$ obtenido en ${displaystyle (H,langlecdotcdot rangle),}$ así que es el vector único que satisface ${displaystyle varphi (x)=leftlangle f_{varphi }mid xrightrangle }$ para todos ${displaystyle xin H.}$ La parte real de $varphi$ es un funcionamiento lineal continuo en ${displaystyle H_{mathbb {R} }}$ por lo que el teorema de representación Riesz puede ser aplicado a ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }:=operatorname {re} varphi }$ y el espacio real asociado Hilbert ${displaystyle left(H_{mathbb {R} },langlecdotcdot rangle _{mathbb {R} }right)}$ para producir su representación Riesz, que será denotada por ${displaystyle f_{varphi _{mathbb {R} }}.}$ Eso es, ${displaystyle f_{varphi _{mathbb {R} }}}$ es el vector único en ${displaystyle H_{mathbb {R} }}$ que satisfice ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }(x)=leftlangle f_{varphi _{mathbb {R} }}mid xrightrangle _{mathbb {R} }}$ para todos ${displaystyle xin H.}$ La conclusión es ${displaystyle f_{varphi _{mathbb {R} }}=f_{varphi }.}$ Esto sigue del teorema principal porque ${displaystyle ker varphi _{mathbb {R} }=varphi ^{-1}(imathbb {R})}$ y si $xin H$ entonces

{displaystyle leftlangle f_{varphi }mid xrightrangle _{mathbb {R} }=operatorname {re} leftlangle f_{varphi }mid xrightrangle =operatorname {re} varphi (x)=varphi _{mathbb {R} }(x)}

{displaystyle min ker varphi _{mathbb {R} }}

{displaystyle leftlangle f_{varphi }mid mrightrangle _{mathbb {R} }=0,}

{displaystyle f_{varphi }in (ker varphi _{mathbb {R} })^{perp _{mathbb {R} }}.}

{displaystyle varphi (f_{varphi })=|varphi |^{2}}

{displaystyle varphi _{mathbb {R} }(f_{varphi })=operatorname {re} varphi (f_{varphi })=|varphi |^{2}.}

H

{displaystyle H_{mathbb {R} }}

varphi

{displaystyle operatorname {re} varphi }

{displaystyle f_{varphi }=f_{operatorname {re} varphi }.}

f_{varphi }

{displaystyle left(H_{mathbb {R} },langlecdotcdot rangle _{mathbb {R} }right)}

{displaystyle operatorname {re} varphi }

{displaystyle left(H,leftlanglecdotcdot rightrangle right)}

varphi

Además, si ${displaystyle varphi neq 0}$ entonces $f_{varphi }$ es perpendicular a ${displaystyle ker varphi _{mathbb {R} }}$ con respecto a ${displaystyle langle cdotcdot rangle _{mathbb {R} }}$ donde el núcleo $varphi$ es un apropiado subespacio del núcleo de su parte real ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }.}$ Supongamos ahora que ${displaystyle varphi neq 0.}$ Entonces... ${displaystyle f_{varphi }not in ker varphi _{mathbb {R} }}$ porque ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }left(f_{varphi }right)=varphi left(f_{varphi }right)=|varphi |^{2}neq 0}$ y ${displaystyle ker varphi }$ es un subconjunto adecuado ${displaystyle ker varphi _{mathbb {R} }.}$ El subespacio vectorial ${displaystyle ker varphi }$ tiene una verdadera codimensión $1$ dentro ${displaystyle ker varphi _{mathbb {R} },}$ mientras ${displaystyle ker varphi _{mathbb {R} }}$ tiene real codimensión $1$ dentro ${displaystyle H_{mathbb {R} },}$ y ${displaystyle leftlangle f_{varphi },ker varphi _{mathbb {R} }rightrangle _{mathbb {R} }=0.}$ Eso es, $f_{varphi }$ es perpendicular a ${displaystyle ker varphi _{mathbb {R} }}$ con respecto a ${displaystyle langle cdotcdot rangle _{mathbb {R} }.}$

Inyecciones canónicas en el dual y anti-dual

Mapa lineal inducido en anti-dual

El mapa definido por la colocación $y$ en el lineal coordinación del producto interior y dejar la variable $hin H$ varían sobre antilinear coordine resultados en una funcionalidad antilineal:

{displaystyle langle ,cdot mid y,rangle =langle ,y,cdot ,rangle:Hto mathbb {F} quad {text{ defined by }}quad hmapsto langle ,hmid y,rangle =langle ,y,h,rangle.}

Este mapa es un elemento de ${displaystyle {overline {H}}^{*},}$ que es el espacio anti-dual continuo $H.$ El mapa canónico de $H$ en su anti-dual ${displaystyle {overline {H}}^{*}}$ es el operador lineal

{displaystyle {begin{alignedat}{4}operatorname {In} _{H}^{{overline {H}}^{*}}:;&&H&&;to ;&{overline {H}}^{*}\[0.3ex]&&y&&;mapsto ;&langle ,cdot mid y,rangle =langle ,y,cdot ,rangle \[0.3ex]end{alignedat}}}

H

Si ${displaystyle operatorname {Cong}:H^{*}to {overline {H}}^{*}}$ es la isometría bijetiva canónica ${displaystyle fmapsto {overline {f}}}$ que se definió anteriormente, entonces la siguiente igualdad sostiene:

{displaystyle operatorname {Cong} ~circ ~operatorname {In} _{H}^{H^{*}}~=~operatorname {In} _{H}^{{overline {H}}^{*}}.}

Extendiendo la notación bra-ket a bras y kets

Vamos ${displaystyle left(H,langle cdotcdot rangle _{H}right)}$ ser un espacio Hilbert y como antes, ${displaystyle langle y,|,xrangle _{H}:=langle x,yrangle _{H}.}$ Vamos

{displaystyle {begin{alignedat}{4}Phi:;&&H&&;to ;&H^{*}\[0.3ex]&&g&&;mapsto ;&leftlangle ,gmid cdot ,rightrangle _{H}=leftlangle ,cdotg,rightrangle _{H}\end{alignedat}}}

{displaystyle (Phi h)g=langle hmid grangle _{H}=langle g,hrangle _{H}quad {text{ for all }}g,hin H.}

Sujetadores

Dado un vector ${displaystyle hin H,}$ Deja ${displaystyle langle h,|}$ denota el funcionamiento lineal continuo ${displaystyle Phi h}$ ; es decir,

{displaystyle langle h,|~:=~Phi h}

{displaystyle langle h,|}

{displaystyle gmapsto leftlangle ,hmid g,rightrangle _{H}.}

{displaystyle leftlangle hmid cdot ,rightrangle }

La asignación ${displaystyle hmapsto langle h|}$ es sólo el isomorfismo antilineal isométrico ${displaystyle Phi ~:~Hto H^{*},}$ por qué ${displaystyle ~langle cg+h,|~=~{overline {c}}langle gmid ~+~langle h,|~}$ para todos ${displaystyle g,hin H}$ y todos los cuero cabelludos $c.$ El resultado de conectar algunos dados ${displaystyle gin H}$ en el funcional ${displaystyle langle h,|}$ es el cuero cabelludo ${displaystyle langle h,|,grangle _{H}=langle g,hrangle _{H},}$ que puede ser denotado ${displaystyle langle hmid grangle.}$

Sujetador de funcional lineal

Dado un funcionamiento lineal continuo ${displaystyle psi in H^{*},}$ Deja ${displaystyle langle psi mid }$ denota el vector ${displaystyle Phi ^{-1}psi in H}$ ; es decir,

{displaystyle langle psi mid ~:=~Phi ^{-1}psi.}

La asignación ${displaystyle psi mapsto langle psi mid }$ es sólo el isomorfismo antilineal isométrico ${displaystyle Phi ^{-1}~:~H^{*}to H,}$ por qué ${displaystyle ~langle cpsi +phi mid ~=~{overline {c}}langle psi mid ~+~langle phi mid ~}$ para todos ${displaystyle phipsi in H^{*}}$ y todos los cuero cabelludos $c.$

La condición definitoria del vector ${displaystyle langle psi |in H}$ es la igualdad técnicamente correcta pero sin visión

{displaystyle leftlangle ,langle psi mid ,mid grightrangle _{H}~=~psi gquad {text{ for all }}gin H,}

{displaystyle leftlangle psi mid grightrangle }

{displaystyle leftlangle ,langle psi mid ,mid grightrangle _{H}=leftlangle g,,langle psi mid rightrangle _{H}.}

{displaystyle leftlangle psi mid grightrangle ~=~psi gquad {text{ for all }}gin H.}

Kets

Para cualquier vector dado ${displaystyle gin H,}$ la notación ${displaystyle |,grangle }$ se utiliza para denotar $g$ ; es decir,

{displaystyle mid grangle:=g.}

La asignación ${displaystyle gmapsto |,grangle }$ es sólo el mapa de identidad ${displaystyle operatorname {Id} _{H}:Hto H,}$ por qué ${displaystyle ~mid cg+hrangle ~=~cmid grangle ~+~mid hrangle ~}$ para todos ${displaystyle g,hin H}$ y todos los cuero cabelludos $c.$

La notación ${displaystyle langle hmid grangle }$ y ${displaystyle langle psi mid grangle }$ se utiliza en lugar de ${displaystyle leftlangle hmid ,mid grangle ,rightrangle _{H}~=~leftlangle mid granglehrightrangle _{H}}$ y ${displaystyle leftlangle psi mid ,mid grangle ,rightrangle _{H}~=~leftlangle g,,langle psi mid rightrangle _{H},}$ respectivamente. Como se esperaba, ${displaystyle ~langle psi mid grangle =psi g~}$ y ${displaystyle ~langle hmid grangle ~}$ realmente es sólo el escalar ${displaystyle ~langle hmid grangle _{H}~=~langle g,hrangle _{H}.}$

Adjuntos y transpuestos

Vamos ${displaystyle A:Hto Z}$ ser un operador lineal continuo entre los espacios de Hilbert ${displaystyle left(H,langle cdotcdot rangle _{H}right)}$ y ${displaystyle left(Z,langle cdotcdot rangle _{Z}right).}$ Como antes, deja ${displaystyle langle ymid xrangle _{H}:=langle x,yrangle _{H}}$ y ${displaystyle langle ymid xrangle _{Z}:=langle x,yrangle _{Z}.}$

Denotar por

{displaystyle {begin{alignedat}{4}Phi _{H}:;&&H&&;to ;&H^{*}\[0.3ex]&&g&&;mapsto ;&langle ,gmid cdot ,rangle _{H}\end{alignedat}}quad {text{ and }}quad {begin{alignedat}{4}Phi _{Z}:;&&Z&&;to ;&Z^{*}\[0.3ex]&&y&&;mapsto ;&langle ,ymid cdot ,rangle _{Z}\end{alignedat}}}

{displaystyle left(Phi _{H}gright)h=langle gmid hrangle _{H}quad {text{ for all }}g,hin Hqquad {text{ and }}qquad left(Phi _{Z}yright)z=langle ymid zrangle _{Z}quad {text{ for all }}y,zin Z.}

Definición de la adjunto

(feminine)

Por todos ${displaystyle zin Z,}$ el mapa valorado ${displaystyle langle zmid A(cdot)rangle _{Z}}$ on $H$ definidas por

{displaystyle hmapsto langle zmid Ahrangle _{Z}=langle Ah,zrangle _{Z}}

es un funcionamiento lineal continuo en $H$ y así por el teorema de representación de Riesz, existe un vector único $H,$ denotado por ${displaystyle A^{*}z,}$ tales que ${displaystyle langle zmid A(cdot)rangle _{Z}=leftlangle A^{*}zmid cdot ,rightrangle _{H},}$ o equivalente, tal que

{displaystyle langle zmid Ahrangle _{Z}=leftlangle A^{*}zmid hrightrangle _{H}quad {text{ for all }}hin H.}

La asignación ${displaystyle zmapsto A^{*}z}$ así induce una función ${displaystyle A^{*}:Zto H}$ llamado adjoint de ${displaystyle A:Hto Z}$ cuya condición de definición es

{displaystyle langle zmid Ahrangle _{Z}=leftlangle A^{*}zmid hrightrangle _{H}quad {text{ for all }}hin H{text{ and all }}zin Z.}

{displaystyle A^{*}:Zto H}

Si $H$ es dimensional finito con el producto interno estándar y si $M$ es la matriz de transformación $A$ con respecto a la base ortonormal estándar entonces $M$ 's conjugate transpose ${displaystyle {overline {M^{operatorname {T} }}}}$ es la matriz de transformación de la unión ${displaystyle A^{*}.}$

Las adjuntas son transposiciones

(feminine)

También es posible definir el transpose o algebraic adjoint de ${displaystyle A:Hto Z,}$ que es el mapa ${displaystyle {}^{t}A:Z^{*}to H^{*}}$ definido por el envío de un funcionamiento lineal continuo ${displaystyle psi in Z^{*}}$ a

{displaystyle {}^{t}A(psi):=psi circ A,}

{displaystyle psi circ A}

H

{displaystyle |A|=left|{}^{t}Aright|}

H

Z

{displaystyle zin Z}

{displaystyle {}^{t}A}

{displaystyle langle zmid cdot rangle _{Z}in Z^{*}}

Z

{displaystyle gmapsto langle zmid grangle _{Z}}

{displaystyle langle zmid A(cdot)rangle _{Z}in H^{*}}

H

{displaystyle hmapsto langle zmid A(h)rangle _{Z}}

{displaystyle {}^{t}Alangle zmid ~=~langle zmid A}

{displaystyle langle zmid }

A

{displaystyle Hxrightarrow {A} Zxrightarrow {langle zmid } mathbb {C}.}

El adjoint ${displaystyle A^{*}:Zto H}$ es sólo para la transposición ${displaystyle {}^{t}A:Z^{*}to H^{*}}$ cuando el teorema de representación Riesz se utiliza para identificar $Z$ con ${displaystyle Z^{*}}$ y $H$ con ${displaystyle H^{*}.}$

Explícitamente, la relación entre el adjunto y la transpuesta es:

{displaystyle {}^{t}A~circ ~Phi _{Z}~=~Phi _{H}~circ ~A^{*}}

()Adjoint-transpose)

que se puede reescribir como:

{displaystyle A^{*}~=~Phi _{H}^{-1}~circ ~{}^{t}A~circ ~Phi _{Z}quad {text{ and }}quad {}^{t}A~=~Phi _{H}~circ ~A^{*}~circ ~Phi _{Z}^{-1}.}

Prueba

Para mostrar eso ${displaystyle {}^{t}A~circ ~Phi _{Z}~=~Phi _{H}~circ ~A^{*},}$ arreglar ${displaystyle zin Z.}$ La definición de ${displaystyle {}^{t}A}$ implicación

{displaystyle left({}^{t}Acirc Phi _{Z}right)z={}^{t}Aleft(Phi _{Z}zright)=left(Phi _{Z}zright)circ A}

así que queda por demostrar que

{displaystyle left(Phi _{Z}zright)circ A=Phi _{H}left(A^{*}zright).}

hin H

entonces

{displaystyle left(left(Phi _{Z}zright)circ Aright)h=left(Phi _{Z}zright)(Ah)=langle zmid Ahrangle _{Z}=langle A^{*}zmid hrangle _{H}=left(Phi _{H}(A^{*}z)right)h,}

como se desee.

blacksquare

Alternativamente, el valor de los lados izquierdo y derecho de (Adjoint-transpose) en cualquier dado ${displaystyle zin Z}$ puede ser reescrito en términos de los productos internos como:

{displaystyle left({}^{t}A~circ ~Phi _{Z}right)z=langle zmid A(cdot)rangle _{Z}quad {text{ and }}quad left(Phi _{H}~circ ~A^{*}right)z=langle A^{*}zmid cdot ,rangle _{H}}

{displaystyle {}^{t}A~circ ~Phi _{Z}~=~Phi _{H}~circ ~A^{*}}

{displaystyle langle zmid A(cdot)rangle _{Z}=langle A^{*}zmid cdot ,rangle _{H}}

{displaystyle A^{*}z.}

{displaystyle A^{*}z}

{displaystyle langle zmid A~=~langle A^{*}zmid }

Descripciones de operadores autoadjuntos, normales y unitarios

Assume ${displaystyle Z=H}$ y dejar ${displaystyle Phi:=Phi _{H}=Phi _{Z}.}$ Vamos ${displaystyle A:Hto H}$ ser un operador lineal continuo (es decir, vinculado).

Ya sea o no ${displaystyle A:Hto H}$ es autoadjunto, normal o unitario depende completamente de si $A$ satisface ciertas condiciones de definición relacionadas con su unión, que fue mostrado por (Adjoint-transpose) para ser esencialmente sólo la transposición ${displaystyle {}^{t}A:H^{*}to H^{*}.}$ Porque la transposición de $A$ es un mapa entre funcionales lineales continuos, estas condiciones de definición pueden ser reexpresadas completamente en términos de funcionalidades lineales, ya que el resto de subsección ahora describirá en detalle. Las funcionalidades lineales que están implicadas son las funcionalidades lineales continuas más simples posibles en $H$ que se puede definir completamente en términos de $A,$ el producto interior ${displaystyle langle ,cdot mid cdot ,rangle }$ on $H,$ y algunos vectores dados ${displaystyle hin H.}$ Específicamente, estos son ${displaystyle leftlangle Ahmid cdot ,rightrangle }$ y ${displaystyle langle hmid A(cdot)rangle }$ Donde

{displaystyle leftlangle Ahmid cdot ,rightrangle =Phi (Ah)=(Phi circ A)hquad {text{ and }}quad langle hmid A(cdot)rangle =left({}^{t}Acirc Phi right)h.}

Operadores autoadjuntos

Un operador lineal continuo ${displaystyle A:Hto H}$ se llama auto-adjunto es igual a su propia unión; es decir, si ${displaystyle A=A^{*}.}$ Uso (Adjoint-transpose), esto sucede si y sólo si:

{displaystyle Phi circ A={}^{t}Acirc Phi }

{displaystyle A=Phi ^{-1}circ {}^{t}Acirc Phi quad {text{ or }}quad {}^{t}A=Phi circ Acirc Phi ^{-1}.}

La notación y las definiciones de desenlace produce la siguiente caracterización de los operadores autónomos en términos de las funciones lineales anteriores: $A$ es auto-adjunto si y sólo si para todos ${displaystyle zin H,}$ el funcional lineal ${displaystyle langle zmid A(cdot)rangle }$ es igual al funcional lineal ${displaystyle langle Azmid cdot ,rangle }$ ; es decir, si y solamente si

{displaystyle langle zmid A(cdot)rangle =langle Azmid cdot ,rangle quad {text{ for all }}zin H}

()Funcionalidades de autoadjunción)

donde si se usa la notación bra-ket, esto es

{displaystyle langle zmid A~=~langle Azmid quad {text{ for all }}zin H.}

Operadores normales

Un operador lineal continuo ${displaystyle A:Hto H}$ se llama normal si ${displaystyle AA^{*}=A^{*}A,}$ que sucede si y sólo si para todos ${displaystyle z,hin H,}$

{displaystyle leftlangle AA^{*}zmid hrightrangle =leftlangle A^{*}Azmid hrightrangle.}

Uso (Adjoint-transpose) y notación y definiciones de desenlace produce la siguiente caracterización de los operadores normales en términos de productos internos de las funciones lineales continuas: $A$ es un operador normal si y sólo si

{displaystyle leftlangle ,langle Ahmid cdot ,rangle mid langle Azmid cdot ,rangle ,rightrangle _{H^{*}}~=~leftlangle ,langle h|A(cdot)rangle mid langle zmid A(cdot)rangle ,rightrangle _{H^{*}}quad {text{ for all }}z,hin H}

()Funcionalidades de normalidad)

donde el lado izquierdo es igual a ${displaystyle {overline {langle Ahmid Azrangle }}_{H}=langle Azmid Ahrangle _{H}.}$ El lado izquierdo de esta caracterización implica sólo funcionales lineales de la forma ${displaystyle langle Ahmid cdot ,rangle }$ mientras que el lado derecho implica sólo funciones lineales de la forma ${displaystyle langle hmid A(cdot)rangle }$ (definido como arriba). Así que en inglés claro, caracterización (Funcionalidades de normalidadDice que un operador es normal cuando el producto interior de cualquier dos funciones lineales de la primera forma es igual al producto interior de su segunda forma (utilizando los mismos vectores) ${displaystyle z,hin H}$ para ambas formas). En otras palabras, si sucede que es el caso (y cuando $A$ es inyectable, es) que la asignación de funcionalidades lineales ${displaystyle langle Ahmid cdot ,rangle ~mapsto ~langle h|A(cdot)rangle }$ está bien definido (o alternativamente, si ${displaystyle langle h|A(cdot)rangle ~mapsto ~langle Ahmid cdot ,rangle }$ es bien definido) donde $h$ rangos sobre $H,$ entonces $A$ es un operador normal si y sólo si esta asignación preserva el producto interno en ${displaystyle H^{*}.}$

El hecho de que todo autoadjunto operador lineal es normal sigue fácilmente por sustitución directa ${displaystyle A^{*}=A}$ en cualquier lado ${displaystyle A^{*}A=AA^{*}.}$ Este mismo hecho también se deriva inmediatamente de la sustitución directa de las igualdades (Funcionalidades de autoadjunción) en cada lado de (Funcionalidades de normalidad).

Alternativamente, para un espacio complejo Hilbert, el operador lineal continuo $A$ es un operador normal si y sólo si ${displaystyle |Az|=left|A^{*}zright|}$ para todos ${displaystyle zin H,}$ que sucede si

{displaystyle |Az|_{H}=|langle z,|,A(cdot)rangle |_{H^{*}}quad {text{ for every }}zin H.}

Operadores unitarios

Un operador lineal invertido ${displaystyle A:Hto H}$ se dice que es unitario si su inverso es su unión: ${displaystyle A^{-1}=A^{*}.}$ Al utilizar (Adjoint-transpose), esto se ve equivalente a ${displaystyle Phi circ A^{-1}={}^{t}Acirc Phi.}$ Desentrañando notación y definiciones, sigue que $A$ es unitario si y sólo si

{displaystyle langle A^{-1}zmid cdot ,rangle =langle zmid A(cdot)rangle quad {text{ for all }}zin H.}

El hecho de que un operador lineal invertido ${displaystyle A:Hto H}$ es unitario si y sólo si ${displaystyle A^{*}A=operatorname {Id} _{H}}$ (o equivalentemente, ${displaystyle {}^{t}Acirc Phi circ A=Phi }$ ) produce otra caracterización (bien conocida): un mapa lineal invertido $A$ es unitario si y sólo si

{displaystyle langle Azmid A(cdot),rangle =langle zmid cdot ,rangle quad {text{ for all }}zin H.}

Porque... ${displaystyle A:Hto H}$ es invertible (y así en particular una bijeción), esto también es cierto de la transposición ${displaystyle {}^{t}A:H^{*}to H^{*}.}$ Este hecho también permite el vector ${displaystyle zin H}$ en las caracterizaciones anteriores que se sustituirán por ${displaystyle Az}$ o ${displaystyle A^{-1}z,}$ produciendo así muchas más igualdades. Análogamente, ${displaystyle ,cdot ,}$ puede ser reemplazado por $A(cdot)$ o ${displaystyle A^{-1}(cdot).}$

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