Teorema de ptolomeo

En geometría euclidiana, el teorema de Ptolomeo es una relación entre los cuatro lados y dos diagonales de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran en un círculo común). El teorema lleva el nombre del astrónomo y matemático griego Ptolomeo (Claudius Ptolemaeus). Ptolomeo utilizó el teorema como ayuda para crear su tabla de cuerdas, una tabla trigonométrica que aplicó a la astronomía.

Si los vértices del cuadrilátero cíclico son A, B, C y D en orden, entonces el teorema establece que:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}$

Esta relación puede expresarse verbalmente de la siguiente manera:

Si un cuadrilátero es cíclico entonces el producto de las longitudes de sus diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de los pares de lados opuestos.

Además, lo inverso del teorema de Ptolomeo también es cierto:

En un cuadrilátero, si la suma de los productos de las longitudes de sus dos pares de lados opuestos es igual al producto de las longitudes de sus diagonales, entonces el cuadrilátero puede ser inscrito en un círculo es decir, es un cuadrilátero cíclico.

Corolarios de polígonos inscritos

Triángulo equilátero

El teorema de Ptolemy produce como corolario un teorema bonito con respecto a un triángulo equilátero inscrito en un círculo.

Dado Un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia y un punto en la circunferencia.

La distancia del punto al vértice más distante del triángulo es la suma de las distancias del punto a los dos vértices más cercanos.

Demostración: Se sigue inmediatamente del teorema de Ptolomeo:

${\displaystyle qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.}$

Cuadrado

Cualquier cuadrado puede ser inscrito en un círculo cuyo centro es el centro de la plaza. Si la longitud común de sus cuatro lados es igual a ${\displaystyle a}$ entonces la longitud de la diagonal es igual a ${\displaystyle a{\sqrt {2}}$ según el teorema pitagórico, y la relación de Ptolomeo obviamente sostiene.

Rectángulo

De manera más general, si el cuadrilátero es un rectángulo con lados a y b y diagonal d, entonces el teorema de Ptolomeo se reduce al teorema de Pitágoras. En este caso el centro del círculo coincide con el punto de intersección de las diagonales. El producto de las diagonales es entonces d², el lado derecho de la relación de Ptolomeo es la suma a² + b².

Copérnico, que utilizó ampliamente el teorema de Ptolomeo en su trabajo trigonométrico, se refiere a este resultado como un 'porismo' o corolario evidente por sí mismo:

Además está claro (manifestum est) que cuando el acorde subtending un arco se ha dado, ese acorde también se puede encontrar que subtend el resto del semicírculo.

Pentágono

Un ejemplo más interesante es la relación entre la longitud a del lado y la longitud (común) b de las 5 cuerdas en un pentágono regular. Al completar el cuadrado, la relación produce la proporción áurea:

${\displaystyle {\begin{rl}b\cdot b\,\;\;\qquad \qquad = ventaja\!\!\!\!\cdot \!a+a\!\cdot \!b\b^{2}\;\;\;-ab\quad\qquad = âTMa\!\!a^{2}\\\\c\c\c\c\c\;\c\c\c\c\c\c\c\c\\c\\c\\\c\\c\c\c\c\\\\\\c\c\c\\c\\\\\c\\\\\\c\\\\\\\c\\c\c\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\ {ab}{a^{2}\;\;\;\;\qquad {\fnMicroc}\\fnMicroc {\fnMicroc}\\fnMicroc} {b}}\right)}{2}-{\frac {b}}+\left({\frac} {1}{2}\right)}{2}= limit\!\!1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\\\\\\left({\frac\frac] {b}{a}-{\frac} {1}{2}\right)}{2}= limit\\!\quad {\frac {5}{4}\\{\frac}\\\fnMic} {b}{a}-{\frac} {1}{2}\;\;\;\;\\;\cH00\! {\fnMicroc} {5}{2}\\\\\\fnMicroc {b} {a} {0}\,\Rightarrow \,\varphi ={\frac {b} {a}= âTMa\!\fnMicroc {1+{\sqrt {}} {2}\end{array}}} {}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}}}} {\fn}}}} {\fn}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}\end {\end {\d}}}}}}}}} {\end {}}}}}}}}}}}}} {\end {\end {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\end {}}}}}}}}} {\end {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\end {\end {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Lado de decagon

Si ahora se dibuja el diámetro AF que divide a DC de modo que DF y CF sean lados c de un decágono inscrito, se puede aplicar nuevamente el teorema de Ptolomeo, esta vez al cuadrilátero cíclico ADFC con diámetro d como una de sus diagonales:

${\displaystyle ad=2bc}$

${\displaystyle \Rightarrow ad=2\varphi ac}$ Donde ${\displaystyle \varphi }$ es la relación de oro.

${\displaystyle \Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}$

de donde se obtiene el lado del decágono inscrito en términos del diámetro del círculo. El teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo AFD produce "b" en términos de diámetro y "a" el lado del pentágono se calcula posteriormente como

${\displaystyle a={\frac {b}}=b\left(\varphi -1\right). }$

Como escribió Copérnico (siguiendo a Ptolomeo):

"El diámetro de un círculo que se da, los lados del triángulo, tetragon, pentágono, hexágono y decagón, que el mismo círculo circunscribe, también se dan."

Pruebas

Prueba visual

La animación aquí muestra una demostración visual del teorema de Ptolomeo, basado en las teorías de Derrick & Herstein (2012).

Demostración por semejanza de triángulos

Sea ABCD un cuadrilátero cíclico. En la cuerda BC, los ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB. Construya K en AC tal que ∠ABK = ∠CBD; ya que ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.

Ahora, según ángulos comunes △ABK es similar a △DBC, y de la misma manera △ABD es similar a △KBC. Así, AK/AB = CD/BD y CK/BC = DA/BD; de manera equivalente, AK⋅BD = AB⋅CD y CK⋅BD = BC⋅DA. Sumando dos igualdades tenemos AK⋅BD + CK⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, y factorizando esto da (AK+CK)·BD = AB⋅CD + BC⋅DA. Pero AK+CK = AC, entonces AC⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, Q.E.D.

La demostración tal como está escrita sólo es válida para cuadriláteros cíclicos simples. Si el cuadrilátero se cruza a sí mismo, entonces K estará ubicado fuera del segmento de línea AC. Pero en este caso, AK−CK = ±AC, dando el resultado esperado.

Demostración por identidades trigonométricas

Deje que los ángulos inscritos subtended por ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC!$ y ${\displaystyle CD}$ ser, respectivamente, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ y ${\displaystyle \gamma }$, y el radio del círculo ser ${\displaystyle R.$, entonces tenemos ${\displaystyle AB=2R\sin \alpha }$, ${\displaystyle BC=2R\sin \beta }$, ${\displaystyle CD=2R\sin \gamma }$, ${\displaystyle AD=2R\sin(180^{\circ }-(\alpha +\beta +\gamma)}$, ${\displaystyle AC=2R\sin(\alpha +\beta)}$ y ${\displaystyle BD=2R\sin(\beta +\gamma)}$, y la igualdad original a ser probada se transforma en

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta)\sin(\beta +\gamma)=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma)}$

de la cual el factor ${\displaystyle 4R^{2}$ ha desaparecido dividiendo ambos lados de la ecuación por ella.

Ahora usando la fórmula de la suma, ${\displaystyle \sin(x+y)=\sin {x}\cos y+\cos x\sin y}$ y ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$, es trivial mostrar que ambos lados de la ecuación anterior son iguales a

${\displaystyle {\begin{aligned} limit\sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma \\+{} \cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma. {\fnK}}$

Q.E.D.

Aquí hay otra prueba, quizás más transparente, usando trigonometría rudimentaria. Definir un nuevo cuadrilátero ${\displaystyle ABCD}$ inscrito en el mismo círculo, donde ${\displaystyle A,B,C}$ son los mismos como en ${\displaystyle ABCD}$, y ${\displaystyle D'$, tumbado en el mismo acorde ${\displaystyle D}$, se define por ${\fnMicrosoft Sans Serif}Principalmente {\fnK}tuvos$, ${\fnMicrosoft Sans Serif}$. Entonces, ${\displaystyle ABCD}$ tiene los mismos bordes longitudes, y consecuentemente los mismos ángulos inscritos subtended por los bordes correspondientes, como ${\displaystyle ABCD}$, sólo en un orden diferente. Eso es, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ y ${\displaystyle \gamma }$, para, respectivamente, ${\displaystyle AB,BC}$ y ${\displaystyle AD'}$. También, ${\displaystyle ABCD}$ y ${\displaystyle ABCD}$ tienen la misma zona. Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Área} (ABCD) {1}{2}AC\cdot BD\cdot \sin(\alpha +\gamma);\\\mathrm {Area} (ABCD') Alguien={2}}AB\cdot AD'\cdot \sin(180^{\circ }-\alpha -\gamma)+{2}BC\cdot CD'\cdot \sin(\alpha +\gamma)\\\cdot {1}{2}}(AB\cdot CD+BC\cdot AD)\cdot \sin(\alpha +\gamma).\end{aligned}}}$

Q.E.D.

Demostración por inversión

Elija un círculo auxiliar ${\displaystyle "Gamma"$ de radio ${\displaystyle r}$ centrado en D respecto al cual se invierte el círculo de ABCD en una línea (ver figura). Entonces... ${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'}$Entonces... ${\displaystyle A'B', B'C'}$ y ${\displaystyle A'C}$ se puede expresar como ${\fnMicroc} {AB\cdot DB'} {DA}}$, ${\fnMicroc} {BC\cdot DB} {DC}}$ y ${\fnMicroc} {AC\cdot DC} {DA}}}$ respectivamente. Multiplicar cada término por ${\fnMicroc} {DA\cdot DC}{DB}}$ y uso ${\fnMicroc} {DC}{DB}={\frac {DB}{DC}}$ rendimientos La igualdad de Ptolemy.

Q.E.D.

Tenga en cuenta que si el cuadrilátero no es cíclico entonces A', B' y C' forman un triángulo y por lo tanto A'B'+B'C' > A'C', dándonos una prueba muy simple de la desigualdad de Ptolomeo que se presenta a continuación.

Demostración usando números complejos

ABCD incrustado ${\displaystyle \mathbb}$ identificando ${\displaystyle A\mapsto z_{A},\ldots D\mapsto z_{D}$ como cuatro puntos distintos ${\displaystyle z_{A},\ldotsz_{D}\in \mathbb {C}$. Definir la relación cruzada

${\displaystyle \zeta:={\frac {(z_{A}-z_{B}(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C}}}\in)}\in \mathbb {C} _{\neq .$.

Entonces...

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}\cdot {\fnMicrosoft Sans Serif} (z_{B}-z_{C})\right sobrevivir\\\fnMicrosoft(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D}) (z_{B}-z_{C})\derecha suya\\\\\cH00=\left sometida(z_{A}-z_{B}-z_{D})\derechactar\\\=\left perpetuaz_{A}-z_{C}\derecha perpetua_{B}-z_{D}\derechoso}\derech\derech\dese\dese\dese\de\dese\dese\dese\dese\dese\dese\dese\deseahora\dese] {C}\cdot {\fnK}\end{aligned}}} {\cdot {\cdot} {\fn}\cdot {\fn} {\cdot}\cdot {\fn}\cdot {\cdot {\cdot}\cdot {\cdot}\cdot}\cdot}\cdot {\cdot}\cdot {\cdot}\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}\cdot {\cdot {\cdot}\cdot}\cdot}\cdot {\cdot}\cdot {\cdot}\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}\cdot}\cdot}\cdot}\cdot {\cdot$

con igualdad si ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} _{}0}$. Esto demuestra la desigualdad de Ptolomeo generalmente, ya que sigue siendo sólo para demostrar que ${\displaystyle z_{A},\ldotsz_{D}$ miente consecutivamente arreglado en un círculo (posiblemente de radio infinito, es decir, una línea) en ${\displaystyle \mathbb}$ si ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} _{}0}$.

De la forma polar de un número complejo ${\displaystyle z=\vert z\vert e^{i\arg(z)}$, sigue

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\cH} {\cHFF} {\c}}}} {\cHFF} {\c\cHFF}}} {\c\c\c\c\cHFF}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\cHFFFF}\c\c\c\c\c\cHFF}}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\cHFFFF}}}}\cHFF} {\c\c\c\c\cHFF}\cHFF}}\cHFF}}}\cHFF}\c\cHFF}\c\cHFF}}\c\c\c }\\\\\\fnMicrosoft Sans (z_{C}-z_{B})-\arg(z_{A}-z_{B})\right]-\left[\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{D})\right]-\g(-1){\pmod {2\pi #\pmod {2\pi }\\\\=0\end{aligned}}$

con la última igualdad si y sólo si ABCD es cíclico, ya que un cuadrilátero es cíclico si y sólo si ángulos opuestos suma a ${\displaystyle \pi}$.

Q.E.D.

Tenga en cuenta que esta prueba se hace equivalentemente observando que la ciclicidad de ABCD, es decir, la suplementaridad ${\displaystyle \angle ABC}$ y ${\displaystyle \angle CDA}$, es equivalente a la condición

${\displaystyle \arg \left[(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right]=\g \left[(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right]=\arg \left[(z_{A}-z_{C}) (z_{B}-z_{D} {\pmod {2\pi}}$;

en particular hay una rotación ${\displaystyle \mathbb}$ en que ${\displaystyle \arg }$ es 0 (es decir, los tres productos son números reales positivos), y por el cual la teorema de Ptolemy

${\displaystyle {\fnK}\cdot {\cdot {\cdot}={\cdot {\cdot}}\cdot {\cdot {\cdot}\cdot {\overline {BD}}}} {\cdot}}} {\cdot {\cdot}}} {\cdot {\cdot}}} {\cdot}}} {\cdot {\cdot}}}} {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot$

es entonces directamente establecido desde la simple identidad algebraica

${\displaystyle (z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})=(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D}).$

Corolarios

En el caso de un círculo de diámetro de la unidad los lados ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ de cualquier cuadrilátero cíclico ABCD son numéricamente iguales a los pecados de los ángulos ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta ¿Qué?$ y ${\displaystyle \theta ¿Qué?$ que subtenen. Del mismo modo las diagonales son iguales al pecado de la suma de la cual par de ángulos que sostienen. Podemos escribir el teorema de Ptolemy en la siguiente forma trigonométrica:

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4}}}$

Aplicar ciertas condiciones a los ángulos subtended ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta ¿Qué?$ y ${\displaystyle \theta ¿Qué?$ es posible derivar una serie de importantes corolarios usando lo anterior como nuestro punto de partida. En lo que sigue es importante tener en cuenta que la suma de los ángulos ${\displaystyle \theta ¿Qué? ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$.

Corollary 1. Teorema de Pitágoras

Vamos. ${\displaystyle \theta ♪ {1}=\theta ¿Qué?$ y ${\displaystyle \theta ¿Qué? ¿Qué?$. Entonces... ${\displaystyle \theta ¿Qué? ## {2}=\theta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$(ya que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son complementarios). Entonces:

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta ¿Por qué? _{1}+\theta _{2}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta ¿Por qué? ¿Qué?$

Corollary 2. La ley de los cosines

Vamos. ${\displaystyle \theta ¿Qué? ¿Qué?$. El rectángulo del corolario 1 es ahora un trapecio simétrico con igual diagonal y un par de lados iguales. Los lados paralelos difieren en longitud por ${\displaystyle 2x}$ Unidades donde:

${\displaystyle x=S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3}}$

En este caso será más fácil volver al enunciado estándar del teorema de Ptolomeo:

${\displaystyle {\begin{lcl}S_{1}+S_{2}S_{4}={\overline {C}\cdot {\fnMicrosoft}\\\\\\fnMicrosoft}\\\\\\\\cH33}\\\\cH0}\\\\cH0}\cH0}\cdot {\cH0}\cdot}\cdot {\cdot}\cdot}\cdot}\cdot}\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}\cdot {\cdot {\cdot}\cdot {\cdot}\c}\cdot {\cdot}\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}\cdot}\cdot {\cdot {\cdot {\c} Derecho - Sí. Rightarrow S_{1} [S_{1}-2S_{2}\cos(\theta] ¿Qué? ¿Qué? Derecho {S_{1}} {2}+{2}} {2}-2S_{1}S_{2}\cos(\theta) ¿Qué? {\fnMicrosoft Sans Serif}$

La regla cosina para el triángulo ABC.

Corolario 3. Seno del ángulo compuesto (+)

Dejar

${\displaystyle \theta ¿Qué? ## {2}=\theta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? }$

Entonces

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta ## {2}\cos \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\times 1}$

Fórmula para el ángulo compuesto seno (+).

Corolario 4. Seno del ángulo compuesto (-)

Vamos. ${\displaystyle \theta ¿Qué?$. Entonces... ${\displaystyle \theta _{2}+(\theta) ################################################################################################################################################################################################################################################################ - Sí.$. Por lo tanto,

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4}}}$

${\displaystyle \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta) _{3}+\theta _{2})\cos \theta ¿Qué?$

${\displaystyle \sin \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\sin \theta ¿Qué?$

Fórmula para el seno del ángulo compuesto ().

Esta derivación corresponde al Tercer Teorema según lo narra Copérnico después de Ptolomeo en Almagesto. En particular, si se dan los lados de un pentágono (que subtiende 36° en la circunferencia) y de un hexágono (que subtiende 30° en la circunferencia), se puede calcular una cuerda que subtiende 6°. Este fue un paso crítico en el antiguo método de calcular tablas de acordes.

Corolario 5. Coseno del ángulo compuesto (+)

Este corolario es el núcleo del Quinto Teorema relatado por Copérnico siguiendo a Ptolomeo en Almagesto.

Vamos. ${\displaystyle \theta ¿Qué?$. Entonces... ${\displaystyle \theta _{1}+(\theta _{2}+\theta ¿Qué? }$. Por lo tanto

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4}}}$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\cos \theta _{2}\cos \theta ¿Qué?$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\sin \theta ¿Qué?$

Fórmula para el coseno del ángulo compuesto (+)

A pesar de carecer de la destreza de nuestra notación trigonométrica moderna, de los corolarios anteriores debería quedar claro que en el teorema de Ptolomeo (o más simplemente el Segundo Teorema) el mundo antiguo tenía a su disposición una notación trigonométrica extremadamente flexible y poderosa. herramienta que permitió a los conocedores de aquellos tiempos elaborar tablas de cuerdas precisas (correspondientes a tablas de senos) y utilizarlas en sus intentos de comprender y mapear el cosmos tal como lo veían. Dado que Hiparco elaboró tablas de cuerdas tres siglos antes que Ptolomeo, debemos suponer que conocía el "Segundo Teorema"; y sus derivados. Siguiendo la pista de los antiguos astrónomos, la historia registra el catálogo de estrellas de Timocharis de Alejandría. Si, como parece probable, la compilación de tales catálogos requirió la comprensión del “Segundo Teorema”; luego, los verdaderos orígenes de este último desaparecen en las nieblas de la antigüedad, pero no puede ser descabellado suponer que los astrónomos, arquitectos e ingenieros de construcción del antiguo Egipto pudieron haber tenido algún conocimiento de ello.

La desigualdad de Ptolomeo

La ecuación del teorema de Ptolomeo nunca es cierta con cuadriláteros no cíclicos. La desigualdad de Ptolomeo es una extensión de este hecho y es una forma más general del teorema de Ptolomeo. Afirma que, dado un cuadrilátero ABCD, entonces

${\displaystyle {\fnK}\cdot {\fnMicrosoft}+{\fnMicrosoft} {C}\cdot {\cdot}\gq {\cdot}\cdot {\cdot} {\cdot}}}}$

donde la igualdad se cumple si y sólo si el cuadrilátero es cíclico. Este caso especial es equivalente al teorema de Ptolomeo.

Teorema relacionado sobre la razón de las diagonales

El teorema de Ptolomeo da el producto de las diagonales (de un cuadrilátero cíclico) conociendo los lados, el siguiente teorema arroja lo mismo para la razón de las diagonales.

${\displaystyle {\frac {\fnK}}={\frac} {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}$

Prueba: Se sabe que el área de un triángulo ${\displaystyle ABC}$ inscrito en un círculo de diámetro ${\displaystyle R.$ es: ${\fnMicroc}= {\fnMicroc} {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}$

Escribiendo el área del cuadrilátero como suma de dos triángulos que comparten el mismo círculo circunscrito, obtenemos dos relaciones para cada descomposición.

${\displaystyle {\Mathcal {\fnK} {\fnMicroc}}={\fnMicroc} {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}+{\frac {CD\cdot DA\cdot ¿Qué? {AC\cdot (AB\cdot BC+CD\cdot DA)}{4R}$

${\displaystyle {\Mathcal {\fnK} {\fnMicroc}}={\fnMicroc} {AB\cdot BD\cdot DA}{4R}+{\frac {BC\cdot CD\cdot DB}{4R}={\frac {BD\cdot (AB\cdot DA+BC\cdot CD)}{4R}}$

Ecuando, obtenemos la fórmula anunciada.

Consecuencia: Conociendo tanto el producto como la razón de las diagonales, deducimos sus expresiones inmediatas:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2} BD\cdot {\frac}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}\[8pt]BD^{2} {C\cdot BD} {\fnK}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac] {AB\cdot BC+DA\cdot CD} {AB\cdot DA+BC\cdot CD}\end{aligned}}$