Teorema de Plancherel

En matemáticas, la Plancherel teorem (a veces llamada la identidad Parseval-Plancherel) es un resultado en el análisis armónico, probado por Michel Plancherel en 1910. Declara que la parte integral del módulo cuadrado de una función es igual a la integral del módulo cuadrado de su espectro de frecuencias. Eso es, si f()x){displaystyle f(x)} es una función en la línea real, y f^ ^ ().. ){displaystyle {widehat {f}(xi)} es su espectro de frecuencia, entonces

Una formulación más precisa es que si una función está en ambos espacios Lp L1()R){displaystyle L^{1}(mathbb {R})} y L2()R){displaystyle L^{2}(mathbb {R})}, entonces su La transformación de Fourier está en L2()R){displaystyle L^{2}(mathbb {R})}, y el mapa de transformación Fourier es una isometría con respecto al L² norma. Esto implica que el mapa de transformación Fourier está restringido a L1()R)∩ ∩ L2()R){displaystyle L^{1}(mathbb {R})cap L^{2}(mathbb {R})} tiene una extensión única a un mapa isométrico lineal L2()R)↦ ↦ L2()R){displaystyle L^{2}(mathbb {R})mapsto L^{2}(mathbb {R})}, a veces llamado la transformación del Plancherel. Esta isometría es en realidad un mapa unitario. En efecto, esto permite hablar de transformaciones Fourier de funciones cuadráticas integradoras.

El teorema de Plancherel sigue siendo válido como se indica en n-dimensional Espacio euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}. El teorema también tiene más generalmente en grupos abelianos compactos localmente. También hay una versión del teorema de Plancherel que tiene sentido para grupos locales no conmutativos que satisfacen ciertas hipótesis técnicas. Este es el tema del análisis armónico no conmutativo.

La unitaridad de la transformada de Fourier a menudo se denomina teorema de Parseval en los campos de la ciencia y la ingeniería, basándose en un resultado anterior (pero menos general) que se utilizó para demostrar la unitaridad de la serie de Fourier.

Debido a la identidad de polarización, también se puede aplicar Teorema de Plancherel al L2()R){displaystyle L^{2}(mathbb {R})} producto interno de dos funciones. Eso es, si f()x){displaystyle f(x)} y g()x){displaystyle g(x)} dos L2()R){displaystyle L^{2}(mathbb {R})} funciones y P{displaystyle {fncipal}} denota la transformación del Plancherel, entonces

∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()x)g()x)̄ ̄ dx=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO ()Pf)().. )()Pg)().. )̄ ̄ d.. ,{fnMicrosoft Sans Serif},dx=int _{-infty } {infty }({infty } {infty }({infty } {mthcal {}f) {xi){mthcal {m} {m}g} {f}cH0}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}

f()x){displaystyle f(x)}

g()x){displaystyle g(x)}

L1()R){displaystyle L^{1}(mathbb {R})}

()Pf)().. )=f^ ^ ().. )=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()x)e− − 2π π i.. xdx,{fnMicrosoft Sans Serif}(xi)={widehat {f}(xi)=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-2pi ixi x}dx,}

()Pg)().. )=g^ ^ ().. )=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO g()x)e− − 2π π i.. xdx,{fnMicrosoft Sans Serif}(xi)= {fnMicrosoft Sans Serif}(xi)=int _{-infty }{infty }g(x)e^{-2pi ixi x}dx,}