Teorema de Pitágoras

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En matemáticas, el teorema de Pitágoras, o teorema pitagórico, es una relación fundamental en la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Establece que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados. Este teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona las longitudes de los catetos a, b y la hipotenusa c, a menudo llamada ecuación de Pitágoras: $a^{2}+b^{2}=c^{2},$

El teorema lleva el nombre del filósofo griego Pitágoras, nacido alrededor del año 570 a. El teorema ha sido demostrado numerosas veces por muchos métodos diferentes, posiblemente la mayor cantidad de cualquier teorema matemático. Las pruebas son diversas, incluidas pruebas geométricas y pruebas algebraicas, y algunas se remontan a miles de años.

El teorema se puede generalizar de varias maneras: a espacios de dimensiones superiores, a espacios que no son euclidianos, a objetos que no son triángulos rectángulos y a objetos que no son triángulos en absoluto sino sólidos de n dimensiones. El teorema de Pitágoras ha atraído el interés fuera de las matemáticas como símbolo de abstrusismo matemático, mística o poder intelectual; Abundan las referencias populares en literatura, obras de teatro, musicales, canciones, sellos y caricaturas.

Otras formas del teorema

Si c denota la longitud de la hipotenusa y a y b denotan las dos longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, entonces el teorema de Pitágoras se puede expresar como la ecuación de Pitágoras: ${ estilo de visualización a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Si solo se conocen las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo pero no la hipotenusa, entonces la longitud de la hipotenusa se puede calcular con la ecuación ${displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Si se conoce la longitud de la hipotenusa y de un cateto, entonces la longitud del otro cateto se puede calcular como ${displaystyle a={sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

o ${displaystyle b={sqrt {c^{2}-a^{2}}}.}$

Una generalización de este teorema es la ley de los cosenos, que permite calcular la longitud de cualquier lado de cualquier triángulo, dadas las longitudes de los otros dos lados y el ángulo entre ellos. Si el ángulo entre los otros lados es un ángulo recto, la ley de los cosenos se reduce a la ecuación de Pitágoras.

Pruebas utilizando cuadrados construidos

Pruebas de reordenamiento

En una prueba de reordenamiento, se usan dos cuadrados cuyos lados miden $a+b$ y que contienen cuatro triángulos rectángulos cuyos lados son a, b y c, siendo c la hipotenusa. En el primer cuadrado, los triángulos se colocan de manera que las esquinas del cuadrado correspondan a las esquinas del ángulo recto en los triángulos, formando un cuadrado en el centro cuyos lados miden c. Cada cuadrado tiene un área de ambos ${ estilo de visualización (a + b) ^ {2}}$ y ${ estilo de visualización 2ab + c ^ {2}}$ , con $2ab$ representando el área de los cuatro triángulos. En el segundo cuadrado, los 4 triángulos se forman en dos rectángulos con lados de longitud a y b y se colocan de manera que se forme un cuadrado de lado de longitud a en una esquina y un cuadrado de b en la otra. El segundo cuadrado tendrá un área de ${ estilo de visualización (a + b) ^ {2}}$ y ${displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$ . Como ambos cuadrados tienen el área de ${ estilo de visualización (a + b) ^ {2}}$ se sigue que las otras medidas del área cuadrada también son iguales entre sí tal que ${ estilo de visualización 2ab + c ^ {2}}$ = ${displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$ . Con el área de los cuatro triángulos eliminados de ambos lados de la ecuación, lo que queda es ${ estilo de visualización a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

En otra prueba, los rectángulos en el segundo cuadro también se pueden colocar de manera que ambos tengan una esquina que corresponda a las esquinas consecutivas del cuadrado. De esta forma también forman dos cajas, esta vez en esquinas consecutivas, con áreas ${ estilo de visualización a^{2}}$ y ${ estilo de visualización b ^ {2}}$ que darán lugar nuevamente a un segundo cuadrado con área ${displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$ .

El matemático inglés Sir Thomas Heath da esta prueba en su comentario sobre la Proposición I.47 en los Elementos de Euclides y menciona las propuestas de los matemáticos alemanes Carl Anton Bretschneider y Hermann Hankel de que Pitágoras pudo haber conocido esta prueba. El mismo Heath está a favor de una propuesta diferente para una prueba pitagórica, pero reconoce desde el comienzo de su discusión "que la literatura griega que poseemos perteneciente a los primeros cinco siglos después de Pitágoras no contiene ninguna declaración que le especifique este o cualquier otro gran descubrimiento geométrico en particular. " Los estudios recientes han arrojado dudas cada vez mayores sobre cualquier tipo de papel de Pitágoras como creador de las matemáticas, aunque el debate sobre esto continúa.

Pruebas algebraicas

El teorema se puede probar algebraicamente usando cuatro copias del mismo triángulo dispuestas simétricamente alrededor de un cuadrado de lado c, como se muestra en la parte inferior del diagrama. Esto da como resultado un cuadrado más grande, con lado a + b y área (a + b). Los cuatro triángulos y el cuadrado de lado c deben tener la misma área que el cuadrado mayor, ${displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}$

donación ${displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}$

Una prueba similar usa cuatro copias de un triángulo rectángulo con lados a, b y c, dispuestas dentro de un cuadrado con lado c como en la mitad superior del diagrama. Los triángulos son semejantes con área ${tfrac{1}{2}}ab$ , mientras que el cuadrado pequeño tiene lado b − a y área (b − a). Por lo tanto, el área del cuadrado grande es ${displaystyle (ba)^{2}+4{frac {ab}{2}}=(ba)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a ^{2}+b^{2}.}$

Pero este es un cuadrado de lado c y área c, entonces ${ estilo de visualización c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Otras demostraciones del teorema

Este teorema puede tener más pruebas conocidas que cualquier otro (la ley de reciprocidad cuadrática es otro contendiente para esa distinción); el libro La proposición de Pitágoras contiene 370 pruebas.

Prueba usando triángulos semejantes

Esta prueba se basa en la proporcionalidad de los lados de tres triángulos semejantes, es decir, en el hecho de que la razón de dos lados cualesquiera correspondientes de triángulos semejantes es la misma independientemente del tamaño de los triángulos.

Sea ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo recto ubicado en C, como se muestra en la figura. Dibuje la altura desde el punto C y llame H a su intersección con el lado AB. El punto H divide la longitud de la hipotenusa c en las partes d y e. El nuevo triángulo, ACH, es similar al triángulo ABC, porque ambos tienen un ángulo recto (por definición de la altura) y comparten el ángulo en A, lo que significa que el tercer ángulo también será el mismo en ambos triángulos, marcado como θen la figura. Por un razonamiento similar, el triángulo CBH también es similar a ABC. La prueba de semejanza de los triángulos requiere el postulado del triángulo: La suma de los ángulos de un triángulo es dos ángulos rectos, y es equivalente al postulado de las paralelas. La semejanza de los triángulos conduce a la igualdad de las proporciones de los lados correspondientes: ${displaystyle {frac {BC}{AB}}={frac {BH}{BC}}{text{ y }}{frac {AC}{AB}}={frac {AH}{AC }}.}$

El primer resultado iguala los cosenos de los ángulos θ, mientras que el segundo resultado iguala sus senos.

Estas proporciones se pueden escribir como ${displaystyle BC^{2}=ABveces BH{text{ y }}AC^{2}=ABveces AH.}$

La suma de estas dos igualdades da como resultado ${displaystyle BC^{2}+AC^{2}=ABtimes BH+ABtimes AH=AB(AH+BH)=AB^{2},}$

que, después de la simplificación, demuestra el teorema de Pitágoras: ${displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}.}$

El papel de esta prueba en la historia es objeto de mucha especulación. La pregunta subyacente es por qué Euclides no usó esta prueba, sino que inventó otra. Una conjetura es que la demostración por triángulos similares involucraba una teoría de proporciones, un tema que no se discutió hasta más tarde en los Elementos, y que la teoría de proporciones necesitaba un mayor desarrollo en ese momento.

Prueba de Euclides

En resumen, así es como procede la prueba en los Elementos de Euclides. El cuadrado grande se divide en un rectángulo izquierdo y otro derecho. Se construye un triángulo que tiene la mitad del área del rectángulo izquierdo. Luego se construye otro triángulo que tiene la mitad del área del cuadrado del lado más a la izquierda. Se muestra que estos dos triángulos son congruentes, lo que demuestra que este cuadrado tiene la misma área que el rectángulo de la izquierda. Este argumento es seguido por una versión similar para el rectángulo derecho y el cuadrado restante. Juntando los dos rectángulos para reformar el cuadrado sobre la hipotenusa, su área es igual a la suma del área de los otros dos cuadrados. Los detalles siguen.

Sean A, B, C los vértices de un triángulo rectángulo, con un ángulo recto en A. Coloque una perpendicular desde A al lado opuesto a la hipotenusa en el cuadrado de la hipotenusa. Esa línea divide el cuadrado de la hipotenusa en dos rectángulos, cada uno con la misma área que uno de los dos cuadrados de los catetos.

Para la prueba formal, requerimos cuatro lemas elementales:

Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro, cada uno con cada uno, y los ángulos comprendidos por esos lados son iguales, entonces los triángulos son congruentes (lado-ángulo-lado).
El área de un triángulo es la mitad del área de cualquier paralelogramo que tenga la misma base y la misma altura.
El área de un rectángulo es igual al producto de dos lados adyacentes.
El área de un cuadrado es igual al producto de dos de sus lados (sigue de 3).

A continuación, cada cuadrado superior se relaciona con un triángulo congruente con otro triángulo relacionado a su vez con uno de los dos rectángulos que forman el cuadrado inferior.

La prueba es como sigue:

Sea ACB un triángulo rectángulo con CAB de ángulo recto.
En cada uno de los lados BC, AB y CA se dibujan cuadrados, CBDE, BAGF y ACIH, en ese orden. La construcción de cuadrados requiere los teoremas inmediatamente anteriores de Euclides y depende del postulado de las paralelas.
Desde A, traza una línea paralela a BD y CE. Se cruzará perpendicularmente con BC y DE en K y L, respectivamente.
Une CF y AD, para formar los triángulos BCF y BDA.
Los ángulos CAB y BAG son ambos ángulos rectos; por lo tanto, C, A y G son colineales.
Los ángulos CBD y FBA son ambos ángulos rectos; por lo tanto, el ángulo ABD es igual al ángulo FBC, ya que ambos son la suma de un ángulo recto y un ángulo ABC.
Como AB es igual a FB, BD es igual a BC y el ángulo ABD es igual al ángulo FBC, el triángulo ABD debe ser congruente con el triángulo FBC.
Como AKL es una recta, paralela a BD, entonces el rectángulo BDLK tiene el doble de área que el triángulo ABD porque comparten la base BD y tienen la misma altura BK, es decir, una recta normal a su base común, que une las paralelas BD y ALABAMA. (lema 2)
Dado que C es colineal con A y G, y esta línea es paralela a FB, entonces el cuadrado BAGF debe tener el doble de área que el triángulo FBC.
Por lo tanto, el rectángulo BDLK debe tener la misma área que el cuadrado BAGF = AB.
Al aplicar los pasos 3 a 10 al otro lado de la figura, se puede demostrar de manera similar que el rectángulo CKLE debe tener la misma área que el cuadrado ACIH = AC.
Sumando estos dos resultados, AB + AC = BD × BK + KL × KC
Como BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
Por lo tanto, AB + AC = BC, ya que CBDE es un cuadrado.

Esta demostración, que aparece en los Elementos de Euclides como la de la Proposición 47 del Libro 1, demuestra que el área del cuadrado sobre la hipotenusa es la suma de las áreas de los otros dos cuadrados. Esto es bastante distinto de la prueba por semejanza de triángulos, que se supone que es la prueba que utilizó Pitágoras.

Pruebas por disección y reordenamiento

Otro por reordenamiento está dado por la animación del medio. Se forma un gran cuadrado con área c, a partir de cuatro triángulos rectángulos idénticos con lados a, b y c, colocados alrededor de un pequeño cuadrado central. Luego se forman dos rectángulos de lados a y b moviendo los triángulos. La combinación del cuadrado más pequeño con estos rectángulos produce dos cuadrados de áreas a y b, que deben tener la misma área que el cuadrado grande inicial.

La tercera imagen, más a la derecha, también da una prueba. Los dos cuadrados superiores se dividen como se muestra en el sombreado azul y verde, en piezas que, cuando se reorganizan, se pueden hacer para que encajen en el cuadrado inferior de la hipotenusa o, por el contrario, el cuadrado grande se puede dividir como se muestra en piezas que llenan los otros dos.. Esta forma de cortar una figura en pedazos y reorganizarlos para obtener otra figura se llama disección. Esto muestra que el área del cuadrado grande es igual a la de los dos pequeños.

Demostración de Einstein por disección sin reordenamiento

Albert Einstein dio una prueba por disección en la que no es necesario mover las piezas.En lugar de usar un cuadrado en la hipotenusa y dos cuadrados en los catetos, se puede usar cualquier otra forma que incluya la hipotenusa y dos formas similares que incluyan cada una uno de los dos catetos en lugar de la hipotenusa (ver Figuras similares en los tres lados). En la prueba de Einstein, la forma que incluye la hipotenusa es el propio triángulo rectángulo. La disección consiste en dejar caer una perpendicular desde el vértice del ángulo recto del triángulo hasta la hipotenusa, dividiendo así todo el triángulo en dos partes. Esas dos partes tienen la misma forma que el triángulo rectángulo original, y tienen los catetos del triángulo original como sus hipotenusas, y la suma de sus áreas es la del triángulo original. Como la razón del área de un triángulo rectángulo al cuadrado de su hipotenusa es la misma para triángulos semejantes,

Pruebas algebraicas

Una prueba relacionada fue publicada por el futuro presidente de los EE. UU. James A. Garfield (entonces representante de los EE. UU.) (ver diagrama). En lugar de un cuadrado, utiliza un trapezoide, que se puede construir a partir del cuadrado de la segunda de las demostraciones anteriores mediante la bisección a lo largo de una diagonal del cuadrado interior, para dar el trapezoide como se muestra en el diagrama. El área del trapezoide se puede calcular como la mitad del área del cuadrado, es decir ${frac{1}{2}}(b+a)^{2}.$

El cuadrado interior se reduce a la mitad de manera similar, y solo hay dos triángulos, por lo que la prueba procede como se indicó anteriormente, excepto por un factor de ${ fracción {1}{2}}$ , que se elimina al multiplicar por dos para dar el resultado.

Prueba usando diferenciales

Uno puede llegar al teorema de Pitágoras estudiando cómo los cambios en un lado producen un cambio en la hipotenusa y empleando cálculo.

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo, como se muestra en la parte superior del diagrama, con BC la hipotenusa. Al mismo tiempo se miden las longitudes de los triángulos como se muestra, con la hipotenusa de longitud y, el lado AC de longitud x y el lado AB de longitud a, como se ve en la parte inferior del diagrama.

Si x aumenta en una pequeña cantidad dx extendiendo el lado AC ligeramente hacia D, entonces y también aumenta en dy. Estos forman dos lados de un triángulo, CDE, que (con E elegido para que CE sea perpendicular a la hipotenusa) es un triángulo rectángulo aproximadamente similar a ABC. Por lo tanto, las razones de sus lados deben ser iguales, es decir: ${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {x}{y}}.}$

Esto se puede reescribir como ${displaystyle y,dy=x,dx}$ , que es una ecuación diferencial que se puede resolver por integración directa: ${ estilo de visualización int y , dy = int x , dx ,,}$

donación ${ estilo de visualización y^{2}=x^{2}+C.}$

La constante se puede deducir de x = 0, y = a para dar la ecuación ${displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}$

Esta es una prueba más intuitiva que formal: se puede hacer más rigurosa si se usan límites adecuados en lugar de dx y dy.

Conversar

El inverso del teorema también es cierto:

Para cualesquiera tres números positivos a, b y c tales que a + b = c, existe un triángulo con lados a, b y c, y cada triángulo tiene un ángulo recto entre los lados de longitud a y b.

Una afirmación alternativa es:

Para cualquier triángulo con lados a, b, c, si a + b = c, entonces el ángulo entre a y b mide 90°.

Este recíproco también aparece en los Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48):

"Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes del triángulo, entonces el ángulo contenido por los dos lados restantes del triángulo es recto".

Se puede probar usando la ley de los cosenos o de la siguiente manera:

Sea ABC un triángulo con lados de longitud a, b y c, con a + b = c. Construye un segundo triángulo con lados de longitud a y b que contengan un ángulo recto. Por el teorema de Pitágoras, se sigue que la hipotenusa de este triángulo tiene una longitud c = √ a + b, igual que la hipotenusa del primer triángulo. Dado que los lados de ambos triángulos tienen las mismas longitudes a, b y c, los triángulos son congruentes y deben tener los mismos ángulos. Por lo tanto, el ángulo entre el lado de las longitudes a y b en el triángulo original es un ángulo recto.

La prueba anterior de lo contrario hace uso del propio teorema de Pitágoras. Lo contrario también se puede probar sin asumir el teorema de Pitágoras.

Un corolario del recíproco del teorema de Pitágoras es un medio simple de determinar si un triángulo es rectángulo, obtuso o agudo, de la siguiente manera. Sea c elegido para ser el más largo de los tres lados y a + b > c (de lo contrario, no hay triángulo según la desigualdad del triángulo). Se aplican las siguientes declaraciones:

Si a + b = c, entonces el triángulo es rectángulo.
Si a + b > c, entonces el triángulo es agudo.
Si a + b < c, entonces el triángulo es obtuso.

Edsger W. Dijkstra ha establecido esta proposición sobre triángulos agudos, rectángulos y obtusos en este lenguaje:signo(α + β − γ) = signo(un + segundo − c),

donde α es el ángulo opuesto al lado a, β es el ángulo opuesto al lado b, γ es el ángulo opuesto al lado c, y sgn es la función de signo.

Consecuencias y usos del teorema

Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica tiene tres números enteros positivos a, b y c, tales que a + b = c. En otras palabras, un triple pitagórico representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo donde los tres lados tienen longitudes enteras. Tal tripleta se escribe comúnmente (a, b, c). Algunos ejemplos bien conocidos son (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

Una terna pitagórica primitiva es aquella en la que a, b y c son coprimos (el máximo común divisor de a, b y c es 1).

La siguiente es una lista de ternas pitagóricas primitivas con valores menores a 100:(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Teorema de Pitágoras recíproco

Dado un triángulo rectángulo con lados $a B C$ y altura $d$ (una línea desde el ángulo recto y perpendicular a la hipotenusa $C$ ). El teorema de Pitágoras tiene, ${ estilo de visualización a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

mientras que el teorema de Pitágoras recíproco o el teorema de Pitágoras al revés relaciona las dos patas $a,b$ con la altitud $d$ , ${displaystyle {frac {1}{a^{2}}}+{frac {1}{b^{2}}}={frac {1}{d^{2}}}}$

La ecuación se puede transformar a, ${displaystyle {frac {1}{(xz)^{2}}}+{frac {1}{(yz)^{2}}}={frac {1}{(xy)^{2 }}}}$

donde $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ para cualquier real distinto de cero $x, y, z$ . Si ${ estilo de visualización a, b, d}$ van a ser números enteros, la solución más pequeña b> d}">es entonces ${displaystyle {frac {1}{20^{2}}}+{frac {1}{15^{2}}}={frac {1}{12^{2}}}}$

utilizando la terna pitagórica más pequeña ${ estilo de visualización 3,4,5}$ . El teorema de Pitágoras recíproco es un caso especial de la ecuación óptica ${displaystyle {frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}={frac {1}{r}}}$

donde los denominadores son cuadrados y también para un triángulo heptagonal cuyos lados $p q r$ son números cuadrados.

Longitudes inconmensurables

Una de las consecuencias del teorema de Pitágoras es que los segmentos de línea cuyas longitudes son inconmensurables (por lo que la razón de los cuales no es un número racional) se pueden construir utilizando una regla y un compás. El teorema de Pitágoras permite la construcción de longitudes inconmensurables porque la hipotenusa de un triángulo está relacionada con los lados mediante la operación de raíz cuadrada.

La figura de la derecha muestra cómo construir segmentos de línea cuyas longitudes están en la proporción de la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo. Cada triángulo tiene un lado (etiquetado como "1") que es la unidad de medida elegida. En cada triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras establece la longitud de la hipotenusa en términos de esta unidad. Si una hipotenusa está relacionada con la unidad por la raíz cuadrada de un número entero positivo que no es un cuadrado perfecto, es una realización de una longitud inconmensurable con la unidad, como √ 2, √ 3, √ 5. Para obtener más detalles, consulte Irracional cuadrático.

Las longitudes inconmensurables entraron en conflicto con el concepto de los números de la escuela pitagórica como solo números enteros. La escuela pitagórica se ocupaba de las proporciones por comparación de múltiplos enteros de una subunidad común. Según una leyenda, Hippasus de Metapontum (ca. 470 aC) fue ahogado en el mar por dar a conocer la existencia de lo irracional o inconmensurable.

Números complejos

Para cualquier número complejo $z=x+iy,$

el valor absoluto o módulo viene dado por ${displaystyle r=|z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Entonces, las tres cantidades, r, x e y están relacionadas por la ecuación de Pitágoras, ${displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Tenga en cuenta que r se define como un número positivo o cero, pero x e y pueden ser tanto negativos como positivos. Geométricamente r es la distancia de la z desde cero o el origen O en el plano complejo.

Esto se puede generalizar para encontrar la distancia entre dos puntos, digamos z ₁ y z ₂. La distancia requerida está dada por ${displaystyle |z_{1}-z_{2}|={sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2} }},}$

así que nuevamente están relacionados por una versión de la ecuación de Pitágoras, ${displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}$

Distancia euclidiana

La fórmula de la distancia en coordenadas cartesianas se deriva del teorema de Pitágoras. Si (x ₁, y ₁) y (x ₂, y ₂) son puntos en el plano, entonces la distancia entre ellos, también llamada distancia euclidiana, está dada por ${sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$

Más generalmente, en el espacio n euclidiano, la distancia euclidiana entre dos puntos, $A,=,(a_{1},a_{2},puntos,a_{n})$ y $B,=,(b_{1},b_{2},puntos,b_{n})$ , se define, por generalización del teorema de Pitágoras, como: ${sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+cdots +(a_{n}-b_{n}) ^{2}}}={sqrt {sum_{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Si en lugar de la distancia euclidiana, se usa el cuadrado de este valor (la distancia euclidiana al cuadrado, o SED), la ecuación resultante evita las raíces cuadradas y es simplemente una suma de la SED de las coordenadas: ${displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+cdots +(a_{n}-b_{n})^ {2}=sum_{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}$

La forma cuadrática es una función suave y convexa de ambos puntos, y se usa ampliamente en teoría y estadística de optimización, formando la base de los mínimos cuadrados.

Distancia euclidiana en otros sistemas de coordenadas

Si no se usan coordenadas cartesianas, por ejemplo, si se usan coordenadas polares en dos dimensiones o, en términos más generales, si se usan coordenadas curvilíneas, las fórmulas que expresan la distancia euclidiana son más complicadas que el teorema de Pitágoras, pero pueden derivarse de eso. Un ejemplo típico en el que la distancia en línea recta entre dos puntos se convierte en coordenadas curvilíneas se puede encontrar en las aplicaciones de los polinomios de Legendre en física. Las fórmulas se pueden descubrir utilizando el teorema de Pitágoras con las ecuaciones que relacionan las coordenadas curvilíneas con las coordenadas cartesianas. Por ejemplo, las coordenadas polares (r, θ) se pueden introducir como: ${displaystyle x=rcos theta, y=rsin theta.}$

Entonces dos puntos con ubicaciones (r ₁, θ ₁) y (r ₂, θ ₂) están separados por una distancia s: ${displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}cos theta _ {1}-r_{2}cos theta_{2})^{2}+(r_{1}sin theta_{1}-r_{2}sin theta_{2}) ^{2}.}$

Realizando los cuadrados y combinando términos, la fórmula de Pitágoras para la distancia en coordenadas cartesianas produce la separación en coordenadas polares como: ${displaystyle {begin{alineado}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}left(cos theta _ {1}cos theta _{2}+sin theta _{1}sin theta _{2}right)\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{ 2}-2r_{1}r_{2}cos left(theta _{1}-theta _{2}right)\&=r_{1}^{2}+r_{2}^ {2}-2r_{1}r_{2}cos Delta theta,end{alineado}}}$

usando las fórmulas trigonométricas de producto a suma. Esta fórmula es la ley de los cosenos, a veces llamada teorema de Pitágoras generalizado. A partir de este resultado, para el caso de que los radios de las dos posiciones sean ortogonales, se recupera el ángulo cerrado Δ θ = π /2, y se recupera la forma correspondiente al teorema de Pitágoras: ${displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.}$ El teorema de Pitágoras, válido para triángulos rectángulos, por tanto es un caso especial de la ley más general de los cosenos, válida para triángulos arbitrarios.

Identidad trigonométrica pitagórica

En un triángulo rectángulo con lados a, b e hipotenusa c, la trigonometría determina el seno y el coseno del ángulo θ entre el lado a y la hipotenusa como: $sin theta ={frac {b}{c}},quad cos theta ={frac {a}{c}}.$

De ahí se sigue: ${cos }^{2}theta +{sin }^{2}theta ={frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,$

donde el último paso aplica el teorema de Pitágoras. Esta relación entre seno y coseno a veces se denomina identidad trigonométrica pitagórica fundamental. En triángulos semejantes, las proporciones de los lados son las mismas independientemente del tamaño de los triángulos y dependen de los ángulos. En consecuencia, en la figura, el triángulo con hipotenusa de tamaño unitario tiene lado opuesto de tamaño sen θ y lado adyacente de tamaño cos θ en unidades de la hipotenusa.

Relación con el producto vectorial

El teorema de Pitágoras relaciona el producto cruz y el producto escalar de manera similar: ${displaystyle |mathbf {a} times mathbf {b} |^{2}+(mathbf {a} cdot mathbf {b})^{2}=|mathbf {a} |^{2}|mathbf {b} |^{2}.}$

Esto se puede ver a partir de las definiciones del producto vectorial y el producto escalar, como ${begin{alineado}mathbf {a} times mathbf {b} &=abmathbf {n} sin {theta }\mathbf {a} cdot mathbf {b} &=ab cos {theta},end{alineado}}$

con n un vector unitario normal tanto a a como a b. La relación se sigue de estas definiciones y de la identidad trigonométrica de Pitágoras.

Esto también se puede utilizar para definir el producto cruzado. Reordenando se obtiene la siguiente ecuación ${displaystyle |mathbf {a} times mathbf {b} |^{2}=|mathbf {a} |^{2}|mathbf {b} |^{2} -(mathbf {a} cdot mathbf {b})^{2}.}$

Esto se puede considerar como una condición en el producto cruzado y, por lo tanto, como parte de su definición, por ejemplo, en siete dimensiones.

Generalizaciones

Figuras similares en los tres lados.

El teorema de Pitágoras se generaliza más allá de las áreas de los cuadrados en los tres lados a cualquier figura similar. La noción subyacente son fórmulas de área para cualquier figura plana proporcional a una longitud al cuadrado.

Esto fue conocido por Hipócrates de Quíos en el siglo V a. C., y fue incluido por Euclides en sus Elementos:

Si uno erige figuras similares (ver geometría euclidiana) con lados correspondientes en los lados de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las áreas de los dos lados más pequeños es igual al área del lado más grande.

Esta extensión supone que los lados del triángulo original son los lados correspondientes de las tres figuras congruentes (por lo que las proporciones comunes de los lados entre las figuras similares son a:b:c). Si bien la prueba de Euclides solo se aplica a polígonos convexos, el teorema también se aplica a polígonos cóncavos e incluso a figuras similares que tienen límites curvos (pero aún con parte del límite de una figura siendo el lado del triángulo original).

La idea básica detrás de esta generalización es que el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquier dimensión lineal y, en particular, es proporcional al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, si figuras similares con áreas A, B y C se erigen en lados con longitudes correspondientes a, b y c, entonces: ${frac {A}{a^{2}}}={frac {B}{b^{2}}}={frac {C}{c^{2}}},,$ $Rightarrow A+B={frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{frac {b^{2}}{c^{2}}}C,.$

Pero, por el teorema de Pitágoras, a + b = c, entonces A + B = C.

Por el contrario, si podemos probar que A + B = C para tres figuras similares sin usar el teorema de Pitágoras, entonces podemos trabajar hacia atrás para construir una prueba del teorema. Por ejemplo, el triángulo central inicial se puede replicar y usar como un triángulo C en su hipotenusa, y dos triángulos rectángulos similares (A y B) construidos en los otros dos lados, formados al dividir el triángulo central por su altura. Por lo tanto, la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es la del tercero, por lo que A + B = C e invertir la lógica anterior conduce al teorema de Pitágoras a +segundo = c. (Véase también la prueba de Einstein por disección sin reordenamiento)

Ley de los cosenos

El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema más general que relaciona las longitudes de los lados en cualquier triángulo, la ley de los cosenos: ${displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos {theta}=c^{2},}$

donde $theta$ es el ángulo entre los lados $un$ y $b$ .

Cuando $theta$ es ${ frac { pi }{2}}$ radianes o 90°, entonces ${ estilo de visualización cos { theta} = 0}$ , y la fórmula se reduce al teorema de Pitágoras usual.

Triángulo arbitrario

En cualquier ángulo seleccionado de un triángulo general de lados a, b, c, inscriba un triángulo isósceles tal que los ángulos iguales en su base θ sean los mismos que el ángulo seleccionado. Suponga que el ángulo seleccionado θ es opuesto al lado etiquetado como c. Inscribiendo el triángulo isósceles se forma el triángulo CAD con ángulo θ opuesto al lado b y con lado r a lo largo de c. Se forma un segundo triángulo con el ángulo θ opuesto al lado a y un lado con longitud s a lo largo de c, como se muestra en la figura. Thābit ibn Qurra afirmó que los lados de los tres triángulos estaban relacionados como: $a^{2}+b^{2}=c(r+s).$

A medida que el ángulo θ se acerca a π /2, la base del triángulo isósceles se estrecha y las longitudes r y s se superponen cada vez menos. Cuando θ = π /2, ADB se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = c, y se recupera el teorema de Pitágoras original.

Una prueba observa que el triángulo ABC tiene los mismos ángulos que el triángulo CAD, pero en orden opuesto. (Los dos triángulos comparten el ángulo en el vértice A, ambos contienen el ángulo θ y, por lo tanto, también tienen el mismo tercer ángulo según el postulado del triángulo). En consecuencia, ABC es similar a la reflexión de CAD, el triángulo DAC en el panel inferior. Tomando la razón de los lados opuestos y adyacentes a θ, ${displaystyle {frac {c}{b}}={frac {b}{r}}.}$

Asimismo, para la reflexión del otro triángulo, ${displaystyle {frac {c}{a}}={frac {a}{s}}.}$

Limpiando fracciones y sumando estas dos relaciones: ${displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2},}$

el resultado requerido.

El teorema sigue siendo válido si el ángulo $theta$ es obtuso, por lo que las longitudes r y s no se superponen.

Triángulos generales usando paralelogramos

El teorema del área de Pappus es una generalización adicional, que se aplica a triángulos que no son triángulos rectángulos, usando paralelogramos en los tres lados en lugar de cuadrados (los cuadrados son un caso especial, por supuesto). La figura superior muestra que para un triángulo escaleno, el área del paralelogramo en el lado más largo es la suma de las áreas de los paralelogramos en los otros dos lados, siempre que el paralelogramo en el lado más largo se construya como se indica (las dimensiones marcadas con las flechas son iguales y determinan los lados del paralelogramo inferior). Este reemplazo de cuadrados con paralelogramos tiene un claro parecido con el teorema original de Pitágoras, y Pappus de Alejandría lo consideró una generalización en el año 4 d.C.

La figura inferior muestra los elementos de la prueba. Concéntrese en el lado izquierdo de la figura. El paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que la porción azul izquierda del paralelogramo inferior porque ambos tienen la misma base by la misma altura h. Sin embargo, el paralelogramo verde izquierdo también tiene la misma área que el paralelogramo verde izquierdo de la figura superior, porque tienen la misma base (el lado superior izquierdo del triángulo) y la misma altura normal a ese lado del triángulo. Repitiendo el argumento para el lado derecho de la figura, el paralelogramo inferior tiene la misma área que la suma de los dos paralelogramos verdes.

Geometria solida

En términos de geometría sólida, el teorema de Pitágoras se puede aplicar a tres dimensiones de la siguiente manera. Considere un sólido rectangular como se muestra en la figura. La longitud de la diagonal BD se encuentra a partir del teorema de Pitágoras como: ${overline {BD}}^{,2}={overline {BC}}^{,2}+{overline {CD}}^{,2},$

donde estos tres lados forman un triángulo rectángulo. Usando la diagonal horizontal BD y el borde vertical AB, la longitud de la diagonal AD se encuentra mediante una segunda aplicación del teorema de Pitágoras como: ${overline {AD}}^{,2}={overline {AB}}^{,2}+{overline {BD}}^{,2},$

o, hacerlo todo en un solo paso: ${overline {AD}}^{,2}={overline {AB}}^{,2}+{overline {BC}}^{,2}+{overline {CD}}^ {,2}.$

Este resultado es la expresión tridimensional de la magnitud de un vector v (la diagonal AD) en términos de sus componentes ortogonales { v _k } (los tres lados mutuamente perpendiculares): $|mathbf {v} |^{2}=sum _{k=1}^{3}|mathbf {v} _{k}|^{2}.$

Esta formulación de un solo paso puede verse como una generalización del teorema de Pitágoras a dimensiones superiores. Sin embargo, este resultado es realmente solo la aplicación repetida del teorema original de Pitágoras a una sucesión de triángulos rectángulos en una secuencia de planos ortogonales.

Una generalización sustancial del teorema de Pitágoras a tres dimensiones es el teorema de de Gua, llamado así por Jean Paul de Gua de Malves: si un tetraedro tiene una esquina en ángulo recto (como una esquina de un cubo), entonces el cuadrado del área de la cara opuesto a la esquina del ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Este resultado se puede generalizar como en el " teorema de Pitágoras n -dimensional":

Sean ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots,x_{n}}$ vectores ortogonales en ℝ. Considere el simplex S n -dimensional con vértices. (Piense en el símplex (n − 1) dimensional con vértices que no incluyen el origen como la "hipotenusa" de S y las caras restantes (n − 1) dimensionales de S como sus "catetos".) Entonces el cuadrado de la el volumen de la hipotenusa de S es la suma de los cuadrados de los volúmenes de los n catetos. ${displaystyle 0,x_{1},ldots,x_{n}}$ $x_{1},ldots,x_{n}$

Esta declaración está ilustrada en tres dimensiones por el tetraedro en la figura. La "hipotenusa" es la base del tetraedro en la parte posterior de la figura, y las "patas" son los tres lados que emanan del vértice en primer plano. A medida que aumenta la profundidad de la base desde el vértice, aumenta el área de las "patas", mientras que la de la base es fija. El teorema sugiere que cuando esta profundidad tiene el valor de crear un vértice recto, se aplica la generalización del teorema de Pitágoras. En una redacción diferente:

Dado un simplex n -rectangular n -dimensional, el cuadrado del contenido (n − 1) de la faceta que se opone al vértice derecho será igual a la suma de los cuadrados de los contenidos (n − 1) de las facetas restantes.

Espacios interiores de productos

El teorema de Pitágoras se puede generalizar a espacios de productos internos, que son generalizaciones de los familiares espacios euclidianos bidimensionales y tridimensionales. Por ejemplo, una función puede considerarse como un vector con infinitas componentes en un espacio de producto interno, como en el análisis funcional.

En un espacio de producto interior, el concepto de perpendicularidad se reemplaza por el concepto de ortogonalidad: dos vectores v y w son ortogonales si su producto interior $langle mathbf {v},mathbf {w} rangle$ es cero. El producto interno es una generalización del producto escalar de vectores. El producto escalar se llama producto interno estándar o producto interno euclidiano. Sin embargo, son posibles otros productos internos.

El concepto de longitud se reemplaza por el concepto de norma || v || de un vector v, definido como: $lVert mathbf {v} rVert equiv {sqrt {langle mathbf {v},mathbf {v} rangle }},.$

En un espacio de producto interno, el teorema de Pitágoras establece que para cualesquiera dos vectores ortogonales v y w tenemos $left|mathbf {v} +mathbf {w} right|^{2}=left|mathbf {v} right|^{2}+left|mathbf {w } derecho|^{2}.$

Aquí los vectores vyw son similares a los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa dada por la suma vectorial v + w. Esta forma del teorema de Pitágoras es una consecuencia de las propiedades del producto interior: $left|mathbf {v} +mathbf {w} right|^{2}=langle mathbf {v+w}, mathbf {v+w} rangle =langle mathbf { v}, mathbf {v} rangle +langle mathbf {w}, mathbf {w} rangle +langle mathbf {v, w} rangle +langle mathbf {w, v} rangle =left|mathbf {v} right|^{2}+left|mathbf {w} right|^{2},$

donde los productos internos de los términos cruzados son cero, debido a la ortogonalidad.

Otra generalización del teorema de Pitágoras en un espacio de producto interior a vectores no ortogonales es la ley del paralelogramo: $2|mathbf {v} |^{2}+2|mathbf {w} |^{2}=|mathbf {v+w} |^{2}+|mathbf {vw} |^{2},$

que dice que el doble de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados de un paralelogramo es la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales. Cualquier norma que satisfaga esta igualdad es ipso facto una norma correspondiente a un producto interior.

La identidad pitagórica se puede extender a sumas de más de dos vectores ortogonales. Si v ₁, v ₂,..., v _n son vectores ortogonales por pares en un espacio de producto interno, entonces la aplicación del teorema de Pitágoras a pares sucesivos de estos vectores (como se describe para 3 dimensiones en la sección sobre geometría sólida) resulta en la ecuación ${displaystyle left|sum _{k=1}^{n}mathbf {v} _{k}right|^{2}=sum _{k=1}^{n} |mathbf {v} _{k}|^{2}}$

Conjuntos de objetos m -dimensionales en un espacio n -dimensional

Otra generalización del teorema de Pitágoras se aplica a conjuntos de objetos medibles según Lebesgue en cualquier número de dimensiones. Específicamente, el cuadrado de la medida de un conjunto m -dimensional de objetos en uno o más planos paralelos m -dimensionales en un espacio euclidiano n -dimensional es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las proyecciones ortogonales del objeto(s)) en todos los subespacios de coordenadas m -dimensionales.

En términos matemáticos: $mu _{ms}^{2}=sum_{i=1}^{x}mathbf {mu ^{2}}_{mp_{i}}$

donde:

$mamá}$ es una medida en m -dimensiones (una longitud en una dimensión, un área en dos dimensiones, un volumen en tres dimensiones, etc.).
$s$ es un conjunto de uno o más objetos m -dimensionales que no se superponen en uno o más planos m -dimensionales paralelos en un espacio euclidiano n -dimensional.
$mu _{ms}$ es la medida total (suma) del conjunto de m objetos dimensionales.
$pag$ representa una proyección m -dimensional del conjunto original en un subespacio de coordenadas ortogonales.
$mu _{mp_{i}}$ es la medida de la proyección del conjunto m-dimensional sobre el subespacio de coordenadas m $i$ -dimensional. Debido a que las proyecciones de objetos pueden superponerse en un subespacio de coordenadas, la medida de cada proyección de objeto en el conjunto debe calcularse individualmente, luego las medidas de todas las proyecciones se suman para proporcionar la medida total para el conjunto de proyecciones en el subespacio de coordenadas dado.
$X$ es el número de subespacios de coordenadas m -dimensionales ortogonales en un espacio n -dimensional (R) sobre el que se proyectan los objetos m -dimensionales (m ≤ n):

$x={binom {n}{m}}={frac {n!}{m!(nm)!}}$

Geometría no euclidiana

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y, de hecho, si el teorema de Pitágoras fallara para algún triángulo rectángulo, entonces el plano en el que está contenido este triángulo no puede ser euclidiano. Más precisamente, el teorema de Pitágoras implica, y está implicado por, el Postulado (Quinto) Paralelo de Euclides. Por tanto, los triángulos rectángulos en una geometría no euclidiana no satisfacen el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en la geometría esférica, los tres lados del triángulo rectángulo (digamos a, b y c) que delimitan un octante de la esfera unitaria tienen una longitud igual a π /2, y todos sus ángulos son ángulos rectos, lo que viola la ley pitagórica. teorema c^{2}}">porque

Aquí se consideran dos casos de geometría no euclidiana: geometría esférica y geometría plana hiperbólica; en cada caso, como en el caso euclidiano para triángulos no rectángulos, el resultado que reemplaza al teorema de Pitágoras se sigue de la ley apropiada de los cosenos.

Sin embargo, el teorema de Pitágoras sigue siendo cierto en geometría hiperbólica y geometría elíptica si la condición de que el triángulo sea rectángulo se reemplaza por la condición de que dos de los ángulos suman el tercero, digamos A + B = C. Los lados se relacionan entonces de la siguiente manera: la suma de las áreas de los círculos con diámetros a y b es igual al área del círculo con diámetro c.

Geometría esférica

Para cualquier triángulo rectángulo sobre una esfera de radio R (por ejemplo, si γ en la figura es un ángulo recto), con lados a, b, c, la relación entre los lados toma la forma: $cos left({frac {c}{R}}right)=cos left({frac {a}{R}}right)cos left({frac {b}{R }}derecho).$

Esta ecuación se puede derivar como un caso especial de la ley esférica de los cosenos que se aplica a todos los triángulos esféricos: $cos left({frac {c}{R}}right)=cos left({frac {a}{R}}right)cos left({frac {b}{R }}right)+sin left({frac {a}{R}}right)sin left({frac {b}{R}}right)cos gamma .$

Al expresar la serie de Maclaurin para la función coseno como una expansión asintótica con el resto del término en notación O grande, $cos x=1-{frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){text{ as }}xto 0,$

se puede demostrar que a medida que el radio R tiende a infinito y los argumentos a/R, b/R y c/R tienden a cero, la relación esférica entre los lados de un triángulo rectángulo se acerca a la forma euclidiana del teorema de Pitágoras. Sustituyendo la expansión asintótica de cada uno de los cosenos en la relación esférica de un triángulo rectángulo se obtiene $1-{frac {1}{2}}izquierda({frac {c}{R}}derecha)^{2}+Oizquierda({frac {1}{R^{4}} }right)=left[1-{frac {1}{2}}left({frac {a}{R}}right)^{2}+Oleft({frac {1 }{R^{4}}}derecha)derecha]izquierda[1-{frac {1}{2}}izquierda({frac {b}{R}}derecha)^{2} +Oleft({frac {1}{R^{4}}}right)right]{text{ as }}Rto infty .$

Las constantes a, b, y c han sido absorbidas en los grandes términos restantes de O ya que son independientes del radio R. Esta relación asintótica se puede simplificar aún más multiplicando las cantidades entre paréntesis, cancelando las unidades, multiplicando por −2 y reuniendo todos los términos de error: $left({frac {c}{R}}right)^{2}=left({frac {a}{R}}right)^{2}+left({frac {b }{R}}right)^{2}+Oleft({frac {1}{R^{4}}}right){text{ as }}Rto infty .$

Después de multiplicar por R, la relación pitagórica euclidiana c = a + b se recupera en el límite a medida que el radio R tiende a infinito (ya que el término restante tiende a cero): $c^{2}=a^{2}+b^{2}+Oleft({frac {1}{R^{2}}}right){text{ as }}Rto infty .$

Para triángulos rectángulos pequeños (a, b << R), los cosenos se pueden eliminar para evitar la pérdida de significado, dando ${displaystyle sin ^{2}{frac {c}{2R}}=sin ^{2}{frac {a}{2R}}+sin ^{2}{frac {b}{ 2R}}-2sen ^{2}{frac {a}{2R}}sin ^{2}{frac {b}{2R}},.}$

Geometría hiperbólica

En un espacio hiperbólico con curvatura uniforme −1/ R, para un triángulo rectángulo con catetos a, b e hipotenusa c, la relación entre los lados toma la forma: ${displaystyle cosh {frac {c}{R}}=cosh {frac {a}{R}},cosh {frac {b}{R}}}$

donde cosh es el coseno hiperbólico. Esta fórmula es una forma especial de la ley hiperbólica de los cosenos que se aplica a todos los triángulos hiperbólicos: ${displaystyle cosh {frac {c}{R}}=cosh {frac {a}{R}} cosh {frac {b}{R}}-sinh {frac {a} {R}} sinh {frac {b}{R}} cos gamma ,}$

siendo γ el ángulo en el vértice opuesto al lado c.

Usando la serie de Maclaurin para el coseno hiperbólico, cosh x ≈ 1 + x /2, se puede demostrar que cuando un triángulo hiperbólico se vuelve muy pequeño (es decir, cuando a, b y c se aproximan a cero), la relación hiperbólica porque un triángulo rectángulo se aproxima a la forma del teorema de Pitágoras.

Para triángulos rectángulos pequeños (a, b << R), los cosenos hiperbólicos se pueden eliminar para evitar la pérdida de significado, dando ${displaystyle sinh^{2}{frac {c}{2R}}=sinh^{2}{frac {a}{2R}}+sinh^{2}{frac {b}{ 2R}}+2sinh^{2}{frac {a}{2R}}sinh^{2}{frac {b}{2R}},.}$

Triángulos muy pequeños

Para cualquier curvatura uniforme K (positiva, cero o negativa), en triángulos rectángulos muy pequeños (| K | a, | K | b << 1) con hipotenusa c, se puede demostrar que ${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-{frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{frac {K^{2 }}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{frac{2K^{3}}{945}}a^{2}b ^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10}),.}$

Geometría diferencial

En un nivel infinitesimal, en el espacio tridimensional, el teorema de Pitágoras describe la distancia entre dos puntos infinitesimalmente separados como: ${displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$

con ds el elemento de la distancia y (dx, dy, dz) las componentes del vector que separa los dos puntos. Tal espacio se llama espacio euclidiano. Sin embargo, en geometría riemanniana, una generalización de esta expresión útil para coordenadas generales (no solo cartesianas) y espacios generales (no solo euclidianos) toma la forma: $ds^{2}=sum_{i,j}^{n}g_{ij},dx_{i},dx_{j}$

que se llama el tensor métrico. (A veces, por abuso del lenguaje, se aplica el mismo término al conjunto de coeficientes g _ij). Puede ser una función de la posición y, a menudo, describe un espacio curvo. Un ejemplo simple es el espacio euclidiano (plano) expresado en coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, en coordenadas polares: $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}dtheta ^{2}.$

Historia

Existe un debate sobre si el teorema de Pitágoras se descubrió una vez o muchas veces en muchos lugares, y la fecha del primer descubrimiento es incierta, al igual que la fecha de la primera prueba. Los historiadores de las matemáticas mesopotámicas han llegado a la conclusión de que la regla pitagórica se usó ampliamente durante el período babilónico antiguo (siglos XX al XVI a. C.), más de mil años antes del nacimiento de Pitágoras. La historia del teorema se puede dividir en cuatro partes: conocimiento de las ternas pitagóricas, conocimiento de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, conocimiento de las relaciones entre ángulos adyacentes y demostraciones del teorema dentro de algún sistema deductivo.

Escrito entre 2000 y 1786 a. C., el Papiro de Berlín 6619 del Reino Medio egipcio incluye un problema cuya solución es el triple pitagórico 6:8:10, pero el problema no menciona un triángulo. La tablilla mesopotámica Plimpton 322, escrita entre 1790 y 1750 aC durante el reinado del rey Hammurabi el Grande, contiene muchas entradas estrechamente relacionadas con las ternas pitagóricas.

En la India, el Baudhayana Shulba Sutra, cuyas fechas se dan entre los siglos VIII y V a. C., contiene una lista de ternas pitagóricas y una declaración del teorema de Pitágoras, tanto en el caso especial del triángulo rectángulo isósceles como en el caso general, al igual que el Apastamba Shulba Sutra (c. 600 aC).

El filósofo y matemático neoplatónico bizantino Proclo, escribiendo en el siglo V d. C., establece dos reglas aritméticas, "una de ellas atribuida a Platón, la otra a Pitágoras", para generar ternas pitagóricas especiales. La regla atribuida a Pitágoras (c. 570 – c. 495 a. C.) parte de un número impar y produce un triple con cateto e hipotenusa que difieren en una unidad; la regla atribuida a Platón (428/427 o 424/423 – 348/347 aC) parte de un número par y produce un triple con cateto e hipotenusa que difieren en dos unidades. Según Thomas L. Heath (1861-1940), no existe una atribución específica del teorema a Pitágoras en la literatura griega superviviente de los cinco siglos posteriores a la vida de Pitágoras.Sin embargo, cuando autores como Plutarco y Cicerón atribuyeron el teorema a Pitágoras, lo hicieron de una manera que sugiere que la atribución era ampliamente conocida e indudable. El clasicista Kurt von Fritz escribió: "Si esta fórmula se atribuye correctamente a Pitágoras personalmente, uno puede asumir con seguridad que pertenece al período más antiguo de las matemáticas pitagóricas". Alrededor del 300 a. C., en los Elementos de Euclides, se presenta la prueba axiomática más antigua existente del teorema.

Con contenidos conocidos mucho antes, pero en textos sobrevivientes que datan aproximadamente del siglo I a.C., el texto chino Zhoubi Suanjing (周髀算经), (El clásico aritmético del Gnomon y los caminos circulares del cielo) da un razonamiento para el Pitágoras teorema para el triángulo (3, 4, 5) — en China se le llama " teorema de Gougu" (勾股定理). Durante la dinastía Han (202 a. C. a 220 d. C.), las ternas pitagóricas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático, junto con una mención a los triángulos rectángulos. Algunos creen que el teorema surgió por primera vez en China, donde se lo conoce alternativamente como el " teorema de Shang Gao " (商高定理),llamado así por el astrónomo y matemático del duque de Zhou, cuyo razonamiento compuso la mayor parte de lo que estaba en el Zhoubi Suanjing.

Teorema de Pitágoras

Otras formas del teorema

Pruebas utilizando cuadrados construidos

Pruebas de reordenamiento

Pruebas algebraicas

Otras demostraciones del teorema

Prueba usando triángulos semejantes

Prueba de Euclides

Pruebas por disección y reordenamiento

Demostración de Einstein por disección sin reordenamiento

Pruebas algebraicas

Prueba usando diferenciales

Conversar

Consecuencias y usos del teorema

Ternas pitagóricas

Teorema de Pitágoras recíproco

Longitudes inconmensurables

Números complejos

Distancia euclidiana

Distancia euclidiana en otros sistemas de coordenadas

Identidad trigonométrica pitagórica

Relación con el producto vectorial

Generalizaciones

Figuras similares en los tres lados.

Ley de los cosenos

Triángulo arbitrario

Triángulos generales usando paralelogramos

Geometria solida

Espacios interiores de productos

Conjuntos de objetos m -dimensionales en un espacio n -dimensional

Geometría no euclidiana

Geometría esférica

Geometría hiperbólica

Triángulos muy pequeños

Geometría diferencial

Historia

Espacio muestral

Cibernética

Colin maclaurin