Teorema de pick

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Fórmula para el área de un polígono de rejilla

En geometría, el teorema de Pick proporciona una fórmula para el área de un polígono simple con coordenadas de vértice enteras, en términos del número de puntos enteros dentro de él y en su límite. El resultado fue descrito por primera vez por Georg Alexander Pick en 1899. Hugo Steinhaus lo popularizó en inglés en la edición de 1950 de su libro Mathematical Snapshots. Tiene múltiples pruebas y se puede generalizar a fórmulas para ciertos tipos de polígonos no simples.

Fórmula

Supongamos que un polígono tiene coordenadas enteros para todos sus vértices. Vamos $i$ ser el número de puntos enteros interior al polígono, y dejar $b$ ser el número de puntos enteros en su límite (incluyendo tanto vértices y puntos a lo largo de los lados). Luego la zona $A$ de este polígono es:

{displaystyle A=i+{frac {b}{2}}-1.}

{displaystyle i=7}

{displaystyle b=8}

{displaystyle A=7+{tfrac {8}{2}}-1=10}

Pruebas

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Visa Euler 's formula

Una prueba de este teorema implica subdividir el polígono en triángulos con tres vértices enteros y ningún otro punto entero. Uno puede entonces probar que cada triángulo subdividido tiene área exactamente ${tfrac {1}{2}}$ . Por lo tanto, el área de todo el polígono equivale a la mitad del número de triángulos en la subdivisión. Después de relacionar el área con el número de triángulos de esta manera, la prueba concluye utilizando la fórmula poliedral de Euler para relacionar el número de triángulos con el número de puntos de rejilla en el polígono.

La primera parte de esta prueba muestra que un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero tiene área exactamente ${tfrac {1}{2}}$ Como dice la fórmula de Pick. La prueba utiliza el hecho de que todos los triángulos azulan el plano, con triángulos adyacentes rotados por 180° unos de otros alrededor de su borde compartido. Para los azulejos por un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero, cada punto de la red entero es un vértice de seis azulejos. Debido a que el número de triángulos por punto de rejilla (seis) es dos veces el número de puntos de rejilla por triángulo (tres), los triángulos son dos veces más densos en el plano que los puntos de rejilla. Cualquier región escalada del plano contiene el doble de triángulos (en el límite que el factor de escala va al infinito) como el número de puntos de rejilla que contiene. Por lo tanto, cada triángulo tiene área ${tfrac {1}{2}}$ , según sea necesario para la prueba. Una prueba diferente de que estos triángulos tienen área ${tfrac {1}{2}}$ se basa en el uso del teorema de Minkowski en puntos de celo en conjuntos convexos simétricos.

Esto ya demuestra la fórmula de Pick para un polígono que es uno de estos triángulos especiales. Cualquier otro polígono se puede subdividir en triángulos especiales: añadir segmentos de líneas no cruzadas dentro del polígono entre pares de puntos de rejilla hasta que no se puedan añadir más segmentos de línea. Los únicos polígonos que no pueden subdividirse de esta manera son los triángulos especiales considerados anteriormente; por lo tanto, sólo los triángulos especiales pueden aparecer en la subdivisión resultante. Porque cada triángulo especial tiene área ${tfrac {1}{2}}$ , un polígono de área $A$ será subdividido en $2A$ triángulos especiales.

La subdivisión del polígono en triángulos forma un gráfico plano, y la fórmula de Euler ${displaystyle V-E+F=2}$ da una ecuación que se aplica al número de vértices, bordes y caras de cualquier gráfico plano. Los vértices son sólo los puntos de rejilla del polígono; hay ${displaystyle V=i+b}$ de ellos. Las caras son los triángulos de la subdivisión, y la única región del plano fuera del polígono. El número de triángulos es $2A$ , así que en conjunto hay ${displaystyle F=2A+1}$ caras. Para contar los bordes, observe que hay ${displaystyle 6A}$ lados de triángulos en la subdivisión. Cada borde interior al polígono es el lado de dos triángulos. Sin embargo, hay $b$ bordes de triángulos que se encuentran a lo largo del límite del polígono y forman parte de sólo un triángulo. Por lo tanto, el número de lados de triángulos obedece la ecuación ${displaystyle 6A=2E-b}$ , de la cual uno puede resolver para el número de bordes, ${displaystyle E={tfrac {6A+b}{2}}}$ . Enchufar estos valores para $V$ , $E$ , y $F$ en la fórmula de Euler ${displaystyle V-E+F=2}$ da

{displaystyle (i+b)-{frac {6A+b}{2}}+(2A+1)=2.}

A

{displaystyle E=3i+2b-3}

Showing translation for

It is also possible to go the other direction, using Pick N#39;s theorem (proved in a different way) as the basis for a proof of Euler 's formula.

Otras pruebas

Las pruebas alternativas del teorema de Pick que no usan la fórmula de Euler incluyen las siguientes.

Uno puede descomponer recursivamente el polígono dado en triángulos, permitiendo que algunos triángulos de la subdivisión tengan un área mayor a 1/2. Tanto el área como los conteos de puntos utilizados en la fórmula de Pick se unen de la misma manera que el uno al otro, por lo que la verdad de la fórmula de Pick para los polígonos generales sigue de su verdad para los triángulos. Cualquier triángulo subdivide su caja de fijación en el triángulo mismo y triángulos derecho adicionales, y las áreas de la caja de unión y los triángulos derecho son fáciles de calcular. Combinar estos cálculos de área da la fórmula de Pick para triángulos, y combinar triángulos da la fórmula de Pick para polígonos arbitrarios.
Alternativamente, en lugar de utilizar cuadrados de rejilla centrados en los puntos de rejilla, es posible utilizar cuadrados de rejilla que tienen sus vértices en los puntos de rejilla. Estas cuadrículas cortan el polígono dado en pedazos, que se pueden reorganizar (acordando pares de cuadrados a lo largo de cada borde del polígono) en un poliomino con la misma zona.
El teorema de Pick también puede ser probado basado en la integración compleja de una función doblemente periódica relacionada con funciones elípticas Weierstrass.
Aplicar la fórmula de summación Poisson a la función característica del polígono conduce a otra prueba.

El teorema de Pick se incluyó en una lista web de 1999 de los '100 teoremas matemáticos principales', que luego Freek Wiedijk utilizó como referencia para probar el poder de diferentes asistentes de prueba. A partir de 2021, el teorema de Pick se había formalizado y demostrado en solo uno de los diez asistentes de prueba registrados por Wiedijk.

Generalizaciones

Las generalizaciones al teorema de Pick a los polígonos no simples son más complicadas y requieren más información que el número de vértices interiores y límites. Por ejemplo, un polígono con $h$ agujeros atados por simples polígonos enteros, desmontados entre sí y desde el límite, tiene área

{displaystyle A=i+{frac {b}{2}}+h-1.}

Los tetraedros de Reeve en tres dimensiones tienen cuatro puntos enteros como vértices y no contienen otros puntos enteros, pero no todos tienen el mismo volumen. Por lo tanto, no existe un análogo del teorema de Pick en tres dimensiones que exprese el volumen de un poliedro en función únicamente de su número de puntos interiores y de contorno. Sin embargo, estos volúmenes se pueden expresar mediante polinomios de Ehrhart.

Temas relacionados

Varios otros temas matemáticos relacionan las áreas de las regiones con el número de puntos de la cuadrícula. El teorema de Blichfeldt establece que cada forma se puede traducir para contener al menos su área en puntos de cuadrícula. El problema del círculo de Gauss se refiere a delimitar el error entre las áreas y el número de puntos de la cuadrícula en los círculos. El problema de contar puntos enteros en poliedros convexos surge en varias áreas de las matemáticas y la informática. En áreas de aplicación, el planímetro de puntos es un dispositivo basado en transparencia para estimar el área de una forma contando los puntos de cuadrícula que contiene. La secuencia de Farey es una secuencia ordenada de números racionales con denominadores acotados cuyo análisis involucra el teorema de Pick.

Otro método simple para calcular el área de un polígono es la fórmula del cordón. Da el área de cualquier polígono simple como una suma de términos calculada a partir de las coordenadas de pares consecutivos de sus vértices. A diferencia del teorema de Pick, la fórmula del cordón de zapato no requiere que los vértices tengan coordenadas enteras.

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