Teorema de no clonación

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Theorem in quantum information science

En física, el teorema de no clonación establece que es imposible crear una copia independiente e idéntica de un estado cuántico arbitrario desconocido, una declaración que tiene profundas implicaciones en el campo de la computación cuántica entre otros. El teorema es una evolución del teorema de no-go de 1970 escrito por James Park, en el que demuestra que no puede existir un esquema de medición no perturbador que sea a la vez simple y perfecto (el mismo resultado se obtendría de forma independiente en 1982 por Wootters y Zurek así como Dieks el mismo año). Los teoremas antes mencionados no impiden que el estado de un sistema se enrede con el estado de otro, ya que la clonación se refiere específicamente a la creación de un estado separable con factores idénticos. Por ejemplo, se podría usar la puerta NO controlada y la puerta de Walsh-Hadamard para entrelazar dos qubits sin violar el teorema de no clonación, ya que no se puede definir un estado bien definido en términos de un subsistema de un estado entrelazado. El teorema de no clonación (como se entiende generalmente) se refiere solo a estados puros, mientras que la afirmación generalizada sobre estados mixtos se conoce como teorema de no transmisión.

El teorema de no clonación tiene un dual invertido en el tiempo, el teorema de no eliminación. Juntos, estos sustentan la interpretación de la mecánica cuántica en términos de teoría de categorías y, en particular, como una categoría compacta de daga. Esta formulación, conocida como mecánica cuántica categórica, permite, a su vez, realizar una conexión de la mecánica cuántica con la lógica lineal como la lógica de la teoría cuántica de la información (en el mismo sentido que la lógica intuicionista surge de las categorías cerradas cartesianas).

Historia

Según Asher Peres y David Kaiser, la publicación de la prueba de 1982 del teorema de no clonación por Wootters y Zurek y por Dieks fue impulsado por una propuesta de Nick Herbert para un dispositivo de comunicación superluminal usando entrelazamiento cuántico, y Giancarlo Ghirardi había probado el teorema 18 meses antes de la demostración publicada por Wootters y Zurek en su informe de árbitro a dicha propuesta (como evidenciado por una carta del editor). Sin embargo, Ortigoso señaló en 2018 que Park ya entregó en 1970 una prueba completa junto con una interpretación en términos de la falta de mediciones simples no perturbadoras en la mecánica cuántica.

Teorema y prueba

Supongamos que tenemos dos sistemas cuánticos A y B con un espacio común Hilbert ${displaystyle H=H_{A}=H_{B}}$ . Supongamos que queremos tener un procedimiento para copiar el estado $|phi rangle _{A}$ sistema cuántico A, sobre el estado $|erangle _{B}$ sistema cuántico B, para cualquier estado original $|phi rangle _{A}$ (ver notación del sujetador). Es decir, comenzando por el estado ${displaystyle |phi rangle _{A}otimes |erangle _{B}}$ , queremos terminar con el estado ${displaystyle |phi rangle _{A}otimes |phi rangle _{B}}$ . Para hacer una "copia" del estado A, lo combinamos con el sistema B en algunas iniciales desconocidas, o en blanco, estado $|erangle _{B}$ independiente $|phi rangle _{A}$ , de los cuales no tenemos conocimiento previo.

El estado del sistema compuesto inicial se describe mediante el siguiente producto tensorial:

{displaystyle |phi rangle _{A}otimes |erangle _{B}.}

(en lo siguiente omitimos $otimes$ símbolo y mantenerlo implícito).

Solo hay dos operaciones cuánticas permisibles con las que podemos manipular el sistema compuesto:

Podemos realizar una observación, que irreversiblemente colapsa el sistema en algún eigenstat de un observable, corrompiendo la información contenida en el qubit(s). Obviamente esto no es lo que queremos.
Alternativamente, podríamos controlar al Hamiltonian del combinados sistema, y por lo tanto el operador de tiempo-evolución U()t), por ejemplo para un Hamiltonian dependiente del tiempo, ${displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }}$ . Evolución de un tiempo fijo $t_{0}$ produce un operador unitario U on $Hotimes H$ , el espacio Hilbert del sistema combinado. Sin embargo, ningún operador unitario de ese tipo U puede clonar todos los estados.

El teorema sin cierre responde a la siguiente pregunta en el negativo: Es posible construir un operador unitario U, actuando en ${displaystyle H_{A}otimes H_{B}=Hotimes H}$ , bajo el cual el estado que el sistema B está en siempre evoluciona hacia el estado en que el sistema A está, Independientemente del sistema estatal A está dentro?

Theorem: No hay operador unitario U on $Hotimes H$ tal que para todos los estados normalizados ${displaystyle |phi rangle _{A}}$ y $|erangle _{B}$ dentro $H$

{displaystyle U(|phi rangle _{A}|erangle _{B})=e^{ialpha (phie)}|phi rangle _{A}|phi rangle _{B}}

para algún número real $alpha$ dependiendo de $phi$ y $e$ .

El factor de fase adicional expresa el hecho de que un estado de la mecánica cuántica define un vector normalizado en el espacio de Hilbert solo hasta un factor de fase, es decir, como un elemento del espacio de Hilbert proyectado.

Para probar el teorema, seleccionamos un par arbitrario de estados $|phi rangle _{A}$ y $|psirangle_A$ en el espacio Hilbert $H$ . Porque... U se supone que es unitario, lo habríamos hecho

{displaystyle langle phi |psi rangle langle e|erangle equiv langle phi |_{A}langle e|_{B}|psi rangle _{A}|erangle _{B}=langle phi |_{A}langle e|_{B}U^{dagger }U|psi rangle _{A}|erangle _{B}=e^{-i(alpha (phie)-alpha (psie))}langle phi |_{A}langle phi |_{B}|psi rangle _{A}|psi rangle _{B}equiv e^{-i(alpha (phie)-alpha (psie))}langle phi |psi rangle ^{2}.}

Desde el estado cuántico $|erangle$ se supone que es normalizado, así que nos

{displaystyle |langle phi |psi rangle |^{2}=|langle phi |psi rangle |.}

Esto implica que ${displaystyle |langle phi |psi rangle |=1}$ o ${displaystyle |langle phi |psi rangle |=0}$ . Por lo tanto, por la desigualdad Cauchy-Schwarz ${displaystyle |phi rangle =e^{ibeta }|psi rangle }$ o $|phirangle$ es ortogonal a $|psi rangle$ . Sin embargo, este no puede ser el caso de dos arbitraria estados. Por lo tanto, un único universal U no puede clonar general estado cuántico. Esto prueba el teorema sin cierre.

Tome un qubit por ejemplo. Se puede representar mediante dos números complejos, llamados amplitudes de probabilidad (normalizados a 1), es decir, tres números reales (dos ángulos polares y un radio). Copiar tres números en una computadora clásica usando cualquier operación de copiar y pegar es trivial (hasta una precisión finita), pero el problema se manifiesta si el qubit se transforma unitariamente (por ejemplo, mediante la puerta cuántica de Hadamard) para polarizarse (cuya transformación unitaria es una superyectiva). isometría). En tal caso, el qubit se puede representar con solo dos números reales (un ángulo polar y un radio igual a 1), mientras que el valor del tercero puede ser arbitrario en tal representación. Sin embargo, una realización de un qubit (fotón codificado por polarización, por ejemplo) es capaz de almacenar todo el soporte de información del qubit dentro de su 'estructura'. Por lo tanto, ninguna U de evolución unitaria universal única puede clonar un estado cuántico arbitrario de acuerdo con el teorema de no clonación. Tendría que depender del estado (inicial) del qubit transformado y, por lo tanto, no habría sido universal.

Generalización

En la declaración del teorema, se hicieron dos supuestos: el estado que se va a copiar es un estado puro y el copiador propuesto actúa a través de una evolución temporal unitaria. Estos supuestos no causan pérdida de generalidad. Si el estado a copiar es un estado mixto, se puede "purificar," es decir, tratado como un estado puro de un sistema más grande. Alternativamente, se puede dar una prueba diferente que funcione directamente con estados mixtos; en este caso, el teorema a menudo se conoce como el teorema de no transmisión. De manera similar, se puede implementar una operación cuántica arbitraria introduciendo una ancilla y realizando una evolución unitaria adecuada. Por lo tanto, el teorema de no clonación se cumple con total generalidad.

Consecuencias

El teorema sin cierre evita el uso de ciertas técnicas clásicas de corrección de errores en estados cuánticos. Por ejemplo, copias de seguridad de un estado en medio de un cálculo cuántico no se pueden crear y utilizar para corregir errores posteriores. La corrección de error es vital para el cálculo cuántico práctico, y durante algún tiempo no estaba claro si era o no posible. En 1995, Shor y Steane demostraron que es, mediante la concepción independiente de los primeros códigos de corrección de errores cuánticos, que eluden el teorema sin cierre.
Del mismo modo, la clonación violaría el teorema de no-teleportación, que dice que es imposible convertir un estado cuántico en una secuencia de bits clásicos (incluso una secuencia infinita de bits), copiar esos bits a alguna nueva ubicación, y recrear una copia del estado cuántico original en la nueva ubicación. Esto no debe confundirse con la teletransportación asistida por el enredo, que permite que un estado cuántico sea destruido en un lugar, y una copia exacta para ser recreada en otro lugar.
El teorema de no cierre está implícito por el teorema de no-comunicación, que afirma que el enredamiento cuántico no puede utilizarse para transmitir información clásica (ya sea superluminal o más lento). Es decir, la clonación, junto con el enredo, permitiría que dicha comunicación se producira. Para ver esto, considere el experimento de pensamiento EPR, y suponga que los estados cuánticos podrían ser clonados. Suponga partes de un estado de Bell enredado maximalmente se distribuyen a Alice y Bob. Alice podría enviar bits a Bob de la siguiente manera: Si Alice desea transmitir un "0", mide la vuelta de su electrón en el z dirección, colapsando el estado de Bob a cualquiera $|z+rangle _{B}$ o $|z-rangle _{B}$ . Para transmitir "1", Alice no hace nada a su codo. Bob crea muchas copias del estado de su electrón, y mide el giro de cada copia en el z dirección. Bob sabrá que Alice ha transmitido un "0" si todas sus mediciones producen el mismo resultado; de lo contrario, sus mediciones tendrán resultados $|z+rangle _{B}$ o $|z-rangle _{B}$ con igual probabilidad. Esto permitiría que Alice y Bob comunicaran trozos clásicos entre sí (posiblemente a través de separaciones similares al espacio, violando la causalidad).
Los estados cuánticos no pueden ser discriminados perfectamente.
El teorema de clonación no impide una interpretación del principio holográfico para los agujeros negros, lo que significa que hay dos copias de información, una acostada en el horizonte del evento y la otra en el interior del agujero negro. Esto conduce a interpretaciones más radicales, como la complementariedad de agujeros negros.
El teorema de no cierre se aplica a todas las categorías compactas de daga: no hay morfismo de clonación universal para ninguna categoría no-trivial de este tipo. Aunque el teorema es inherente en la definición de esta categoría, no es trivial ver que esto es así; la visión es importante, ya que esta categoría incluye cosas que no son espacios Hilbert de dimensión finita, incluyendo la categoría de conjuntos y relaciones y la categoría de cobordismos.

Clonación imperfecta

Aunque es imposible hacer copias perfectas de un estado cuántico desconocido, es posible producir copias imperfectas. Esto se puede hacer acoplando un sistema auxiliar más grande al sistema que se va a clonar y aplicando una transformación unitaria al sistema combinado. Si la transformación unitaria se elige correctamente, varios componentes del sistema combinado se convertirán en copias aproximadas del sistema original. En 1996, V. Buzek y M. Hillery demostraron que una máquina de clonación universal puede hacer un clon de un estado desconocido con la sorprendentemente alta fidelidad de 5/6.

La clonación cuántica imperfecta se puede utilizar como un ataque de espionaje en los protocolos de criptografía cuántica, entre otros usos en la ciencia de la información cuántica.

Otras fuentes

V. Buzek y M. Hillery, clonación cuántica, Physics World 14 (11) (2001), págs. 25 a 29.

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