Teorema de napoleón

En geometría, el teorema de Napoleón establece que si se construyen triángulos equiláteros en los lados de cualquier triángulo, ya sea todos hacia afuera o hacia adentro, las líneas que conectan los centros de esos triángulos equiláteros formar un triángulo equilátero.

El triángulo así formado se llama triángulo de Napoleón interior o exterior. La diferencia en las áreas de los triángulos de Napoleón exterior e interior es igual al área del triángulo original.

El teorema a menudo se atribuye a Napoleón Bonaparte (1769-1821). Algunos han sugerido que puede remontarse a la pregunta de 1825 de W. Rutherford publicada en The Ladies' Diario, cuatro años después de la muerte del emperador francés, pero el resultado se cubre en tres preguntas formuladas en un examen para la Medalla de Oro en la Universidad de Dublín en octubre de 1820, mientras que Napoleón murió en mayo siguiente. .

Pruebas

En la figura anterior, △ABC es el triángulo original. △AZB, △BXC, △CYA son triángulos equiláteros construidos sobre sus lados' ; exteriores, y los puntos L, M, N son los centroides de esos triángulos. El teorema de los triángulos exteriores establece que el triángulo △LMN (green) es equilátero.

Una manera rápida de ver eso LMN es equilátero observar que MN se convierte en CZ bajo una rotación de 30° alrededor A y una homoteca de relación ${\displaystyle {\sqrt {3}}$ con el mismo centro, y eso LN también se vuelve CZ después de una rotación de 30° alrededor B y una homoteca de relación ${\displaystyle {\sqrt {3}}$ con el mismo centro. Las similitudes espirales respectivas son ${\displaystyle A({\sqrt {3}},-30^{\circ }),\ B({\sqrt {3}},30^{\circ }}}}$ Eso implica MN = LN y el ángulo entre ellos debe ser de 60°.

De hecho, hay muchas pruebas del enunciado del teorema, incluida una sintética (sin coordenadas), una trigonométrica, un enfoque basado en la simetría y pruebas que utilizan números complejos.

Fondo

El teorema se ha atribuido frecuentemente a Napoleón, pero se han escrito varios artículos sobre este tema que arrojan dudas sobre esta afirmación (ver (Grünbaum 2012)).

La siguiente entrada apareció en la página 47 de la revista Ladies' Diario de 1825 (es decir, a finales de 1824, aproximadamente un año después de la compilación de los exámenes de Dublín). Esta es una de las primeras apariciones impresas del teorema de Napoleón, y no se menciona el nombre de Napoleón.

VII. Quest.(1439); Sr. W. Rutherford, Woodburn.

"Describir triángulos equiláteros (los vértices son ya fuera o todo hacia fuera) en los tres lados de cualquier triángulo ABC: entonces las líneas que se unen a los centros de gravedad de esos tres triángulos equiláteros constituirán un triángulo equilátero. Requiere una demostración."

Dado que William Rutherford era un matemático muy capaz, se desconoce su motivo para solicitar una demostración de un teorema que ciertamente podría haber demostrado él mismo. Tal vez planteó la pregunta como un desafío a sus compañeros, o tal vez esperaba que las respuestas arrojaran una solución más elegante. Sin embargo, al leer los números sucesivos de Ladies' Diario en En la década de 1820, el editor pretendía incluir un conjunto variado de preguntas cada año, algunas adecuadas para el ejercicio de principiantes.

Es evidente que no hay ninguna referencia a Napoleón ni en la pregunta ni en las respuestas publicadas, que aparecieron un año después, en 1826, aunque el editor evidentemente omitió algunas presentaciones. Además, el propio Rutherford no aparece entre los solucionadores nombrados después de las soluciones impresas, aunque del recuento de unas páginas antes es evidente que envió una solución, al igual que varios de sus alumnos y asociados de Woodburn School, incluida la primera de las soluciones publicadas. De hecho, el Grupo de Resolución de Problemas de Woodburn, como se lo conocería hoy en día, era lo suficientemente conocido para entonces como para escribirse en Una visión histórica, geográfica y descriptiva del condado de Northumberland... ( 2ª ed. Vo. II, págs. Se pensaba que la primera referencia conocida a este resultado como teorema de Napoleón aparece en la 17ª edición de Elementi di Geometria de Faifofer, publicada en 1911, aunque Faifofer en realidad menciona a Napoleón en ediciones algo anteriores. Pero esto es discutible porque encontramos a Napoleón mencionado por su nombre en este contexto en una enciclopedia de 1867. Lo que es de mayor interés histórico con respecto a Faifofer es el problema que había estado usando en ediciones anteriores: un problema clásico sobre la circunscripción del mayor triángulo equilátero alrededor de un triángulo dado que Thomas Moss había planteado en el Ladies Diary en 1754, en cuya solución, por parte de William Bevil al año siguiente, podríamos reconocer fácilmente el germen de El teorema de Napoleón: los dos resultados aparecen juntos, de un lado a otro durante al menos los siguientes cien años en las páginas problemáticas de los almanaques populares: Cuando Honsberger propuso en Mathematical Gems en 1973 lo que pensaba que era una novedad propia, en realidad estaba recapitulando parte de esta vasta, aunque informal, literatura.

Podría ser bueno recordar que una variante popular de la proposición pitagórica, donde se colocan cuadrados en los bordes de los triángulos, era colocar triángulos equiláteros en los bordes de los triángulos: ¿podrías hacer con triángulos equiláteros lo que podrías hacer? con cuadrados; por ejemplo, en el caso de triángulos rectángulos, ¿diseccionar el que está en la hipotenusa en los que están en los catetos? Así como los autores volvieron repetidamente a considerar otras propiedades del molino de viento de Euclides o de la silla nupcial, la figura equivalente con triángulos equiláteros reemplazando a los cuadrados llamó (y recibió) atención. Quizás el esfuerzo más majestuoso en este sentido sea la pregunta del premio de William Mason en el Diario de damas y caballeros de 1864, cuyas soluciones y comentarios al año siguiente ocupa unas quince páginas. Para entonces, este venerable lugar en particular, que comenzó en 1704 para las Damas' Diary y en 1741 para el Gentleman's Diary - estaba en sus últimas etapas, pero problemas de este tipo continuaron en el Educational Times hasta bien entrado el principios de 1900.

Problemas de Dublín, octubre de 1820

En el trabajo de Geometría, ambientado en la segunda mañana de los trabajos para los candidatos a la Medalla de Oro en el Examen General de la Universidad de Dublín en octubre de 1820, aparecen los siguientes tres problemas.

Pregunta 10. Así se construyen tres triángulos equiláteros en los lados de un triángulo dado, A, B, D, las líneas que unen sus centros, C, C', C' formar un triángulo equilátero. [El diagrama acompañante muestra los triángulos equiláteros colocados hacia fuera.]

Pregunta 11. Si los tres triángulos equiláteros se construyen como en la última figura, las líneas que unen sus centros también formarán un triángulo equilátero. [El diagrama acompañante muestra los triángulos equiláteros lugares interiormente.]

Pregunta 12. Investigar la relación entre el área del triángulo dado y las áreas de estos dos triángulos equiláteros.

Estos problemas están registrados en

• Problemas de Dublín: una colección de preguntas propuestas a los candidatos para la medalla de oro en los exámenes generales, de 1816 a 1822 inclusive. Lo cual es logrado por una cuenta del examen de la beca, en 1823 (G. y W. B. Whittaker, Londres, 1823)

Pregunta 1249 del Diario del caballero; o Mathematical Repository para 1829 (que apareció a finales de 1828) retoma el tema, y las soluciones aparecen en el número del año siguiente. Uno de los solucionadores, T. S. Davies, generalizó el resultado en la pregunta 1265 de ese año y presentó su propia solución al año siguiente, basándose en un artículo que ya había contribuido a la Philosophical Magazine en 1826. No hay referencias cruzadas en este material a lo descrito anteriormente. Sin embargo, hay varios elementos de interés afín en las páginas problemáticas de los almanaques populares que se remontan al menos a mediados de la década de 1750 (Moss) y continúan hasta mediados de la década de 1860 (Mason), como se mencionó anteriormente.

Da la casualidad de que el nombre de Napoleón se menciona en relación con este resultado en nada menos que una obra de referencia que la Enciclopedia de Chambers ya en 1867 (Vol. IX, hacia el cierre de la entrada sobre triángulos).

Otra propiedad notable de triángulos, conocido como problema de Napoleón es la siguiente: si en cualquier triángulo se describen tres triángulos equiláteros, y los centros de gravedad de estos tres se unen, el triángulo así formado es equilátero, y tiene su centro de gravedad coincidente con el del triángulo original.

Pero entonces el resultado había aparecido, con pruebas, en un libro de texto al menos en 1834 (Euclid de James Thomson, págs. 255-256). En una nota al final (p. 372), Thomason agrega

Esta propuesta curiosa No me he encontrado con, excepto en el Problemas de Dublín, publicado en 1823, donde se inserta sin demostración.

En la segunda edición (1837), Thomson amplió la nota final proporcionando pruebas de un antiguo alumno de Belfast:

Lo siguiente es un esbozo de una prueba muy fácil y buena por el Sr. Adam D. Glasgow de Belfast, un ex estudiante de mi gran gusto y talento para las actividades matemáticas:

Por lo tanto, Thomson no parece consciente de la aparición del problema en la película Ladies' Diario de 1825 o el Diario de caballero de 1829 (al igual que J. S. Mackay no se enteraría de esta última aparición, con su cita de Problemas de Dublín, mientras observa que los primeros lectores del American Mathematical Monthly tienen una referencia a la pregunta 1249 en el Gentleman's Diary de R. C. Archibald en la edición de enero de 1920; , p. 41, nota 7, aunque la primera solución publicada en el Ladies Diary de 1826 muestra que ni siquiera Archibald era omnisciente en cuestiones de prioridad).

Centro común

Los centros de los triángulos de Napoleón interior y exterior coinciden con el centroide del triángulo original. Esta coincidencia se observó en la Enciclopedia de Chambers en 1867, como se cita anteriormente. La entrada allí no está firmada. P. G. Tait, entonces profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Edimburgo, figura entre los contribuyentes, pero J. U. Hillhouse, tutor de matemáticas también en la Universidad de Edimburgo, aparece entre otros caballeros literarios conectados durante más o menos tiempo con la literatura habitual. personal de la Encyclopaedia. Sin embargo, en la Sección 189(e) de Un tratado elemental sobre cuaterniones, también en 1867, Tait trata el problema (de hecho, haciéndose eco de los comentarios de Davies en el Diario de caballeros en 1831 con respecto a la pregunta 1265, pero ahora en el marco de los cuaterniones):

Si los perpendiculares se erigen hacia fuera en los puntos medios de los lados de un triángulo, cada uno siendo proporcional al lado correspondiente, el punto medio de sus extremidades coincide con el del triángulo original. Encuentra la relación de cada perpendicular a la mitad del lado correspondiente del triángulo viejo que el nuevo triángulo puede ser equilátero.

Tait concluye que los puntos medios de triángulos equiláteros erigidos hacia afuera en los lados de cualquier triángulo forman un triángulo equilátero. La discusión se mantiene en ediciones posteriores de 1873 y 1890, así como en su posterior Introducción a los cuaterniones junto con Philip Kelland en 1873.

Áreas y lados de los triángulos de Napoleón interior y exterior

El área del triángulo interior de Napoleón de un triángulo con área △ es

$${\displaystyle {\text{Area(inner)}=-{\frac {\triángulo {2}+b^{2})\geq 0,}$$

donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo original, con igualdad sólo en el caso en que el El triángulo original es equilátero, según la desigualdad de Weitzenböck. Sin embargo, desde un punto de vista algebraico, el triángulo interior es "retrógrado" y su área algebraica es el negativo de esta expresión.

El área del triángulo exterior de Napoleón es

$${\displaystyle {\text{Area(outer)}={\frac {\triangle {2}+b^{2}+c^{2}). }$$

Analíticamente, se puede demostrar que cada uno de los tres lados del triángulo exterior de Napoleón tiene una longitud de

$${\displaystyle {\text{Side(outer)}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2}\over 6}+{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-a+b+c)}} \over {2{\sqrt .$$

La relación entre las dos últimas ecuaciones es que el área de un triángulo equilátero iguala el cuadrado de los tiempos laterales ${\displaystyle {\sqrt {3}/4.}$

Generalizaciones

Teorema de Petr-Douglas-Neumann

Si isosceles triángulos con ángulos ápices ${\displaystyle {\tfrac {2k\pi} } {n}}$ son erigidos en los lados de un arbitrario n- No. A₀, y si este proceso se repite con el n-gon formado por los ápices libres de los triángulos, pero con un valor diferente de k, y así sucesivamente hasta todos los valores 1 ≤ k ≤ n − 2 se han utilizado (en orden arbitrario), luego un n- No. A_n−2 se forma cuyo centroide coincide con el centroide de A₀.

Teorema de Napoleón-Barlotti

Los centros de n-gons regulares construidos sobre los lados de un n-gon P forma un n-gon si y sólo si P es una imagen afín de un n-gon.

Generalización Jha-Savaran

Dado un hexágono A₁A₂A ₃A₄A₅A₆ con triángulos equiláteros construidos en los lados, ya sea hacia adentro o hacia afuera, y los vértices de los triángulos equiláteros etiquetados B_i. Si G₁, G₃, G₅ son los respectivos centroides de △B₆B₁B₂, △B₂B₃B₄, △B₄B₅B₆, luego G ₁, G₃, G₅ forman un triángulo equilátero.

La generalización de Dao Than Oai

Dado un hexágono ABCDEF con ∆'s ABG, DHC, IEF equilátero construido en los lados alternos AB, CD y EF, ya sea hacia adentro o hacia afuera. Sean A₁, B₁, C₁ los centroides de ∆FGC, ∆BHE y ∆DIA respectivamente, sean A ₂, B₂, C₂ sean los centroides de ∆DGE, ∆AHF y ∆BIC respectivamente. Entonces ∆A₁B₁C₁ y ∆A₂B₂C ₂ son triángulos equiláteros. (Si, por ejemplo, hacemos coincidir los puntos A y F, así como B y C, y D y E, entonces el resultado de Dao Than Oai se reduce al teorema de Napoleón).