Teorema de Myerson–Satterthwaite

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El teorema de Myerson–Satterthwaite es un resultado importante en el diseño de mecanismos y la economía de la información asimétrica, gracias a Roger Myerson y Mark Satterthwaite. Informalmente, el resultado dice que no hay una forma eficiente para que dos partes intercambien un bien cuando cada una tiene valoraciones secretas y que varían probabilísticamente para él, sin el riesgo de obligar a una de las partes a comerciar con pérdidas.

El teorema de Myerson-Satterthwaite se encuentra entre los resultados negativos más notables y universalmente aplicables en economía, una especie de espejo negativo de los teoremas fundamentales de la economía del bienestar. Sin embargo, es mucho menos famoso que esos resultados o que el resultado anterior de Arrow sobre la imposibilidad de sistemas electorales satisfactorios.

Notación

Hay dos agentes: Sally (la vendedora) y Bob (el comprador). Sally tiene un artículo que es valioso tanto para ella como para Bob. Cada agente valora el artículo de manera diferente: Bob lo valora como $v_{B}$ y Sally como $v_{S}$ . Cada agente conoce con certeza su propia valoración, pero conoce la valoración del otro agente solo de forma probabilística:

Para Sally, el valor de Bob está representado por una función de densidad de probabilidad $pensión completa}$ que es positiva en el rango ${displaystyle [{subrayado {B}},{overline {B}}]}$ . La función de distribución acumulada correspondiente es $PENSIÓN COMPLETA}$ .
Para Bob, el valor de Sally está representado por una función de densidad de probabilidad $f_S$ que es positiva en el rango ${displaystyle [{subrayado {S}},{overline {S}}]}$ . La función de distribución acumulativa correspondiente es $F_S$ .

Un mecanismo de negociación directa es un mecanismo que le pide a cada agente que informe su valoración del artículo, luego decide si el artículo se negociará ya qué precio. Formalmente, está representado por dos funciones:

La función de probabilidad comercial ${displaystyle t(v'_{B},v'_{S})}$ ,, determina la probabilidad de que el artículo sea transferido del vendedor al comprador (en un mecanismo determinista, esta probabilidad es 0 o 1, pero el formalismo también permite mecanismos aleatorios).
La función de precio ${displaystyle p(v'_{B},v'_{S})}$ ,, determina el precio que Bob debería pagarle a Sally. Tenga en cuenta que los valores informados están marcados con $v'$ porque no son iguales a los valores reales.

Obsérvese que, gracias al principio de revelación, la suposición de que el mecanismo es directo no pierde generalidad.

Todo agente conoce su valor y conoce el mecanismo. Por lo tanto, cada agente puede calcular su ganancia esperada de la operación. Dado que estamos interesados en mecanismos que son veraces en equilibrio, suponemos que cada agente asume que el otro agente es veraz. Por lo tanto:

Para Sally, la ganancia esperada es el pago esperado menos la pérdida esperada por dar el objeto:

${displaystyle U_{S}(v_{S},v'_{S})=int _{u_{B}={subrayado {B}}}^{overline {B}}p(v' _{S},u_{B})f_{B}(u_{B}),du_{B}-v_{S}int_{u_{B}={subrayado {B}}}^{ overline {B}}t(v'_{S},u_{B})f_{B}(u_{B}),du_{B}}$

Para Bob, la ganancia esperada es la ganancia esperada de obtener el objeto menos el pago esperado:

${displaystyle U_{B}(v_{B},v'_{B})=v_{B}int _{u_{S}={subrayado {S}}}^{overline {S}} t(u_{S},v'_{B})f_{S}(u_{S}),du_{S}-int _{u_{S}={subrayado {S}}}^{ overline {S}}p(u_{S},v'_{B})f_{S}(u_{S}),du_{S}}$

Requisitos

Myerson y Satterthwaite estudian los siguientes requisitos que debe cumplir un mecanismo ideal (consulte también los requisitos de la subasta doble):

1. Racionalidad individual (IR): El valor esperado de Bob y Sally debe ser no negativo (para que tengan un incentivo inicial para participar). Formalmente: ${displaystyle U_{S}(v_{S},v_{S})geq 0}$ y ${displaystyle U_{B}(v_{B},v_{B})geq 0}$ .

2. Presupuesto equilibrado débil (WBB): el subastador no debería tener que traer dinero de casa para subsidiar el comercio.

3. Compatibilidad de incentivos de equilibrio de Nash (NEIC): para cada agente, si el otro agente informa el valor real, entonces la mejor respuesta es informar también el valor real. En otras palabras, nadie debería querer mentir. Formalmente: ${displaystyle forall v'_{s}:U_{S}(v_{S},v_{S})geq U_{S}(v_{S},v'_{S})}$ y ${displaystyle forall v'_{B}:U_{B}(v_{B},v_{B})geq U_{B}(v_{B},v'_{B})}$ .

4. Eficiencia de Pareto (EP) ex-post: el artículo debe entregarse finalmente al agente que más lo valore. Formalmente: ${displaystyle t(v_{B},v_{S})=1}$ si v_{S}}">y ${displaystyle t(v_{B},v_{S})=0}$ si <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3217b4331cff6b8e0b18c9d66411db7d0444d139" alt="{displaystyle v_{B}.

Declaración

Si las siguientes dos suposiciones son verdaderas:

Los intervalos ${displaystyle [{subrayado {B}},{overline {B}}]}$ y ${displaystyle [{subrayado {S}},{overline {S}}]}$ tienen una intersección no vacía.
Las densidades de probabilidad para las valoraciones son estrictamente positivas en esos intervalos.

entonces, no existe ningún mecanismo que satisfaga las cuatro propiedades mencionadas anteriormente (IR, WBB, NEIC y PE).

Extensiones

Se han estudiado varias variantes de la configuración de Myerson-Satterthwaite.

1. Myerson y Satterthwaite consideraron un solo comprador y un solo vendedor. Cuando hay muchos compradores y vendedores, la ineficiencia desaparece asintóticamente. Sin embargo, esto solo es cierto en el caso de los bienes privados; en el caso de los bienes públicos la ineficiencia se agrava cuando aumenta el número de agentes.

2. Myerson y Satterthwaite consideraron una situación inicial asimétrica, en el sentido de que al principio una parte tiene el 100% del bien y la otra parte tiene el 0% del bien. Se ha demostrado que se puede lograr eficiencia ex post si inicialmente ambas partes poseen el 50% del bien a negociar.

3. Este último resultado se ha extendido a escenarios en los que las partes pueden realizar inversiones ex ante no observables para incrementar sus propias valoraciones. Sin embargo, la eficiencia ex post no se puede lograr si la inversión no observable del vendedor aumenta la valoración del comprador, incluso si solo el comprador tiene información privada sobre su valoración.

4. Se puede demostrar que se cumple otro resultado de imposibilidad en el que solo una de las partes tiene información privada sobre su valoración cuando los pagos de la opción externa no se dan de forma exógena.

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